Hvorledes mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel videnskab, af H. G. Zeuthen. Avec un résumé en français.

About this Item

Title
Hvorledes mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel videnskab, af H. G. Zeuthen. Avec un résumé en français.
Author
Zeuthen, H. G. (Hieronymus Georg), 1839-1920.
Publication
Københaven,: A. F. Høst & søn,
1917.
Rights/Permissions

The University of Michigan Library provides access to these materials for educational and research purposes. These materials are in the public domain in the United States. If you have questions about the collection, please contact Historical Mathematics Digital Collection Help at umhistmath-help@umich.edu. If you have concerns about the inclusion of an item in this collection, please contact Library Information Technology at libraryit-info@umich.edu.

DPLA Rights Statement: No Copyright - United States

Subject terms
Mathematics, Greek
Mathematics, Greek
Cite this Item
"Hvorledes mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel videnskab, af H. G. Zeuthen. Avec un résumé en français." In the digital collection University of Michigan Historical Math Collection. https://name.umdl.umich.edu/u/umhistmath/ACB4753.0001.001. University of Michigan Library Digital Collections. Accessed March 28, 2024.

Pages

Page [unnumbered]

BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: ACB4753 UL FMT B RT a BL m T/ C DT 09/12/ 88 R/ DT 09/12/ 88 CC STAT mm E/ L 1 010::I aa 34001824 035/1:: a (RLIN)MIUG86-B92985 035/2: j a (CaOTULAS)160337334 040::I aRPB IcRPB I dMiU 041:0: a dan Ibfre 050/1:1: j a AS281 I b.D223 8.raekke, I, 5 100:1: a Zeuthen, H. G. I q (Hieronymus Georg), I d 1839-1920. 245:00: ja Hvorledes mathematiken i tiden fra Platon til Euklid blev rationel videnskab, J c af H. G. Zeuthen. Avec un r e-sume" en fraruais. 260::a Kobenhaven, I b A. F. Host & sofl, Ic 1917. 300/1: a 1a8l p., 1L. I bdiagrs. Ic 27 x22 cm. 490/1:1: a D. Kgl. Danske vidensk[abernes] selsk[absj skrifter. Naturvidensk. og. mathem. afd. Iv 8 raekke, I, 5 500/1:: I a Double paging. 650/ 1: 0: a Mathematics, Greek 810/1:2: ja Kongelige Danske videnskabernes seiskab. I b Naturvidenskabelig og mathematisk afdleling. It Skrifter, Iv 8. raekke, v. 1, no. 5. 998: I IcDPJ Ijs9924 Scanned by Imagenes Digitales Nogales -AZ On behalf 'of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

Page [unnumbered] - Title Page

H. G. ZEUTHEN A VEC UN RASUMA EN FRANCAIS I). KmGI- DANSKE VIDENSK. SELSK. SKRIFTER, NAT URVIDENSK. OG MATHEM. AFD., 8. RIEKKE, I. 5 KO0B EN HAV N HOVEDKOMMISSIONAER: ANDR. FRED.-HOST & SON, KGL. HOF-BOGHANDEL BIANCO LUNOS BOGTRYKKERI 1917

Page 201

Kap. I. Om sammenlignende Studier af Mathematikens Historie. N aar en Mathematiker at Fag vii dyrke sin Videnskabs Historie, maa han na[urligvis forst og fremmest underkaste sig de Regler, som gwlder overalt, hvor man vil Ilere den objektive historiske Sandhed. at kende. Han maa opspore den baade i de be-varede Skrifter, hvis Formaal det er at fremstille inathematiske Undersogels~er og Resultater, ogf i demi, der enten giver en historisk Beretning orn tidligere Arbejder eller blot lejlighedsvis oplyser eller berorer veldre eller samtLidige Arbejder og di sses Resultater, ofte maaske kun ved en Anvendelse af disse eller de derved benyttede Raesonnementer paa helt andre Forhold. Disse forskellige Kilder maa,han naturligvis underkaste den samme Kritik, som kroeves Af alle historiske Undersocselser. Besidder han ikke selv visse Betingelser herfor, maa han sage Bistand i de bedste foreliggende Skrifter eller paa anden Maade, saaledes hos Filologer og.Bibliografer om rigtig Texttydninig, om Overleveringens Veje og Paalidelighed, om Textudgaver, om Kronologi o. s. v. Selv vii han dog ogsaa have noget at bringe. Man har kaldt de mathem'atiske Sandheder,,de evige Sandheder", hvad der dog ikke er det samme, som. at de til enhiver Tid, i hvilken de er traadt frem, skulde have antaget den samme Form - lige saa lidt som de er fremsatte paa. samme Sprog; men i de ganske forskellige Udtryk kan mnan dog genkende de samme Sandheder. Disses Overensstemmelser v4i1 ofte troede frem i ensartede Anvendelser, og de Slutninger, hvorved man gaar over fra den ene til den anden, maa trods de forskellige Fremstillingsmaader have vwsentlig samme logiske Grundlag, hvis de ellers er mathematisk forsvarlige. Derved frembyder der sig Muligheder for den mathematisk dannede Dyrker At Mathematikens Historie til at tyde Texter, som. ellers synes uforstaaelige eller har vwret mnisforstaaede, til at finde Forbindelser mellem historiske Meddelelser, som ellers knnde synes at goelde forskellige Ting, til at spore Forberedelsen til Opdagelser, 4om, ellers synes forst at skyldes en enkelt genial Mands enestaaende Seerblik, og frem. for alt til at finde og forstaa baade Sammenhoengen i en bestemt Tids mat~hematiske Forsken og Viden og derved dennes SammenhWng med de tidligere og senere 27*,

Page 202

202 - I. Kapitel. 4 Tiders Standpunkter, fra eller til livilke der er givet Impulser. Ad disse Veje vii ikke alene den historiske. Viden vokse og sikres: men der vii vindes netop det Kendskab tli adre Mathematik, som for Matliematikere og Poedagoger vii give det bedste Udbytte. Man vii erfare, ikke blot paa hvilke Tider, men ogsaa livorledes man efterliaanden er naaet tli Resultater, som. man maaske nu beviser paa en hell anden Maade. Man vii Isere Betragtningsmaader at kende, som er blevne opgivne overfor andre, der i det liele giver storre Udbytte, men dog ikke. gjor, de gamfle ganske overflodige, eller ogsaa omvendt i nu goeldende Fremstiilingsformer genikende Levninger af Methoder, der i sin Tid liar liaft deres Betydning, men som. de Forbindelser, hvori de nn optroeder, er ganske overflodige og derfor' bor fj'ernes fra Undervisningen. Den Forstaaelse af liver enkelt Tids Matliematik, som det lier komnmer an paa, opnaas bedst ved en Sam menligning mellem de forskellige Tiders Arbejder. Derigennem ser man, livad der er overleveret fra den ene Tid tl den anden, og saml-idig de Forandringer, som det er undergaaet. Naar disse Forandringer skyldes Fremnskridt i Viden elier Hjoelpemidler, vii ogsaa meget af del, man forud vidste, frerntrzede i en ny Skikkelse. Det goelder da om at genkende det samme i den veldre Tid og faa fat paa, livoriedes det da kunde vwre fundet uden de nye Hjoelpemidler. Disses Vawrdi l1egger sig paa den anden Side for Dagen baade ved deres fuldsteendigere Anvendels e paa det, man vidste for, og paa deres Anvendelse til Erlivervelse af ny Viden. Som enliver god Sanimenligning maa den lier forlangte voere rettet paa baade at se Overensstemmelserne og Forskelligliederne og at fortoike disses Omfang og Betydning. Riglige Slutninger, livis logiske Grundkerne er, den samme, kan saaledes antage lielt forskellige Skikkelser efter Forskelien i Udgangspnnkt, og de dertil knyttede Symboler eller efter del forskellige Formaal, som Undersogelsen tlstraebte. Alt dette har f. Ex. vweret, lilsigtet ved de Sammenligninger, som jeg i,KIeglesnitsl1eren i OldLiden" (1885) og senere i andre Arbejder liar anstillel mellem den antike geometriske og den moderne litterale Algebra, saint meilem den forstes Anvendeiser paa den antike Keglesnitsl1ere og den sidstes i den analytiske Geometri. Den, Sammenligning, som ligger en Nutidsmatliematiker noermest, er en Sammenligning med den Skikkelse, som Mathematiken nu besidder. For saa vidt denne betragtes som den fnldkomneste i alle Henseender og dens nuv~erende Form som den eneste, der er de -nu opnaaede Resultater fuidtud vawrdig, indelioldes dog deni en stor Fare, nemlig den, at man sawrlig haegger an paa Skridt for Skridt at folge og notere Tidspunkterne for Opdagelsen af de enkelle Led i del nugaw1dende matliemtseSystem og vurderer alle Fremskridt efler de Bidrag, de direkte liar ydel til Opforelsen af detle System. Herved kan endog fremkomnme urigtige Besvarelser af rent historiske Sporgsmaal. Den neevnte Opfatteise bibringer nemlig let og liar ofte bibragt matliematiske Historieforskere den Foreslilling, at de forskellige Fremskridt liistorisk nogeniunde maa have fulgt samme Orden som den, de derved indYundne matliematiske Resnltater indtager i den nuvaerende Matliematik, saaledes at man

Page 203

Om sammenlignend~e historiske Studier.20 '2'03 f. Ex. ikke har kunnet kende..et eller andet at' disse paa en Tid, da man ikke allerede kendte dem, der nu benyttes til at bevise det. De Slutninger man deraf kan have dr'aget om, at man paa en vis Tid har maattet vide elier ikke kunnet vide dette eller hint, er derfor ofte ganske upaalidelige,. Da vii grundigere -historiske Oplysninger belvere om, at der ogsaa gives andre Maader at se paa disse Sandheder end de, som. man nu paaagter; de vii da ndvide selve den mathematiske Synskreds. J.Tvnlig vii 'de Veje, man i wddre Tider er gaaet, ganske vist vc~re mere intuitive og logisk mindre sikrede, end de, som man nu gaar; men i den Henseende ligner (le efter fremragende nnlevende Matheinatikeres Vidnesbyrd demi, ad livilke ogsaa disse selv forst er naaet til betydningsfnlde Opdagelser. Iovrigt vii man ogsaa finde Forskelie miellem addre og nyere Forskere, som. ikke har beroet paa svigtende logisk Begrundelse hos de forste, men kun paa Forskellen i UdgangspunktL ogF Forudsawtninger; i saadanne Tilfadlde vii Mathematikens Historie kunne udvide Mathernatikernes Synskreds. Noget lignende gadder overhovedet ved Sammenligninger mellenm forskellige Tidsaldres Videnskab. Ved en saadan Sammenligning kan Eftertrykket I1egges paa to forskellige Steder. For ret at tydeliggore Vwerdien af de Fremskridt, som betegner Overgangen fra den ene Tidsalder til den anden, kan man fremhoeve alt det, som. denne sidste derved har forud for den foregvaaende. Dette er ret og billigt; derved gives den rette Fo~rstaaeise at' Udviklingen, og derved laegger man Nutidens vel fortjente Paaskonnelse for Dagen. En saadan Sammenligning forsommes da ogsaa sjelden. Men man maa ikke derover giemme, hvad der allerede skyldes den CTddre Tid, uden hvis medvirkende Forberedeise de fremliavede Fremskridt ikke kunde vawre gjort. I den er ofte alierede de simpleste og netop derved ikke mindst vigtige af de Resultater fundne, som har givet Anledning til Dannelse af Me'thoder, der er betydningsfulde ved deres langt storre Almindelighed, men sorn hvis Forstegrode nun de tidligere kendte Resuitater saa naturlig frembod sig, at de snart blev antagne for forst at vere indvundne ad denne Vej. Jeg skal saaiedes minde Om de mange. Kvadraturer, der gik forud for Integralregningen.' Deni Sammenligning, som jeg vii have frern, bor ikke alene fremlhveve de Fortrin, som paa det mere udvikiede Trin haves fremifor den Tid, som gik forud; den bor tillige fremdrage de Betingelser, som i denne skabtes for de senere Fremskridt. Begge Dele fortjener Mathematikliistorikerens Omitale og Paaskonnelse. Det kan tiifojes, at Kendskabet til den oeldre Forberedelse af Fremskridtene og den dermed vundneForstaaelse af, hivorledes de virkelig er foregaaet, og hvor stort Arbejde de har krwevet,i Reglen ingeniunde vii svawkke vort Blik for Betydningen af selve Fremskridtene elier vor Paaskonneise overfor dem, der har fuidbragt dem. Dette gaelder ogsaa om det store Fremskridt fra en mere eller mindre sammenharngende Viden til Videnskab, som. fulIdbyrdedes af det hellenske Folk. Overfor de mange Forsog paa at till1egge de orientaiske Folk lige fra Kina og til XEgypten oeldre Grundl1eggelse af en Videnskab, der fortjener dette Navn paa samrne Maade somn navnlig den graeske Mathematik, Forioberen for en videnskabelig Be

