Lektion 15: Potens-funktioner

Lektion 16: Statistik

Boksplot kan bruges både ved

Lektion 17: Repetition og flere beviser mv.

Lektion 18 Mundtlig eksamen

Facitliste for vejledende eksamensopgaver

Formelsamling Mat. C

Ikke grupperede observationer

Grupperede observationer

Definition af median og kvartiler

Geometri

Lineær funktion

Om Eksamen

Eksempler på dispositioner

Brøker

Sådan findes en regneforskrift

Sammenhæng mellem x og y ved potens-vækst

Tegning af graf for en potens-funktion

Boksplot (eller kassediagram):

Definition af middeltal ved ikke grupperede observationer

Histogram

Middeltal ved grupperede observationer

Sumkurve

Ved ikke grupperede observationer defineres således:

Ved grupperede observationer defineres således:

Vinkelsummen i en trekant er 180°

Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90°

Pythagoras’s sætning

Definition af Sinus og Cosinus

Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne

Tangens

1. Procent- og rentesregning

2. Procent- og rentesregning

3. Variabelsammenhænge og grafer

4. Variabelsammenhænge og grafer

5. Lineær vækst

6. Lineær vækst

7. Eksponentiel vækst

8. Eksponentiel vækst

9. Eksponentiel vækst

10. Potensfunktioner

12. Trekantsberegning

13. Trekantsberegning

14. Trekantsberegning

16. Statistik

2) Se Videoer med demo af mundtlig eksamen
Variabelsammenhænge (De første 2 min er i forringet billedkvalitet)

Procent og rentesregning

Dette hefte er en del af et interaktivt læresystem i matematik hf, og beregnet til at blive brugt på en pc med Explorer koblet på Internettet (mahf.dk). Herved bliver det muligt at benytte diverse links til E-opgaver, interaktive opgaver og til videoer. Sideløbende hermed kan det være praktisk at benytte en papirudgave, som kan printes direkte fra mahf.dk.

På mahf.dk findes dette hefte både i HTML-format med links og i et printvenligt PDF-format, hvor de fleste links er inaktive.

Videoerne bør ses i brudstykker på kun nogle få minutter af gangen.

Besvarelser af E-opgaver sendes automatisk via Internettet til læreren.

Med denne matematik-pakke følger endvidere et elektronisk afleveringsark, RegneRobot med matematik-editor og CAS , hvor elever/kursister kan besvare opgaver og også her automatisk få sendt opgavebesvarelserne til læreren.

RegneRobot indeholder en række faciliteter, der gør det lettere at besvare opgaver.

Indholdsfortegnelsen kan benyttes som links.

Uanset hvor man er i dokumentet, kan man komme til indholdsfortegnelsen ved at taste Ctrl+Home , PageDown , PageDown.

Søgning på bestemte ord (svarende til stikordsregister) foretages ved at taste Ctrl+f

Denne udgave, Matematik C interaktivt del 2 for hf version 6.5 adskiller sig kun i dette forord fra 6.4 og fra 6.3 ved en lille omskrivning af lektion 16.

Denne undervisningspakke er under stadig udvikling

Eventuelle forslag og rettelser til denne pakke er velkomne på lyngbydata.dk/rettelser

Flere eksemplarer af denne matematik-pakke kan bestilles via lyngbydata.dk/pakke

/Peter Sørensen

Link til Indholdsfortegnelse

Udfør følgende 6 punkter

1) Se: Video med potens-funktioner

2) Læs om: Rapportopgave: ”Mønt falder ned”

Gå op i et hus med flere etager og lad med forsigtighed en mønt falde ned fra et vindue.

Tag tid på faldtiden og beregn vinduets højde over jorden.
Rapporten skal ikke laves før, du når til punkt 6).

Rapporten skal bl.a. indeholde:

En beskrivelse af problemet og af huset.

Alternative løsningsmetoder med fordele og ulemper.

Valg af løsningsmetode med begrundelse.

Måleresultater og beregning.

Evaluering med bl.a. en omtale af anvendt matematik (ligning, potensfunktion, osv.).

3) Læs:

Definition:
En funktion, der har en regneforskrift af formen y = b·x^a ,
hvor b>0 og x>0, kaldes en potensfunktion.
a kan være et hvilket som helst tal forskelligt fra 0.
Hvis a<0 er funktionen aftagende.

Eksempel:
Hvis man lader en mønt falde ned fra et højhus, kan faldet med
god tilnærmelse beskrives ved modellen y = 5·x² , hvor x er antal sekunder efter, der er blevet givet slip på mønten og y er antal meter, som mønten er faldet. I dette eksempel er b=5 og a=2
b er y-værdien når x er 1

Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man finde en regneforskrift.

a kan beregnes ved formlen:

a =

Herefter kan b findes ved hjælp af formlen:

b = y₁ · x₁^-a = ^y1/ x₁^a

Eks.

x	3	11
y	57	253

a = = 1,14704… = 1,1470

b = ⁵⁷/3^·1,14704… = 16,1657… = 16,166

Regneforskriften bliver således: y = 16,166· x^1,470

Fx fås for x=25: y = 16,1657… · 25^1,4704… = 648,779… = 648,78

Her har vi ikke brugt de afrundede værdier af a og b, men de mere nøjagtige, som er gemt i lommeregner eller i regneark.

Lad os betragte potens-funktionen: y = 7·x³
og lad os betragte en x-værdi og den tilsvarende y-værdi: 7·x³.

Vi vil nu fremskrive x med 20%.

Dvs. x ganges med fremskrivningsfaktoren (1+20%) = 1,20.

Den nye y-værdi bliver 7·(x·1,20)³= 7·x³ · 1,20³= y · 1,20³

Altså: y skal ganges med 1,20³= 1,728

hvilket er det samme som at fremskrive y med (1,728 – 1) · 100% = 72,8%

Vi bemærker, at når x fremskrives med faktoren 1,20,
så fremskrives y med faktoren 1,20³

Eller sagt på en anden måde:

Når x fremskrives med 20%, så fremskrives y med (1,20³- 1) · 100%

Generelt gælder om en potens-funktion:
Når x fremskrives med faktoren (1+r) så fremskrives y med faktoren (1+r)^a

eller:

Når x fremskrives med faktoren (1+p%) så fremskrives y med faktoren (1+p%)^a
Eller sagt på en anden måde:

Når x fremskrives med p%, så fremskrives y med ((1+p%)^a – 1) · 100%

Dvs, om en potens-funktion gælder:

Når x vokser med en bestemt procent,
så vil y også vokse med en bestemt procent,
og ud fra den %-vise vækst af x kan man beregne den %-vise vækst af y.

