Hvis du opdager, du mangler at lære noget matematik fra C-niveau, så brug det grønne og blå hæfte med links og videoer, især følgende link: www.lyngbydata.dk/matematik

Brøk

Se eventuelt link: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk brøkregning ved hjælp af dette link til interaktive øve-opgaver: Brøkstykker

Hvis det kniber med de 4 regningsarter så benyt følgende link: Små opgaver i de 4 regningsarter

Ligninger

Se eventuelt link: Regler fra side 5 i grønt hæfte og fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk ligninger ved hjælp af dette link: Ligninger

Eksponent og rod

Se eventuelt link: Regler fra lektion 3 og fra formelsamling

Genopfrisk eksponent og rod ved hjælp dette link: Øvelse

Parentes

Se eventuelt link: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk parentes ved hjælp af dette link: Parentes

2) Løs E-opgaver

Du afleverer elektronisk, når du klikker i Aflever .

Link: E-opgaver 19a Genopfriskning broek og parentes

3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet : 1.001 , 1.002 og 1.004

Benyt RegneRobot med link til opgavehæftet.
Klik i opgavenummeret og se en demo-video.
Også i RegneRobot afleveres elektronisk ved at klikke i Aflever .

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 19b Genopfriskning af Matematik C:
Procent , rente og indeks

Gør følgende 3 punkter

1) Læs og genopfrisk matematik C ved hjælp af nedenstående link.

Procent og rente

Se eventuelt link: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte

Genopfrisk procent og rentesregning ved hjælp af dette link: Øvelse

Indeks

Man udvælger et år, som kaldes basisåret, og her sættes indeks til 100.

Indeks for de øvrige år findes ved at fremskrive 100 med samme fremskrivningsfaktor, som de oprindelige tal fremskrives med. Man kan således beregne indekstal ved først at beregne disse fremskrivningsfaktorer.

Man kan også beregne indekstal ved at udnytte proportionaliteten mellem de oprindelige tal og indekstal. Proportionalitet er forklaret i Grønt hæfte, lektion 10, og ganske kort i den følgende lektion 19c.

Hvis man kender indekstal svarende til et basisår, kan indekstal svarende til et andet basisår beregnes.

Indeks er forklaret i Grønt hæfte, lektion 8.

Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.

Løs følgende interaktive øve-opgave, link: indeks-opgave

2) Løs E-opgaver

Link: E-opgaver 19b Genopfrisk procent og indeks

3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet: 3.006 og 3.012

Klik i opgavenummeret og se en demo-video.

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 19c Genopfriskning af Matematik C:
Sammenhæng mellem variable og funktioner

Gør følgende 3 punkter

1) Læs
Sammenhæng mellem variable og funktioner er udførligt forklaret i lektion 10, 11, 13, 14 og 15. Her skal kort gentages de vigtigste ting.

Hvis nedenstående er besværlig læsning, så gå til lektion 10, 11, 13, 14 og 15.

En talstørrelse, der kan variere, fx temperaturen i grader kaldes en variabel.

Hvis man måler temperaturen et bestemt sted en bestemt dag, vil temperaturen normalt variere i løbet af dagen.

Vi siger, temperaturen afhænger af tidspunktet eller, at temperaturen er en funktion af tiden.

Tidspunktet angives med et tal, der fx angiver, hvor mange timer, der er gået siden midnat.

En sådan funktion kan vi give et navn fx f, og temperaturen til tiden x betegnes f(x) og kaldes funktionsværdien af x .

Hvis funktionsværdien betegnes med y fås y = f(x).

f(x) udtales ”f af x” .

Mængden af x-værdier, hvor f er defineret kaldes definitionsmængden for f eller D_f.

Mængden af funktionsværdier kaldes værdimængden for f eller V_f.

Definitions- og værdimængden er ofte intervaller, fx [0; ∞[, (tallene fra og med nul til uendelig).

Ofte er en funktion fastlagt ved en såkaldt regneforskrift, fx: f(x) = 2x + 3, D_m = [0; ∞[

En funktion kan illustreres med en graf i et koordinatsystem.

Grafen er de punkter, der har x som x-værdi og f(x) som y-værdi

Hvis y = kx , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er ligefrem proportional med x eller blot proportional med x,og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10x

Hvis y = k · ¹/_xeller x·y = k , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er omvendt proportional med x, og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10 · ¹/_x eller x·y = 10.

En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er en linje eller en del af en linje.

En lineær funktion har en regneforskrift af formen f(x) = ax + b , hvor a og b er konstante tal.

10-talslogaritmen til et tal er den eksponent man skal sætte på 10 for at få tallet.

En eksponentiel funktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)=b·a^x, a>0 og b>0.

En potensfunktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)= b·x^a, b>0 og x>0.

Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.

Løs følgende interaktive øve-opgaver: proportionalitet Lineær funktion Eksp. funktion Potensfunktion

2) Løs E-opgaver E-opgaver 19c Genopfrisk variab.sammenh.& funktion

3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet : 1.005, 1.013, 1.014 og 1.015

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 19d, modeller og regression

1) Læs
Nogle matematiske ord

Ord:	Forklaring:	Eksempler/ illustration:
faktor	En størrelse, der skal ganges med.	5·8 Både 5 og 8 er faktorer.
produkt	Resultatet af et gangestykke	5·8 = 40 40 er produktet af 5 og 8
tæller	Den størrelse i en brøk, der er over brøkstregen	Brøkens tæller er 3.
nævner	Den størrelse i en brøk, der er under brøkstregen	Brøkens nævner er 7.
Første kvadrant	Den del af et koordinatsystem hvor både x og y er positive
Andet kvadrant	Den del af et koordinatsystem hvor x er nagativ og y er positiv
Tredje kvadrant	Den del af et koordinatsystem hvor både x og y er negative
Fjerde kvadrant	Den del af et koordinatsystem hvor x er positiv og y er negativ

Symboler:

I det følgende bruges Dx , Dy , Ú og ó

Dx er en forkortelse for x-tilvækst.

Dy er en forkortelse for y-tilvækst.

Absolut tilvækst

Hvis man har en x-værdi, fx 5, og giver x en tilvækst på 2, så bliver den nye x-værdi 7,
og vi siger Dx = 2 . Nogfen gange siger vi, at den absolutte tilvækst er 2.

Tilsvarende med andre variable. Når en variabel fx y varierer fra en værdi til en anden værdi, kaldes forskellen Dy den absolutte tilvækst.

Relativ tilvækst

Når en variabel fx y varierer fra en værdi y₀ til en anden værdi kalder vi forskellen i forhold til startværdien y₀ for den relative tilvækst.

Den betegnes således: og i procenter således: · 100 %

Ú er nærmest en forkortelse af ordet ”eller”.

Ú betyder, at det til venstre for Ú er sandt eller det til højre for Ú er sandt.

Fx gælder følgende 3 udsagn:

(2+2 = 4) Ú (2+2 = 5) Det til venstre er sandt

(2+2 = 4) Ú (2+2 = 4) Det til højre er sandt

(2+2 = 4) Ú (3+2 = 5) Både det til venstre og det til højre er sandt

ó er nærmest en forkortelse for ordet ”ensbetydende” og kaldes ofte dobbeltpil.

ó betyder at det som er før og efter ó er sandt for det eller de samme x.

Fx
x=5 Ú x =-5 ó x² = 25

x = 7 ó 2 x =14

I sidste tilfælde er der kun ét x, som gør hver ligning sand.

Matematisk modellering og regression

Nedenstående forklaring af regneark forudsætter et forhåndskendskab til regneark. Se eventuelt lektion 6 og 12.

Mange fænomener kan med god tilnærmelse beskrives ved en matematisk funktion.

Den matematiske funktion er en forenkling af virkeligheden. Vi kalder den matematiske funktion en model af virkeligheden.

Fx kan en lineær funktion bruges som model for befolkningsudviklingen i USA, mens befolkningsudviklingen i Indien bedre beskrives ved en eksponentiel model.

Funktionen f(x) = 12x + 25 en model for taxa-kørsel, idet x er antal km og f(x) er prisen, men i virkeligheden er prisen også afhængig af hvor mange gange taxaen skal holde stille under vejs
bl.a. ved rødt lys. Den virkelige pris kan være ret besværlig at beskrive. Derfor er det praktisk med modellen: f(x) = 12x + 25. Det kaldes en lineær model.

Funktionen f(x) = 12x + 25 kan imidlertid også være model for andre ting.

Lad os betragte et ur, der bliver stillet 25 sekunder forkert. Uret er 25 sekunder foran lige efter, det er stillet. Derefter vinder uret ca 12 sekunder i døgnet nogen gange lidt mere og nogen gange lidt mindre..

Urets fejlvisning kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen f(x) = 12x + 25, hvor x er antal døgn efter uret blev stillet.

Det var et eksempel på, at vi kan bruge den samme matematiske model til at beskrive 2 helt forskellige ting.

Hvis vi skal beregne, hvor meget uret er foran efter 10 døgn bliver det således præcis den samme matematiske beregning som at beregne prisen for 10 km med taxa.

Hvis man vil undersøge om en udvikling bedst beskrives ved en lineær funktion, ved en eksponentiel funktion eller ved en potensfunktion, kan man afsætte funktionsværdierne i mm-papir, i enkelt logaritmisk papir og i dobbelt logaritmisk papir og vurdere, hvor punkterne bedst flugter en linje.

Hvis man vil finde regneforskriften, kan man tegne linjen, den såkaldte tendenslinje, og beregne regneforskriften udfra 2 punkter, som aflæses på linjen. Det er imidlertid meget lettere og bedre at bruge CAS-værktøj.

CAS-værktøj

Her vil blive genemgået 5 slags CAS-værktøj: Excel regneark, RegneRobot, TI89/Voyage 200 og TI-Interactive og TI-Nspire.
Du kan selv vælge hvilken slags CAS-værktøj, du vil lære at bruge.

Excel regneark.

I Grønt hæfte, lektion 12, er forklaret, hvordan man automatisk kan få tegnet grafer i Excel regneark. Læs det.

Det er også muligt at få tendesnlinjen tegnet automatisk, ved at højreklikke med musen i grafen og vælge tendenslinje og vælge funktionstype, fx ”eksponentiel” . Det er endog muligt at få vist regneforskriften ved at vælge ”Vis ligning i diagram”.

Hvis man ikke får valgt”Vis ligning i diagram” samtidigt med at tendenslinjen tegnes, kan man højreklikke i tendenslinjen og vælge ”Formater tendenslinje” og derefter vælge vælge ”Vis ligning i diagram”.

Hvis man ønsker en logaritmisk skala på y-aksen, skal man højreklikke i y-aksen ogvælge ”Formater akse”. Herefter kan man vælge fx logaritmisk skala.