Page 204

204 1. Kapitel. 6 han dling ogsaa af Andre Naturfag, har man med Rette 1) paavist Forskellen mellem. den af Grookerne indforte Tankegang med. dens fulde logiske Sammenhoeng og saadanne aeldre Betragtningsmaader, som. man liar k~unnet betegne med. Ord som. Overtro, mere eller mindre tilfweldig Empiri, rent intuitiv Tilegnelse o. s. v. Man liar ogsaa kunnet pege hen paa. den hos Grookerne saa bestemt fremtroedende Lyst til Viden og Higen efter at tilegne sig denne for dens egen Skyld. Alt dette er sandt og fortjener at siges; men det fremkalder da tillige Onsket om at forstaa, hvorledes Hellenernes Forgoengere, med saa skrobelige Hjoelpemidler som de her nvevnte og uden Hellenernes videnskabelige Drift, liar knnnet 'naa. en saa omfattende Viden soin den, de faktisk tidligere besad, og som. for en stor Del fra dem er gaaet over til de grwske Forskere. Skont det kun er i Henseende til. Mathematiken, at jeg tor haabe at give et virkeligt Bidrag til denne Forstaaelse, skal jeg dog her foind gjore et Par almindelige Bemwrkninger. Jeg skal begynde med at henlede Opmoerksomheden paa, at medens den videnskabelige Drift saa. aabenlyst trweder frem. hos Hellenerne, mere aabenlyst maaske, fordi vi kender dem. og Overleveringerne fra dem bedre, saa liar en saadan Drift ogsaa tidligere vwret tilstede om. end skjult under andre Skikkelser, og' da navnlig vveret knyttet tii Gndsdyrkelse og Helligdomme. En saadan Tilknytfling vidner netop om. den Vwrdi, som man tillagde en eller anden Viden. Naar saaledes MILHAUD S. 86, Note, forkiarer den nojagtige Orientation af Pyramiderne derved, at den knytter sig til XEgyptens religiose Myther, og altsaa. ikke skriver sig fra virkelig Interesse for at gjore en astronomisk Bestemmelse saa god som. mulig, saa forekommer det mig omvendt, at denne Interesse fremhoeves ved. at give den et religiost Formaal. Endnu bestemtere troeder det samme. frem. ved. de gamle indiske Culbasiitraer. De er Haandboger til Brug ved den ritualmoessige Konstruktion af Altere og andre Helligdomme og -indeholder som. Indledning liertil et vist Antal vigtige geometriske Saetninger og Konstruktioner, deriblandt, som vi senere skal se, den pythagoreiske Swtning og dens Anvendelse til Konstruktion af rette Vinkler. De, der forst har givet Altrene saadanne Former, at derved en Rawkke af for sk elli ge relvink~lede Trekanter med. rationalt Sidetal kommer til Anvendelse, og til samme Brug fundet en ypperlig Tilnoermelsesvwrdi til 1V~, liar sikkert netop v\ed denne Anvendelse ogsaa lagt deres intellektuelle Interesse for disse Resultater for Dagen, og den paa. denne Maade lielligede Interesse er' bevaret og udvikiet ved deres Sammenstilling i Cunlbasfitraerne. Ov einIrtro isk Fastliolden af nrigtige Forestillinger og Forkiaringer 1venge efter, at deres Urigtiglied er lagt kiart for Dagen, eller dog langt bedre Forklaringer er fremkomne, er naturligvis kun skadelig; men det, som. er Overiroens Genstand, kan fra. forst af vwre Forklaringsforsog, med livilke det ikke var urigfigt at begynde, og som maatte proves, for der ved. deres Forkastelse banedes Vej for bedre 1) Se saaledes G. MILHAUD: L'apport de l'Orient et de l'Egypte dans la science greque, en i 1893 offentliggjort Af handling, som han med et Ti1Iheg hiar medtaget i Nouvelles itudes sur l'histoire de la penisde scientifique. Paris 1911.

Page 205

7 7 ~~~~~~Omn sammienlignende historiske Studier.20 205 Forkiaringer. Dette gaelder endog om animistisk' Overiro. Efter den vellykkede Opdagelse, at den staerkeste Folelse af Lyst og af Ulyst skyldes Moderen og fjendllige Mennesker, er det ganske naturligt - ja i Grunden stemmende med gode Regler for Dannelse af Hypotheser -at Barnet ogsaa. tillaegger andre Genstande, livormed del kommer i Beroring, Liv. Forsog paa noget lignende liar ogsaa haft en vis Berettigelse lios Folk paa et barnligt Udviklingstrin. Endnu paa den Tid, da mtin liavde lagt Mawrke fli Planeternes tilsyneladende Baner paa Himmelkugle'n, kend~te man kun hos levende Vwsener saa uregelmwssige Bevoegelser. Astrologien rummer ganske vist et Voev af Overlro og mere eller mindre bevidst Bedrageri; men fra forst af var det ikke. saa urimeligt, efter at have fundet Sammenhceng mellem Solens og Maanens Bevaegelse og Vekslingen af Lys og Varme og Vejrlig og - om. end, som. vi nu ved, kun paa Grund. heraf -- af Sygdomine, at gaa videre, noget, som jo ogsaa skulde lykkes for Ebbe og Flods Vedkomrnende. Den saaledes fremkomne Astrologi har givel Anledning tl lagttagelser, som, senere skulde komme Astronomien tl Gode. Empiriker er et Ord, som man skulde tro ikke belod noget daarligt overfor Videnskaber, der bygger paa Erfaring; derved betegnes imidlertid de, der bygger paa saadanne Erfaringer, som ganske tilfbeldig og uden Lejlighed fli nojere Provelse er faidne i deres Lod, og paa de rent subjektive Indtryk, disse har gjort pan dern, uden at de liat bragt det i nogen Forbindelse med de mere omfallende Effaringer, som Menneskeheden allerede liar gjort, og mied den Sammenhoeng i Naturen, sonm derigennem. har lagt sig for Dagen. Denne Bebrejdelse kan imidlertid kun rammne dem, der lever paa Tider, da noget saadant allerede foreligger, men derimod ikke dem, der -paa et Omraade forst liar begyndt at indsamle Erfaringer. Det er jo netop disses Forarbejder, der, naturligvis efter Udskilning af mange arwrdilose Slagger, liar bidraget tl at skabe del Materiale, soni senere liar tilladt at gaa mere krilisk fl Vaerks. Intuitiv vil man vel kalde enliver Tilegn else af Sandhieder, for livis ganske umiddelbare lagttagelse eller logiske Begrundelse man ikke er island fl at gore sig Rede. Del er Psykologernes Sag at finde en mere posiliv Beslemmelse af de sjwJelige Evner, som. lillader denne Tilegnelse, der maa hero paa en Kombinalion af Sanse oplevelser, Erindringer og underbevidste logiske Slutninger. De uLnderbevidsle logiske Slulninger vii dog efterhaarden blive bevidste, og naar delle liar vwret Tilfzeldet, m-aa Hislorikeren stroebe at udskille de bevidsle Slulninger. Denne Forpliglelse rnaa. ikke mindst paalivile mig her, naar jeg forsoger Samm enligning mellern den w1dre geometriske Viden, som for en slor Del er byggetl paa Intuition, og den forste i et logisk System indordnede Geometri. Sammenligningen vii kasle Lys tl begge Sider, derved ogsaa laa del, som den addre Geometri allerede havde naael.

Page 206

2068 8 Kap. 1I. Mathematiken som rationel Videnskab. For at holde det ud fra hinanden, som skal udgore- Genstanden for vor Sammnenligning, skal vi begynde med at omlale de Krav til en systematisk Behandling af Mathematiken, som. PLATON gjorde sig tii TaIsmand for, som findes gennemforte i EUKIDii's Elementer og er fulgte af hans grwske Efterfolgere, og som endnu danner en Rettesnor for Mathematikens baade skolempessige og videnskabelige Behandling, om end baade Udgangspunkt og dermed -Formerne for Gennemforelsen har vendret sig. Disse Krav gaar ud paa, at Mathematiken skal vwre en logisk Videnskab, hvor livert enkelt ResultaL naas soni en Folge af de foregaaende. Soetninger og Beviser maa udtrykkes dels ved saadanne Ord af del soedvanlige Sprog, som kan antages vel kendte og fri for enliver Tvetydighed, dels ved Ord og Symboler, for livis Betydning man forud gor Rede. Denne Redegorelse findes i Definitioner, som k an voere saa fuldstaendige, at de selv indeholder de F o r ud s In i n ger, som ikke selv bevises, men danner Grundlaget for det derpaa byggede System; men de forelobig opstillede Definitioner kan ogsaa indskramnkes til korte Indforelser af de Ord eller andre Symboler, hvortil de nye Begreber skal knyttes; de Egenskaber, som nzermere skal karakterisere disse Begreber og danne Udgangspunktet for den paafolgende Undersogelse, fremnsattes dernoest i Postulater eller Regler for Operationer og Regninger med de indforte Symboler. I dette sidste Tilfoelde bliver Po stnu1at e rne i logisk Henseende en uundvwerlig Fuldstoendiggorelse eller snarere'den voesentlige Del af Definitionerne. Som saadanne fremtroeder de i PASCH'S og hans Efterfolgeres moderne Undersogelser af Geometriens Grundlag. Og allerede EUKLID boerer sig i de fleste Tilfvelde ad paa samme Maade. Saaledes er den opslillede Definition paa en ret Linie kun en forelobig Indforelse af dette Begreb; men de Egenskaber, som. danner Udgangspunktet for den paafolgende geonietriske Undersogelse af den rette Linie og de deraf dannede Figurer, fremsawttes forsi i Postul a te rne. En lignende Rolle spiller de paafolgende,, A 1 m i n d e I i g e B e g r e b e r1', hvori de Kendetegn noevnes, -som karaklteriserer Begrebet Storrelse og dets Fremtrawden i Geometrien. Den her skildrede, om. man vii, definerende Rolle spiller de Ire Arter af Forudsvetninger i det af EUKLID opforte System. Hvorfor hver enkell Forudswetning er medtaget, forkiares, forst ved den Brug, der gores af den i del derpaa byggsede System. Der er altsaa ikke nzermest Tale om. en Reekke Forudsoetninger, som, man nu en Gang har, og et Arbejde paa dernpest at bringre det niest mulige ud af disse Forudsaetninger. Rent forrnelt 'faar ikke blot Valget af dem, men de selv et vist Praeg af Vilkaarlighed, idet der ikke siges et Ord om., hvorfra man har dem. De fremtrweder hos EUKLID sorn umiddelbart in dlysende, en Opfattelse, som man fi'a Oldtiden af ogsaa i Filosofien liar forbundel med disse Ax iomnier, sonm de'

Page 207

9 9 ~~~~~~Miathematiken som rationel Videnskab.20 207 kaldes med et mere omfattende Ord. Hvorledes de:er fremkomne hos EUKLID, horer med til, hvad der skal beskawftige os; men det ses straks, at de er knyttede til en Sum af Erfaringer om. den os omlgivende, tl Rum og Tid bundne, Verden. Derved er det, at den derpaa byggede Lawe bliver ski~kket tl at befawste og yderligere udvikie Forstaaelsen af den ydre Verden og gore os denne underdanig. Om Anvendelsen dertil sigrer Eu KLID dog slet intet, ja han forlader end ikke sin paa Forudsoetningerne-byggede almindelige Freinstilling for at give.Talexempler eller andlre Exempler paa Anvendelse, hverken saadanne, som kunde tjene til Ovelse eller nojere Forklaring af Swtningerne selv, eller saadanne, som kunde vise den Nytte, som de kan gore ogsaa udenfor den geometriske Loerebygning. Den eneste Anvendelse, somn gores af de enkelte Soetninger, er Udledelsen af nye almindelige Szetninger, paa hvilke der straks, Deller senere hen i Bogen, eller under fortsat videnskabeligt Arbejde kan bygges videre. Denne Form for en rent rationel Behandling fulgies noje af EU'KLIDS Efterfolgrere. Hvor del - med eller ofte uden Grund - har forekommet disse, at EUKLID liar brugt en Forudsoetning uden at betinge sig Ret dertil ved forud udtrykkelig at opstille den som. saadan, har de tilfojet den. Naar de gaar udenfor del af EUKLID behandlede Omraade, begynder de med at opstille de for dette Omraade gadedende Forudsaetninger, som, man vil gore Brug af. Dette gor saaledes ARCHIMEDES. Forud for Bestemmelsen af krurnme Liniers Laengde og krumme Fladers Areal og for sine statiske Undersogelser forkiarer han de nye Begrebers Betydning ved Definitioner og Pos'tulater, og ogsaa her er,Betingelsen for,;at man skal folge hanls Udvikling og tiltroede hanls SlUtninger, den, at man anerkender de opstillede Forudsvetninger; men heller ikke han siger, hvorfra han liar disse. - Paa anden Vis folger man i Nutiden i Hovedsagen den samme Regel, naar man begynder med at opstille Betydningen af de mathematiske Tegn, som. man bruger, og Reglerne for O0perationer med disse. Ved en saadan udtrykkelig Udtalelse af de Egenskaber, man i sin Undersogelse vii tillwegge de Begreber, hivormed man vii operere, losrives disse fra den Sansnling, hvoraf de oprindelig er fremgaaede, og kan som S ym bolIe r anvendes paa alle de Omraader, h-vorpaa de opstillede Forudswtninger passer. Alle Operationer sker. nemlig i Kraft af disse Forudsvetninger. Uden her at prove, i hvilket Maal EUKLID virkelig maatte have naaet dette, kan vi om den beskrevne principielle Fremgangsm-aade sige, at de saaledes indforte ideale Figurer: Punkt uden Udstroekning, Linie uden Tykkelse o. s. v., Linier, livis Punkter er underkastet en i Ord udtalt.Lov, men som ikke nojagtig lader sig konstruere, lige -saa vel kan anvende's som Symboler som- den nyere Mathernatiks Bogstavsymboler og Operationstegn. Ogsaa Bogstaverne losrives ganske fra deres Brug som Lydtegn; men de opstilliede Regler for de betegnede Operationer maa nojagtig angives og folges. Saa kan man ved at tilloegge Bogstaverne forskellige Talvaerdier under et underkaste disse de samme Operationer, ja man -kan endog som. i Operationskalkylen lade Bogstaverne I). K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og nmathem. Afd., 8. Rmekkc. I. 5. 28