Det modsatte gælder også:

Enhver funktion, der har ovenstående egenskab, er en potens-funktion.

Eksempel:
y=5000·x ^-^0,7

En %-vis forøgelse af x med 30% til (x ·1,30) giver
en ny y-værdi på 5000·(x·1,30) ^-0,7 = 5000·x ^-^0,7 · 1,30 ^-0,7

Altså y forøges med faktoren 1,30 ^-0,7
svarende til en %-vis forøgelse på (1,30 ^-0,7 - 1)·100 % = -16,77…% = -16,8%. (Det er en aftagende funktion.)

Øveopgaver

Hvis man vil tegne en potens-funktion kan man med fordel benytte et såkaldt dobbelt logaritmisk koordinatsystem hvor tallene på både x-aksen og y-aksen er placeret således at grafen for en potens-funktion bliver en ret linje.
Dobbelt logaritmisk koordinatsystem tegnes normalt i dobbelt logaritmisk papir eller ved hjælp af regneark.

Et koordinatsystem i Excel regneark ændres til dobbelt logaritmisk koordinatsystem ved at klikke i et tal på både x-aksen og y-aksen med højre musetast og begge gange vælge ”Formater akse.. ”

I Excel 97-2003 vælges derefter faneblad ”Skala” og der sættes flueben i
Logaritmisk Skala.
Til sidst klikkes OK.

I Excel 2007 sættes blot flueben i Logaritmisk Skala.

Til sidst klikkes Luk.

Hvis støttepunkterne i en tabel flugter en linje i et dobbelt logaritmisk koordinatsystem, kan man konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en potens-funktion.

Hermed skulle været forklaret rigeligt til at kunne regne afleverings-opgaver.

4) Løs interaktiv øvelsesopgave potensfunktion

5) Løs E-opgaver: Link: E-opgaver_15_Potens-funktion.htm

6) Løs og aflever rapportopgaven ”Mønt falder ned” i punkt 2) og

opgaverne: 1.016, 1.017 , 1.018 i Vejledende eksamensopgaver

Se evt. video: Video om opg. 1.016

Link til Indholdsfortegnelse

Udfør følgende 5 punkter

1) Se: Video med Statistik

2) Læs:

Formålet med statistik er at få overblik over et stort talmateriale.

Vi anvender nogle såkaldte deskriptorer, der beskriver talmaterialet.

De enkelte tal i talmaterialet kaldes observationer.

Hele talmaterialet kaldes observationssættet

Vi vil her lærer betydningen af følgende såkaldte deskriptorer:

Mindsteværdi (den mindste observation)

Størsteværdi (Den største observation)

Middeltal (gennemsnit),

Median (midten af observationerne, altså grænsen efter første halvdel)

Første kvartil eller nedre kvartil (Grænsen efter første fjerdedel af observationerne)

Tredje kvartil eller øvre kvartil (Grænsen efter tredje fjerdedel af observationerne)

Kvartilsæt (de 3 tal 1. kvartil, median og 3. kvartil)

Første kvartil og nedre kvartil er det samme. Ligeledes er tredje kvartil lig øvre kvartil. Den præcise betydning af median, første kvartil og tredje kvartil vil senere blive beskrevet.

Eksempel:

Vi betragter et selskab på 9 personer og deres vægte i kg:

55, 55, 60 , 61, 65, 70, 88, 90 og 95

Mindsteværdi: 55 kg

Størsteværdi: 95 kg

Middeltal: (55+55+60+61+65+70+88+90+95)kg / 9

Median: 65 kg

1. kvartil: 57,5 kg (Når der ikke er noget tal i midten, tager vi midten af de 2 midterste tal)

3. kvartil: 89 kg

Kvartilsæt: 57.5 kg , 65 kg, 89 kg

En boksplot er en grafisk fremstilling af nogle observationer.

Boksplotten viser mindsteværdien, de 3 kvartiler og størsteværdien.

I en boksplot indgår et rektangel, hvor de to tider angiver 1. og 3. kvartil.

Parellelt med disse sider er inde i rektanglet et linjestykke, som viser 2. kvartil (medianen)

Vinkelret herpå, tværs gennem rektanglet, er et linjestykke, hvis endepunkter viser mindste og størsteværdi.

Eksempel:

Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Mindsteværdien = 3

1. kvartil = 5

Median = 10

3. kvarttil = 14

Størsteværdien = 20

Få regneark til at tegne et boksplot m m. Link: Boksplot v. Jens Runge

Middeltallet, også kaldet gennemsnittet, er summen af alle observationer divideret med antallet.

Hvis observationerne er grupperet i intervaller, kan denne beregningsmetode ikke bruges. Vi vil senere se, hvordan vi beregner middeltallet ved grupperede observationer.

Når der er mange forskellige observationer vælger man ofte at gruppere observationerne, fx:

Alder:	0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Alder:	[0;30[	[30;60[	[60;90[	[90;120[
Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
frekvens	35%	30%	20%	15%

Bemærk, 0 à 29 svarer til intervallet [0;30[, fordi folk siger de 29 lige indtil blot én dag før, de fylder 30. Denne særhed afspejles ved statistik med alder.

grupperede observationer og ved ikke-grupperede observationer.

Vi ser ovenfor endnu en deskriptor nemlig frekvens. Frekvensen angiver hvor stor en brøkdel, der er i et interval i forhold til alle observationer.

Frekvens =^hyppighed / antal observationer i alt

Frekvens kan angives i % eller som decimalbrøk, fx 35% eller 0,35

Frekvensen (eller hyppigheden) kan fremstilles grafisk i et såkaldt histogram:

HISTOGRAM

Skabelon til tegning af histogram: Skabelon_histogram.xls

Ved grupperede observationer kan man ikke vide, hvordan observationerne fordeler sig i hvert interval, men man har vedtaget at betragte det som om, de fordeler sig jævnt.

Ved beregning af middeltallet kommer det ud på det samme, som at betragte det som om, alle observationer i hvert interval ligger midt i intervallet.

Derfor beregnes middeltallet ved for hvert interval at gange intervalmidtpunktet med intervallets frekvens og derefter lægge alle produkterne sammen

I ovenstående eksempel er intervalmidtpunkterne 15, 45, 75 og 105.

Middeltallet = 15·35% + 45·30% + 75·20% + 105·15% = 49,5

Der findes yderligere nogle deskriptorer:

Kumuleret hyppighed, der beregnes ved at lægge hyppigheder sammen.

Kumuleret frekvens, der beregnes ved at lægge frekvenser sammen.

Hvis frekvenserne er afrundede tal, kan det være mere nøjagtigt i stedet at dividere kumuleret hyppighed med antal observationer i alt.