Det er også muligt at beregne en regneforskrift uden at tegne grafen.

Dette illustreres ved et eksempel:

Støttepunkerne er indsat i regneark.

Den eksponentielle model: y = b·a^x er fundet ved i

celle c4 at skrive: =INDEKS(LOGREGR(B2:E2;B1:E1);2) og i

celle c6 at skrive: =INDEKS(LOGREGR(B2:E2;B1:E1);1)

Hvis man havde ønsket en lineær model: y=ax+b,

skulle man i stedet for LOGREGR skrive LINREGR

Se eventuelt et regneark med disse ting indarbejdet: regression.xls

At finde en regneforskrift for en funktion ud fra nogle støttepunkter kaldes regression.

RegneRobot.dk

Regression kan foretages ganske enkelt i RegneRobot.

Klik i Guide og vælg ”Regression”. Derefter popper et lille vindue op.

Vælg funktionstype, fx: Eksponentiel funktion.

Udfyld med x- og y-værdier.

Klik i ”Beregn”.

Sådan ser vinduet ud efter, der er klikket i ”Beregn”.

Se eventuelt Vejledning til RegneRobot.

CAS-lommeregneren TI-89 og Voyage 200

Her kan a og b findes på flere måder.

Herunder vises én af disse måder:

Lommeregneren skal være i almindelig calculator-tilstand.

Tast eventuelt 2ND ESC H Enter eller CALC HOME .

Du starter med at cleare x mv. ved at taste: F6, 1 og Enter.

Derefter gør du følgende:

Indtast en liste med x-værdier, fx: {0, 1, 2, 3}.

Indtast en liste med de tilsvarende y-værdier, fx: {86, 300, 690, 1380}.

Vælg eksponentiel regression

Vælg ShowStat. Men Pas På ! Ved eksponentiel regression på TI-89 og Voyage 200kaldes begyndelsesværdien ikke b, men a, og fremskrivningsfaktoren kaldes ikke a, men b.

Indtastningen kan være således:

{	0	,	1	,	2	,	3	}	STO>	L	1	Enter
{	86	,	300	,	690	,	1380	}	STO>	L	2	Enter
Math	6	3	2	L	1	,	L	2	Enter
Math	6	9	Enter

IT-programmellet TI-interactive

Mange skoler og kurser har licens til dette programmel, så elever og kursister kan få det gratis.

Ellers kan programmellet hentes via dette link: http://education.ti.com/educationportal/sites/US/productDetail/us_ti_interactive.html

Med TI-interactive på din pc, kan du spare indkøb af dyr lommeregner.

(I nogen tilfælde kan TI-interactive ikke installeres på pc’er med Vista)

Med TI-Interactive findes a og b således:

Klik i den venstreste ikon i den nederste af de 2 icon-linjer foroven, så kommer der et knap-panel frem og en firkant, du kan skrive i.

Skriv nedenstående og tast Enter efter hver linje:

{0,1,2,3} -> L1

{86, 300, 690, 1380} -> L2

ExpReg(L1,L2)

ShowStat()

Både a og b og meget mere vises.

Man kan også få kun a og b ved at taste:

Pas På ! Ved eksponentiel regression i TI-interactive kaldes begyndelsesværdien ikke b, men a_, og fremskrivningsfaktoren kaldes ikke a, men b_.

TI-Nspire

Hvis du er interesseret i TI-Nspire, så se denne video; men bemærk at videoen også orienterer om matematik, du endnu ikke har lært.

Cas-værktøj kan også bruges til at løse ligninger.

Man kan fx skrive i TI-interactive eller på sin CAS-regner: solve(x^2=25,x)

Prøv det.

I parentesen efter solve er to argumenter adskilt af komma.

Det første argument er ligningern.

Det andet argument er den ubekendte, og det er som regel x.

Cas-værktøj vil yderligere blive forklaret i lektion 21, 23 og 25.

Se eventuelt det første af videoen: cas

2) Løs E-opgaver Link: E-opg. 19d regression

3) Regn fra 2006-opgavehæftet : 2.001, 2.005, 2.007, 2.008

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 20: Polynomier

Gør følgende 5 punkter

1) Se video, link: Andengradspolynomier ved skriftlig eksamen

2) Læs

Et andengradspolynomium er en funktion med regneforskriften:

p(x) = ax² + bx + c , hvor am0.

Eks.

p(x) = 2x² - 12x + 10 er et andengradspolynomium

Hvis a *> 0* ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en glad graf):
Hvis a <0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en trist graf):

Disse grafer kaldes parabler

Jo tættere a er på nul, jo mindre stejl er parablen.

Parablens toppunkt

Det højeste eller laveste punkt på en parabel kaldes toppunkt.

Idet vi indfører d = b² - 4ac gælder:

Koordinatsættet for toppunktet er:

( x_o , y_o ) = ( , )

Denne formel vil blive bevist i lektion 27a

d kaldes diskriminanten.

Toppunktets y-værdi er andengradspolynomiets mindsteværdi eller størsteværdi.

Hvis toppunktet er til venstre for y-aksen, er negativ og a og b har samme fortegn.

Hvis toppunktet/ er til højre for y-aksen, er positiv og a og b har forskelligt fortegn.

Hvis toppunktet ligger på y-aksen, er = 0 ó b = 0.

c er parablens skæring med y-aksen. Det ses ved at indsætte x=0 i: y=ax² +bx+ c

a,b,c og d’s betydning for parablen

Grafens stejlhed

a<0:

Trist graf

a=0:

Det er ikke et 2.gradspolynomium

a>0:

Glad graf

b har samme fortegn som a:

Toppunkt er til venstre for 2.aksen

b=0:

Toppunkt er på 2.aksen

b har fortegn modsat a:

Toppunkt er til højre for 2.aksen

Skæring med 2. aksen

c<0:

Grafen skærer 2.aksens negative del

c=0:

Grafen skærer 2.aksen i nul, koordinatsystemets begyndelsespunkt

c>0:

Grafen skærer 2.aksens positive del

=b² - 4ac

d<0:

Grafen skærer ikke
1. aksen

d=0:

Grafen har ét punkt fælles med 1.aksen.

Dvs toppunkt er på x-aksen

d>0:

Grafen skærer 1. Aksen
to steder

b’s fortegn kan endvidere aflæses direkte af parablen. Det vil vi se i lektion 27a

Andengradsligningen

Hvis parablen skærer x-aksen i to punkter kaldes de to steder nulpunkter eller rødder.

[image]

Hvis parablen har netop ét punkt fælles med x-aksen kaldes det punkt/tal for nulpunkt, rod eller dobbeltrod.

[image]

Hvis parablen ikke har nogen punkter fælles med x-aksen, er der ingen rødder.

[image]

Vi vil nu se på hvordan man finder eventuelle rødder for et andengradspolynomium.

Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:

ax² + bx + c = 0 hvor am0

Der gælder:

Hvis d <0 bliver der 0 løsninger. Parablen rører ikke x-aksen.

Hvis d =0 bliver der 1 løsning. Parablen rører x-aksen 1 sted.

Hvis d >0 bliver der 2 løsninger. Parablen skærer x-aksen 2 steder.

Hvis d ≥ 0, kan ligningen løses ved hjælp af formlen:

x =

Dette vil blive bevist i lektion 27a

Eksempel

Grafen for p(x) = 2x² - 12x + 10 ser således ud

Rødderne kan aflæses hvor parablen skærer x-aksen.

Løs ligningen 2x² - 12x + 10 = 0 ved hjælp af CAS-værktøj eller følgende link til en
skabelon i regneark: 2.gradspolynomiet.xls

Polynomier af n’te grad

Et polynomium er en funktion med regneforskriften:

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …… + a₂x² + a₁x + a₀ , hvor a_nm0 og n er et positivt helt tal.

Polynomiets grad er n.

Eks.

2x³ –x² – 7x + 17 er et 3.-gradspolynomium

Polynomiets rødder eller nulpunkter

er de eventuelle x-værdier, hvor p(x) = 0.

Faktorisering af polynomier

Lad os starte med at se et eksempel på et andengradspolynomium: p(x )= 2x²-25x+30

Polynomiet kan omskrives til p(x) = (x-3)·(5x-10), hvilket kan kontrolleres ved at gange parenteserne sammen.

(Man ganger 2 parenteser med inanden ved at gange vhert led i den nene med hvert led i den anden.)

Det at omskrive 2x²-25x+30 til (x-3)·(5x-10) kaldes at faktorisere polynomiet.

En størrelse, man ganger med, kaldes en faktor, og (x-3)·(5x-10) består af 2 faktorer,
nemlig (x-3) og (5x-10) .

Hvis tælleren og nævneren i en brøk er et polynomium, kan det være praktisk at faktorisere polynomiet. Derved vil man nogle gange kunne forkorte brøken.

Altså til et produkt af to faktorer.

Vi bemærker, at (x-3)·(5x-10) = 0 hvis x=3. Dvs 3 er rod i polynomiet. (2 er i øvrigt også rod.)

Generelt kan man faktorisere er polynomium, hvis man kender en rod, og
polynomiet kan faktoriseres til (x minus roden) gange en størrelse fx (5x-10)

Det vil vi ikke bevise.

(5x-10) kan også faktoriseres, idet (5x-10) = 5·(x-2)

Alt ialt kan 2x²-25x+30 faktoriseres til 5·(x-3)·(x-2)

Altså til et produkt af 3 fakotrer, nemlig 5, (x-3) og (x-2)

Hvis man skal faktorisere et polynomium er metoden aft finde polynomiets rødder.

Flere eksempler:

2x²-6x-8, -1 og 4 er rødder. Faktorisering: 2x²-6x-8 = 2(x+1)(x-4)

x² -2x+1, 1 er dobbeltrod. Faktorisering: x² -2x+1 = (x-1)(x-1) = (x-1)²

Et n’te-gradspolynomium kan højst have n rødder (nulpunkter).

Det vil vi ikke bevise.

3) Løs interaktive øve-opgaver:

2.gradsligninger.htm

4) Løs E-opgaver

E-opgaver_20_2.gr.pol.htm

E-opgaver_20b_pol.htm

5) Regn fra 2006-opgavehæftet :

Link til RegneRobot og opgavehæfte

1.003, 1.006, 1.007, 1.008, 1.009, 1.010 1.011 og 1.012

Lektion 21, Differentialregning

Gør følgende 6 punkter

1) Se videoer. Links: Diff 1 Def Tangent 3-trinsregel x² & xⁿ ax+b+ reglen

2) Læs

Et firma sælger en vare og vil gerne tjene så meget som muligt. Firmaet kan højst bruge 5 mio kr på reklamer. Jo mere firmaet investerer i reklamer, jo mere sælges, men hvis firmaet investerer alle 5 mio i reklamer, så bliver reklameomkostningerne så store, at den samlede fortjeneste bliver negativ.