Page 208

208 IL Kapitel. 10 betegne forskellige Operationer, naar disse skal underkastes saadanne Kombinationer, paa livilke de kiart udtalte Regler lader sig anvende. En saadan exakt Brug af Sy mbo01e r er vawsentlig forskellig fra -den iBrug, som man gor af Bill ed er ikke blot i Poesi, men jawnlig ogsaa i filosofiske Undersogelser. At denne sidste Brug kan gores med Haab om et rigtigt Udbytte, beror paa, at der er nogen Sandsynlighed for, at den Overensstemmelse, som ligger til Grund for Valget af Billedet kan vwere forbunden med saadanne feelles om. end ukendle Aarsager, som forer til ensartede Resultater pa~a begge Omraader: Billedet og det Af billede. Deri ligger Analogislutningens Berettigelse som en forelobig Slutningsmaade, der rigtignok troenger til yderligere Bekrwftelse. En tilsyvarende b iiled (IIig Brug gor man af den exakte Videnskabs Symboler, naar man anvender dem udenfor det Omraade, for hvilket Operationer med Symbolerne er strengt definerede, naar man f. Ex. gor almindelige Slutninger fra en tegnet Figur uden at sikre sig, at de om denne anstillede Betragtninger gadder for alle de ideale Figurer, som. den skal frenistille, eller naar man anvender litterale algebraiske Operationer, livis Betydning kun er sikret for hele, eller positive, eller rationale, eller reelle, eller endelige Sterrelser, paa henholdsvis brudne, negative, irrationale, imaginaere, uendelig store eller smaa Storrelser eller paa uendelig mange. Historisk -var oprindelig den litterale Algebra kun forklaret for rationale og positive Storrelser. Udenfor dette Omraade var dens,,Symboler" kun, livad vi her liar kaldt,1Billeder", livis Brug dog gennem,,Analogislutninger" kunde fore til rigtige Resultater, sorn saa. bagefter trwngte til en naermere Forklaring. Dette gjaldt f. Ex. om. Forklaring af en funden negativ Rod i en Ligning. En udtrykkelig Udvidelse til irrationale Storrelser gay forst DESCARTES i Begyndelsen af La Ge'ome'trie, og dens Exakthed sikrede han ved Henvisning til den, som de Gamle forlaengst havde opnaaet for deres geometriske Symboler. Exakt blev Anvendelsen af Algebraens Symboler paa imaginoere Storrelser forst omkring Aaret 1800, da WESSEL, ARGAND og GAUSS gay en nojagtig. Bestemmelse af, livad Operationerne i dette Tilfbelde betyder. Og Mathematikens Historie viser, at Anvendelsen af Algebraens Symboler paa uendelig store eller smaa Storrelser og paa uendelig mange Storrelser kan fore til urigtige Resultater. Derfor liar de maattet underkastes nye Regler for ogsaa her at kunne faa en exakt Anvendelse. Det blev lige berort, at ogsaa den gamle Geometri kunde faa en symbolsk Anvendelse. Den liar faaet en saadan til exakt og 'almindelig Frenmstilling af algebraiske Operationer og Resultater. Lige saa tidlig, som man kendte den pythagoreiske Szetning, liar man vidst, at naar Siderne i en ret-Ninklet Trekant kan udtrykkes ved hele Tal a, b og c, kan man give Swtningen to forskellige Former, nemlig: a2 +b2 -= C2, og: Summen af Kvadraterne med Siderne a og b er ligestor mied Kvadratet med Siden c. Da man imidlertid opdagede, at, som vi nu siger, 1/- er irrational, var kun den sidste Udtryksmaade mulig, naar Trekantens Katheter er ligestore. For at undgaa den Vanskelighed, o den aritlimetiske Bestemmelse nu overvindes ved en Udvidelse' af Talbegrebet med saadanne irrationale Tal som

Page 209

II. 11 ~~~~~~Mathematiken som rationel Videnskab.20 209 V., kunde man holde sig til den geometriske Maade at udtale den samme Saetning paa. Lignende Vanskeligheder undgik man ved ikke at tale om MultiplikationI af to almindelige Tal, thi en saadan Operation var ikke forkiaret, naar Tallene var irration ale; -men man fremstillede Storrelserne ikke ved Tal, men som Liniestykiker, og i Stedet for Multiplikation af de to Storrelser blev da sat: Dannelse af et Rektangel med disse fl Sider. En Lignirig, livis Led alle er af anden Grad med Hensyn til de deni indgaaende Storrelser, blev da en Relation af forste Grad mellem Rektangler, og den videre Behandling af Ligningerne foregik ved Omloegning af saadanne plane Figurer. Denne geometriske Algebra var for PLATON's Tid saa vidt udvikiet, at man ved de omtalte Symboler kunde fremstille en Losning af Ligninger af anden Grad paa en Maade, sorn er lige anvendelig, hvad enten de givne og sogte Storrelser kan udtrykkes ved rationale Tal eller ikke; i forste Tilfvelde er Ligningen numerisk. Ved Anvendelse af retvinklede Parallelepipeder, derunder specielt Terninger, kunde man paa lignende Maade fremstille Udtryk og Ligninger af tredie Grad med Hensyn til de deni indgaaend e Storrelser. Videre kunde man gaa ved at anvende Proportioner, ved hvis Sammensatning man kunde fremstille Prodnkter af lige saa hoje Grader, som. man vil de. De Forhold, man forst havde behandlet, var rigtignok kun Forhold mellemi kommensurable Storrelser; men EUDOXOS viste, livorledes man ogsaa paa exakt Maade kunde udtrykke Ligestorhed og Uligestorhed af F orhold mellem inkormmensurable Storrelser. Den derpaa grUndede almindelige Proportionsliiere er fremsat i EUKLID'S V. Bog. Derved benyttes et Postulat (V. Def. 4), der ogsaa tillader Behandlingen af Opgaver, som gaar ud paa infinitesimale Bestemmelser. Rap. III. PLATON's Krav til Mathematiken som rationel Videnskab. P y t li a g o r e e r n e s Opdagelse af, at der overhovedet gives irrationale Storrelser, det dermed forbundne Krav om ikke uden videre at overfore paa. irrationale Storrelser, hvad man ved omn rationale, et Krav, som traadte tydelig frem ved ZENON's Nvegtelse af Kontinuiteten, den geometriske Algebras Omgaaen og EUDoxos' Losning af denne Vanskelighed, THEODOROS' og THEAITETOS' systematiske Efterforskning af, livilke Storrelser der er rationale og livilke irrationale, alt dette viser, hvor dybtgaaende Krav Hellenerne allerede lenge for Platons Tid var begyndt, og paa hans Tid vedblev at stille til en exaki og almindelig Behandling af Geometrien og gennem den af Algebraen. Disse Krav maatte yderligere forages ved saadanne Fremskridt i positiv Viden somn dem', der vandtes ved HIPPOKRATES' geometriske Arbejder, ved DEMOKRIT's Bestemmelse 28*

Page 210

210 210 III~~~~~~~~~~1. Kapitel. 1 12 af Pyramidens og K~eglens Rumfang og ved Opdagelsen af, at der ikke gives: uendelig mange Slags regulaere Polyedre som uendelig mange Slags -Polygoner, men kun fem. Det ses ogsaa, at man paa forskellig Maade var inde paa Veje tl at imodekomme disse Krav.') Paa en ruldt ud tilfredsstillende Maade kunde dette dog forst ske ved en konsekvent Opforelse af en Luerebygning Af den logiske Form, som. er skildret i forrige Kapitel. Uden del vii Geometrien bestaa af en mere eller mindre tilfreldig Blanding af Resultater vundne ved Intuition og saadanne, som man deraf liar udledet ved riglige Slutninger. Dette maa saaledes have vaeret Tilfaddet med de Elementer, som allerede HIPPOKRATES siges at have skrevet. Den forstandsmoessige Side af Mathematiken vakte i hoj Grad PLATON'S Interesse. Denne gjaldt ikke mnindst de irrationale Storrelser; den Egenskab, der skilher dem. fra de rationale, trweder nemlig, naar de fren'stilles geometrisk, slet ikke frem for Intuitionen og liar ingen Betydning for praktiske Anvendelser, i livilke en tilstraekkelig noer Tilneermelsesvoerdi er hige saa god som den mathemalisk exakte Vawrdi. Den er saaledes kun tl for den forstandsmnwssige Behandling af Mathemaliken og maatte netop derfor interes-sere PLATON. I,,Lovene" bebrejder han sine Landsmaend, at de ikke tidligere liar bemawket, at der existerer saadanne Storrelser, og i,, T li e a i t e t " fremhoever han denne Mathematikers Fortjenester af Paavisningen at', livilke Rodstorrelser der er irrationale. Den syslematiske Maade, hvorpaa Bestemmelsen heraf, i Overensstemmelse med THEODOROS' Indforelse af Begrebet inkommensurable Storrelser, sker ved Tilknytning tl Methoden til at finde storste frelies Maal (Oversigt, 1910 og 1915), liar aabenbart vakt hans Beundring. Ikke mindst paa dette Punkt naermer Mathematiken sig tl at realisere hans Ideal af en Videnskab, der hell opfores efter rationelle2) Grunds~elninger; ja dette Ideal er vel for en Del blevet tl ved Betragtning af, h-vad han allerede forefinder i Mathemaliken. Hans og hans nawrmeste Efterfolgeres BestraTbelser efter at opnaa del sanime for andre Videnskaber troeder frem i hans og de res Forsog paa at fore Egenskaber ved Tal og ved Figurer ind i Forklaringen af andre Naturforliold, livori han iovrigt folger Pythagoreernes Exempel. Herhen horer det gaadefulde saakaldte Mathematiske Tal, der efter de fremkomne Losninger af Gaaden noeppe liar frembudt synderlig malhematisk Interesse, og SPEUsippos' Anvendelser af de aritlimetiske Forbindelser mellem Tallene 1- 10, hvis mathematiske Interesse kun knytter sig tl den Omlin, livormed man liar fremhwevet de aliersimpheste Talforbindelser; end1).Jeg henviser til mine Afliandlinger i KglI. Dan ske Vidensk abernes SeIs ka bs Oversigt: Sur la constitution des livres arithmetiques des Eliments d'Euclide et leur rapport d la question de l'irrationalite. 1910. - Sur les connaissances giom~itriques des Grecs avant la riforme platonicienne de la gi~omitrie. 1913. - Sur l'origine historique de la connaissance des quantit~s irrationelles. 1915. - Citeres som: Oversigt 1910, 1913, 1915. 2) Den paa dansk (og tysk) gooldende Sprogbrug er her for saa vidt mindre heldig, som rational og rationel kommer til at betyde ganske forskellige Ting. Ovenfor kunde man saaledes have sagt: Det, der karakteriserer irrational e Storrelser, er kun til for en ration el Betragtning. Stort bedre bliver det ikke, naar Mfan paa fransk, hvor rational kaldes,rationnel", kan udtrylkke det, vi her har kaldt rationel, ved,,raisonge'",

Page 211

13 Platons Krav til en rationel Mathematik. 211 videre Anvendelsen af de regulaere Polyedre til Forklaring af de fysiske Grundelernenters Egenskaber. PLATON'S Opfattelse af Mathematiken som rent rationel Videnskab og den Pris, han ssetter paa den, naar den dyrkes alene for den derved erhvervede Viden og uden Hensyn til praktiske Anvendelser, traeder frem i sin fulde Sammenhaeng i,,Staten"s VI. og sserlig i VII. Bog, hvor han skildrer deres Opdragelse, sorm skal forberedes til at vogte den ideale Stat, som han har for 0je. Den sserlige Stilling, som disse Msend skulde indtage, bringer ham vel ogsaa til at se hen til en enkelt praktisk Anvendelse af Mathematiken, nemlig paa Krigsvaesenet; men hovedsagelig skulde de dyrke den for den derved vundne,,Forstandserkendelses" (Oedvoca) egen Skyld, altsaa netop som den exakte Videnskab, der systematisk bygger paa et rationelt Grundlag, som den ikke umiddelbart kan laane fra den ydre Verden. Herpaa peges allerede hen i folgende Ytringer i Slutningen af sjette Bog, som vi skal supplere med et Citat af PLATON'S,, Timaio s". I,,Staten" VI siges:1) 510 c 2. O'r o ol rzp raQ eswoserpcia r xac 2ofTeaobU zxa ra roTaUra Upaijarsos/i sot, urOi l YEvotC TO T~ 7repCrziO xaC TO (p'ortOI XaG ra aytfgara xac ryceolv) rperra e8r] xa aa22a Ta V J8~c: t a ECa-@ ~X - V a rootwv (dSekca xaly' Sxdar~rv,jiosov, rcra Ve e; IO rgc, oe6T~ j o d/l.~VOt urTOIae'C a63rd, oufGva Aryov oz)T aboo4O orVc a eAoie EVi d(iouffC 7rsepi aUrijv 3ova 8 (bJ 7ravar gOavsprvY, ex rouroav ' dp;(o.e.voC rTf. A2O7d f )Ji ~e~iovrq~ rT~e)e~oVTa O/)oAoiOUpoS/vcOq ~EM TOUTro OU.V ee axsiev opRiwawae. 510 d 5. Ouxotv xa t Tor rcQ opwoi~voec e'bedea 7zpoaXpo'Vrae xcu TVoQ AyO6 YO~ ep arVcav 7Toeoo1urae, o06 rep} Tro6rvT 8iavoo6pil oe, d2'A xEiCvwV nipt o~ rOatra ~otxe, rou rTerpa^ovou avro TO vEsxa robU o0youo woo/iieVOe xza Ocaeurpov avJriQ, d.)' o06 ravrrj ^v y^papouaeV, xac rva2a ou'rwJ, ara V uav ra ra rAdirTVooai Te xaei pdaOouveI, 5)v xat aqxCa xai ev K6aatv exove e aiv, ro)iroeT,cv cQ 5e xoaMv Cao Xpo(eJvot, CrjrouvrT~ k a ra,Zxeia c3zev d oux 9z'v 'iAcow 'c'8o reig r,^ ocavola. - 1) Citaterne er efter BURNET'S Udgave. I den at de, der giver sig af med Geometri og Regnekunst og deslige, forudsaetter det lige og ulige, Figurer, tre Slags Vinkler og andet hermed beslaegtet, efter enhver Undersogelses Natur, og, idet de gaar ud fra, at de kender dette, da de har gjort det til Forudssetning, hverken overfor sig selv eller andre anser det for nodvendigt at give nogen yderligere Forklaring deraf, da det maa vaere tydeligt for enhver, og, idet de gaar ud fra det, fortsaetter den hele Slutningsrsekke saalsenge, indtil de paa folgerigtig Maade er komne til det, de egentlig vil vise. Ligeledes, at de tager synlige Figurer til Hjaelp og knytter deres Slutninger til dem, skont det ikke er dem, de har i Tankerne, men hine, med hvilke de har Lighed. De gor saaledes deres Slutninger for selve Kvadratets og selve Diagonalens Skyld, ikke for dens Skyld, som de tegner, og ligesaa med andet: selve det, som de former og tegner, hvoraf der gives baade Skygger og Afspejlinger i Vand, bruger de som Billeder, men de tragter efter at se selve det, som man kun kan se med Forstanden. danske Gengivelse havde jeg her og i det folgende forst benyttet C. J. HEISE: Platons Stat, Kjvbenhavn 1851, og Platons Timseos, Kjobenhavn 1855; men Prof. HEIBERG har velvillig meddelt mig adskillige vigtige Berigtigelser af denne.

