31 Den,,analytiske Methode",,Elementer.29
givet., Der gives altsaa netop Anvisning paa Brug af dens Saetninger til deraf at,sammenSCette" videregaaende' Satninger og Losninger af Opgaver af en bestemt
these, livilken APOLLONIOS ikke liar mnedtaget i sine Keglesnitselementer, men - overensstemmende med,,Elemienterl's Hensigt - muliggjort ved disse, bygges paa disse Seetninger; det er ogsaa af dem, at
NEWTON udleder sin Bestemmelse af de to Steder.
En S ynthlie se vii, naar de 3 eller 4 Linier saint Forholdet a er opgivne, vvere en fuldstoendig
Bestemmelse af den Kurve, livis Punkters Afstande x, y, z, u fra Linierne tilfredsstiller en af Betingelserne
x2 =a-y u eller xz == a u.
Denne Synthese vii, ligesom MENAICEmos' Besteminelse af andre geometriske Steder, som vii
naTste Kapitel skal omitale, fremti',ede som en Konstruktion (f. Eks. af Akserne i det ved en af disse
Ligninger bestemite Keglesnit), efterfulgt af et Bevis for, at den konstruerede Kurve virkelig liar den forlangte Egenskab. En saadlan Synthese vil, ligeledes som hos MENAICHMOS, svare til en foregaaende
Ana aly se, ved livilken det sogte geometriske Sted antages at foreligge, livorefter man af den opgivne
Egenskab udleder saadlanne, som kan benyttes til den forlangte Konstruktion. Mangler ved Analysen
vii da medfore tilsvarende i det Gi-undlag, hvorpaa Synthesen skal bygges. Det er en saadan Mangel,
APOLLONIOS tillmgger EUKLID, idet han endlog tilfojer, at,,det ikke var muligt at tilendebringe Synthesen
uden det af mig fundne" (o&' rdp '~' duabvaPs ~ gpoaopevpiytov ~jav wrsetji9iaz r4
Nu er der et Freniskridt, som man ogsaa liar andre gode Grunde til at tillwegge APOLLONIOS, og SOM
netop, vii have ydet, livad APOLLoNios her siger. Ved en Analyse vil, naar man holder sig til et Sted til. 4 Linier,
af livilke x == 0 og z = 0 er parallele, og benytter den nys noevnte Potenssoetning, Stedet vise sig at
vvere et Keglesnit omskrevet om det af de fire Linier dannede Paralleltrapez. Dette kan dog, naar
Kurven er en Hyperbel, kun gvelde, naar man betragter dennes to Grene under et som en Kurve. Det
liar APOLLONIOS virkelig gjort fin forst af, og han liar fremhoevet det ved i Fortalen at betegne ladholdet af I. Bog som en almindeliggjort Behandling af de tre Keglesnit og,,modstaaende (r~ ~-v ewi
Keglesnit". EUKLID, der ogsaa kendte Potenssaetningen, hvad man kan slutte af ARCHIMEDES' Anvendelse
af denne (Heibergs 2. Udg. I, S. 270 fi.), hiar sikkert ogsaa brugt den til Besteminelse af Stedet til fire Linier.
Analysen vilde da fore til samme Resultat, naar Kurven viste Sig at vwere en Ellipse eller Parallel; men
naar den Del af det sogte geometriske Sted, som1 skaulde bestemmes i Synthesen, var en enkelt Hyperbelgren,.vilde den muligvis kun gaa gennem to eller ingen af Trapezets Vinkelspidser. I Stedet for de 4
Bestemmelser, som denne Del af Analysen hos APOLLONIOS stiller til Raadighed for den synthetiske
Konstruktion af Keglesnittet (og som skal suppleres ved en Anveadelse af Konstanten a), faar EUKLID,
naar, som det tor antages, ikke allerede han liar suppleret den ene Hyperbelgren med den modstaaende,
kun 4, 2 eller 0 Bestemmelser (eller miat 5, 3, 1), livorved, som APOLLONIOS siger, SynthieseD bliyer,,umulig.
Allerede Analysen vii iovrigt haTmmes ved den Begroensning i Potenssoetningen, som folger med Anvendelsen pan en enkelt Hyperbelgren.
Iovrigt lienvises til VII. og VIII. Afsnit af,,Keglesnitsleren i Oldtiden". Den omitalte Anvendelse
af Potensseetningen til at reducere Opgaven til Bestemmelsen af et Keglesnit, som er omskrevet om et
Trapez og yderligere bestemmes ved Vierdlien af Konstanten a, Ilegges ved APOLLONIOS' III. Bog saa Dwr,
at det nqeppe kan betvivles, at han, som efter ham NEWTON, er gaaet deane Vej. For virkelig at
gennemfore Synthesen man han imidlertid endnu bestemme Keglesnittet ved disse Betingelser, og man
man forstaa hans Ord,, som om hans III. Bog ogsaa giver Midler hertil. Den, der virkelig vil skaffe
Klarhed over, livad APOLLONIOS formaaede, kna derfor ikke 'unddrage sig for at prove om, og om muligt
paavise, at sandlanne Midler virkelig foreligger. De Veje, ad livilke dette kna ske, er imidlertid sna
forskellige, at man ikke kan sikre sig aetop at angive den, som APOLLONIOS selv er gaaet; men allere'de
ved at vise, at der overhovedet i hans III. Bog fandes Sxtninger, der kan tjene til Grundlag for en sandan Vej, styrker man Tilliden til hians Oplysniager omi, livad hans III. Bog kunde bruges til ogsaa pan
hans Tid.
Her liar vi vel kun talt om Stedet til fire Linier i det Tilfaelde, livor Linierne x= 0, z = 0 er
parallele; men Stedet til tre Linier er et specielt Tilfeelde heraf, og Besteminelsen af det almindelige
Sted til fire Linier, som overhovedet af geometriske Steder, der bliyer Keglesnit, la der sgfore tilbage
hertil (Kegle-snitslwren I Oldtidea, VIII. og X. Afsnit).