Hvis firmaet slet ikke reklamerer, bliver salget så lille, at fortjenesten også bliver negativ.

Det handler om at finde hvilken reklameomkostning, der vil give maksimal fortjeneste.

Til højre herfor ses en graf, der fortæller fortjenesten som funktion af reklameinvesteringen.

[image]

Grafen svarer til funktionen

f(x) = -2x² + 8x – 1, Dm(f) = [0;5] , både x og f(x) er kroner i mio

Ved hjælp af grafen kan man aflæse at en rekaleminvestering på 2 mio kr vil være optimal.

Vi skal nu se, hvordan man kan regne sig frem til den mest optimale størrelse af reklameinvesteringen.

Der gælder, at funktionens mindsteværdi og størsteværdi enten er ved et grafendepunkt eller hvor grafen er vandret, og det er de steder, der skal checkes.

For at kunne beregne, hvornår grafen er vandret, vil vi interessere os for grafens hældning.
Til enhver x-værdi i definitionsmængden vil ovenstående graf have en hældning, der
betegnes f ’(x).

Vi har således en ny funktion med samme definitionsmængde. Denne funktion betegnes f ’ og kaldes den afledede funktion, eller med et fint ord differentialkvotienten af f .

At finde differentialkvotienten kaldes at differentiere.

Man kan også tale om den afledede af en regneforskrift.
Fx betegnes den afledede af 8x-1 såedes: (8x-1)’

Vi vil ikke her præcist definere ordet hældning/differentialkvotient, men lige nævne, at hældningen 0 betyder, at grafen er vandret. Ved Positiv hældning er funktionen voksende og ved negativ hældning aftagende.

Hvis man skal finde en x-værdi, hvor hældningen er 0, skal man således løse ligningen f ’(x) = 0

Ikke alle grafpunkter har en hældning

Til højre ses to grafer, der ikke overalt har en hældning.

Den blå graf her ingen hældning i punkterne (3, 2) og (7, 2.)

Den røde graf har ingen hældning i Grafpunktet (2,4).

De to tilsvarende funktioner er ikke
differentiable i hele deres definitionsmængder.

[image]

Betydningen af ordet differentialkvotient

Her ser vi grafen for en funktion f, hvor grafen har en hældning overalt..
Vi er interesseret i grafens hældning i punktet (x_o , y_o) og beragter et punkt (x, y) tæt på ( x_o , y_o ).

Linjestykket fra punktet ( x_o , y_o ) til ( x , y ) er næsten sammenfaldende med grafen.

Et linjestykke, der forbinder 2 punkter på en graf kaldes en sekant.

Jo tættere x er på x₀, jo bede vil sekanten flugte grafen,

Sekanten har hældningen: a = (Se lektion 11 i Grønt hæfte)

Lidt løst sagt defineres f´(x₀) eller grafens hældning i x₀ således:

Hvis nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x₀ , så er f´(x₀) lig denne værdi.

Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod x_oog betegnes f´(x_o).

Hvad det helt eksakt vil sige at nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x₀ , vil vi ikke uddybe her.

Det skrives således: går mod f´(x_o) når x går mod x_o.

Det kan også skrives sålees: à f´(x_o) når x à x_o.

eller således:

Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse.

Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers hældninger.

Generelt kan man tale om, at et udtryk, hvor dets værdi afhænger af en variabel, kan have en grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal.

f ´ (x_o) kaldes også differentialkvotienten af f i x_o eller blot differentialkvotienten i x_o.

Ordet differentialkvotient har noget at gøre med, at er en kvotient af differenser.

Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke.

kaldes ofte differens-kvotienten.

I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, hvis differenserne var ekstremt små, og derved opstod navnet differential-kvotient.

Vi benytter ofte forkortelsen Df for f(x) – f(x₀) og Dx eller h for (x– x₀)

Med disse forkortelser kan vi skrive:

f er differentiabel i *x_o* hvis	D f D x	har en grænseværdi for x ® *x_o*
eller
f er differentiabel i x_o hvis	D f h	har en grænseværdi for h ® 0

Differentiable funktioner

Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel,

og den funktion, der til hvert x_o knytter f´(x_o) betegnes f ’.

f ’ kaldes differentialkvotienten af f eller den afledede af f.

Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning.

Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften for den afledede funktion f ´ . Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne:

( k )' = 0	Eksempel: f(x)=7 Grafen er vandret og f '(x)=0
( k x )' = k	Eksempel: f(x)=3x Grafen har overalt hældningen 3 og f '(x)=3
(xⁿ*)´ = n·x^n-1*, n≠0**	Eksempler: (x³)´ = 3·x^3-1 = 3·x²og (x²)´ = 2·x^2-1= 2x
(k·f(x))' = k·(f(x))' = k·f´(x)	Eksempel: (2x³)´ = 2·3·x²2 = 6x²
(k·xⁿ) = k·n·x^n-1, n≠1	Eksempel: (2x³)´ = 2·3·x² = 6x²
(f(x)+g(x))´ = f ´(x) + g´(x).	Eksempel: (x³ + x²)' = 3x²+ 2x Plusreglen
(f(x)-g(x))´ = f ´(x) - g´(x).	Eksempel: (x³ - x²)' = 3x²- 2x Minusreglen

Når man anvender de 2 sidste regler kaldes det ledvis differentiation.

Når der i et udtryk er 2 eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation.

Der er flere regler i formelsamlingen.

Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj

I RegneRobot differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot

I TI-interactive klikkes i d/dx og d( , hvorefter man skriver: 3x^2,x) og taster Enter.

Se eventuelt link: TI-Interactive og det sidste af videoen cas

På TI-89 og Voyage 200 kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) = 3x² , ved at taste F3 og vælge d(

Derefter skrives 3x^2,x) , så der kommer til at stå: d(3x^2,x)
(x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x).

Enter

)

Enter

Der er mere om cas-væktøj i lektion19, 23 og 25

Tangent

En linje, der går gennem et grafpunkt og har samme hældning som grafen i punktet, kaldes tangent til grafen.

Ligningen for tangenten gennem grafpunkt (x_o,y_o) er:(y – y_o) = f ’ (x_o) (x – x_o)

Hvis x ≠ x_o, kan ligningen også skrives:

Til højre er tegnet funktionen f(x) = -2x² + 8x – 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at hældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: *f ’(x) =* -4x + 8 *f ’(3) =* -4·3 + 8 = -12 + 8 = -4 Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3 , 5) Tangentens ligning bliver: (y – 5) = –4(x – 3)
Linjeelement Lad ( x_o , y_o ) være et punkt på grafen. De tre tal [*x_o , y_o , f '(x_o)* ] kaldes et linjeelement for grafen. Til højre illustreres linjeelementet: [-1, 3, 2] og tangenten: y - 3 = 2(x - (-1)) ó y - 3 = 2(x + 1)

Beregning af differentialkvotienter

Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den såkaldte tretrinsregel.

1. Opskriv eller Husk h = Dx = (x-x_o) og x= x₀+h

2. Omskriv Df så der kan forkortes med Dx eller h

3. Bestem grænseværdien.

Eksempel 1

f(x) = ax +b

Da = gælder også à for x à x_o

Altså: f’(x_o) = a. Da det gælder for ethvert x_o kan vi skrive f’(x) = a eller (ax+b)’ = a

Eksempel 2

f(x) = x²

Vi bemærker at x = x_o + h , og vi får:

for x

x_o

Altså: f’(x_o) = 2x_o eller f’(x) = 2x eller (x²)’ = 2x

Vi vil bevises plus-reglen:

f '(x) + g '(x) for x ® x

Hvilket beviser (f+g)'(x) = f '(x) + g'(x)

Differentiation af udtryk

skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + 2x)’ = 2x + 2.

Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log´x , som betyder (Log x)’ .

Formlen

(xⁿ)' = n·x^n-1^,n≠0

Vil vi ikke bevise, men uddybe.

(x⁰)’ = (1)’ = (0x + 1)’ = 0. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=0 og b=1. Altså (x⁰)’ = 0

(x¹)’ = (x)’ = (1x + 0)’ = 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=1 og b=0. Altså (x¹)’ = 1 = x⁰

(x²)’ = (x·x)’ = 1·x + x·1 = 2x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.)

(x³)’ = (x²·x)’ = 2x·x + x² ·1 = 3x²

(x⁴)’ = 4x³

)’

(Se eventuelt lektion 3)

= (Se eventuelt lektion 3)

3) Løs interaktive øve-opgaver Differentialregning

4) Løs E-opgaver

E-opgaver_21_Differentialregning.htm

E-opgaver_21a_Differentialregning.htm

5) Regn fra 2006-opgavehæftet :

1.018, 1.021, 2.002, 2.012, 2.016

Link til RegneRobot og opgavehæfte

6) Skriv og aflever en rapport

1. Skriv om sammenhæng mellem graf for en funktion og differentialkvotient.

2. Skriv plus-reglen.

3. Skriv et eksempel, du selv har digtet, på anvendelse af plus-reglen

Lektion 22, Anvendelse af differentialregning

Gør følgende 4 punkter

1) Se video. Link: dif 2, anvendelse af differentialregning

2) Læs

Maksimum og minimum

Hvis en funktion er kontinuert på et lukket interval, har den både et maksimum og et minimum.

Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger:

Bemærk:

Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes henholdsvis maksimumpunkt og minimumspunkt.

Monotoni

Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder:

f er voksende i intervallet

f er aftagende i intervallet

f er konstant i intervallet

hvis f ’(x) er positiv eller punktvis nul.

hvis f ’(x) er negativ eller punktvis nul.

hvis f ‘(x) = 0 overalt i intervallet.

I intervallet I₁ er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)
f er voksende i intervallet I₁

I intervallet I₂ er f ’(x) ≤ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)
f er aftagende i intervallet I₂.

I intervallet I₃ er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (1 sted)
f er voksende i intervallet I₃

Bemærk: I₁og I₂ har 1 punkt fælles. Det gælder også I₂og I₃.

Lokalt maksimum
er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen.

Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.

Lokal minimum
er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen.

Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.

Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema.

Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul andre steder.

Monotoni-interval for en funktion er et interval hvor funktionen er monoton, dvs voksende, aftagende eller eventuelt konstant.

[image]

Om den afbillede funktion gælder:

Voksende i ] - ∞; -3 ] og [ 1; ∞ [

Aftagende i [ -3; 1 ]

Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34

Lokalt minimum i 1 med y-værdi 2

Bemærk:

Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et aftagende interval.

Bemærk også:

Grafen er sammenhængende.

Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen har y-værdien nul. En funktion med en sammenhængende graf, kaldes kontinuert.

At redegøre for monotoniforhold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre hvor voksende, hvor aftagende og hvor konstant.

Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforhold og ekstrema.

Eks.

f(x) = x³ + 3x² - 9x + 7

f’(x) = 3x² + 6x - 9

For at finde ud af fortegnet for f ’ vil vi finde nulpunkter for f ’:

Dvs vi skal løse ligningen: 3x² + 6x – 9 = 0

d = 36 – 4·3·(-9) = 144

Rødder:

dvs. -3 og 1

Grafen for f ’ er ”glad” og derfor negativ mellem rødderne.

Fortegnsvariation

f er voksende i ] -∞ ; -3 ] og [ 1 ; ∞ [

f er aftagende i [-3 ; 1 ]

Der hvor f skifter fra voksende til aftagende har f lokalt maksimum,
altså ved x-værdien -3.

Selve maksimumsværdien er f(-3) = 34

Tilsvarende bliver minimum = 2 der antages for x =1

Ofte har man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion.

Optimering

Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering.

Eks.

Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste.

Se begyndelsen af foregående lektion.
x er reklameinvesteringen i mio kr.

Den samlede fortjeneste ved salg af varen afhænger af reklameinvesteringen.
f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen.

For den pågældende vare gælder:
f(x) = -2x² + 8x - 1 , Dm(f) = [0 ; 5]. Dvs der kan højst investeres 5 mio i reklamer

Det handler om af få maksimum fortjeneste.

f ’(x) = -4x + 8
f ’(x) = 0 ó -4x + 8 = 0 ó x = 2

f ’(0) = 8 (positivt)

f ’(3) = -4 (negativt)

På grundlag heraf fås

Fortegnsvariation:

Resultat:

Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på 2 mio.

Maksimumfortjenesten er f(2) mio = 7 mio kr.

Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f(0) og f(5)

f(0) = -1 mio

f(5) = -11 mio

Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, hvilket er et tab på 11 mio.

Bemærk, vi har stiltiende udnyttet at f´ er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f´(0) er positiv, så er f´(x) positv overalt til venstre for 2.

Tilsvarende kunnevi konkludere, at når f´(3) er negativ,så er f´(x) negativ overalt til højre for 2.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_22_Anvendelse_af_diff.regning.htm

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:

1.017, 1.023, 2016, 2.022, 2.024, 2.025, 2.026, 2,027,
Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 23, Stamfunktion og integral

Gør følgende 5 punkter

1) Se video. Link: Stamfunktion_og_integral

2) Læs

Stamfunktion

En funktion F kaldes stamfunktion til en funktion f hvis F’ = f.

Fx: F(x) = x² og f(x) = 2x .

Der findes uendelig mange stamfunktioner til 2x , bl.a. også (x²+7) idet (x²+7)’ = 2x

Der gælder, at alle stamfunktioner til 2x er (x²+k) hvor k er et tal, der med et fint ord kaldes en arbitrær konstant. Arbitrær betyder tilfældig eller vilkårlig.

Enhver af disse stamfunktioner kan betegnes med den særlige skrivemåde: ∫2x dx , som udtales integralet af 2x med hensyn til x.

Nogen gange siger man det ubestemte integral.

Det er ubestemt hvilken stamfunktion, der menes, når man skriver ∫2x dx

Der gælder således ∫2x dx = x² + k , hvor k er en arbitrær konstant

At integrere en funktion vil sige at finde stamfunktionerne.

Eksempler:

F(x) = x² er en stamfunktion til f(x) = 2x , fordi (x²)’ = 2x

G(x) = x² +5 er en stamfunktion til g(x) = 2x , fordi (x² + 5)’ = 2x

Bemærk G(x) = F(x) + 5

Generelt kan man sige:

Hvis der til en funktion f findes en stamfunktion F, så gælder:

1. G(x)=F(X)+k er også stamfunktion for f, idet k er et tilfældigt tal, kaldet en arbitrær konstant.

2. Enhver stamfunktion til f kan skrives på formen G(x) =F(X)+k hvor k er et konstant tal.

Dvs., alle stamfunktioner til f udgøres af dem, der kan skrives på formen G(x)=F(X) + k

Bevis:

1. G’(x) = (F(x)+k )’ = f(x) + 0 = f(x). hvorfor G er stamfunktion til f.

2. Vi betragter stamfunktion til f : G.

(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.

Grafen for (G(x) – F(x)) er derfor vandret overalt og (G(x) – F(x)) = et konstant tal k.

Altså G(x)=F(X)+k.

Integral (Ubestemt integral)

En stamfunktion til f kaldes også det ubestemte integral til f og betegnes ∫ f(x) dx

Ofte siges blot integralet til f

Eksempler på integraler ses til højre, hvor k er en arbitrær konstant og Ln er en særlig funktion, vi skal lære om senere.

Løs interaktive øve-opgaver

Se regler for integration

*f(x)*	*∫ f(x) dx*
4x	2 x² + k
4x + 3	2 x² + 3 x + k
3	3 x + k
x²	⅓ x³ + k
3x²	x³ + k
6x²	2 x³ + k
x³	¼ x⁴ + k
5x³	⁵/₄x⁴ + k
xⁿ (n ikke lig -1)	¹*/_n+1 xⁿ⁺¹ + k*
x^-1 (x>0)	Ln(x)
x^-1 (x<0)	Ln(-x)

Det bestemte integral

Lad F være en stamfunktion til f. Det bestemte integral af f fra a til b defineres som *F(b) – F(a)* og betegnes
*F(b) – F(a)* kan kortfattet skrives således:

Altså:
Det bestemte integral af f fra a til b =

F(b) – F(a).

har samme værdi uanset hvilken stamfunktion til f , man betragter.

Bevis

Hvis man betragter 2 forskellige stamfunktioner til f , F₁og F_2
,vil de kun adskille sig fra hinanden ved en arbitrær konstant. Dvs F₂(x) -F₁(x) vil altid give den samme værdi uanset x.

Den værdi kan vi kalde k.

Det kan udtrykkes således: F₂(x) -F₁(x) = k ó F₂(x) =F₁(x) + k

Herefter ses det let at F₂(b) – F₂(a) har samme værdi som F₁(b) – F₁(a),

idet F₂(b) – F₂(a) = (F₁(b) + k) – (F₁(a) + k) = F₁(b) – F₁(a).

Bemærk
Det bestemte integral er et bestemt tal, nemlig = 6²-3² = 36 - 9 = 27

Det bestemte integral er en bestemt funktion med regneforskrift: = x²-3² = x²-9

Vi skal i øvrigt snart se, at er arealet af det område i koordinatsystemet, der ligger mellem intervallet [3; 6] på x-aksen og grafen for 2x. Bemærk 2x>0 når x er i intervallet [3; 6].

Areal og integral

Ved integralregning kan man finde areal af mange forskellige figurer. Vi vil nu betragte en funktion, som er positiv eller eventuelt nul og kontinuert i et lukket interval [a; b].
x er et tal i intervallet.

I ovenstående tegning betragtes det skraverede areal, der afgrænses af grafen, x-aksen og de lodrette linjer gennem a og x.

Dette areal afhænger af, hvor i intervallet x placeres.

Arealet er således en funktion af x, og kaldes arealfunktionen, og den vil vi betegne således: A

A(x) er således lig det skraverede areal.

Der gælder:

A er en stamfunktion til f, og A er den stamfunktion, hvor A(a) = 0.

Det vil vi ikke bevise, men anskueliggøre.

At A(a) = 0 virker temmelig indlysende.

At A er en stamfunktion til f er også temmelig indlysende.

Det ses således:

Lad os betragte

I nedenstående tegning vises situationen ved en lille positiv h-værdi. Det virker troværdigt, at tælleren er lig, eller næsten lig, arealet af det mørkt markerede rektangel.

Da rektanglet har grundlinjen h er brøken så godt som lig højden af rektanglet, altså f(x).

Dermed har vi anskueliggjort, at

à f(x) for hà 0 (brøken nærmer sig f(x). når h nærmer sig nul)

Altså, at A’(x) = f(x), som betyder, at A en stamfunktion til f.

Bemærk = A(b) - A(a) = A(b) – 0 = A(b) .

Dvs. hvis en graf for en funktion f ligger over x-aksen på stykket fra a til b, kan man beregne arealet af det område, der ligge mellem x-aksen og grafen fra a til b således:

Arealet af området af fra a til b mellem 2 grafer for funktionerne f og g, hvor f(x)>g(x) kan beregnes således:

Eksempel:

f(x) = 2x , F(x) = x²

g(x)= x² , G(x) =

Arealet mellem de to grafer er

Regneregler for bestemte integraler

c ·

Den sidste regel kaldes Indskudsreglen

Eksempler:

= = ( ³/₂· 5² - ³/₂· 2² ) – (2·5 – 2·2) = 25½

= 5 ·

= 5 · = 5 · ( ½ · 7² - ½ · 4² ) = 5 · 16½ = 82½

= 5² - 1² = 24

= + = (3² - 1²) + (5² - 3²) = 5² - 1² = 24

Integraler / stamfunktioner kan findes ved hjælp af CAS-værktøj

På TI89 findes f. eks.

ved at taste:

Enter

)

Enter

fås ved at taste:

Enter

)

Enter

På PC med TI Interactive gøres følgende:

Klik i Math Box (Første ikon i skærmens 4. linje)

Klik i ”Tools ” i det nye vindue

Vælg ”Integral”

Vælg ”Single integral w/out limits”

Skriv ”2x” i det venstre felt

Skriv ”x” i det højre felt

Tast Enter

I RegneRobot, klik i ”Guide & CAS” og vælg ”Differential- og integralregning”. Se eventuelt Vejledning til RegneRobot.

Se eventuelt det sidste af videoen: CAS

2) Løs E-opgaver

E-opgaver_23_Integralregning.htm

E-opgaver_23a_Integralregning.htm

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:

1.022, 1.024, 1.025, 1.026, 2.035, 2.036, 2.037, 2.038

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 24, Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e

Gør følgende 4 punkter

1) Se video med stof fra både C- og B-niveau. Link: Vaekstmodeller-funktionsteori

2) Læs

Fra Matematik C kender vi:

Sammenhæng mellem variable og funktion

Proportionalitet

Lineær funktion

Eksponerntiel Funktion

Logaitmefunktion (10-talslogaritmen)

Potensfunktion

Disse ting skal vi nu arbejde videre med.

Tallet e

Vi skal møde et helt specielt tal, som spiller en ganske stor rolle i matematikken.

Tallet kaldes e og er lig ca. 2,718.