Page 212

212 212 III~~~~~~~~~~1. Kapitel. 1 14 (511 a 2.) Tobrzo, ~-rotvu vorz-?I) [-AeVJ~ s'dog "'ZsToW, b~tO6Eqeqc7 J' cAaxCop sV9v Oux*%v %p?7 -Or0. 7tSEpOl -Wi'l) alUTOU0, OUYx EW ao louqatv (O, 09 OU z"VrV iO- 'rOiE),, n, ' (I.coVZ-SpW( Exp~inlSe?., el~xO~7 OS, %pw/ptlsvfr C)70gT~ 0'7ok 'bw Tibl Xdzw( (dweeXaaq#$S'le X~U,-xeCVOtg 7pOg EXSeiva (O~g S.apSyet JS(80$((]q(etdvoig rS xat T'zar" ~It 0tg Denne Art, betegner de altsaa. som. Genstand for Tanken, men Sjoelen er ved Undersogelsen deraf nodt til at bet~jene sig af Forudsawtninger, uden at gaa til den forste Grund (thi den kan ikke gaa ud over disse Forudsoetninger), og den bruger sorn Billeder selve de Ting, hvoraf der gives Billeder i den lavere Sphaere, og som i Forhold til disse er anerkendte og agtede som haandgribelige. Ved den folgende Replik i den anvendte Dialogform! bekraeftes, at der sawlig tales om- Geornetrien. Onm de i denne brugte Figurer siges altsaa, at de tegnede Figurer kun er Symboler paa de geonmetriske Figurer, hvis Egenskaber man i Virkeligheden udleder af de om dem gjorte Forudswtninger. Derved egner de sig ogsaa til at anvendes som Symboler ved Behandlingen af Storrelser i Alinindelighed. Netop paa denne Anvetidelse maa PLATON tarnke, naar han i,, Timaios" siger: (32 a 7.) is uE! o6i) S'wws- o~ V p fiv,Y-~'& J 8 /1fjJS-'V /OV SE T~I.S'YUEU80 iY 0 you avrb dcoupa, JsZlu xa'I EW)17rv vdu~ JS GrSpOSOSCa;-(Z1o aL)Y4) OiO 7 WUpOO re xac 08~iCOP d,,,pa z-e o ravad/1vog, JrucEp rwip 7rp?~g apa, 'co5z-o oia 7Wpog U8(op, WIC 0'rC aL10 7t1OOg U~'Wp0, u'8'wp wrp6~ Hvis flu Alverdenens Legeme skulde vaere en Plan uden Dybde, saa, vilde 6n. Mellemproportional have vwret tilstraekkelig til. at forbinde de andre Led og sig selv. Men da det skulde have det rumliges Beskaffenhed, og det rumlige aldrig. forbindes ved en, men ved. to Mellemproportionaler, har Gud imellem. Id og Jord sat Vand og Luft og saa vidt muligt bragt dem. i samme Forhold til hinanden, saaledes at Ilden forholder sig til Luften som. Luften til Vandet, og som Luften til Vandet saaledes Vandet til. Jorden. Vi kan her se bort fra den vilkaarlige Anvendelse af geometriske Proportioner, ligeledes fra at PLATON ikke helt kan losrive sig fra. det, som dog kun vedkommer den geometriske Symbolik; han fastholder den vel netop, fordi selve den abstrakte Betragtnings Gyldighed er saa noje knyttet til denne; men allerede mod de rent mathematiske Paastande har PROKLOS 1) indvendt, at der ogsaa existerer to Mellem') I en Note S.. 184 if. til hans her citerede Overseettelse mener HEISE, som anforer PROKLOS' Indvending, i Tilsiutning til flere aw1dre Forif. at komme ud over den her berorte Vauskelighed ved den Antagelse, at PLATON kroever, at ogsaa Forholdene mellem de indskudte Tal skal were rationale, altsaa ogsaa Forhold mellem hele Tal. Om en saadan Fordring siger PLATON ikke et Ord; men, som vi viser ovenfor, stemmer hans Ord med den Fremstilling af Forhold ved geometriske Symboler, som tvwertimod bliyer uafheengig af, om de Storrelser, vi liar kaldt a og b, er kommensurable og Forholdene altsaa rationale. Det var vel forst paa PLATON'S Tid, at EUDOXOS gay en arithmetisk-algebraisk Forkiaring af, hvad Proportionerne i saa Fald betyder; men Fremstillingen brugtes i d e t m i n d s t e siden HIPPOKRATES uafhxengig heraf.

Page 213

15 15 ~~~~~~Platons Krav til en rationel Mathemnatik.21 213 proportionaler meliem to Flader og en meliem to Rum. Heroin turde man dog paa PLATON's Tid have vidst iige s~aa god Besked som paa PROKLOS'; men PLATON'S Paastand om den mathematiske Forbindelse mellem to Storrelser og en eller to Mellemproportionaler er fuldt forstlaaelig, naar man tawnker paa den vedtagne Fremstiliing af disse ved geometriske Symboler, en Frernstiiling, som f. Ex. alierede ligger til Grund for HIPPOKRATEs' Reduktion af Terningens Fordobling til Konstruktionen af to Mellemproportionaler. Forholdet mellem to paa hinanden folgende Led i de sammenhaengende Proportioner skal nemlig fremstilles som Forholdet a: b 'meilem to Linier. Da bliver Forholdene meliem Leddene i sammenhamegende Proportioner med 3 elier 4 Led freimstillede ved a2 ab:b2 og3 a a ab: ab: b altsaa henholdsvis sorn Forhold mellem Flader eller Legemer, saaledes son] PLATON siger. Endnu skal vi bemoerke, at naar PLATON i VI. Bog af Staten noget for de Uddrag, vi her har anfort, taler om. S~ofisterne, der i deres Undervisning for Betaling 1wre~r Folk, hvad de heist vii hore, og ikke, livad der i sig selv er sandt, godt og skont, gawlder dette aabenbart ogsaa om deres Mathematikundervisning. Denne liar altsaa navnlig angaaet, hivad Eleverne kunde faa Brug for i Livet, og livad de intuitivNt kunde tilegne sig uden Anstrengelse af Forstanden, og saaledes endnu ikke haft eller tilstrawbt de Fortrin, som PLATON priser. Under disse Omstoend~igheder liar Sofisterne i deres Mathemiatikundervisning haft mere Anledning til rent overfladiske Begrundelser end til,,Sofismer" i Betydning af Spidsfindigheder. Saadanne er iait Faid forst -tildeis i Form af mere eller mindre gode Vittigheder - fremkomne sorn Svar paa de piatoniske Mathematikeres skarpsindige Kritik af deres egne mere overfiadiske Betragtninger. Del er nemlig saadanne, som tiillegges de Mathematikere, der betegnes som Sofister (Oversigt 1913 S. 440). Den ret udbredte Opfatteise, at den rationelle Bevisforelse skulde vwre fremnkomnmen som Vwern mnod soristiske Angreb, liar n.Tppe m-eget paa sig; Sofisterne liar nwrmest -Ijent som Exempel paa. den veidre uvidenskabelige Overfladiskhed, livorover PLATON's Disciple var ifoerd rued at hwve sig. 1) Vi vender os flu til VII. Bog af,,Staten", livor PLATON mere direkte omutaler, hvad de vordende Vogtere af hans Stat skal Ivere af Mathematiken. Han gaar her ud fra dennes pytliagoreiske Firdeling, somn han dog lwngere hen finder det fornodent at supplere. Han begynder med Aritlimetiken. Hvor iangt han vii at man skal gaa tilbage i denne, viser sig af, livad han siger om Enhed og Fierhed. Forud liar han (523 b) karakiteriseret de Genstande, som man ikke fuidt ud faar fat paa gennem Sanserne, men som opfordrer fl Tankning saaledes, at dette er ') Herved liar jeg ikke regnet ZENON mied til Sofisterne; jeg fre'mbwver netop stadig, hivorledes han ined sit skarpe Blik liar peget lien paa de Vanskeligheder, soin Matliematiken maatte overvinde for at blive exakt Videnskab. At hian selv ansaa dem for uovervilidelige, er en Ting for sig.

Page 214

214 III. Kapitel. 16 Tilfaeldet med det, sorn paa engang fremkalder to hinanden modsatte sanselige Fornemmelser (rai ~xraivovra e~i ~varcav ai'caaev aupa). I saadanne Tilfbelde maa Sjaelen kalde D0mmekraft og Forstand til Hjaelp for at afgore, om der er en Ting eller to, hvorom Sanserne meddeler Beretning (Ev roT O TO1OVTOQ.....7eEpT-ac ifoydpo'v Te xac vojaliv vOu] 7Tcapoxadouaqa cn7raxoT7Sv Ecre ~" E'E I' o ~, a V ~xaar o To/V iaatCI2OpiV0V (524 b 3)). Det, der falder i den sanselige Anskuelse tilligemed sin Modssetning, betegnes altsaa som det, der opfordrer til Tsenkning ("3 ev Sc rijv aI' av?( dpa rTOiQ FvavzioCt RauiTokC 5CrITEiCZ, 7rapapx Arcxa opetlovog.....-g ^oji,^(aO (524 d 3)). PLATON paapeger nu, at dette finder Anvendelse paa Anskuelsen af Enheden; thi den samme Ting viser sig altid for os baade som en Enhed og en uendelig Mangfoldighed (aa.l ycp Tauzo1 (09 'sv rE Ops)p01v xac} c iMrcpua TO r nw2o) (525 a 4). Han fremhaever saaledes den samme Omstandighed, som i et nyt Skrift om mathematisk Logik ) anvendes til at give de forst rent formelt opstillede, nogne Begreber Enhed og Flerhed et frugtbart Indhold. Om den saaledes opstaaende Talkunst (rb 7epl robe 2Ao^a, obiu yd?1#pa), der dyrkes for Erkendelsens Skyld (zo ^vwcopisCev yvsxa) siges videre, at (525 d 5) 7I0Tou r..r. ' oo68oa vo 7ro drYeI i-V 4OU)V ZUd 7rSp" aai-Jbw iwo dold(Pv dvarxda'Ce8e 8caiyeaoaU, o3 a,, dr coo3 ' vov Eav YTCe aur7 Oppard 0.770 d ojuarta S ovreZ a dp%/OS N 7r po-rZevIOYvo~ Q aArSii^-rae. o'a)la Yap Zro rovo 71rep0 rauS- 8eCvobQ au5 CI(, d(jv rt aCVO) TO) V ~ 7rt~tp7IO TiO AO' iTuvev, xaraeioaci re xac o6x dTro8'ovorac, d/C ' i&v ab XEpLari-TjC aurti6', gxsevoe tola 22raaCeoaYw,,sAafo-ievol 7, j ore (a Ti-O e vtoj, (VW. wo0AA c, pea. -- (526 a). Tc' oUv oC'~e,... E C' req spoero auro q',,7Q2aavodaoe, resp rTcoiwv dptecv ov ca2^sfyee, ~v Oq; iO ev OCOV ua.~Ik (COi o i-, o M ov T~ sxaarov rydv ravri xa} o3uo alexpov 8ca(pipov, opeo.pv ie eyov SE kauir- ou0 J& -- f1p [i- rouirwv 2Riouealv,u 8oavoYJ8ivae,aOlov E(Tope?, iR2ow a' ouSaSUQ,UZTraEePiCEa aGt oVuarOv. - - - - a..i d.ofxio ii'al dui.'ai-6v - --- i-qiio vi-rt dvarxatov jIv V XIYuvssI elY vaeTO rcI dT^rfa, E7rZeJo 5aive'CTaC ye TpooavaparxcovY aCu~r r-Zyj vo Cec Xpr^qaeC T-YV b^Uyq sii-r(j i-y AIWd^jeav. den haver Sjaelen og noder den til at tsenke over Tallene selv og er aldrig tilfreds med, at man i Taenkningen bruger Tal, der har synlige eller haandgribelige Legemer. Thi Du ved dog, at de, der er kyndige i denne Kunst, ler ad En, naar man i Diskussionen forsoger at dele Enheden selv, og ikke vil lade det gaelde, men at de, naar Du skseeer den i Stykker, (istedetfor) multiplicerer den af Frygt for, at Enheden nogensinde skal optrsede ikke som Enhed, men som Mangfoldighed. - Naar man nu sporger demn: I forunderlige Mennesker, hvad er det for Tal, I taler om, hvori der findes saadanne Enheder, soni I antager, der alle hver for sig er lige indbyrdes uden mindste Forskel, og ingen Dele indeholder? (svarer de): de taler om Tal, der kun kan tsenkes og ikke behandles paa nogen anden Maade - -; denne Kundskab synes virkelig at vsere nodvendig for os, da den aabenbart noder Sjaelen til at bruge den rene Taenkning for at komme i Besiddelse af den rene Sandhed. 1) TH. BRODEN: Om begreppens dialektiska uprinnelse. Lund 1915.