Her ses et skema med beregninger af kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens:

Alder:		0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Alder:		[0;30[	[30;60[	[60;90[	[90;120[
Antal (hyppighed)	h	3500	3000	2000	1500
frekvens	f	35%	30%	20%	15%
Kumuleert hyppighed	H	3500	6500	8500	10000
Kumuleret frekvens	F	35%	65%	85%	100%

h, f, H og F er hyppigt anvendte forkortelser for hyppighed, frekvens , kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens.

Den kumulerede frekvens F er en funktion, der fortæller hvor mange %, der er under en bestemt alder. Fx ses at 65% er under 60 år.

Grafen for denne funktion kaldes en sumkurve og sumkurver tegnes altid med rette linjestykker mellem støttepunkterne. De rette linjestykker er udtryk for, at man igen betragter observationerne, som om de fordeler sig jævnt i hvert interval.

Støttepunkter:
Alder	0	30	60	90	120
F	0%	35%	65%	85%	100%

Median og kvartiler defineres på én måde ved grupperede funktioner og på en anden måde ved ikke grupperede observationer.

Observationerne sorteres i stigende orden

Ved et ulige antal observationer defineres medianen som den midterste observation.

Ved et lige antal observationer defineres medianen som midtpunktet af de 2 midterste observationer.

Første kvartil eller 1. kvartil eller nedre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til venstre for hele observationssættets median.

Tredje kvartil eller 3. kvartil eller øvre kvartil defineres som medianen for de observationer, der ligger til højre for hele observationssættets median.

Ved grupperede observationer aflæser vi kvartilsættet ved hjælp af sumkurven:

1. kvartil: Gå vandret fra 25% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

Medianen: Gå vandret fra 50% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

3. kvartil: Gå vandret fra 75% på 2.aksen til sumkurven og så lodret til 1.aksen.

Ved ovenstående sumkurve bliver kvartilsættet: 22 år, 45 år, 75 år

Prøv skabelon til tegning af sumkurve m.m. Link: Skabelon_sumkurve.xls

3) Løs Interaktiv statistik-opgave

4) Løs E-opgaver:

E-opgaver_16a_Statistik.htm

E-opgaver_16b_Statistik.htm

5) Løs afleveringsopgaver: 1.019, 1.020, 2.006, 2.016

i Vejledende eksamensopgaver

Link til Indholdsfortegnelse

Udfør følgende 5 punkter

1) Se videoerne:

Video om geometri med beviser

Lineære funktioner med_beviser

Potensfunktion med beviser

2) Læs:

Arealet af en trekant er ½ højde gange grundline

Vi bruger formlen: A=½h·g

Vi vil nu anskueliggøre formlen.

Betragt et rektangel med samme grundlinje og højde:

Firkantens areal er h·g

Vi ser De to områder med er lige store og de to områder med er lige store.

Derfor er arealet af trekanten det halve af firekantens areal, altså : A=½h·g

Vinkler

Ensliggende vinkler er lige store

Topvinkler er lige store

Det bevises således:

Ved trekantvinklen u er tegnet en linje parallel med modstående side.

De to vinkler v er lige store fordi det er ensliggende vinkler ved parallelle linjer.

Det samme gælder de to vinkler w

De to vinkler u er lige store, fordi de er topvinkler.

Herefter ses det umiddelbart at vinkelsummen u + v + w = 180°

Bevis:

Vinkelsummen er lig 180° minus den rette vinkel på 90°, altså 180° – 90° = 90°

c² = a² + b²

Sagt med ord: kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater

Pythagoras’s sætning kan illustreres således:

Det store kvadrat og de to små har samme areal.

Her vil blive vist to beviser af Pythagoras sætning.

Du behøver kun at kunne det ene til mundtlig eksamen.

Bevis 1:

Vi betragter et kvadrat med sidelængden a+b

Vi placerer 4 kopier af den retvinklede trekant inde i kvadratet som vist på figuren.

Firkanten inde i midten er et kvadrat fordi siderne er lige lange nemlig c og alle vinkler er 90°. Det er de fordi de sammen med deres nabovinkler er 180° og nabovinklerne udgør 90°, nemlig de 2 spidse vinkler i den retvinklede trekant.

Arealet af den store firkant kan dels beregnes således:

(a+b)² = (a+b)·(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + b² + 2ab

og dels således:

Arealet af det lille kvadrat inden I midten plus arealet af de 4 trekanter

= c² + 4·½·a·b = c² + 2ab

Altså c² + 2ab = a² + b² + 2ab ó c² = a² + b² hvilket skulle vises.

Bevis 2:

Vinkel C er 90°

Denne retvinklede trekant kopieres 4 gange over i et stort kvadrat med sidelængden a+b.

Se nedenfor til venstre. Der opstår et kvadrat inde i midten med sidelængden c og arealet c².

Det store kvadrat til højre er magen til. Her indtegnes et lille kvadrat oppe i venstre hjørne med sidelængden a og i nederste højre hjørne et kvadrat med sidelængden b. Resten af det store kvadrat fyldes ud med 4 kopier af den forelagte retvinklede trekant.

Lighedstegnet mellem de to figurer betyder, at de har samme areal.

Vi fjerner nu 4 trekanter fra både figuren til venstre og fra figuren til højre, og vi får:

Altså c²

a² + b²

Man kan måske tvivle på om firkanten til venstre nu også er et kvadrat.

Lad bevise at firkanten er et kvadrat.

En firkant kaldes et kvadrat, hvis alle sider er lige lange og alle vinkler er 90°.

1) De 4 sider har alle længden c og er således lige lange.

2) Vi betragter den ene af vinklerne samt dens 2 nabovinkler.

Vi skal bevise at v = 90°

Vinkel A og B er de to spidse vinkler i den oprindelige retvinklede trekant, og er tilsammen 90°.
Vinkel v må således være 90°, da summen af de 3vinkler er 180°

Et tilsvarende argument gælder for de 3 andre firkantvinkler, og derfor er firkanten et kvadrat.

Til enhver spids vinkel kan vi knytte et tal, vi kalder sinus til vinklen og et tal , vi kalder cosinus til vinklen.

Det gør vi på følgende måde:

Lad os betragte en spids vinkel v.

Den placerer vi i et koordinatsystem således, at vinklens toppunkt ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og så højrebenet falder sammen med x-aksen.

I koordinatsystemet tegnes en cirkel med radius 1 og centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt.

Fra skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og cirklen tegnes en lodret linje hen til x-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Cos(v) eller blot Cos v. Det udtales cosinus til vinklen.

Endvidere tegnes fra skæringspunktet en vandret linje hen til y-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Sin(v) eller blot Sin v. Det udtales sinus til vinklen.