Tallet kan ikke skrives som en endelig decimalbrøk. Det er et irrationalt tal, altså et ikke rationalt tal, hvilket vil sige, det ikke kan skrives som en brøk med helt tal for oven og helt tal for neden.

Den naturlige eksponentialfunktion

Tallet er især interessant når det optræder i den eksponentialfunktion, som har regneforskriften:

f(x) = e^x

Denne funktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion og er karakteristisk ved at have sig selv som differentialkvotient. Dvs f’(x) = e^x eller (e^x)’ = e^x

e kan benyttes i RegneRobot og i TI-interactve. I TI-interactive skrives dog #e

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritmefunktion betegnes Ln, og er bestemt ved:

Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal sætte på e for at få tallet.

DVS. e^Ln(x) = x .

Eksempler:

Ln(e³) = 3

Ln(e⁷) = 7

Ln(e^x) = x

Ln(e^a) = a

Ln(1) = 0 fordi e⁰ = 1
Ln(e) = 1 fordi e¹= e

Logaritmeregler

Ln(a·b) = Ln(a) + Ln(b)

Ln() = Ln(a) - Ln(b)

Ln(a^x) = x· Ln(a)

Disse regler er magen til reglerne for 10-talslogaritmen.

Nogen gange betegnes den naturlige logaritme med lille l således: ln
Fx: ln(1) = 0

Eksponentielle funktioner

Vi vil nu omskrive b·a^x, så e indgår.

Her får vi brug for en regel om eksponenter: (a^p)^q = a^p·q , fx (5³)² = 5·5·5 · 5·5·5 = 5^3·2

Vi har tidligere set at x = e^ln(x⁾, idet ln(x) er den eksponent, man skal putte på e for at få x.

Ved at skrive a i stedet for x fås: a = e^ln(a⁾

og a^x = (e^ln(a))^x = e^ln(a)·x

og b·a^x = b·e^ln(a)·x

Derfor kan en eksponentiel funktion skrives på følgende form: f(x) = b·e^ln(a)·x

Differentialkvotient af eksponentielle funktioner

Der gælder: (b·a^x)’ = ln(a) · b·a^x (Det vil vi ikke bevise)

Specielt gælder: (a^x)’ = ln(a)·a^x

Vi lægger mærke til, at differentialkvotienten af en eksponentiel funktion er proportional med funktionsværdien.

Endvidere gælder: (b·e^nx)’ = b·n·e^nx og (b·a^nx)’ = ln(a) · n·b·a^nx

Det vil vi heller ikke bevise.
Eksempler:

(2·3^x)’ = ln(3)·2·3^x og (3^x)’ = ln(3)·3^x

På en lommeregner Texas TI 89 og Voyage 200 kan (2·3^x)’ findes ved at taste:

)

Enter

I TI-interactive klikkes i d/dx og d( , hvorefter man skriver: ”2*3^x,x)” og taster Enter.

Se også link: Regler for differentiation Bemærk især: (e^nx)’ = ne^nx

Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til ¹/_{x ,}∫ dx

Der gælder: (ln(x) )’ =

, x > 0. (Det vil vi ikke bevise.)

Tilsvarende: ∫ dx = ln(x) +k , x > 0. k er en abitrær konstant, dvs et vilkårligt tal .

For x<0 : ∫ dx = ln(-x) +k , x < 0. (De 2 sidste formler vil vi heller ikke bevise.)

De 2 sidste formler kan under ét skrives ∫ dx = ln(|x|) +k , x0 (x forskellig fra nul) ,
idet |x| betyder –x hvis x<0 og ellers x. Fx: |-7|=7 og |7|=7.

(Bemærk, vi bruger også den lodrette streg i geometri. Afstanden mellem fx punkterne A og B betegnes: |AB| )

Se videoen: CAS eller Vejledning til RegneRobot.
Se også fomelsamlingen Naturlig logaritme & eksponentialfunktion

Væksthastighed

Væksthastighed betyder det samme som differentialkvotient.

Pakistans befolkning var i 2000 på 147 mio.

og er siden vokset med en væksthastighed på 1,71% pr. år.

Dvs: Væksthastigheden = 0,0171 · befolkningens størrelse.

Væksthastigheden er således proportional med befolkningens størrelse og proportionalitetsfaktoren er 0,0171.

Det kan skrives: f ’(x) = 0,0171· f(x),

hvor x er antal år efter år 2000 og f(x) er befolkningstallet, mens f ’(x) er væksthastigheden.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_24_vaekstmodeller.htm

E-opgaver_24a_vaekstmodeller.htm

5) Regn fra 2006-opgavehæftet:

1.016, 1.019, 1.020, 1.021,
2.018, 2.019, 2.020, 2.021

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 25, Mere om regression og CAS-værktøj

Gør følgende 4 punkter

1) Læs

CAS-værktøj er tidligere forklaret i lektion 19, 21 og 23.

Vi skal nu se endnu en regressionsmetode i regneark Excel.

I Excel regneark gøres følgende:

1) Tegn tendenslinjen, som det er forklaret i lektion 12.

2) Klik med højre musetast i tendenslinjen

3) Vælg ”Formater tendenslinje…”

4) Vælg fanebladet ”Indstillinger” (Dette faneblad kan eventuelt være valgt på forhånd).

5) Vælg ”Vis ligning i diagram”.

6) Klik OK

Foruden lineære modeller kan man bl.a. beregne eksponentielle modeller og Potens-modeller.

Se eventuelt regneark med skabelon til regression: regression.xls

Følg nedenstående link i punkt 2) og se en video, der viser anvendelsen af: regneark, lommeregner TII 89 og Pc-programmet TI-Ineracive.

Udover hvordan, man finder modeller, vises også hvordan CAS-værktøj kan regne med parenteser, løse ligninger , differentiere og integrere. Læs også sidste del af lektion 21.

2) Se video: CAS og se eventuelt også Vejledning til RegneRobot.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_25_Model_og_CAS.htm

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:

2.013, 2.014, 2.015, 3.015

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 26, Statistik og sandsynlighed

Gør følgende 5 punkter

1) Se lektion 16 om bl.a. sumkurve og histogram.

2) Se video: Statistik_og_sandsynlighed

3) Læs

Normalfordeling

Når man skal beskrive et statistisk talmateriale, kan man nogle gange sige, at observationerne er normalfordelt, og allerede ved det er der sagt noget om, hvordan observationerne fordeler sig.

Der findes en lidt indviklet definition på normalfordeling.

Her vil vi nøjes med at nævne nogle egenskaber ved normalfordelinger:

Histogrammet ved en normalfordelinger er symmetrisk omkring middeltallet, der således også er median.

Histogrammet ligner en klokke

Her ses et par klokkeformede histogrammer for normalfordelinger med middelværdien 7 og ekstremt mange bitte små intervaller.

[image] [image]

Man har lavet noget teknisk papir, som kaldes normalfordelingspapir. Det er indrettet således, at netop normalfordelinger vil få lineære sumkurver i dette papir. Sådant papir kan benyttes til at afgøre om en fordeling er en normalfordeling. På næste side ses sumkurven for en normalfordeling indtegnet i normalfordelingspapir. Medianen kan her aflæses til 4. Da det er en normalfordeling, er også middeltallet = 4

Tilsvarende kan nedre kvartil aflæses til 3,1 og øvre kvartil til 4,9

Opgave

Højden på danske soldater er normalfordelt. 5% af soldaterne har en højde på under 170 cm og 70 % af soldaterne har en højde på under 185 cm. Udfyld skemaet til højre og indtegn sumkurven i normalfordelingspapir. Aflæs kvartilsættet: (177, 182, 187)

Du kan eventuelt printe denne side og tegne oven i.

Højde i cm	170	185
Kumuleret frekvens

Sandsynlighed

Vi betragter et eksperiment med forskellige udfald.

Fx kast med terning

Vi vil ikke nødvendigvis udføre eksperimentet,
men vi vil forestille os, at eksperimentet udføres mange gange.

Ved sandsynlighed for et bestemt udfald forstås
den brøkdel af gange, man forventer udfaldet.

Eksempel

Hvis man kaster en terning, er sandsynligheden for 6: ¹/₆ , og det er den fordi, hvis man forestiller sig kastet gentaget mange gange, så forventer vi, at frekvensen for 6 bliver ¹/₆ .

Opgave 0

Hvad er sandsynligheden for ikke at slå en sekser?

Svar: 1 - ¹/₆ = ⁵/₆ , da det at slå ”en sekser” eller ”ikke en sekser” er udtømmende.

Opgave 1

Hvad er sandsynligheden for at slå en sekser to gange i træk?

Svar: ¹/₆ ∙ ¹/₆ = ¹/₃₆

Opgave 2

Hvad er sandsynligheden for at slå 3 seksere i træk?

Svar: (¹/₆)³ = ¹/₂₁₆

Opgave 3

Jeg kaster først en mønt og så en terning. Hvad er sandsynligheden for, at det lykkes mig både at få krone og en sekser.

Svar: ¹/₂ ∙ ¹/₆ = ¹/₁₂

Vi bemærker, at sandsynligheden for nogle bestemte udfald ved flere forskellige eksperimenter kan beregnes som produktet af de enkelte sandsynligheder.

Stikprøver

Man kan formode, at 10% af alle danskere vil sige ja til fri heroin.

En sådan formodning kaldes en hypotese.

For at vurdere hypotesen vil vi foretage en stikprøve. Vi vil spørge 20 tilfældige danskere, og er indstillet på at forkaste hypotesen, hvis ingen af de 20 svarer ja.

Vi ved godt, at selv om hypotesen skulle være sand, kan vi ikke udelukke, at der i vores stikprøve slet ikke er nogen, der går ind for fri heroin, men vi antager, at sandsynligheden for det er meget lille.

Lad os beregne den sandsynlighed. Altså sandsynligheden for, at alle 20 svarer noget andet end ja, sunder forudsætning af at hypotesen er sand.

For hver af de 20 tilfældige danskere er sandsynligheden at få et ja: 10% = 0,10 og sandsynligheden for ikke at få ja: 90 % = 0,90.

Sandsynligheden for at alle 20 ikke svarer ja er 0,90²⁰ = 0,121… = 12%

Det er således 12 % sandsynligt, at vi kommer til at forkaste en sand hypotese.

12 % er i den forbindelse temmelig meget og spørgsmålet er, om det var en rimelig beslutning at forkaste hypotesen på baggrund af en sådan stikprøve.

Vi vil nu spørge 100 tilfældige danskere, og hvis ingen af dem siger ja, må vi vel kunne forkaste hypotesen.

Under forudsætning af at hypotesen er sand, kan vi beregne sandsynligheden for, at vi alligevel forkaster hypotesen og får 0,90¹⁰⁰ = 0,000026… = 0,003%.