Page 215

17 17 ~~~~~~Platons IKrav til en rationel Mathernatik.21 215 Skont vi mere kommer tl at beskmftige os med Geometrien, faar dette Stykke om Arithmetiken ikke ringe Betydning for os, fordi Skildringen af det rene Talbegreb tillige tjener tli Prove paa del Krav paa Renhed, som ogsaa. skal stilles tl de geometriske Begreber; thi ogsaa for Geometriens Vedkonmmende lwgges der fra. PLATON's Tid af an paa, gennem,,den rene Teenkning at komme i Besiddelse af den rene Saudhed."1 PLATON'S Ord yder et Bidrag tl den rette Forstaaelse af BUKLID's arithmetiske Boger og vil da. i Forening med dem vise, hvor vidt man allerede paa. PLATON'S Tid maa viere kommen i Retning af det samme Talbegreb, som. EUKLID gaar ud fra. Del maa da fremhaeves, at dette Begreb om Enhed og derved om. Tal, som efter PLATON ikke tor anvendes pa~a benawvnte Tal og i Sammenhirng derined heiler ikke lilsieder Brokdannelse, er forskelligt fra det, som. vi nn gaar nd fra. Vi taler vel ogsaa om rene eller ubenvevnte Tal, deriblandt forst Enheden og de hele Tal. Oper ationer med dem frembyder for os den Fordel, at de bliyer anvendelige, livilken Benwvning man end derefter giver Tallene. Vi kan da ogsaa,,skwre Enheden iet Antal lige- store Stykker" og tage den ii filny Enhed og derved faa Broker. For de Mathematikere, som PLATON omlaler, og for EUKLID er derimod Enheden og dermed de 0vrige hele Tal Regnesymboler, med hvilke der opereres efter bestemle Regler, og forst disse 1verer, hvad Enhed og Tal er, idet man faar at vide, hivad de binges tl. Derfor kan EUKiLID's Definition paa Enhed ikke sige andet, end at del er et Begreb, som man vii faa Brug for. EUKLID VII, Def. 1 siger: Ai/ob.dg a'ozw, zadW~" C3~Xawnvi z2ioV 0i'Uz-wj au %.Vrrzat (Enheden er del, efter hvilket hver enkelt Ting kaldes en), og Def. 2, at et Tal er den Maengde, som. bestaar af Enheder, altsaa hvad vi nu kalder et helt Tal. Definitionen paa Tal giver allerede Anvisning paa. Toelling som den forste Taloperation og som Middel tl at sammenligne, addere ogv snbtrahere dem; men Reglerne for de 0vrige Operationer gives i ProportionsJveren, i hivilken man i Virkeligheden opnaar del samnie, soni vi nu opnaar ved Brng af Broker. Herpaa peger ogsaa PLATON, naar han siger, at Mathematikerne, naar man v~ii skoere Enhedeni Stykker ( Ex. dele den i 5 ligestore Dele og tage 3, altsaa danne Braken 3), strax mangfoldiggor den (hvad man gor, naar man lader to Storrelser forholde sig som Tallene 3 tl 5). Hans Bemoerkning viser iovrigt, at Tanken om en Deling, altsaa om Brokdannelse, ikke liar ligget ham fjernt; vi, ved ogsaa, at man i den grweske Logistik brngte de fra. AEgypten arvede Stambroker (Broker med Tw11eren 1). PLATON vii netop fremhwve, at Mathematikerne lagrer Afstand fra Brokdannelse, saa vel som fra enliver Brug af benawvnte Tal, der seivfolgeiig var den Forbindeise, hivori Tal brngtes i- del daglige Liv. Her er aitsaa Tale om. et valgt og villet System, som. Mathematikerne lagde tl Grund for en exakt og rationel Behandling, og del er del samme, som. for Arithimetikens Vedkommenide findes hos EUKLID. Forberedt er dog naturiigvis dette System ve'd Pythagoreernes praktiske Anvendeise af Forhold og Proportioner. Denne er vistnok ogsaa. fortsat i den grwske Logistik, og at den D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Ad., 8. Rce1ike, I. 5. 29

Page 216

216 III. Rapitel. 18 hoe vdedes i den videuskabelige Behandling, turde have -vwret inedvirkende'Lil, at almindelige Broker koenge ikke anvendles i den grawske Regnekunst. Det ligger nuer at antage, at et saadant VaIg af den udelelige Enhed og en raLionel Behandling med dette Udgangspnnkt maa skyldes en enkelt Mand. Da nu, som vist i Oversigt 1910, Beviset for den THEAITET tillagte Soetning i Enklid X, 9 om. Irrationalitet af Rodstorrelser findes i EUKLID VIl-ViIII, og da Behandlingen i disse netop liar dette Udgangspunkt, ligger deL noer at antage, at det er den af PLATON saa hojt skattede THEAITET, paa hivem han her soerlig twnker,;naar han Laler om, livad de, 'der er kyndige i den Kunst, siger. Under disse Ornstendigheder vii de Hovedtrawk i den strengt rationelle Undersogelse i EUKLID VII, SOM maatte skyldes THEALTET, have vakt PLATON'S OpMwerksomhed for Muligheden og 0nskeligb~eden af en lige saa gennenifort rationel Behandling af den hele Mathematik, som han laegger saa stor Vaegt paa. Maaske havde ogsaa EUDoxos allerede dla vist, hvorledes Brugen af Forhold og Proportioner ligeledes egnede sig Lil at danne en almindelig Storrelseskere, som. ogsaa onifatter irrationale Storrelser. Ved Omltalen af Geometrien kommer PLATON tilbage LIi Anvendelse af Figurer og, Operationer med disse som Symboler paa exakt bestemte Begreber og Operationer med disse. Efterfolgere af ham raillere over Anvendelsen af Ordet,,Geometri", som umiddelbart betyder praktisk Laandmaaling. Selv siger han: (527 a). ohe adTY 67cr~u e~~~iraZ rovauTe~oL -6ye zo LW7,kor'oeg 2aeropivoti' bw?) TWL) me ax e p c CopiV (O V. - AE'Yo06c1u wE 7oo z-~ltgIE Xa' d.VayXaiWg- Oci 7'&p 7wpd~r'o~rTC xa wpdewjg a~vExa wdrravra rou~2704 7roeoopeeeoo Aiyooael Z-aocarmpl~ell ze xa'I 7raparwen) zae rpoavdivac xai 7wav-rcl ou'zw ~od~ero',U TOll 8Lictl'e 7WO0 7lULL TO l.ua 7)OvC~g zoexam U U 0Tf9 'SO/1LO..r O. wprIYO(Z6VO OUl)T~ U70W(YE0pivhk60 Tt tO C CoO( ' at denne Videnskabs sande Vawsen staar i en bestemt Modsadtning Lii deL Sprog, som. de forer, der beskawftiger sig med den. - Deres Sprog er ganske komnisk og praktisk. Naar de taler om at kvadrere, kegge henad, loegge Lii og bruger luiter lignende Udtryk, skulde man Lro, at de havde en Forretning i Livet, og at denne Forretning var Hovedsagen, skont jo dog hele Videnskaben gaar ud paa Erkendelse....Erkendelse gadlder deL altid vaerende, ikke deL, der oprinder og forgaar i Tiden. De her og i VI Bog udtalte og antydede Fordringer Lii Geometrien svarer ganske Lii, hvad vi virkelig finder realisereL hos EUKLID. DeL. samme maa. Geometrien altsaa, da PLATON skrev,,Staten", i del mindste have vawret paa Vej Lii at opnaa, samtidig med at hans Ord har vaeretL en kraftig Opfordring Lil at gaa videre ad denne Vej. HelL. anderledes forholder deL sig med S te re o me tr ie n, som PLATON vii have indskudt som Nr. 3 meileni Pythagoreernes mathematiske Videnskaber: Arithmetik, Geometri, Asironomi (Sfwrik) og Musik. Han har alierede begyndt. at tale om Astronomien, da han synes at komme i Tanke om, at der mangler noget, som bor folge

Page 217

19 Platons Krav til en rationel Mathematik. 217 umiddelbart efter Laeren om plane Figurer. Fra dem burde man ikke umiddelbart gaa videre ved at tage (528 a 9.) yv rwept5opda ov q 8t arepebv 2fa1OvrTE, rcp'v arbo xaY'avro i2aev ' 63p9oQ 8~ exec E sqg (era Jeoupav auFarv Tpipt, ACLapefdvisv. 'art woo 700 rouTo 7rep r^vv rV X zufcav a$'j.v xac rb fa3 oug; pseTXov. Til den Bemserkning, at en saadan den, svares: JACrra Ydp... zar acta' onr T~ o'8SeiPa rORSQ ~V-?',., M,,,,N TCr#w aVrm,/2C, aabtcFwSg ^~,T~at 'aierc ovra^,,neJTarrou vE 3 o~VaC o 'r/)VoTQ, d'Vu oo oux av espoteSv, )v rpizwov.'v rtevEaate XaA~7ryV, E7~tza xat ~VopVooU, o, Vj V ~C, o0x 0av 7reiSUowro of EpT a rVara TiTrjzrX'o /ferayoqpovot',evoe. eCk c w2,i o 3, aove~rartaroo serpcto afrouaa aurc, ouroi re aYv lECoowro xac aovexi;oa rE av xaci EvYTOvwg rj-ro6,Js.a ~ex5vao^ YEvotIro onrj Ze'C i7rCe xac v5v biro TzOv 7oAAiv arcaaoia ~va xac xoRovofisva, bvrb o zowv rjrou'lvrv 2 RoYov oVx %6oVT}ZlW xCayO'je ptaojlea, o/owqg rTpog a ravx rcta 3ia 57wo Xadpcrog at3dcvrac, xac obev?/av/uaarbv aurva iavrzvaa. Rumfigurer i deres Bevaegelse, forend vi har betragtet dem i og for sig selv. Det rigtige er efter den anden Udstraekning at gaa over til den tredje, jeg mener nemlig Kubernes Udstraekning og alt, hvad der har Dybde. Videnskab endnu ikke synes at vaere funOg det af to Aarsager. Den forste er, at fordi ingen Stat holder denne Videnskab i _Ere, bliver den ikke drevet med Kraft, vanskelig som den er; den anden er, at de, der forsker i den, behover en Anforer, uden hvilken de vel naeppe vil finde, hvad de soger. Men for det forste vil en saadan vanskelig trwede frem, og dernaest, selv om han kom, vilde, som Sagerne nu staar, de, der er beskaeftigede med disse Undersogelser, af Indbildskhed ikke folge ham. Men dersom en hel Stat vaerdigede Sagen sin Omsorg og holdt den i IEre, saa vilde baade disse folge, og ved vedholdende og anspaendt Forskning vilde Videnskaben opklares efter sin sande Beskaffenhed. Thi ogsaa nu, skont den ringeagtes og undertrykkes af Msengden og af de Forskende selv, da de ikke indser, hvortil den nytter, gaar den dog til Trods for alt dette frem ved sin ejendommelige Ynde, og det skulde ikke undre mig, om den engang vil komme for Lyset. Disse Ytringer vil i 0jeblikket forbavse den, der ved, hvor vidt Stereometrien var kommen paa PLATON'S Tid, ja lenge forud. Astronomien, som af Pythagoreerne kaldes Sfaerik, var knyttet til Behandlingen af Kuglen og dennes for Astronomien vigtigste Storcirkler. At faa rigtig fat paa dem, deres Sksering og indbyrdes Beliggenhed, og at gore de Fremskridt i Opfattelsen af Himmellegemernes Bevsegelse, som gik forud for PLATON'S Tid, har kraevet en ret udviklet Rumanskuelse. Denne udvikledes ogsaa ved Brug af Gnomon og Solure, hvis Konstruktion knyttedes til 29*

Page 218

218 111. Kapitel. 20. Projektion paa faste Planer, som allerede AEgypterne liar brugt i deres. Bygningstegninger. Det fremgaar imidlertid af Begyndelsen af de cite rede Ord, at PLATON netop paa Grund af denne Brug af Stercoinetrien vii have, at der forud for Astronomien skal gaa et selvstwndigt Studium af denne Videnskab, et Studium, der da maa bygges paa de. saimme exakte Principer som Plangeometrien. Del er ogsaa berort, at man paa PLATON's Tid kendte de 5 regulaere Polyedre, et Kendskab, der delvis skrev sig fra Pythagoreerne. Det er det Emne, hvormed EuKLID's Elementer ender, men i en Skikkelse, som sikkert naar videre end den, livori PLATON kendle det, og som i det hele stemmer med de Grundsmvetninger, som han gor sig tli Taismand for. Der loses ne'mlig for alle Polyedrene den Opgave at indskrive dem i en given Kugle; dermed fores dels et Bevis for deres Existens, dels er den l0ste Opgave den geometriske Algebras Form for den, der nu gaar ud paa at give algebraiske Udtryk for Kanterne, naar den omskrevne Kugles Radius eller Diameter er given. El Arbejde i den Reining var dog vistnok alt paabegyndl af THEAITET. Ligeledes liar EUDOXOS vistnok uafhangig af PLATON'S Opfordring fundet sin Formulering af infinitesiniale Bestemmeiser, som indenfor Stereometrien tillod ham at fore exakte Beviser for de af DEMOKRIT fundne Bestemmelser af Pyrarnidens'og Keglens Rumrang. Begge disse Frenmskridt viser imidlertid baade, at Stereometrien var kommen ret vidt, og at den gjor de -viglige Fremskridt nelop paa PLATON's Tid, saa her ikke synes at have vwret Grund til Klage. Hvad der blandt stereometriske Fremskridt mest maatte interessere PLATON, er dog vistuok den Udvidelse af den geometriske Algebra, sons knytter sig tli Stereoimetrien, idet en Fordring, som vi nun vilde udtrykke ved en Ligning af Lredje Grad meltem Storrelser fremstillede -ved rette Liniestykker, fremistilles som. en Relation mellem retvinklede Parallelepipeder (og Kuber). Vi har saaledes, nwevnt hans Omlale i,Ti ma iosl" af den simpleste Opgave af denne Art, Terningens Multiplikation xI -- a' b og den dermed identiske Bestemmelse af to Mellemproportionaler. Denne beskoeftigede Mwnd, som stod PLATON noer. ARCHYTAs havde lost den ved en Anvendelse af Flader' og en Rnmknrve, der i sig selv rober stor stereometrisk Fw~rdighed; EUDoxos anvendle nogle plane Kurver, hans. og PLATON's Discipel MENAICHMos Keglesnit. Del vilde ikke vawe nrimeligt at antage, at PLATON'S Onsker om Stereometriens Fremnme szerlig kunde gvelde saadanne Bestroebelser. Forskelligheden i de gjorte Forsog, blandt livilke han dog nupppe liar kendt MENAICHMOS', kan da have fremkaldt Onskel onm en,,Anforer", der kunde opstille en Normallosning. Ukendt med de dermed forbundne Vanskeligheder, kan han endog have teenkit paa en saadan, som omfatter alle Ligninger af 3. Grad paa samme Maade, som de allerede kendte FladeanIveg omfatter dem af 2. Grad. Hans sidsl anforte Ord kund~e da tolkes som et Udtryk for dette Haab. Selv om PLATON tillige har nweret saadanne 0nsker, er der dog en Ting, livorpaa han, efter hvad der forud var sagt omn Aritlimetik og Geometri, maatte loegge soerlig Vawgt, nemlig et ligesaa -fast Grundlag for Stereometrien som rationel. Viden