Der er opstået en retvinklet trekant med den ene katete langs x-aksen og da radius er 1, får denne trekant en hypotenuse med længden 1.

En retvinklet trekant med hypotenusen 1 kaldes en standardtrekant

Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten har længden Cos v, og den modstående katete har længden Sin v.

Vi betragter en retvinklet trekant:

og en standardtrekant ensvinklet med den forelagte:

Vi skal bevise

Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra standardtrekanten til den forelagte er c

, hvilket skulle vises

Cosinusformlen bevises på tilsvarende måde.

Definition:

Formel:

hvor bogstaverne henviser til en retvinklet ΔABC med den rette vinkel i C

Bevis:

, hvilket skulle bevises.

Bevis for Sinus- og Cosinusrelationerne indgår ikke i pensum på Matematik C

Definition:

En funktion kaldes lineær, hvis grafen er en linje eller en del af en linje.

Her er 2 eksempler på lineære funktioner:

Den til venstre er ikke defineret for x ≥ 0.

Begyndelsesværdien b er det tal på y-aksen,

hvor grafen eller dens forlængelse skærer y-aksen.

Hældningskoefficienten a er den tilvækst, der kommer i y når x gøres én større. Se tegning:

Formel:

Hvis man kender 2 punkter på grafen: (x₁, y₁ ) og (x₂ , y₂) kan a beregnes, idet

Bevis:

Vi vil kun gennemføre beviset for en voksende funktion defineret for alle x. Dvs. grafen er en opadgående linje.

Nedenfor ses en sådan graf med de 2 grafpunkter markeret.

Endvidere er a markeret

På tegningen optræder 2 ensvinklede trekanter, en rød og en grøn.

Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra den røde trekant til den grønne kan beregnes ved at dividere tilsvarende sider.

Ved at dividere de 2 lodrette fås ^(y²^-^y¹⁾/_a

Ved at dividere de 2 vandrette fås (x₂-x₁) / 1 = (x₂-x₁)

Altså (x₂-x₁) = ^(y²^{- y}¹⁾/_a

ó a (x₂-x₁) = (y₂ - y₁)

Hvilket skulle vises.

Regel

For en lineær funktion gælder at regneforskriften er: y = ax + b

Bevis

Vi betragter et punkt (x , y) og vil finde en formel for y.

Vi betragter yderligere punktet (0, b)

Disse 2 punkter indsættes i formlen for a og vi får

a = ^{(y - b)}/_{(x - 0)} ó

a = ^{(y - b)}/_x ó

ax = (y - b) ó

ax + b = y Hvilket skulle bevises

Formel: b = y₁- a x₁

Bevis

y₁= a x₁+ b ó y₁- a x₁= b Hvilket skulle bevises

Potensfunktioner

Definition: y=b·x^a , b>0 og x>0

Der gælder:

Log y er en liner funktion af log x

Det ses ved at tage log på begge sider af lighedstegnet.

Log y = Log (b·x^a) Ved anvendelse af en af logaritmereglerne fås

Log y = Log b +Log (x^a) Ved at anvende en anden logaritmeregel fås

Log y = Log b +a · Log x , som er regneforskriften for en lineær

funktion af Log x, idet begyndelsesværdien

er Log b og hældningskoefficienten er a.
Grafen bliver en linje i dobbelt logaritmisk

papir.
a kan findes ved at måle på grafen eller ved at aflæse to

grafpunkter og bruge formlen:

b findes ved

()

Fremskrivning af y med fremskrivningsfaktoren (1+r)

Vi betragter y₁= b·x₁^a

og fremskriver x₁fremskrivningsfaktoren (1+r)

Det giver en ny x-værdi x₂ = x₁·(1+r)

og en ny y-værdi y₂= b·( x₁·(1+r))^a .

Ud fra reglerne om regning med eksponenter fås:

y₂= b·x₁^a·(1+r)^a og da y₁= b·x₁^a fås

y₂= y₁·(1+r)^a

Altså når x fremskrives med faktoren (1+r) , så fremskrives y med (1+r)^a

3) Løs E-opgaver:

Link:

E-opgaver_17_eksp

E-opgaver_14b_lineær_og_eksponentiel funktion

E-opgaver_17_eksponentiel funktion

Følgende e-opgaver er med henblik på mundtlig eksamen.

E-opgaver 18a Mundtlig eksamen. Var.samh. & grafer

E-opgaver 18b Mundtlig eksamen. % & rente

E-opgaver 18c Mundtlig eksamen. Lineær vækst

E-opgaver 18d Mundtlig eksamen. Eksponentiel vækst

E-opgaver 18e Mundtlig eksamen. Potensfunktioner

E-opgaver 18f Mundtlig eksamen. Trekantberegning

E-opgaver 18g Mundtlig eksamen. Statistik

4) Løs resten af opgaverne i Vejledende eksamensopgaver

Desuden anbefales ekstra terminsprøver

Link til Undervisningsministeriets hjemmesider med prøvesæt:

http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/matematik-ny.htm?menuid=150560 (Vælg C-niveau)

Terminsprøver bør udføres på 3 timer i ét stræk og uden forstyrrelser.

Link til Indholdsfortegnelse

Udfør 1) og 2)

1) Læs.

Pensum til mundtlig eksamen er nedfældet i en undervisningsbeskrivelse. Både undervisningsbeskrivelsen og eksamensspørgsmålene offentliggøres i god tid før eksamen på skolens hjemmeside.

Eksempel på undervisningsbeskrivelse svarende til denne undervisningspakke:

Link: Undervisningsbeskrivelse

Eksempel på eksamens-spørgsmål:

1. Procent- og rentesregning

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor.

Gør rede for renteformlen for kapitalfremskrivning og for gennemsnitlig årlig rente, gerne med udgangspunkt i et konkret eksempel.

2. Procent- og rentesregning

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor.

Gør rede for indekstal.

Gør rede for renteformlen for kapitalfremskrivning

3. Variabelsammenhænge og grafer

Gør rede for variabelsammenhænge bestemt ved en regneforskrift og ved en graf.

Vis hvordan, man tegner grafer, gerne med udgangspunkt i rapporten ”Temperatur” .

Vis et eksempler på grafer for lineære funktioner og forklar betydningen af b i regneforskriften: y=ax+b .

4. Variabelsammenhænge og grafer

Gør rede for variabelsammenhænge bestemt ved en regneforskrift og ved en graf.

Vis hvordan, man tegner grafer, gerne med udgangspunkt i rapporten temperatur.

Gør rede for ligefrem proportionalitet og for omvendt proportionalitet.

5. Lineær vækst

Definer lineær funktion.

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

Bevis formlen for a

6. Lineær vækst

Definer lineær funktion

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

Bevis at regneforskriften er .