Denne sandsynlighed er ekstrem lille, så hvis resultatet af stikprøven bliver, at nul svarer ja, så tør vi godt forkaste hypotesen. Det vil være næsten usandsynligt, at nul svarer ja ud af 100, hvis 10% af befolkningen skulle gå ind for fri heroin.

Måske ville det også være rimeligt at forkaste hypotesen, hvis resultatet blev et enkelt ja.

Det at foretage en stikprøveundersøgelse af 100 personer er et eksempel på en såkaldt eksperimentserie bestående af 100 såkaldte basiseksperimenter.

Hvert basiseksperiment består i at undersøge om pågældende person vil svare ja.

Hvis hypotesen er rigtig, er sandsynligheden for ja 10% , og det kalder vi basissandsynligheden, forkortet lille p. Sandsynligheden for nej er 100% - p = 90%.

Udfaldet af stikprøven kaldes ofte χ

(χ er et græsk bogstav, der udtales noget i retning af ksi, men vi kan bare sige store X)

Vi har beregnet sandsynligheden for (χ =0). Denne sandsynlighed betegnes P(χ =0).

Sandsynligheden for et enkelt ja betegnes P(χ =1).

Sandsynligheden for netop 2 svar med JA betegnes P(χ =2) osv.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_26_Statistik_og_sandsynlighed.htm

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:

3.001, 3.002, 3.004

Link til RegneRobot og opgavehæfte

Lektion 27 Trigonometri

Gør følgende 5 punkter

1) Repeter Lektion 9 og 17, Geometri .

Se evt. links: Def. af Sin, Cos og Tan Sinus, Cosinus og Tangens i regneark

I TI-interactive angives vinkler som standard i radianer; men det kan ændres.

Klik med musen i det lille ikon med rødt v og vælg grader, ”degree”.

2) Se video: Trigonometri

3) Læs

Nogle funktioner kaldes trigonometriske. Vi skal arbejde med Sinus, Cosinus og Tangens.

Bemærk: Vores definition af sinus og cosinus forudsætter ikke at vinklen skal være spids. Vinklen kan være større end 360° og vinklen kan være negativ.

I definitionen af Sinus og Cosinus indgår en trekant med grundlinjen på x-aksen. Det er en såkaldt standardtrekant. Dvs. hypotenusen er 1.

Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten er Cos v og den modstående er Sin v.

Idiotformlen

Ofte benyttes den forkortede skrivemåde Cos² v i stedet for (Cos(v))² og ligeledes Sin²v i stedet for (Sin(v))² .

Ved hjælp af Pythagoras ses Cos² v + Sin²v = 1² = 1.
eller

Cos² v + Sin²v = 1

Denne formel kaldes populært idiotformlen.

Flere formler

Ved at betragte tegningen til højre ses

Cos(-v) = Cos v	Sin(-v) = -Sin(v)
Cos (180°- v) = - Cos(v)	Sin(180°- v) = Sin(v)

To vinkler, som tilsammen er 180º kaldes supplementvinkler og den sidste formel kan udtrykkes:

Sinus til supplementvinkler er lige store.

På C-niveau blev gennemgået, hvordan man kan beregne vinkler og sider i retvinklede trekanter.

Her vil vi se hvordan, man gør hvis en trekant ikke er retvinklet .

Først vil vi se på arrealet af en trekant.

Areal af trekant

Vi betragter en ΔABC , der ikke nødvendigvis er retvinklet.

Vinkel C kan være spids, ret eller stump. (Spids betyder under 90° og stump betyder over 90°)

Bemærk: I figuren helt til venstre bliver vinkel BCH = 180°- vinkel C
og derfor er Sin(vinkel BCH) = Sin(C)

Vi ved, at i enhver Δ ABC gælder: Arealet T = ½ højde · grundlinje

Altså: T = ½ h·b

Hvis man ikke kender h, men kender siderne a og b samt vinkel A, så kan man beregne h.

Ved at betragte tegningen længst til højre og den lille retvinklede trekant, der afgrænses af h, a og x, ses at h kan erstattes af a·Sin(C), idet Sin(C) = ^a/_b

Det gælder også i den midterste tegning, da C her er 90° og Sin(C) derfor er 1.

Ved at betragte tegningen længst til venstre og den lille retvinklede trekant, hvor
h er katete, ses at h også her kan erstattes af a·Sin(C), fordi Sin(vinkel BCH) = Sin(C)

Således gælder i alle 3 situationer:

T = ½ h · b = ½ · a Sin C · b = ½ ab Sin C

Tilsvarende fås

T = ½ ac Sin B og T = ½ bc Sin A

Arealet = ½ · sinus til en vinkel · den ene hosliggende side · den anden hosliggende side

Endvidere gælder Herons formel: T= hvor

Den vil vi ikke bvise.

Sinusrelationerne

Vi skal nu se på hvordan man ud fra vinklerne og en side i en trekant kan beregne de øvrige sider.

Regel:

I enhver trekant ABC gælder:

Bevis:
Vi betragter en vilkårlig ΔABC

Arealet T = ½ bc Sin A = ½ ac Sin B = ½ ab Sin C

2T = bc Sin A = ac Sin B = ab Sin C

Hermed er reglen bevist.

Forholdet mellem sinus til en vinkel og modstående side er ens for alle 3 vinkler

Sinusrelationerne kan betragtes som ligninger, hvor den ubekendte er en trekantside, der kan findes ved ligningsløsning.

Hvis man kender 2 sider og en vinkel i en trekant, kan man også bruge sinusrelationerne og beregne sinus til en af de andre vinkler i trekanten.

Men PAS PÅ! Det betyder ikke altid, at man kan finde selve vinklen, idet 2 forskellige vinkler kan have samme sinus. Fx: Sin 30° = 0,5 og Sin 120° = 0,5.

Mange gange kan man imidlertid udelukke den ene af vinklerne, hvis den giver anledning til en vinkelsum på over 180°.

Cosinusrelationen (Den udvidede Pyhagoras)

Her skal vi se, hvordan man finder en side i en trekant ud fra de andre sider og en vinkel..

Formel:

I enhver trekant ABC gælder: c² = a² + b² – 2ab·Cos C .

Bevis:
Vi betragter en vilkårlig ΔABC

Der er 3 muligheder.

1) Vinkel C = 90°

2) Vinkel C < 90°

3) Vinkel C > 90°

Højden fra B er sammenfaldende med siden BC

Da vinkel C = 90°, er Cos(C) = 0 og formlens sidste led får værdien nul.

Formlen gælder således på grund af Pythagoras sætning for retvinklede trekanter.

Højden fra B er inde i trekanten.

Ved Pythagoras fås:

c² = (b - x)² + h²

Men x og h skal væk.

Derfor erstatter vi x med a ·Cos C

og h med a ·Sin C.

c² = (b – a·Cos C)² + (a·Sin C)²

= b² + a²·Cos²C – 2ba·Cos C + a²·Sin²C

a²kan sættes uden for parentes

c² = b² + a²(Cos² C + Sin²C) – 2ab·Cos²C

Ved hjælp af idiotformlen fås:

c² = a² + b² – 2ab·Cos C

Hvilket skulle vises.

Højden fra B er uden for trekanten.

Ved Pythagoras fås:

c² = (b + x)² + h²

Men x og h skal væk.

Derfor erstatter vi x med a ·Cos(180°- C) = – a ·Cos C

og h med a ·Sin(180°– C) = a·Sin C.

c² = (b – a ·Cos C)² + (a Sin C)²

= b² + a²·Cos²C – 2ba·Cos C + a²·Sin²C

a²kan sættes uden for parentes

c² = b² + a²(Cos² C + Sin²C) – 2ab·Cos²C

Ved hjælp af idiotformlen fås:

c² = a² + b² – 2ab·Cos C

Hvilket skulle vises.

Herved er formlen bevist i alle tilfælde.

Kvadratet på en side er lig summen af de to andre siders kvadrater minus
2 · produktet af de to andre sider og cosinus til modstående vinkel.

Cosinusrelationen kan også bruges, hvis man kender siderne i en trekant og vil finde en vinkel.

Så benyttes følgende omskrivning af cosinusrelationen

Mens sinus til en trekantvinkel desværre ikke altid entydigt bestemmer vinklen, så er det mere behageligt med cosinus. Når man kender cosinus til en trekantvinkel, så er vinklen entydigt bestemt.

3) Løs E-opgaver

E-opgaver_09d_geometri.htm

E-opgaver_27_Trigonometri.htm

4) Regn fra 2006-opgavehæftet:
Bemærk: m_c i opgave 3.003 er linjestykket fra C til midten af c

1.027, 2.040, 2.041, 2.042,

3.003, 3.012, 3.013, 3.014

Link til RegneRobot og opgavehæfte

5) Rapport

Skriv og aflever en rapport, hvor du betragter en trekant ABC og ved hjælp af den gammel-kendte formel ” T = ½ h_B · b ” beviser eller anskueliggører ” T = ½ ab Sin C ” .

Lektion 27a: Mere om polynomier

Gør følgende 6 punkter

1) Se video, link: Andengradspolynomier

I lektion 20 arbejdede vi med polynomier. Her i denne lektion vil vi se nærmere på grafen for andengradspolynomier, vi vil se b’s geometriske betydning, og vi vil bevise toppunktsformlen og løsningsformlen for en andengradsligning.

b’s geometriske betydning

Vi differentierer p(x)=ax²+bx+c, og får p’(x) =2ax+b

Ved at sætte x=0, ser vi at b er parablens hældning ved 2.aksen.

b’s fortegn kan således direkte aflæses af parablen

Parablens udseende

Grafen for x² ser således ud:

(0,0) er toppunkt

[image]

Grafen for (x-3)² ser således ud:

(3,0) er toppunkt

[image]

Grafen for (x-3)²+2 ser således ud:

(3,2) er toppunkt

[image]

Generelt gælder at ethvert andengradspolynomie kan skrives a(x-x₀)²+y₀

hvor (x₀, y₀) er toppunktet.

Det vil vi ikke bevise, men nøjes med ovenstående anskueliggørelse.

Bevis for toppunktsformlen:

( x_o , y_o ) = ( , )

Vi vil nu betragte et vilkårligt andengradspolynomium ax² + bx + c.

Toppumnktet kan karakteriseres ved at differentialkvotienten er nul.

Vi kan således finde x-værdien for toppunktet ved at løse lignignen:

(ax² + bx + c)’ = 0

2ax+b = 0

x =

y-værdien for toppunktet findes ved i polynomiet at erstatte x med og vi får:

y = a·()² + b · + c

I lektion 20 indførte vi betegnelsen d for: b² - 4ac

- b² + 4ac bliver derfor lig -d og vi får

Koordinatsættet for toppunktet bliver således:

( x_o , y_o ) = ( , )

hvilket skulle bevises.

Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen

Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:

ax² + bx + c = 0 hvor am0

Men det er meget lettere at løse ligningen, når vi omskriver den ved hjælp af toppunktets koordinater til formen:

a(x - x_o )² + y_o = 0

a(x - x_o )² = - y_o

(x - x_o )² =

Venstresiden kan ikke være negativ.

Hvis højresiden er negativ, er der således ingen løsninger.

Vi vil derfor vurdere højresiden og indsætter i stedet for y_o . (Se toppunktsformlen)

Højresiden bliver =

er ikke negativ, så højresiden er kun negativ hvis d er negativ.

Der er således ingen løsninger, hvis d er negativ.

Hvis d ≥ 0 fås (x - x_o )² =

(x - x_o ) =

x - x_o =

x = x_o +

Vi indsætter i stedet for x_o og får x =

x =

Vi har hermed bevist løsningsformlen. Hvis d=0 bliver der kun én løsning.

3) Løs interaktive øve-opgaver:	2.gradsligninger.htm
4) Skriv og aflever en lille rapport. Læs igen om parablens toppunkt i denne lektion. Differentier polynomiet *ax² + bx* og find toppunktets x-værdi ved at sætte differentioakvotienten lig nul og løse ligningen. Find toppunktets y-værdi ved at indsætte i: *y = ax² + bx + c*
5) Regn resten af opgaverne fra 2006-opgavehæftet og gamle eksamensopgaver. Link til RegneRobot og opgaverne

Lektion 28, Eksamen

De vigtigste ting til skriftlig eksamen kan du læse ved at klikke her

Pensum til eksamen er skrevet i en undervisningsbeskrivelse. Både undervisningsbeskrivelsen og eksamensspørgsmål offentliggøres i god tid før eksamen på kursets/skolens hjemmeside.

Eksempel på undervisningsbeskrivelse svarende til denne undervisningspakke:

Link: Undervisningsbeskrivelse

Der afholdes både en skriftlig og en mundtlig eksamen

Skriftlig eksamen

Mødetid er typisk kl 8:30 og selve prøven starter kl 9:00.

Der bliver normalt udleveret papir før, selve eksamen starter, og man kan under eksamen ved håndsoprækning bede om mere papir.

Man kan bruge tiden, før selve eksamen starter til at udfylde nogen stykker papir med navn, kursistnummer osv. .

Hvert stykke papir skal være udfyldt med

Navn,

Kursistnummer,

Holdnummer,

Sidenummer (nogen gange kaldet ark-nummer) og antal sider/ark i alt (fx 3 af 5),

Prøve/Eksamen (Her skrives: HF),

Fag/niveau (her skrives: Mat. B).

Bemærk: antal sider/ark i alt er lig antal stykker papir, som afleveres .

Der er ét sidenummer/arknummer til hvert stykke papir.

Sidenummerering er vigtig og fortæller censor i hvilken rækkefølge opgavebesvarelserne skal læses og sikrer, at censor ser alle sider.

Hvis der også afleveres bilag på hvert sit selvstændige stykke papir, så har hvert bilag sit eget sidenummer. Det kan være hensigtsmæssigt at give bilagene de højeste sidenumre og tillige navngive hvert bilag med et bogstav, fx bilag A, bilag B osv.

Husk at henvise til bilag fra de respektive opgavebesvarelser, fx: ”Se bilag A”.

Klokken 9 udleveres to prøver. Den ene skal løses uden hjælpemidler og afleveres kl 10:00. Der må ikke bruges pc før kl 10, men gerne almindelige skriveredskaber, kuglepen, blyant, lineal osv.

Til den anden prøve må alle hjælpemidler anvendes, også pc, dog ikke kommunikation med omverden. Således må Internettet ikke benyttes. Derimod er det tilladt at medtage et USB-stik eller en cd med kopi af hjemmesider. Således må RegneRobot ikke benyttes via Internettet; men det er tilladt at downloade en kopi af RegneRobot til et USB-stik og benytte det.

Man behøver ikke at lave kladde. Evt. kladde og de trykte opgaver afleveres ikke og kan tages med hjem efter kl 13.

Nogen gange er de trykte opgaver suppleret med et trykt bilag. Det er meningen, at man skal skrive eller tegne på bilaget (fx aflæsninger og streger/markeringer). Bilag afleveres sammen med den øvrige besvarelse.

Som ovenfor nævnt skal også bilag have sidenummer mm.

Den skriftlige eksamen slutter normalt kl 13. Kursister med problemer af forskellig art kan i god tid før eksamen søge om forlænget tid.

Ca. en måned efter skriftlig eksamen, vil kursisten kunne få sin skriftlige karakter.

Forberedelse af skriftlig eksamen

Man forbereder sig ved at regne opgaver og ved at regne nogle hele prøvesæt på 4 timer uden forstyrrelser.

Pc

Det anbefales at anvende pc. Normalt skal det i god tid før eksamen aftales med kurset/skolen, hvis man skal låne en pc.
Ofte vil man foretrække at løse nogle opgaver, eller dele af opgaver, på pc og resten manuelt. Fx kan det være praktisk at lave en graf ved hjælp af en pc og derefter med kuglepen tegne markeringer.

Opgavebesvarelser, der er lavet på pc, skal printes på papir og kun papiret skal afleveres.

Det anbefales at printe siderne efterhånden. Det vil også være ærgerligt, hvis man regner med at printe til sidst og ikke når det. Desuden bliver besvarelserne på print ofte anderledes end forventet, og der er brug for tid til at foretage ændringer.

Hvis pc’en bryder sammen kan man benytte de sider, som allerede er printet, og resten skrives med håndkraft.

Mundtlig eksamen

Kursisten kommer ind i eksamenslokalet og får ved lodtrækning udleveret et stykke papir med et eksamensspørgsmål.

Lodtrækningen vil typisk foregå ved at kursisten vælger en seddel. På bagsiden af sedlen står et nummer, der henviser til eksamensspørgsmålet.

Kursisten skal sikre sig at spørgsmålet er forstået og kan spørge.

Kursisten får derefter lejlighed til at forberede sig i sit eget lokale i ca 20 minutter. I særlige tilfælde kan kursisten i god tid før eksamen søge om forlænget tid. Alle hjælpemidler er tilladte, herunder egne og andres notater, dog er kommunikation med omverden ikke tilladt.

Disse hjælpemidler må også benyttes under selve fremlæggelsen af eksamensspørgsmålet, dog bør man ikke kigge for meget i notaterne. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater eller lignende vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen, altså give en dårligere karakter.

Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund mens man kigger.

Mundtlig eksamen er todelt.

Første del er kursistens fremlæggelse (se nedenstående dispositioner og videoer)

Anden del er samtale

Første del vil typisk vare over halvdelen af tiden 12 à 20 min. Det er vigtigt, at kursisten i sin fremlæggelse kommer ind på alle underpunkter i eksamensspørgsmålet. Derfor bør man starte med disse underpunkter. Derefter fortsætter kursisten med andre ting, der hører under hovedoverskriften. Hvis der er noget kursisten ikke kan, fx et bevis, bør kursisten i sin fremlæggelse ikke bruge tid på det. Karakteren bliver noget lavere, når kursisten springer noget over, men karakteren bliver endnu lavere, hvis kursisten direkte demonstrerer sin manglende kunnen.

Anden del vil typisk vare 5 à 10 min og tage udgangspunkt i kursistens fremlæggelse. Samtalen kan ikke bevæge sig uden for hovedoverskriften.

Ca 5 minutter efter den mundtlige eksamen, vil kursisten få sin mundtlige karakter.

Eksempel på eksamens-spørgsmål

1 Andngradspolynomiet

Definition af andengradspolynomiet.

Gør rede for andengradspolynomiets graf.

Bevis toppunktdformlen.

2. Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient , gerne med udgangspunkt i din rapport.

Udled differentialkvotienten for f(x) = x².

3. Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient.

Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.

Inddrag gerne din rapport.

4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion

Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.

Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.

Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.

5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.

Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en
differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .

6. Vækstmodeller og funktionsteori

Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion.

Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion.

7. Stamfunktion og integral

Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

8. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.

Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.

Inddrag gerne din rapport.

9. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.

Bevis cosinusrelationen.

10. Statistik og sandsynlighed

Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).

Gør rede for sandsynlighedsbegrebet.

Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.

Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.

Forberedelse af mundtlig eksamen

Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde et foredrag og en disposition.

Nogen af spørgsmålene ligner hinanden og foredragene vil være næsten ens.

Man kan således nøjes med at forberede ét foredrag til spørgsmål 2 og 3, og ét foredrag til spørgsmål 4, 5 og 6, osv.

Der skal således forberedes 7 foredrag.

Foredraget til differentialregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er som tidligere nævnt vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man har trukket. Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.

Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har rigeligt at fortælle om.

Sørg for at kunne alle 7 foredrag lige godt.

Man bør på forhånd have afprøvet alle 7 foredrag som en slags generalprøve. Det er en god idé at være nogen stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde foredrag for hinanden.

Eksempler på dispositioner til eksamensspørgsmål

Du kan muligvis udbygge disse dispositioner eller helt lave dine egne.

1 Andengradspolynomiet

Definition af andengradspolynomiet.

Gør rede for andengradspolynomiets graf.

Bevis toppunktdformlen.

Disposition:

Definition af polynomier.

Parablen y=x² og forskydning af parablen mv. (Se video)

Toppunkt,

Rødder

Koefficienten til x², lille a, og a’s betydning for parablens udseende (glad eller trist).

Andengradsligningen

Udvikling af løsningsformlen og betydningen af fortegnet for d.

Anvendelse af formlen på et konkret eksempel fx 3x²+9x-12=0

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer , Adgangskode: rewq

2. Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.

Udled differentialkvotienten for f(x) = x².

Disposition

Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)

Tangent til en graf

Udled differentialkvotienten for f(x) = x².

Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b

Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt

Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)

Bevis plusreglen.

Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af differentialkvotient (lektion 22) eller du kan tale om differentiation af e^x og a^x.

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

3. Differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient.

Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.

Inddrag gerne din rapport.

Disposition

Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)

Tangent til en graf

Bevis plusreglen.

Du kan evt. bevise minusreglen

Udled differentialkvotienten for f(x) = x².

Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b

Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt

Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)

Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af differentialregning (Lektion22) eller du kan tale om differentiation af e^x og a^x.

Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion

Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.

Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.

Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.

Disposition

Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)

Tangent til en graf

Tallet e

Den naturlige eksponentialfunktion

Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion

Grafen for t= e^x. Definitionsmængde og værdimængde

Den naturlige logaritme:
ln(x) defineret som det tal t, hvor e^t = x. Dvs. ln(x)=t ó e^t=x. Altså: e^ln(x) = x eller x =e^ln(x).