Page 219

2 1 Platons Krav til -en rationel Mathernatik. 219 skab som det, hvorfor han allerede havde beronimet den ovrige Mathematik. I en saaledes grundlagt og rationelt gennem~fort Behandling vilde han ogsaa se den sikreste Vej til den Udvidelse, som han efter yore foregaaende Bemverkninger kan have 0 nsket. Med denne Forklaring forekommer. det mig, at de anforte Ytringer — ogsaa de, for livilke vi liar nwvnt en anden Forkiaring som mulig - bedst stemmer. Havde Talen vwiret om. Udforelsen af nye stereometriske Undersogelser, vilde det navnlig gvelde om, at hiver enkelt Forsker gjorde et godt Arbejde, og ikke om, at han fnlgte en Anforer nojagtig. En Banebryder paa et eller andet Omraade giver vel ogsaa andre god Vejiedning og aabner nye Adgange for de'm; men disse udnyttes bedst af den, der mere selvstwndig benytter deni og swtter egne KrTefter ind paa at komme videre. Anderledes gaar d'et ved den systematiske Opforelse af en Lverebygning. Det i en saadan fulgte System liar nemlig altid noget vilkaarlig-L ved sig, saaledes Valget af Udgangspnnkter og Symboler. Der kan voere to eller flere Sandheder, hivoraf det er nodvendigt at postulere en, hvorefter de andre kan bevises; men Valget af den, som. skal postuleres, kan voere vilkaarligt. Det var netop den Vilkaarlighed, som. Jigger i Valget af del Talbegreb, som man opstiller og mg -9 ger tl Grund for Arithimetiken, der nys bragte os til at antage, at de gr~eske Mathematikere paa dette Omraade havde sluttet sig til en,,Anforer" - vi formodede, at det var THEAITET. PLATON kan have onsket en lignende Forer ved Dannelsen af et exakt Grundlag for Stereometrien. Si gter hans Bemnwrkninger hertil, kan det imidlertid ikke undre os, at, som. vi ser af de anforte Ord, PLATON ikke fandt megen Lydhorhed hos demn, der var optagne af at arbejde paa Stereometriens positive Friemskridt. Saadanne drager ikke sjelden Opmwerksomheden bort fra. det mere formelle systenmatiske Arbejde, og dertil var der saa meget mere Anledning her, som. den nodvendige logiske Sikkerhed i stereometriske Undersogelser kunde vindes ved at fore dem. tilbage til plangeomietriske Udgangspnnkter. Her tog da hver Forsker, 'hvad han netop havde Brug for uden at nnderordne sig en enkelt Forer. Ved den endelige Opforelse af en samlet geometrisk Lwrebygning blev PLATON'S Opfordringer dog respekterede; men den, som vi finder hos EUKLID, beerer dog e'ndnn Proeget af, at den deri indeholdie Stereometri er fojet til en noesten fberdig langt mere udviklet Plangeometri. He'rtil skal vi komine tilbage i XIV. Kapitel. Ogsaa Ast ro n oin i og Munsi k vii PLATON have dyrket, ikke af Hensyn tii de nyttige praktiske Anvendelser, men med Henblik paa Vverdien af den den derved vundne Viden og Forstaaen. Astronomi (Sfterik) og Musik indeholdt forovrigt paa den Tid- ikke alene Anvendelser af Mathematiken, men tillige selve de dertil Doermest tjenende Dele af henholdsvis Stereomnetri og Arithmetik. For Astronomiens Vedkommende saa vi nys, at PLATON onskede det rent rumlige henvist tii Stereometrien; men ogsaa Loeren om. Himmellegemernes Bevaegelse vilde han paa. samme Maade have bygget paa rent rationelle Principer, som den selv opstiller, saaledes at Afvigelser i den virkelige Bevwegelse fra de op

Page 220

220 III., Kapitel. 22 stillede Love betragtes som I- uvwsentlige. Han gor saaledes her Astronomien til en rent mathematisk Videnskab. Det samme goelder om Musiken, hvor, det endog betegnes som noget latterligt at swette Orerne hojere endFornuften! PLATON ser altsaa. i denne Sammenhwng bort fra de Erfaringer mied Ojne og Orer, med hvilke. de Forudswetninger, som man opstiller for Astronomi og Musik, heist skulde bringes i saa nawr Overensstemmelse som muligt, hvad man jo netop prover ved at koegge behorigt Mverke til de Afv~igelser fra rationelt opstillede Love, som kan iagttages. I nawvawrende Arbejde kan vi imidlertid holde os til, hvad der er udtalt om Arithmetik, Geometri og Stereometri. For Arithmetikens Vedkornmende saa. vi, at PLATON allerede forefandt det Talbegreb, som senere EUKLID gaar ud fra, og han maa have kendt den Maade,2 hvorpaa THEAITET byggede videre herpaa, og som vist er den, vi genfinde i EUKLID VII. Paa andre Punkter var man nueppe da. kommen saa v~idt. Dels fremgaar ikke noget saadant af hans mere almindelig holdte Bemwrkninger, dels kan f. Eks. hans S. 13 (211) anforte Udtalelse oni de tre Slags Vinkler, o: spidse, rette, stumpe, at disse Begreber selv ikke troenger till nvermere Forkiaring, tyde paa, at han - som vi senere skal se ogsaa. om en. filosofisk Nutidsforfatter - nojes med en rent intuitiv Skelnen mellem disse uden at toenke paa Nod-vendigheden af besternt at formulere Skelnemawrket. Hans Bemoerkninger om Geometrien som rationel Videnskab peger imidlertid tydelig hen paa de Krav, den skulde opfylde for virkelig at voere det. Naar nu de Mathematikere, som. sluttede sig til ham, dog bemoerkede, at der paa mange Punkter maatte gaas larngere tilbage for at opfylde dem, maatte PLATON'S Udtalelser her, saa vel som sikkert mange tidligere mundilige Udlalelser, netop, vtwre dem en kraftig Opfordring til et virksomt Arbejde paa at realisere det af PLATON opstillede Ideal. At der i Plangeometrien allerede var naaet saa meget, at PLA.TON selv her ikke finder Grund til Kiage, kan for en Del vwere sket i Henhold til tidligere mundtig; Opfordringer fra ham i samme Retning. For Stereometrien kreever ogsaa han~ et helt nyt Arbejde af denne Art. Arbejdet paa for hele Mathematikens Vedkommende og langt fuldstwndigere, end det var naaet paa PLATON's egen Tid, at virkeliggore de af ham opstillede Idealer, fortsattes nu fra. PLATON tl EUJKLID, hvorefter man blev staaende ved den Virkeliggorelse, som er givet i dennes El1em e nt er. Dette Synspunkt giver det bedste Middel tli fuldtud at forstaa disse. Rigtigheden af selve det, som EUKLID siger, krwever vel ingenlunde en saadan Forkiaring; netop ved den rationelle Behandling trneder denne af sig selv frem paa ethvert Pnnkt. At han har haft de af PLATON skildrede Maal for 0je, giver derimod Forkiaring paa, hvorfor han netop er gaaet de Veje, han har valgt for at opnaa denne Sikkerhed. Meget, som i forste Ojeblik synes tilfaddigt, trneder nu frem som. villet og tilsigtet. Lige saa vel som de, der i yore Dage undersoger Geometriens Forudspetninger, tilsigter EUKLID ved dem, som han opstiller, at definere og afgrwnse det Omraade, indenfor hvilket han drager sine Slutninger. Over 2000 Aar efter kan man vel paavise Steder, hVor det ikke ganske lykkes ham at naa dette Maal, som' PLATON havde peget hen paa.

Page 221

23 23 ~~~~~~Platoins Krav til en rationel Mathernatik.21 221 Hvorledes han dog i det mindste liar haft det for Oje, skal jeg i flere af de folgende Kapitler soge at paavise og derved tillige at bidrage tl en bedre Forstaaelse af EUKLID's beromte Vawrk. Kap. IV. Den,analytiske Methode";,Elementer". Her rejser sig nu det Sporgsmaal, om PLATON selv paa anden Maade end ved saadanne almindelig hoidte Udtalelser som. demi, vi her liar anfort, liar bidraget tli at give Geometrien, og derined den i geometrisk Form iklkedte Algebra, en saadan ideel Skikkelse som den, vi trweffer lios EUKLID. Del er ikke om en Udvidelse af den geometriske Viden her er Tale, men omi en Overgang fra en mere intuitiv Tilegnelse af denne tl en sammenhwngende rationel. Begrundelse, som gaar ud fra de allerenkleste Forudsaetninger. Del er nelop disse og den Maade, livorpaa den mere intuitive Viden er sammensat eller dog lader sig sammensxette af dem, som man ikke liar gjort sig Rede for under den intuitive Tilegnelse. Sporgsmaalet derom var imidlertid forlwngst rejst ved Opdagelsen af irrationale StorrelIser, og dets Beliandling var paa dette Omraade efterliaanden naaet tl en vis Fuldkornmenlied (se Oversigt 1910 og 1915). Efter Opdagelsen af, at -V- er irrational, laa det straks naer intuitivt at antage, at Kvadrafrodderne af andre lkke-Kvadrattal ogsaa maatte vwere del; men dette Sporgsmaal, livis Interesse er rent rationel, maatte krxve en rationel Besvarelse. Den negative Bestemmelse: irrational, blev fort tilbage til Bestemmelsen: inkommensurable Storrelser, som vel formelt o6gsaa er negativ; men der lader sig dog opstille en Regel for, ved Anvendelse af Bestemmelsen af storste fadles Maal, at prove, omi Storrelser er kommensurable eller inkommensurable. Del er ikke svwrt, at paavise Irrationalitet af Rodstorrelser, naar man forst kan gaa ud- fra, at et Primltal ikke kan gaa op i et Produkit uden at gaa op i en af Faktorerne. Dette sidste vii vet ingen nuegte, som liar nogen Fortroliglied med Talbeliandling; men han kommer i Forlegenlied, naar man sporger: livorfor. Her er altsaa i Virkeliglieden kun Tale om en intuitiv Viden; en rationel Besvarelse faas forst, naar man gaar tilbage tl et klart opslillet Talbegreb. Saaledes maa. THEAITET vc~re kommen tl del Talbegreb, som PLATON tilleegger Malliematikerne. Gaaende ud fra dette og den Operation, som bruges ved Bestemmelse af storste fales Maal, liar ban dernzest bevist den nwvnte Soetning og dermed de antagne Soetninger orn Rationalitel og Irrationalitet. De her beskrevne Betragtninger udgor den ved THEAIT'ET og hans Forgwngere ud'forte Analyse af de Seetninger, soml skulde proves, efterfulgt af en Syntliese,

Page 222

222 IV. Kapitel. 24 som fra de Forudsaetninger, hvortil man var naaet tilbage, forte til de Resultater, som man i dette Tilfaelde vistnok fra det Ojeblik, man havde opdaget, at der existerer irrationale Storrelser, maatte have vaeret tilbojelig til at antage. Disse Operationer er vistnok bragte til Afslutning af THEAITET uden nogen direkte Medvirkning af PLATON, om end dennes Bifald af hans rationelle Behandling kan have ydet THEAITET en stor Stotte under hans Bestraebelser. Men derefter har PLATON kunnet stotte sine Opfordringer til at straebe at naa lige saa vidt paa Mathematikens andre Omraader ved en Henvisning til, hvad der var naaet paa det her naevnte, og til, hvorledes det var naaet. At han har gjort det, derpaa tyder den Omstsendighed, at Brugen af den analytiske Methode i Oldtiden jaevnlig tillaegges PLATON, uden at man just i hans Skrifter finder naermere herom eller de dertil horende Kunstord, og den, at Dannelsen af de Former, under hvilke Methoden optr-eder hos de graeske Mathematikere, gaar tilbage til PLATON'S naermeste Efterfolgere. Vi skal nu forelobig se, at den Brug af den analytiske Methode, som vi her tilskriver PLATON'S Tilskyndelser, stemmer overens med de Udtalelser om denne Methode, som er bevarede hos Oldtidens Forfattere. Herom giver PAPPOS (HULTSCH'S Udgave p. 634,11-636,14) folgende Oplysninger: 'A ivd2uqen rolvi Eirhi 6'564' d2w6 rob Cryroul-tipou) (og bpo~oyo~oEYopivooalt t-no] E~qg ctX200,80j smt re TC 0/oAoToO/ISVO 'iovueqee * CV IS'V yRuJ,r T) (t, 1 ct a e Ir, C~ro 6p L~ai~ a 1 0V~ g ysro-o UWrO?Y 'S/OI 'o' TO ~ 06 TOOTO 0701/ail)Ze ao7owofIE?$Ea xai 7rd,2e 6xEvvoo ro6 wpor0y'( l)-oj VOI), ecog UiP Wrwg Oy xaravrijo071ixev e'4 re TcOv X Ti) TOa WU ^i) V nc( oV d dvoulv xatobae.', o1o1. d~'Cbra7lV 2'IeV. eV 8 i a ov ly u 6f6c e g, U7tOupqgp~C Tro, Si) T) a, VCa(IT66S ouara' wde v 0 6rraoirl) bDroaria ~p vol yeyo j~og ircI6t xae worisIra T& xe a aIVg eg4 ri-sog' /.oXvo rc.,jad~a r05ot Cr roupxi.ou xaraorxsvu- xal rou To xaAobpari Jerz-2w J'erriv caLa6kEooa z iog ', Tr [WVg lr i)Texov rd)iji,0o0, 0, xaAs(1tral Iewpi)TeX6Iv, To as wrope'cxOv 'rob w0po0'radiBiog AREljlE], O XaEZC pr,oog2yjpartx 'V. snl UaE O b ' #so)O oinzOu Analysen er Vejen fra det sogte som indrommet gennem det, som videre folger deraf, til det, som er indrommet i Synthesen; thi idet vi i Analysen betragter det, som soges, som allerede blevet til, undersoger vi det, hvoraf dette fremgaar, og videre det, som ligger endnu Ilengere tilbage, indtil vi under denne Tilbagegang stoder paa noget, som allerede er bekendt eller regnes med til Grundlaget (Forudssetningerne); og en saadan Methode, kalder vi A n a ly s e, en Slags baglIends Losning (Lysis). I Synthesen derimod stiller vi omvendt det, som vi i Analysen sidst fik fat paa, i Spidsen somr allerede blevet til, lader det, som for gik forud, efter Tingenes Natur folge efter, og idet vi fojer Led til Led, naar vi til Tilvejebringelsen af det sogte, og det kalder vi Synthese. Der er to Slags Analyse; den ene, som gaar ud paa at soge noget rigtigt, kaldes theoretisk, den anden, som gaar ud paa at tilvejebringe noget forlangt,