7. Eksponentiel vækst

Gør rede for den eksponentielle vækstmodel .

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

8. Eksponentiel vækst

Gør rede for den eksponentielle vækstmodel .

Du skal bl.a. komme ind på enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

9. Eksponentiel vækst

Gør rede for den eksponentielle vækstmodel .

Du skal bl.a. komme ind på bestemmelse af fordoblingstid og halveringstid.

10. Potensfunktioner

Gør rede for potensfunktionen , gerne med udgangspunkt i rapporten: “Mønt falder ned”.

Du skal bl.a. komme ind på betydningen af tallene a og b og på, hvordan a og b kan bestemmes.

11. Potensfunktioner
Gør rede for potensfunktionen , gerne med udgangspunkt i rapporten: “Mønt falder ned”.

Du skal bl.a. komme ind på dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

12. Trekantsberegning

Gør rede for ensvinklede trekanter, gerne med udgangspunkt i rapportopgaven ”Find højden”.

Gør rede for sinus og cosinus i den retvinklede trekant.

Forklar og bevis Pythagoras’ sætning.

13. Trekantsberegning

Gør rede for ensvinklede trekanter gerne med udgangspunkt i rapporten ”Find højden”.

Gør rede for sinus og cosinus i den retvinklede trekant.

Bevis sinus- og cosinusformlerne

14. Trekantsberegning

Gør rede for sinus, cosinus og tangens i den retvinklede trekant.

Forklar og bevis formlen for tangens

15. Statistik (bilag vedlagt)

Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt.
Du skal desuden komme ind på begrebet boksplot.

Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget.

16. Statistik (bilag vedlagt)

Gør rede for kvartiler, både for et ikke grupperet og for et grupperet observationssæt. Du skal desuden komme ind på begrebet sumkurve.

Du må gerne tage udgangspunkt i et eller to konkrete eksempler, eventuelt fra bilaget..

BILAG:

Eksempel 1:

Der er et selskab på 7 mennesker med følgende aldre: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Eksempel 2

Alder:	0 à 29	30 à 59	60 à 89	90 à 120
Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500

Link til Indholdsfortegnelse

Alle hjælpemidler er tilladte, også andres notater, dog er kommunikation med omverden ikke tilladt.

Under eksaminationen bør man ikke kigge for meget i sine notater. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen.

Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund mens man kigger.

Mundtlig eksamen er todelt.

Første del er kursistens fremlæggelse (se nedenstående dispositioner og videoer)

Anden del er samtale

Første del vil typisk vare over halvdelen af tiden 12 à 15 min.

Anden del vil typisk vare 5 à 10 min og tage udgangspunkt i kursistens fremlæggelse. Samtalen kan ikke bevæge sig uden for hovedoverskriften.

Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde en disposition og et foredrag.

Nogen af spørgsmålene ligner hinanden og foredragene vil være næsten ens.

Man kan således nøjes med at forberede ét foredrag til spørgsmål 1 og 2, og et foredrag til spørgsmål 3 og 4, osv.

Der skal således forberedes 7 foredrag.

Foredrag til procent og rentesregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man har trukket.. Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.

Tilsvarende med Variabelsammenhænge og grafer og alle de andre spørgsmål.

Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har rigeligt at fortælle om.

Sørg for at kunne alle 7 foredrag lige godt.

Man bør på forhånd have afprøvet alle 7 foredrag som en slags generalprøve. Det er en god idé at være nogen stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde foredrag for hinanden.

Link til Indholdsfortegnelse

Fremskrivningsfaktor.

Kapitalfremskrivning

Gennemsnitlig årlig rente

Indekstal

Fremskrivningsfaktor.

Kapitalfremskrivning

Indekstal

Gennemsnitlig årlig rente

Regneforskrift

Graf.

Tegning af grafer.

Grafer for den lineære funktion: y=2x+3

Betydningen af b og a

Proportionalitet

Omvendt proportionalitet

Regneforskrift

Graf.

Tegning af grafer.

Proportionalitet

Omvendt proportionalitet

Grafer for den lineære funktion: y=2x+3

Betydningen af b og a

Definer lineær funktion.

Definer a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Regneforskriften y=ax+b

Bevis regneforskriften y=ax+b

Konklussion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Definer lineær funktion.

Definer a og b

Bevis regneforskriften y=ax+b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Definition af eksponentiel vækst .

Betydningen af a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen ofr b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Enkelt logaritmisk koordinatsystem

T₂ og T_½

Find T₂ og T_½grafisk

Bevis formlerne for T₂ og T_½

Definition af eksponentiel vækst .

Betydningen af a og b

Enkelt logaritmisk koordinatsystem

T₂ og T_½

Find T₂ og T_½grafisk

Bevis formlerne for T₂ og T_½

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen ofr b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Definition af eksponentiel vækst .

Betydningen af a og b

Enkelt logaritmisk koordinatsystem

T₂ og T_½

Find T₂ og T_½grafisk

Bevis formlerne for T₂ og T_½

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Konklusion: Regneforskrift kan bestemmes ud fra 2 grafpunkter

Definition af potensfunktion .

Betydningen af a og b

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

11. Potensfunktioner
Definition af potensfunktion .

Betydningen af a og b

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

Formlen for a

Formlen for b

Bevis formlen for a

Bevis formlen for b

Ensvinklede trekanter.

Højden af en flagstang el. Lign.

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Bevis Sin- og Cosinusformlerne

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Eksempel på anvendelse af formlerne

Ensvinklede trekanter.

Højden af en flagstang el. Lign.

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne

Bevis Sin- og Cosinusformlerne

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Eksempel på anvendelse af formlerne

Definition af sinus og cosinus

Sin- og Cosinusformlerne

Definer Tangens

Bevis tangensformlen

Bevis Sin- og Cosinusformlerne

Forklar Pythagoras’ sætning.

Bevis Pythagoras’ sætning.

Ensvinklede trekanter.