Bemærk at

x>0 fordi e^t>0

a^x = e^{ln(a) · x}, (Det kan fx ses ved, at tage den naturlige logaritme på begge sider)

(Det fremgår også af, at x =e^ln(x) og dermed, at a = e^ln(a) .

Derved fås a^x = (e^ln(a))^x= e^{ln(a) · x} . Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)

(a^x)’ = ln(a) · a^x

(ba^x)’ =b · ln(a) · a^x

(5 · 3^x)’ = 5 · ln(3) · 3^x

Differentialkvotient af ln(x) er x > 0

Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj, eller du kan fortælle om differentialregning med regneregler osv.
Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning

Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.

Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en
differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .

Disposition

Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)

Tangent til en graf

Maksimum og minimum (lektion 22)

Monotoni og fortegn for f ’

Lokalt maksimum, lokalt minimum

Monotoni-interval

Fortegnsvariation, demonstreret på et eksempel: f(x) = x³ + 3x² – 9x + 7 (lektion 22)

Eksempel, hvor fortjeneste afhænger af reklameinvestering: -2x³+8x-1, Dm=[0;5] (lektion 22). Du kan evt. også vælge at tale om væksthastighed side 31, lektion 24.

Du kan evt. også betragte et tog, der fjerner sig fra en station.

f(x) betegner er afstanden i meter efter x sekunder,

f ’(x) er hastigheden (meter/sekund)

Vi har ikke beskæftiget os med at differentiere differentialkvotienten;
men den betegnes f ’’ og kaldes den dobbelt afledede.

f ’’(x) kaldes accelerationen, nemlig hastighedsændring pr sekund (meter/sekund²)

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

6. Vækstmodeller og funktionsteori

Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion

Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion

Disposition

Variable (lektion 10, video)

Funktion

Grafen for en funktion

Definitionsmængde og værdimængde

Lineær funktion og definition (lektion 11, video)

Eksponentiel funktion og definition (lektion 14, video)

Potensfunktion og definition (lektion 15, video)

Sig at disse funktioner bruges som modeller af virkeligheden til at beskrive virkeligheden.

Differentialregning og vækstmodeller. (Lektion 24)

Tallet e

Den naturlige eksponentialfunktion

Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion

Grafen for t= e^x. Definitionsmængde og værdimængde

Den naturlige logaritme:
ln(x) defineret som det tal t, hvor e^t = x. Dvs. e^ln(x)=x eller e^ln(a)=a

a^x = e^{ln(a) · x}, (Det fremgår af, at a = e^ln(a) .

Derved fås a^x = (e^ln(a))^x= e^{ln(a) · x} . Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)

(a^x)’ = ln(a) · a^x

(ba^x)’ =b · ln(a) · a^x

(5 · 3^x)’ = 5 · ln(3) · 3^x

Differentialkvotient af ln(x) er x > 0

Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj eller du kan fortælle om differentialregning med regneregler osv.

Du kan også vælge tale om væksthastighed (lektion 24).

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

7. Stamfunktion og integral

Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.

Definition af stamfunktion (lektion 23)

Eksempel: Stamfunktion til 2x: x² + k , hvor k er en arbitrær konstant, dvs vilkårlig konstant.

Areal og integral (lektion 23)

Tegn en tegning som den første af tegningerne i lektion 23.

Indfør A(x) som det markerede areal

Bemærk A(a) = 0

Udbyg din tegning til at være som den sidste af tegningerne i lektion 23

Gør rede for at differentialkvotienten af A(x) er lig f(x)

Konkluder: A(x) er den stamfunktion til f, hvor funktionsværdien af a er 0

Areal af et område mellem to grafer

Det bestemte integral

Regneregler for bestemte integraler og eksempler

Eventuelt demonstration af anvendelse af CAS-værktøj.

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

8. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.

Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.

Inddrag gerne din rapport.

Disposition

Definition af Sinus og Cosinus (lektion 27, video)

Areal & Sinusrelationerne: (lektion 27, video)

Tegn 3 trekanter, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump. (lektion 27, video)

h_A= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.

Areal af trekant T = ½·ab·sin C (lektion 27, video)

Eksempel:

a=2, b=4, Ð B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25. Ð A=14,5° eller (ÐA=165,5° Forkastet)

(Den sidste løsning blev forkastet fordi ÐA+ÐB skal være mindre end 180°)

Cosinusrelationerne: (lektion27, video)

Tegn de 2 situationer

Brug Pythagoras

Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C og h = a· Sin C

Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) = a · Cos C

a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1

Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A

Eksempel: Samme D, c²=2²+4² – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66.. c=5,9

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

9. Trigonometri

Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.

Bevis cosinusrelationen.

Disposition

Definition af Sinus og Cosinus (side 36, lektion 27, video)

Cosinusrelationerne: (Side 42, lektion27, video)

Tegn de 2 situationer

Brug Pythagoras

Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C og h = a· Sin C

Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) = a · Cos C

a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1

Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A

Eksempel: Samme D, c²=2²+4² – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66.. c=5,9

Areal & Sinusrelationerne: (Side40, lektion 27, video)

Tegn 3 trekanter som på side 40, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump.

h_A= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.

Areal af trekant T = ½·ab·sin C (side 40, lektion 27, video)

Eksempel:

a=2, b=4, Ð B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25. Ð A=14,5° eller (ÐA=165,5° Forkastet)

(Den sidste løsning blev forkastet fordi ÐA+ÐB skal være mindre end 180°)

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

10. Statistik og sandsynlighed

Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).

Gør rede for sandsynlighedsbegrebet. (lektion 26)

Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.

Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.

Disposition

Betragt følgende observationssæt over højden på danske soldater ved en bestemt kasserne

Højde i cm	160 à 170	170 à 180	180 à 190	190 à 200
Frekvens	5 %	38 %	52 %	5 %
Kumuleret frekvens	5 %	43 %	95 %	100 %

Vis hvordan du tegner histogram og sumkurve i sædvanligt koordinatsystem (lektion 16)

Sig, at observationerne kan være normalfordelte. (lektion 26)

Sig, at ved en normalfordeling er histogrammet klokkeformet.

Sig, at der findes normalfordelingspapir.

Tegn sumkurven i normalfordelingspapir og konkluder, at der er tale om en normalfordeling

Sandsynlighed, dvs den frekvens, man forventer et bestemt udfald ved mange gentagelser. Sandsynlighed for 3 seksere i træk ved kast med terning: ¹/₆ · ¹/₆ · ¹/₆ = (¹/₆)³ (Der ganges).

Hypotese: 10 % af alle danskere vil sige ja til fri heroin.

Stikprøve på 20.

Hvis hypotesen er sand fås:

Sandsynlighed for at stikprøven giver et udfald med ingen ja: 0,90²⁰ = 0,121… = 12 %.

Dette udfald kan således let forekomme, og man vil næppe forkaste hypotesen på baggrund af stikprøven.

Sandsynlighed for, at en stikprøve på 100 giver et udfald med ingen ja. 0,90¹⁰⁰ = 0,003 %

Hvis hypotesen er sand, så er stikprøvens udfald næsten umuligt. Vi vælger at forkaste hypotesen.

X betegner stikprøvens udfald

P(X=0) betegner sandsynligheden for, at udfaldet = 0.

Se link: lyngbydata.dk/video/videoer

Facitliste

Hermed link til facitliste.

Link: Facitliste til Eksamensopgaver

Supplement til formlerne i blåt hæfte Andengradspolynomiet		*p(x) =ax² + bx + c*
Diskriminanten		d = b²-4ac
Toppunkt: (x_o , y_o) =		,
	d < 0, c > 0, glad graf: a > 0 x_o>o: b har fortegn modsat a
	d > 0, c > 0, trist graf: a < 0 x_o<0: b har samme fortegn som a
c er skæring med y-aksen b er hældning ved y-aksen
Rødder / nulpunkter

Differentialregning

( f + g )'(x) =

( f – g )'(x) =

(k·f(x))' =

k·(f(x))'=k·f´(x)

fx: (5x³)´=15x²

(k·x)' =

k	fx: (3x)´= 3

n ≠ 0: (xⁿ)' =

n·x^n-1

fx: (x³)´= 3x²

n ≠ 0: (k xⁿ)' =

k·n·x^n-1

fx: (5x³)´=15x²

(x² - 3x + ¹/_x)' =

2x - 3-x ^-2

Ligning for linje gennem (x_o, y_o) med hældning a

y - y_o = a(x – x_o)

Ligning for tangent
gennem (x_o, y_o)

y - y_o = f '(x_o)(x – x_o)

Tangent til f(x)=x²
gennem (3,9)

f '(x)=2x og f '(3)=6

Ligning: y - 9 = 6(x- 3)

Integral / stamfunktion

*f(x)*	*∫ f(x) dx*
4x	2 x² + k
4x + 3	2 x² + 3 x + k
3	3 x + k
6x²	2 x³ + k
x³	¼ x⁴ + k
5x³	⁵/₄x⁴ + k
xⁿ , n ≠ -1	¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + k
x^-1= ¹/_x , x>0	Ln(x) + k
e^x	e^x + k
ba^x	+ k

Det bestemte integral

Ln & e^x

Ln(a·b) =	Ln(a) + Ln(b)
=	Ln(a) - Ln(b)
Ln(a^x) =	x· Ln(a)
e^Ln(a)=	a
e^{Ln(a)· x} =	a^x
b·Ln(a)·e^{Ln(a)· x} =	b·Ln(a)·a^x
(a^x)’ =	Ln(a)·a^x
(e^x)’ =	e^x
(k e^nx)’ =	k·n·e^nx
Ln’x =	, x > 0
For x>0: ∫¹/_xdx =	ln(x) +k
For x<0: ∫¹/_x dx =	ln(-x) +k

Trigonometri

Cos² C + Sin²C =			1
Cos(-v) =	Cos v
Sin (180-v) =	Sin (v)
Radiantallet =	Gradtallet · ^π/₁₈₀
Gradtallet =	Radiantallet · ¹⁸⁰/_π
Sin(π-x) =	Sin(x)

*_{Sin A = a ·}*		*_{a = Sin A ·}*
Areal: T = ½ ah_a = ½ ab Sin C
Herons formel: T=

Lektion 19a Genopfriskning af Matematik C: Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes

Lektion 20: Polynomier

Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1/x , ∫ dx

Lektion 25, Mere om regression og CAS-værktøj

1) Repeter Lektion 9 og 17, Geometri .

Cosinusrelationen (Den udvidede Pyhagoras)

Lektion 27a: Mere om polynomier

Lektion 28, Eksamen

Lektion 19a Genopfriskning af Matematik C:
Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes

Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til ¹/_{x ,}∫ dx