Page 223

25 Den,,analytiske Methode";,,Elementer".. 223;'EIVOUT z b aeOOIIEVOU (Og 0) 6WOdAsoev Xo W (Og 61.2~Y8ig, air ct 5C, O-UU dX0200,80JI) tog xai t Sl7T(l' XEft?' 0UWOAWaa 7CpoeOl)UMg EW 'tC 06i0 o oro64ee'o, i&v' lV p E' 1) a'2 Exetvo ro, Jo" ooUeYo, volv, a Ek'Tra xat Irb Zwysi.Ep, Uxa't UsGTCU ' dXae TO pTO9/ og ava~iuaav Eav 8~ OsuEI v E O2OYOupiumrY E'UZ'U' LW~Ey, T O po9fCx1eXoU ~ r6.l0o To Eoo E76l 6 rob rpog2~upavxob rivoog zO' 7rpO7-adEV OJ g) TvwG eto bw'odiusvot, Ela 8iie zro-) & dxO0oO?%bl) (O'g d2A&eYw WpoSA 700 9o) Ei E C -re ooyou'"SUOUY1 Eau PELY 'ro OpO20ROY9iIZEUO U 8uvaUbl) ~ xcd w,1opu1rr6', 0 xa2o~5at o0 (1w7ci rd- Iu padfatlr(Ol JObEdV, 801IaTOl'U E'Oaea Xae TO' wpoOZaCIdEsV, xcdi wckU i} (l7-OJO'C$l4C d VTcVTpOSVO4T Ti) di0a2(cT, WeY v 7r 5L aa2 1o'A0u/iv) (Wl.aTV &~",~O YZata Xae TO' 7tpO/2JdiyIta. kaldes problematisk. I den theoretiske Analyse forudssetter vi, at det unders0gte virkelig forholder sig saaledes [som det paastaas], derpaa gaar vi Skridt for Skridt gennem det, som videre folger deraf, idet vi forudssetter det som sandt og virkeligt, til en logisk Konsekvens; hvis saa Konsekvensen er rigtig, vil ogsaa det omspurgte vaere det, og Beviset vil i omvendt Orden svare til Analysen; kommer vi derimod til en urigtig Konsekvens, vil ogsaa det omspurgte vaere urigtigt. I den problematisk e Analyse derimod betragter vi det, som forlanges, som bekendt og gaar derpaa Skridt for Skridt gennem det, der folger deraf som rigtigt, til en logisk Konsekvens; hvis saa denne Konsekvens er mulig og kan tilvejebringes (hvad Mathematikerne kalder,,givet"), er ogsaa det forlangte muligt, og atter vil Beviset svare omvendt til Analysen; men hvis man omvendt kommer til en umulig Konsekvens vil ogsaa Opgaven vaere umulig. Beskrivelsen af disse to Analyser er tydelig nok; og navnlig vil den negative Anvendelse af den theoretiske Analyse til at bevise Urigtigheden af en Antagelse og Anvendelsen af den problematiske Analyse saavel til at finde L0sningen af en Opgave som til at bevise dens Umulighed til alle Tider vere anvendt i mathematiske Unders0gelser. Pythagoreerne har f. Eks. brugt den forste til at bevise, at 1/2 ikke er en Brok, og hvad der overhovedet menes med en eller anden Opgave, forstaas jo forst samtidig med, at man tenker den lost. I vore Dage giver man Analysen en bestemt Form ved at kalde en s0gt Storrelse x og opstille og lose den Ligning, som udtrykker, at den virkelig tilfredsstiller den opgivne Betingelse. At man ogsaa i Oldtiden var sig Brugen og Betydningen af en Analyse og en dertil knyttet Synthese fuldt bevidst, fremgaar af ovenstaaende Beskrivelse, der netop bliver bestemt og almindelig ved sin Korthed. Forstaaelsen af baade den heuristiske og logiske Vaerdi af disse Operationer traeder endvidere frem i den'regelbundne Leddeling af Theoremer og Problemer og den dertil horende Analyse og Synthese; af disse nojedes man i en systematisk 1) De her brugte Udtryk, swerlig uvcaroiv og dduovarov, bekrefter den Anskuelse, jeg Isenge har gjort gaeldende, og ligeledes i det folgende haevder, at de gamle,,Problemer" sserlig gaar ud paa at bevise Muligheden eller Eksistensen af det, som i dem konstrueres. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr. naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Riekke, 1. 5. 30

Page 224

1',9A 2,,.-x IV. Rapitel. 26 FremInstilling af. en sammenhaengende Leere jaevnlig med at fremsawtte den sidste, da denne indeholder den tilstrawkkelige' Begrundelse, som Analysen da. blot havde tjent til at finde. Alt dette og hvert Leds logiske Betydning er udforlig beskrevet i HANKEL: Gesclzichle der Mathernalik iin Altertum und Mittelalter, saavel som i min Lawrebog med samme Emne. Det kan synes noget underligt, at man liar villet tillwgge PLATON Opfinde'lsen af en i og for sig saa seivfolgelig Methode som den analytiske, der, sorn vi har nawvnt Eksem pier paa, joevnlig liar voeret anvendt for hans Tid; han kan derimod nok have fremdraget, livad det er, der karakteriserer disse adldre Udledelser 'af en Begrundelse eller af en Konstruktion, Denne Tilknytning fl hans Na-vn og den derpaa folgende Udformning af Methoden forkiares dog bedst ved den store Betydning, som den fik netop for del Formaal, for livilket PLATON gjorde sig til Talsmand, og som satte de samtidige og umiddelbart efterfolgende Mathemati~kere i Arbejde. Dette Formaal var en Omistobning af -den Samling af geometrisk Viden, hivoraf man alt var i Besiddelse, til en synthetisk Lwrebygning. Dertil krawvedes forst og fremimest en, Anvendelse af den i det citerede Stykke hos PAPPOs beskrevne Analyse, som dog ganske af sig selv mnaatte blive en anden end den Erhivervelse af nye Resultater, paa hvilken PAPPOS na~rmest taenker, og som vi ogsaa i Nutiden taenker paa, Daar vi anvenlder den analytiske Methode. PAPPOS og vi soger at lose de nye Opgaver ved at fore dem tilbage til noget forud bevist eller i sidste Instans til forud opstillede Definitioner og Postulater. Den Gang derimod besad man i ikke ringe Omfang en geometrisk Viden i denl fwrdige og mere sammensatte Skikkelse, livori netop Intuitionen giver den; det gjaldt da omvendt at finde, hivilke mindre samnmensatte, men ikke altid opstillede Swtninger, der figger til Grund for dem, som man kendte, indtil man kom tl Paastande, fra livilke det er nmnligt at naa tilbage til noget endnu simplere. Dette mnaatte nu udtrykkelig opstilles som ForudswAtninger, hvorpaa Lawrebygningen kan opfores ved en Bevwgelse i modsat Reining. Her bliyer ligesaa vel Brug for den thlieo re t isk e Analyse som for den p roblematiske. Hvad der forelaa paa PLATON's Tid, var dels Forestillinger om Figurer, som, om de end oprindefig var vundne ved Intuition, dog allerede var saa. klare og og tydelige, at man uden at gribe fejl kunde laegge dem tl Grund for rigtige Slutninger, dels et Kendskab til Egenskaber ved saadanne Figu~rer, i hvis Erlivervelse baade Intuition og Slutninger havde Del. Paa de forste maatte man anvende den problematiske Analyse, tl man naaede tilbage til de simpleste Forestillinger af samime Art og de forste Regler for deres Forbindelse, som man da udtrykte ved Definitioner og Postulater; paa de bekendte Egenskaber anvendte man den theoretiske Analyse, tii man koin tilbage dels tii den samme Art af Forudsa4 -ninger, som netop ndtrykker Grundegenskaberne, dels, naar Talen er om Slorrels e til saadan~ne Forudsawtninger, som indehioldes i EUKLID'S,,Almindelige Begreber". Oprindelig havde de nwvnte Forestillinger og den omtalte Viden ikke bevidst vaeret byggede paa disse Forudswtninger; men efter paa den Maade at vvere fundne og

Page 225

27 27 ~~~~~Den,,analytiske Methode";,,Elementer".25 225 udtrykkelig opstillede, danner disse det Ma te r ialIe, hvoraf EUKLID's Lawrebygning derefter synthetisk er opfort. Det er netop dette Billede, som. finder Udtryk i Ordene A nalIy se og S yn th e se. Ved Analysen o pIos e r eller udstykker man den foreliggende Soetning, som. for Problernernes 'Vedkommende gwlder Eksistensen af visse Figurer, for Theoremernes saadanne Figurers Egenskaber, i en Del simplere Saetninger, som. i begge Tilfadde kan hore til begge de nawvnte Kategorier. Af disse kan man omvendt sa m me nsadite den forst forelagte mere indvikiede Saetning; dette sker ved Synthese. Den ved Analysen fundne Gruppe af enkelte Soetninger, eller snarere Beviserne for disse, udgor de El1e me ntIer (azoteysia), hvoraf den forelagte SaTtning, eller snarere Beviset for denne, er sammensat. Hver enkelt af de fundne simplere Swetningrer lader sig paa lignende Maade oplose, indtil man tillsidst kommer til de Forudswd-t n i ng er, som, under forskellige Beneevnelser anfores i Spidsen for den hele synthetiske Lwerebygning, og som. udgor de,,ElIem e n ter", hvoraf al11e dens Soetninger (eller Beviser) er sammensatte. P. TANNERY gyor i sin interessante Afhandling: Sur l'histoire des mots analyse et synthe'se en mathe'inatique 1) opmaerksom. paa, at en saadan Brug af Analyse og Synthese som. Kunstord ikke findes i PLATON'S Skrifter; men de er i den Grad Sprogets naturlige Udtryk for de Operationer, som der er Brug *for, naar man vilde give Geometrien den af PLATON priste rationelle Skikkelse, at hans mathemlatiske Disciple og Efterfolgere ganske naturlig bragtes tl af sig selv at anvende disse Ord. Og at man paa, eller dog lige efter hans Tid anvendte Ordet arovetea netop paa Resultatet af den her beskrevne Analyse, fremngaar af et Sted hos ARISTOTELES (Metaph. IV, 3, 1004 a), soin TANNERY citerer, og hvor der i det hele gores Rede for, i hvilke Betydninger Ordet aroeleia, tages. Efter at have om~talt de materielle Forkiaringe'r af Ordet siger han: 7rapa772raw0J 86' Xa' ra'~ rdib decLypc(/apr~oj Paa samme Maade siger man,,Elementer" arolzs~a 24-CzaI, xal 052ao -r& r~ihbdwp i~ i Geometrien og i Almindelighed i de al;rap 7rpJ)ibae dhro~el'$Sig~ xai E' 7,{Ei'ogev deduktive Videnskaber; thi de forste Beo~08I"'riEaWev U~v dpoU~oLf9aew-rat arwc~aa i-ou viser, som genfindes i flere andre foladwo8Sf'$60wi. 2E'oiviac. gende, kaldes disse Bevisers Elementer. ARISTOTELEs krwever vel en vis Oprindelighed af disse,,jorste Beviser", naar han bagefter siger, at Elementer skal vwre smaa, enkelte og udelelige, hvad der kun vilde vaere Tilfwddet med Axiomer (Postulater);, men denne Indskreenkning er faldet fuldstoendig bort i folgende Forkiaring af den samtidige Mathematiker MENAICHMOS, soin iovrigt fastholder den samme Sammenhawng som ARISTOTELES mellem to Swetninger (eller Beviser), naar den ene skal vwre Element af den anden. Der siges nemlig hos PROKLOS (S. 72,23-73.,14):,,Iovrigt siger man Element paa -to Maader (ro? 6i-0c2' Ov A'8iaca '4we aalde t)Atti del Congresso internazionale di Scienze storiche, (Roma, 1903), vol. XII Sez. VIII. 30*

Page 226

226 IV. Kapitel. 28 SOM, MENAICHMos bemawker; thi det som tjener til at opnaa (z-6, xalrauxeud~ou) er Element af det, som opnaas (rob xama~xsoa~opcf1vou), saaledes som EUKLID'S forste Saetning er det af den anden [Problemer] og den fjerde af den, femle [Theoremer]. Paa denne Maade kan man ogsaa kalde flere Spetnincger Elementer af hverandre (OuoF5T 6 a'& ce U7,4o sTat iro2Ac,.a roeyeca ~6~%dGsaa); thi de opnaas ved hverandre. Saaledes slutter man Antallet af rette Vinkler, som en Polygons indvendige Vinkler udgor, deraf, at Sunmmen af de ydre Vinkler er fig 4 Rette, og omvendt. Et saadant Element ligner et Lemma. Men paa anden Maade siger man Element om det, som er det simplere, livori det sammensatte deler sig (zlg 0' U27t~ou'azrpov u7ruap,0X0 81aIo1Zi-a1 aouds rrou). Paa denne Maade kan man ikke mere sige, at alt er Element af alt, men kun, at det mere fnndamentale er Element af det, der kan karakteriseres somResultat, saaledes som Postulaterne er Elementer af Theoremerne. I denne Betydning af Elementer er ogsaa EUKLID's Elementer ndarbej'dede saavel for Plangeometrien som. for Stereometrien, og saaledes har mange ogsaa skrevet Elementer i Arithimetik og i Astronomi. Citaterne efter EUKLID viser., at der ikke her foreligger et ganske ordret Uddrag af MENAICHMOS, fl hvem det heller ikke er rimeligt at henfore Sammenligningen med et'Lemma. Dette Kunstord er vistnok yngre, og det er PROKLOs, der bruger det til Forkiaring af de ham mere fremmede Elementer af forste Art. Del er den a n d e n Brug af Ordet.,,Elementer", som PROKLOs bedst kender, og til hvilken ogsaa vi har sigtet, naar vi har talt omi, at Sawtninger hos EUKLID til Elementer liar de simplere forudgaaende Swtninger og, tilsidst de opstillede Forudsaetninger, og vi ser heraf Grunden til, at selve EUKLID's Bog og lignende Vt-erker kaldes,,Elementer": de bliyer nemlig Elem enter af de S~tninger, som. man samnensoetter deraf i videregaaende Undersocgelser. Efter selve denne' anden Betydning af Elementer maa de findes ved en Analyse og binges ved en Synthese, Operationer, som vi senere faar andre Be-viser for, at MENAICHMOs kender. Naar han dog ikke bruger disse Ord, maa det bero paa, at de hige saa lidt var slaaet fast paa hans Tid som. paa hans Lerer PLATON'S; havde han brugt disse senere saa kendte Ord, vilde hiverken PROKLos eller hans noermeste Kilde') have undladt at referere dem. At de ikke binges her'), er derimod et Bevis paa, at Operationerne er oeldre end Ordene, og Henvisningen til MENAICHAJOS paa, at del er med Rette, at den mnethodiske Brug af selve Operationerne henfores til PLATON'S Skole. Denne anden Art af Elementer, som. er si mplere og mere oprindelige end de Sawtninger, som de skal tjene til at bevise, er vistnok den, paa hvilken Benaevnelsen Elementer soerlig anvendtes, men fra denne Indskramkning ser MENAICHMOS ')Efter TANNERY'S Formodning GEMINOS; se La G6omftrie grecque p. 136.. Alle de Brudstykker efter MENAICHMOS, som her. benyttes, findes i denne Bog. 2) Naar den mere indviklede Seetning i Citatet efter MENAICHmos kaldes a6uw,9E~oV, er det i samme Betydning, som. vi vilde sige,,sammensat" uden swerlig at taenke paa. de Dele, hvoraf den er sammensat. Ordet optraeder saaledes endnu ikke her som. Kunstord, men viser blot, at Brugen af Synthese som Kunstord er meget neerliggende, ligesom, det er det for os at betegne de to Operationer som Oplosning og Sammensetning.