Eksempel på anvendelse af formlerne

15. Statistik

Fortæl om formål med statistik

Betragt observationssættet: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer mindsteværdi og størsteværdi

Tegn et boksplot

Middeltal = gennemsnit (3+5+9+10+12+14+20)/7 = 10,4… = 10

Betragt følgende observationssæt for grupperede observationer

Alder:	[ 0; 30 [	[ 30; 60 [	[60 ; 90 [	[ 90 ; 120 [
h Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
H kumuleret hyppighed	3500	6500	8500	10000
f frekvens	3500/10000 = 35%	3000/10000 = 30%	2000/10000 = 20%	1500/10000 = 15%
F kumuleret frekvens	3500/10000 = 35%	6500/10000 = 65%	8500/10000 = 85%	100%

Tegn sumkurven ud fra støttepunkterne:

Alder:	0	30	60	90	120
F	0%	35%	65%	85%	100%

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer middeltal (Sum af interval-midtpunkt gange frekvens: 15·0,35 + 45·0,30 + 75·0,20 + 105·0,15 = 49,5)

Fortæl om forskel på median og middeltal

Tegn histogram

Fortæl om formål med statistik

Betragt observationssættet: 3, 5, 9, 10, 12, 14, 20

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer mindsteværdi og størsteværdi

Middeltal = gennemsnit (3+5+9+10+12+14+20)/7 = 10,4… = 10

Betragt følgende observationssæt for grupperede observationer

Alder:	[ 0; 30 [	[ 30; 60 [	[60 ; 90 [	[ 90 ; 120 [
h Antal (hyppighed)	3500	3000	2000	1500
H kumuleret hyppighed	3500	6500	8500	10000
f frekvens	3500/10000 = 35%	3000/10000 = 30%	2000/10000 = 20%	1500/10000 = 15%
F kumuleret frekvens	3500/10000 = 35%	6500/10000 = 65%	8500/10000 = 85%	100%

Definer median

Definer nedre kvartil

Definer øvre kvartil

Definer middeltal (Sum af interval-midtpunkt gange frekvens: 15·0,35 + 45·0,30 + 75·0,20 + 105·0,15 = 49,5)

Fortæl om forskel på median og middeltal

Tegn histogram

Tegn et boksplot

Opg. 1001

Værdien af maleriet efter 5 år:

60000 kr *1,12^5 =

105.740,50

Den 11-årige fremskrivningsfaktor (1+r)^11 =

125000/85000 =

1,470588

Gennemsnitlig årlig fremskrivningsfaktor:

(1+r) =

1,47…^(1/11) =

1,035682

Gennemsnitlig årlig %-vis vækst: r =

1,035…-1 =

3,57%

Opg. 1002

Antal år fra 1960 til 2000:

2000-1960 = 40

Gennemsnitlig årlig vækst af befolkningstallet: (29,986/8,157)^(1/40)-1=

3,31%

Antal år fra 2000 til 2010:

2010-2000 = 10

Prognosen viser en befolkning i 2010 på:

29,986*1,025^10 mio =

38,385

mio

Opg. 1.003

A = 4 · π · r²

Ved at indsætte 1000 i stedet for A fås:

1000 = 4 · π · r² <=> 1000/(4·π) = r²

<=> r² =

79,57747

<=> r =

8,920621

DVS radius er 8,9 cm

Opg. 1.004a

Jeg indsætter i formlen og får:

BMI = 68/1,66² =

24,677021

Opg. 1.004b

Også her indsætter jeg i formlen og her får jeg, idet x betegner vægt i kg:

22 = x/1,71² <=> 22·1,71² = x <=>

64,3302

= x

Personens vægt er 64,33 kg

Opg. 1.005

Jeg vil beskrive den linæere model ved en regneforskrift y= ax+b

y er befolkningen i millioner og x er antal år efter 1911 (regnet med fortegn)

Støttepunkter:

Årstal

1911

1950

1,003076

1,610123

b = 1,003

(svarende til x=0)

a = (y2-y1) / (x2 - x1) =

0,0156

f(x) = 0,0156x + 1,003

Dm(f) = [-11; 54]

Opg. 1.006

Antal sendte sms'er:

(486-630·0,70)/0,20 =

225

x betyder antal sms'er og t betyder antal minuuter samtale

SMS'er plus samtaler koster:

0,20x+0,70t

Link til Indholdsfortegnelse

Opg. 1.007
Prisen for 1 sms fås ved at sætte x=1 og t = 0
B = 0,30·1 + 0,70·0 = 0,30
Prisen for en sms er 30 øre
Minutprisen for samtaler fås ved at sætte x=0 og t =1:
B = 0,30·0 + 0,70·1 = 0,70
Minutprisen for samtaler er 70 øre


Opg. 1.008
B = V / H²
Ved at indsætte i denne formel fås
23 = V / 1,80² ó V =		23*1,80² ó V =				74,52
Personens vægt er 74,52 kg


Opg. 1.009
p og V er omvendt proportionale.
Dvs p*V = k hvor k er konstant
Af tabellens 2. kollonne fås k = 4*20 = 80
i 1. kollonne fås V = 80/2=40
i 3. kollonne fås p = 80/16=5
Den udfyldte tabel se således ud:
p	2			4	5
V	40			20	16


Opg. 1010
0,218 er stigning i modstand målt i ohmnår temperaturen forøges 1 grad celcius.
56 er modstanden i ohm ved 0°C
Jeg indsætter 65 i stedet foir y og får
65 = 0,218x+56 <=>			9 = 0,218x <=> x =				41,2844
Ved modstanden 65 ohm er temperaturen 41,3°C


Opg. 1.011
-2600 fortæller at antallet af landbrug falder med 2600 om året
98680 fortæller at der i 1983 svarede til x=0 var 98680 landbrug
2010 svarer til x=27
Udfra modellen beregnes antal landbrug i 2010 til: -2600*27+98680 =								28480
Jeg vil nu finde det x hvor antal landbrug er 40 000 i henhold til modellen
40000 = -2600x + 98680 <=>
2600x = 98680-40000 <=>
2600x = 58680 <=>
x =	22,56923
Dvs der vl gå 23 år før antal landbrug kommer under 40000
Det bliver i året: 1983+23 =					2006

Opg. 1.012

Støttepunkter:

16,3

34,6

a = (34,6-16,3) / (80-20) =

0,305

b = 16,3 - 20·a =

10,2

Ved 24,5 cm er loddets vægt x bestemt ved:

24,5 = ax + b

<=>

24,5 - b =

<=>

(24,5-b)/a =

<=>

46,89

= x

Dvs loddet vejer 46,89 g

Hvis der hænges yderligere 8,0 g på ændres fjederens position: 8,0·a=

2,44

Opg 1.013

Fra 1986 til 1998 er 12 år

Fra 1998 til 2010 er også 12 år

Hvis udgifterne vokser linert fås:

Væksten i en 12-års periode er 88,5 mia - 43,8 mia =

44,7

mia

Udgifter til undervisning i 2010:

88,5 mia + 44,7 mia =

133,2

mia

Hvis udgifterne vokser eksponentielt fås:

12-årig fremskrivningsfaktor: (88,5 / 43,8)

Udgifter til undervisning i 2010:

88,5 * (88,5 / 43,8) =

178,8

mia

Opg. 1.014

Det er en eksponentielt aftagende funktion med regneforskriften y=b·a^x

hvor y er trykket i hektopascal og x er højden over jorden i km

a = (1-11,5%) = 0,885

b= 1020

y = 1020*0,885^x

Trykket 1,5 km over jordoverfladen: 1020*0,885^1,5 hektoåascal =

849,21

hektopascal

Hvis trykket er 750 hektopascal fås:

1020*0,885^x = 750

0,885^x = 750

/ 1020

x*Log(0,885) = Log(750/1020)

x = Log(750/1020) / Log(0,885)

x =

2,517

Dvs trykket er 750 hektopascccal i en højde på 2,517 km

Link til Indholdsfortegnelse

ALTERNATIV LØSNINGSMETODE:

Opg. 1.014

Fremskrivningsfaktor svarende til en forøgelse af højden på 1 km: (1-11,5%) = 0,885

Trykket ved jordoverfladen: 1020 hektopascal

Trykket 1,5 km over jordoverfladen: 1020*0,885^1,5 hektoåascal =

849,21

hektopascal

h angiver højden i km, hvor trykket er 750 hektopascal.

Der må gælde: 1020*0,885^h = 750

0,885^h

750/1020

Log(0,885^h) =

Log(750/1020)

h*Log*(0,885) =

Log(750/1020)

Log(750/1020) /

Log(0,885)

2,517

Dvs trykket er 750 hektopascccal i en højde på 2,517 km

Opg. 1.015

Jeg aflæser på grafen

Da 40 er det dobbelte af 20 er fordonlingstiden (6-0) =

Opg. 1.016

En tilvækst i x på 11% forøger y med1,11^2,56-1 =

30,6%

Opg. 1.0017

Hvis indtagelsen af frugt og grønt forøges med 20%,

så vil det årlige antal kræftdødsfald i danmark stige med 1,20^(-0,5)-1 =

-8,7%

DVS antal kræftdødsfald vil være 8,7% mindre

Opg. 1.018

442 er indiens befolkningstal i mio i 1961

1,0217 er den faktor befolkningstallet fremskrives med hvert år.

Dvs befolkningen forøges med 2,17% hver år.

Befolkningstallet = 884 mio

<=>

442·1,0217^x = 884

<=>

1,0217^x = 2

<=>

x·Log 1,0217 = Log 2

<=>

x =

Log 2 / Log 1,0217

x =

32,2876

Befolkningstallet var 884 mio i året 1961+32=

1993

Året 2004 svarer til x = 2004 -1961 =

Befolkningstal i 2004:

442mio*1,0217^43 =

1112,6

mio

Modellen har været heldig, da 1112,6 mio er relativt tæt på det faktiske

beolkningstal 1100 mio og hvis man afrunder 1112,6 mio fås faktisk 1100 mio

Link til Indholdsfortegnelse

Opg. 1.020

Venstre intervalgrænse	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
Højre interavlgrænse	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
Hyyppighed h	15	15	12	6	2
Kumuleret hyppighed H	15	30	42	48	50
Frekvens f	30%	30%	24%	12%	4%
Kumuleret frekvens F	30%	60%	84%	96%	100%

Intervalmidtpunkt	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Interval-midtpunkt gange frekvens:	2,0	2,3	2,0	1,1	0,4
Middeltal = summen af ovenstående:					7,8

På grundlag af kumuleret frekvens tegnes sumkurven:

Af sumkurven aflæses øvre kvartil = 8,6

Ligeledes ses at 85% havde et eksamensresultat på under 9,2

Dvs 15% havde et eksamensresultat på 9,2 eller derover.

Histogram tegnes ud fra frekvenserne f:

Opgave 1.021

|B'C'| = (6/4) * 3 =

4,5

Opg. 1.022

Ved hjælp af Paint i Windows har jeg tegnet:

(for at få billedet fra Paint kopieret over, måtte jeg først kopiere til Word)

q = 17,4 / cos(27°) =

19,5

Opg. 1.023

Sin A = 4,5 / 8,3 =

0,5421687

Vinkel A = 33°

Vinkel B = 90°

Vinkel A = 57°

Link til Indholdsfortegnelse

Opg. 1.024
Cos A = 3/5	=	0,6
Vinkle A =	53	°

Opg. 1.025

\|BD\| =	(21^2 + 40^2)^(1/2)m =	45,177…m	=	45,18m
Tan(vinkel B i trekant ABD):		21 / 40 =	0,525
Vinkle B i trekant ABC:		27,699	°
Vinkle B i trekant BCD:		60° - 27,699° =		32,301	°
\|BC\| = 45,177...·cos 32,301…° =		38,187
\|CD\| = 45,177...·sin 32,301…° =		24,141
Byggegrundens areal = 0,540 21 + 0,5 * 38,187…* 24,141… =					881	m²

(Eksponenten ² fås ved at taste Alt+253 på num. Tastatur)

(Grader ° fåsved at taste Alt + 248)

Opg. 1.026

|AC| = 5,0*sin 34,0° =

2,7960

|CB| = 5,0·cos 34,0° =

4,1452

Trekantens areal: 0,5·2,79… · 4,14… = 5,8

5,8

Link til Indholdsfortegnelse

Facitliste for ”Vejledende prøvesæt 1” Fra og med opg. 2001 i opgavehæftet

Opg. 2001
\|AB\| =	Kvadratrod(12²+5²) =		13
Skalafaktor:	13 / 6,5 =		2
\|DF\| =	5 / 2 =		2,5
Opg. 2002
Punkterne P og Q:
x	2	8
y	3	-1
a =	(-1-3) / (8 - 2) =		- 2/3


opg. 2003
Jeg indsætter de anførte værdier i formlen og får:
500 = ½·a·17² <=>
1000 = a·17² <=>
1000 / 17² = a
a =	3,460


Opg. 2004
Af grafen, bilag A, ses at, energibehovet for en vade fugl på 140g er 210 kJ/døgn
I bilaget har jeg tegnet markering lodret ved 140 på 1. aksen og fra det punkt, hvor denne markering
skærer grafen har jeg tegnet en markering hen til 2.aksen og der aflæst de 210


Opg. 2005
Stigens højde op ad muren betegnes x
Sin 62° = x / 7,5 <=>
7,5·Sin 62° = x
x =	6,622	…
Stigen når 6,62m op ad muren


Opg. 2006
De 15 priser i kr er:
Pris	1	7,55
Pris	2	7,95
Pris	3	7,95
Pris	4	7,95
Pris	5	7,98
Pris	6	7,98
Pris	7	8,05
Pris	8	8,15
Pris	9	8,25
Pris	10	8,55
Pris	11	8,55
Pris	12	8,75
Pris	13	8,95
Pris	14	8,95
Pris	15	9,05
Sum	:	124,61
Middeltallet fås ved at dividere ovenstående sum med 15:				8,31
Det ses priserne er i stigende orden
Medianen er den midterste pris, altså den 8.:				8,15
Af figuren i bilaget ses, at den største pris er uændret, men
at 75% af priserne er faldet til under den oprindelige mindste pris.


Opg. 2007
x betegner turens længde i km
y betegner turens pris i kr
y = 10,55x + 33,00

Hvis prisen er 200 kr fås:
200 = 10,55x + 33,00		<=>
200 - 33,00 = 10,55x		<=>
167	= 10,55x	<=>
15,829	= x
DVS for 200 kr kan man køre 15,829 km


Opg. 2008
Lysintensitet i 2,5 m dybde:			100·0,69^2,5 =	39,55
Halveringskonstanten:			Log 0,5 / log 0,69 =	1,87
Dvs at lysintensisteten halveres hver gang dybden forøges med 1,87 m
En forøgelse på 1,0m betyder at lysintensiteten aftager med (1-0,69)·100% =					31%


Opg. 2009
Indeks for basisåret 1998 er 100
Indeks for året 2003 er:			100 · 25708/22066 =	117
Fremskrivningsfaktor 1998 - 2003			for månedsløn:	25708/22066 =	1,17
Fremskrivningsfaktor 1998 - 2003			for husprisen:	173,3 / 134,4 =	1,29
Dvs husprisen er steget stærkest.

Link til Indholdsfortegnelse

Facitliste til ”vejledende prøvesæt 2” Fra og med opgave 2010 i opgavehæftet

Opgave 2010
Proportionalitetsfaktor: 9/2 =			4,5
x	2	3	4	10
y	9	13,5	18	45

Opgave 2011

|BC| = 32,9 * sin(52) =

25,9

|AC| = 32,9 * cos(52) =

20,3

Arealt af trekant ABC: 0,5 * |BC| * |AC| =

262,6

Opgave 2012

53500

88400

b = 53500

(svarende til x=0)

a = (88400 - 53500) / (5-0) =

6980

b er antal golfspillere i 1992

a er stigningen i antal golfspillere pr år

2004 svarer til x = 2004 - 1992 = 12

Antal golfspillere i 2004: 6980 * 12 + 53500 =

137260

Man må sige væksten har været større efter 2001 end svarende til den linere model

Opgave 2013

3(x+1) + 4 = 27 - x

<=>

3x + 3 + 4 = 27 - x

<=>

4x = 20

<=>

x = 5

Opgave 2014

Saldo efter 12 år: 15000 kr *1,0256^12 =

20315,49

I % er vokser beløbet på 5 år: (1,0256^5 - 1) * 100% =

13,47%

Opgave 2015

På grafen aflæses:

6,5

Det bemærkes at y halveres når x vokser fra 2 til 6,5

Halveringskonstanten = 6,5 - 2 =

4,5

Opgave 2016

Aldersfordeling, og højre intervalgrænse er her den alder,

der lige akurat overstiger alle aldre i intervallet.

Fx ved "5-19",er højre ingtervalggrænse være 20

Venstre intervalgrænse	15	20	25	30	35	40
Højre interavlgrænse	20	25	30	35	40	45
Frekvens f	1,9%	16,2%	37,7%	32,2%	10,5%	1,5%
Kumuleret frekvens F	1,9%	18,1%	55,8%	88,0%	98,5%	100,0%

Medianen aflæses til 29,2 år

Medianen fortæller , at halvdelen af de fødende kvinde er under 29,2 år

Opgave 2017
417000 er skovarealet målt i hektar i 1990
1,007 fortæller at skovarealet stiger med 0,7 % hvert år efter 1990

Opgave 2018
15 meter høje rødgraner skal have en tæthed på: 168000*15^(-2)pr ha = 746,6…pr ha = 747 pr ha	747	pr hektar
Når tætheden y er 3000 rødgran pr hektar må gælde:
3000 = 168000*x^(-2)
3000/168000 = x^(-2)
x = (3000/168000)^(1/(-2))
x = 7,5
Træhøjden skal være 7,5 meter

Link til Indholdsfortegnelse

Opg. 1.019

Af sumkurven ses, at 78% af de ledige var under 55 år, Se bilag (som dog ikke er med her)

Også af sumkurven ses at under 40 år var:

og under 30 år var:

Mellem 30 og 40 år var (50% - 20% ) =

Regel

Formel

Eksempel

Helt tal gange brøk

Det hele tal ganges ind i tælleren

Brøk gange brøk

Tæller gang tæller og nævner gang nævner

Brøk divideret med
helt tal

Det hele tal ganges ind i nævneren

Helt tal divideret
med brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte

k :

Brøk divideret med brøk

Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte

Forkorte en brøk

Tæller og nævner divideres med samme tal

Forlænge en brøk

Tæller og nævner ganges med samme tal

Brøk plus brøk med
samme nævner

Tæller plus tæller og behold den fælles nævner

Brøk minus brøk med
samme nævner

Tæller minus tæller og behold den fælles nævner

Find fællesnævner
for 2 brøker

De to nævnere ganges med hinanden

Regel	Regel sagt på en anden måde	Eksempel
Man må lægge samme størrelse til på begge sider af lighedstegnet. Man må trække damme størrelse fra på begge sider af lighedstegnet	Man må flytte en størrelse over på den anden side af lighedstegnet, hvis man skifter fortegn på størrelsen	3x = 2x + 7 ó 3x – 2x = 7
Man må gange med samme størrelse på begge sider. Dog ikke med nul.		ó ó 2x + 15 = 27
Man må dividere med samme størrelse på begge sider		7x = 35 ó x = 5

	Regel	Formel	Eksempel
Tal gange parentes	Tallet ganges med hvert led i parentesen
Parentes gange parentes	Hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden		(3x – 5)(2x+1) = 6x² + 3x -10x – 5 = 6x² – 7x – 5
Minus parentes	Man kan hæve en minus parentes ved at skifte fortegn på alle led	-(a-b) = -a + b	-(x-5) = -1(x-5) = -x + 5

Formel	Eksempel
Log(a·b) = Log(a) + Log(b)	Log(5 · 3) = Log 5 + Log(3)
Log(a^x) = x·Log(a)	Log(5³) = 3·Log(5)

	Lineær vækst	Eksponentiel vækst	Potens-vækst
Regne- forskrift


Fordoblings- konstant
Halverings- konstant
			Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfaktoren for x: (1+r) og fremskrivningsfaktoren for y: (1+r)^a Procentvis ændring af y bliver: ( (1+r)^a – 1) · 100%
Anbefalet koordinat- system	Sædvanligt	Enkelt logaritmisk	Dobbelt logaritmisk