Page 227

29 29 ~~~~~~Den,,analytiske Methode"l;,,Elementer".27 227 bort i den f or st e Forkiaring, som derved faar en almindeligere Karakter, men ogsaa passer paa Elernenter af anden Art. Den er den selvsamme sorn den nysnoevnte hos ARISTOTELES. En Sawtning A siges da. at vwere Element af en anden B, naar den overhovedet benyttes i Beviset for den, selv om. Satningerne A og B i sig selv er lige simple. I saa Fald kan man ogsaa forst bevise B og derna~st udlede A af denne, livad MENAICHMos netop fremhaever ved sit Eksempel: Bestemmelsen af en Polygons Sum af udvendige og Sum af indvendige Vinkler, som. ikke er taget fra EUKLID og altsaa vistnok er brugt af MENAICHMOS selv. Saadanne Tilfoelde, hvor det kunde vawre tvivlsomt, hvilken af to Satninger man skulde sawtte forst, og hvilken man skulde szette sidst i et System, der tilfredsstillede PLATON's Fordringer, maatte MENAICHMOSj som vi skal se blandt de forste, der strawbte at efterkomme disse Fordringer, let~ stode paa. Vi ser her, at han ogsaa i saadanne Tilfbelde kaldte den af disse Swetninger, som han valgte at bevise forst, Element af den anden. Derved undgik man de Tvivl, som Muligheden af at tage forskellige Udgangspnnkter ellers let vilde fremkalde. Overenss~temmende med MENAICHMOs' anden og i det mindste i Tidens -Lob soedvanlige Forkiaring af Benwvnelsen Elementer er ikke blot Navnet Elementer paa EUKLID's Bog, men ogsaa APOLLoNIos' Betegnelse af de 4 Boger af hans Keglesnit som. Keglesnitslwrens Elementer. Her fremsoettes, de,,Elementer", o: de Seetninger og Beviser for sammue, hvoraf man bagefter kan sammensoette nye, mere indvikiede Swtninger og Beviserne for disse. De nvevnte Voerker afviger derved fra. den Forestilling, som man nu ofte forbinder med Betegnelsen: elementoer Lwrebog, nemlig at man ikke vii stille strenge videnskabeligc Fordringer til en saadan, medens der netop maatte stilles strenge videnskabelige Fordringer til de Bocger, der skulde anvendes som,,Elementer" i den antike Betydning. Paalideligheden o'g Almindelighedien af det, som man videre skulIde finde ved Sammensa~ning af disse Elementer, eller af de videregaaende Undersogelser, som man vilde bygge paa. denne Grundvold, maatte afhxnge af dennes egen Soliditet og Almindelighed. Havde man saaledes forst, som det er Tilfaeldet med EUKLID'S Elemnenter, sorget for at bevise Soetningerne saaledes, at de i lige Grad var anvendelige paa rationale og irrationale Storrelser, vilde ganske af sig selv det samme veere Tilfaddet med det, som man dernawst fandt ve~d Benyttelse af disse Elementer. Hvad der karakteriserer et saadant Vawrk, somn fortjener Navnet,,Elementer" i denne Betydning, traieder godt frem, naar man sammenligner de to videstgaaende Boger i APOLLoNios' Keglesnit'): den III. og den V. Den forste regner han med til Keglesnittenes,,Elementer", den sidste ikke. Det er ganske misforstaaet, naar man har villet svette dette i Forbindelse nmied den Omstaendighed, at APOLLONIOS 1 den sidstnaovte Bog naar til Resultater, der falder sammen med den moderne Bestemmelse af Keglesnittenes Evointer, som nu foretages ved infinitesimale Hjel pemidler og derved kan henregnes til det, som vi nu kalder hojere Mathematik. At denne Bog ikke henregnes til Elementerne, betyder, at dens Hovedformaal er den fuld') SmIngn. i-ni Redegorelse for disse Boger i,KIeglesnitsl1eren i Oldtiden".

Page 228

228 IV. Kapitel. 30 starndige Behandling af en bestemt Opgave: Nedfoeldelsen af en Normal fra et Punkt paa en Keglesnitslinie. En saadan Behandling miaa indbefatte baade Opgavens Losning og dens Diorismne eller Afgra,,nsningen af de Tilfwelde, livor flere eller frerre Losninger er mulige. Denne Afgrwnsning, som noje knytter sig til. Opgavens Losning og ikke umiddelbart liar noget med Infinitesirnalundersogelser at gore, kommer tl at indbefatte Evolutens Bestemmelse. Hele Undersogelsen stotler sig paa de almindelige Egenskaber ved Keglesnittene, som er fremsatte i disses i I-IV. Bog indeholdie,,Elementer"; dette er jo netop Elementernes Bestemmelse, men deri ligger ogsaa, at man ikke i V. Bog er forL ind i en ny og hojere Sfawre. Denne sidste Omstarndighed skal naturligvis ikke formindske vor Paaskonnelse af, at APOLLONIOS i denne Bog saa smuki og sikkert naar det Maal, han liar sat sig; men saalarnge han stiler mod det bestemte Maal og er tilfreds mled'at naa del for dets egen Skyld, bliver Udhyttet ikke,,Elementer". Noget andet er del, at man ved videre.Forarbejdelse kan faa dannet,,lementer" for endnu videregaaende Undersogelser. Ogsaa dette antyder APOLLONIOS i Fortalen ved at omtale Betydningen af Losning af de noevnte Opgaver og overhovedet af Beroringsopgaver for Bestemmelsen af Maxima og Minima. I1111. Bog liar han derimod fuldstaendiggjort de Elementer, livoraf en viglig Kiasse af videregaaende Undersogelser lader sig sainmensatte. Af denne Bog fremdrages vel ofte det smukke og let lweste - altsaa ogsaa i moderne Betydning,,elemnentawe"l - Afsnit om Brandpnnkterne; men APOLLONIOS selv peger i sin Fortale isver hen paa den storre forudgaaende, ingenlunde let l1wste og derfor mindre paaagtede Del af Bogen, naar han skal noevne de Kiasser af videregaaende Undersogelser, ved livilke der bliyer Brug for denne Bogs Indliold, og hvis,,Elementer" den altsaa indeholder. I denne Del af Bogen fuldstaendiggores det vistnok tidligere af EUKLID opstillede Bevis for Potenssfetningen eller,,Newtons Spetning", som man liar kaldt den. Fuldsteendi ggrelsen er sikkert den, som forst blev mulig, da APOLLONIOS fandt paa at betragte to s~ammenhorende Hyperbelgrene som, en og samme Kurve. Denne Fuldstaendiggorelse var netop nodvendig for Saetningen som,,elementoer" i den antike Forstand, nemlig som en saadan, der skal spille en Hovedrolle ved Sammensawtningen af nye Soetninger; uden del vii ogsaa disse blive ufuldstawndige, livad APoLLONios 'netop i sin Fortale bebrejder EUKLID. Af Fortalen erfarer man, at denne Bogs SwAtninger, blandt livilke de forskellige Skikkelser af den noevnte Seetning spiller Hovedrollen, er nyttige for,,Synthesis" og Diorisruer af,rumnlige Opgaver" (altsaa af saadanne, som vi nu loser ved Ligninger af 3. Grad), endvidere for en fuldstoendigere,,Synthesis" af Stedet til 3 eller 4 Linier'), end EU KLID liar ') I det citerede Skrift henstiller PAUL TANNERY til Mig' at gore Rede for denne sidste Anvendelse af Ordet,,Synthese". I den Anledning skal jeg bemwerke, at det endnu ikke kan kaldes en,,Synthese"i af disse geometriske Steder, naar det bevises, at et Keglesnit ornskrevet om en Firkant, eller som berarer to Sider i en Trekant i deres Skeeringspunkter med den tredie, kan betragtes som,,Sted til disse Figurers 4 eller 3 Sider". Den sidste Soetning er bevist i APOLLONIOS' III. Bog, 53-56; den forste lader sig, naar to modstaaende af de 4 Linier er parallele, paa lignende Maade knytte til,,Potenssaetningen",) hvis forskellige Tilfadde bevises i APOLLONIOS' III. Bog, 16 —23. 1 Hovedsagen maa den omspurgte Syn

Page 229

31 Den,,analytiske Methode",,Elementer.29 givet., Der gives altsaa netop Anvisning paa Brug af dens Saetninger til deraf at,sammenSCette" videregaaende' Satninger og Losninger af Opgaver af en bestemt these, livilken APOLLONIOS ikke liar mnedtaget i sine Keglesnitselementer, men - overensstemmende med,,Elemienterl's Hensigt - muliggjort ved disse, bygges paa disse Seetninger; det er ogsaa af dem, at NEWTON udleder sin Bestemmelse af de to Steder. En S ynthlie se vii, naar de 3 eller 4 Linier saint Forholdet a er opgivne, vvere en fuldstoendig Bestemmelse af den Kurve, livis Punkters Afstande x, y, z, u fra Linierne tilfredsstiller en af Betingelserne x2 =a-y u eller xz == a u. Denne Synthese vii, ligesom MENAICEmos' Besteminelse af andre geometriske Steder, som vii naTste Kapitel skal omitale, fremti',ede som en Konstruktion (f. Eks. af Akserne i det ved en af disse Ligninger bestemite Keglesnit), efterfulgt af et Bevis for, at den konstruerede Kurve virkelig liar den forlangte Egenskab. En saadlan Synthese vil, ligeledes som hos MENAICHMOS, svare til en foregaaende Ana aly se, ved livilken det sogte geometriske Sted antages at foreligge, livorefter man af den opgivne Egenskab udleder saadlanne, som kan benyttes til den forlangte Konstruktion. Mangler ved Analysen vii da medfore tilsvarende i det Gi-undlag, hvorpaa Synthesen skal bygges. Det er en saadan Mangel, APOLLONIOS tillmgger EUKLID, idet han endlog tilfojer, at,,det ikke var muligt at tilendebringe Synthesen uden det af mig fundne" (o&' rdp '~' duabvaPs ~ gpoaopevpiytov ~jav wrsetji9iaz r4 Nu er der et Freniskridt, som man ogsaa liar andre gode Grunde til at tillwegge APOLLONIOS, og SOM netop, vii have ydet, livad APOLLoNios her siger. Ved en Analyse vil, naar man holder sig til et Sted til. 4 Linier, af livilke x == 0 og z = 0 er parallele, og benytter den nys noevnte Potenssoetning, Stedet vise sig at vvere et Keglesnit omskrevet om det af de fire Linier dannede Paralleltrapez. Dette kan dog, naar Kurven er en Hyperbel, kun gvelde, naar man betragter dennes to Grene under et som en Kurve. Det liar APOLLONIOS virkelig gjort fin forst af, og han liar fremhoevet det ved i Fortalen at betegne ladholdet af I. Bog som en almindeliggjort Behandling af de tre Keglesnit og,,modstaaende (r~ ~-v ewi Keglesnit". EUKLID, der ogsaa kendte Potenssaetningen, hvad man kan slutte af ARCHIMEDES' Anvendelse af denne (Heibergs 2. Udg. I, S. 270 fi.), hiar sikkert ogsaa brugt den til Besteminelse af Stedet til fire Linier. Analysen vilde da fore til samme Resultat, naar Kurven viste Sig at vwere en Ellipse eller Parallel; men naar den Del af det sogte geometriske Sted, som1 skaulde bestemmes i Synthesen, var en enkelt Hyperbelgren,.vilde den muligvis kun gaa gennem to eller ingen af Trapezets Vinkelspidser. I Stedet for de 4 Bestemmelser, som denne Del af Analysen hos APOLLONIOS stiller til Raadighed for den synthetiske Konstruktion af Keglesnittet (og som skal suppleres ved en Anveadelse af Konstanten a), faar EUKLID, naar, som det tor antages, ikke allerede han liar suppleret den ene Hyperbelgren med den modstaaende, kun 4, 2 eller 0 Bestemmelser (eller miat 5, 3, 1), livorved, som APOLLONIOS siger, SynthieseD bliyer,,umulig. Allerede Analysen vii iovrigt haTmmes ved den Begroensning i Potenssoetningen, som folger med Anvendelsen pan en enkelt Hyperbelgren. Iovrigt lienvises til VII. og VIII. Afsnit af,,Keglesnitsleren i Oldtiden". Den omitalte Anvendelse af Potensseetningen til at reducere Opgaven til Bestemmelsen af et Keglesnit, som er omskrevet om et Trapez og yderligere bestemmes ved Vierdlien af Konstanten a, Ilegges ved APOLLONIOS' III. Bog saa Dwr, at det nqeppe kan betvivles, at han, som efter ham NEWTON, er gaaet deane Vej. For virkelig at gennemfore Synthesen man han imidlertid endnu bestemme Keglesnittet ved disse Betingelser, og man man forstaa hans Ord,, som om hans III. Bog ogsaa giver Midler hertil. Den, der virkelig vil skaffe Klarhed over, livad APOLLONIOS formaaede, kna derfor ikke 'unddrage sig for at prove om, og om muligt paavise, at sandlanne Midler virkelig foreligger. De Veje, ad livilke dette kna ske, er imidlertid sna forskellige, at man ikke kan sikre sig aetop at angive den, som APOLLONIOS selv er gaaet; men allere'de ved at vise, at der overhovedet i hans III. Bog fandes Sxtninger, der kan tjene til Grundlag for en sandan Vej, styrker man Tilliden til hians Oplysniager omi, livad hans III. Bog kunde bruges til ogsaa pan hans Tid. Her liar vi vel kun talt om Stedet til fire Linier i det Tilfaelde, livor Linierne x= 0, z = 0 er parallele; men Stedet til tre Linier er et specielt Tilfeelde heraf, og Besteminelsen af det almindelige Sted til fire Linier, som overhovedet af geometriske Steder, der bliyer Keglesnit, la der sgfore tilbage hertil (Kegle-snitslwren I Oldtidea, VIII. og X. Afsnit).

Page 230

230' IV. Kapilitel. 32 Art, medens EUKLID's Keglesnilselementer kun paa en ufuldstoendig Maade ydede det sanime. Hvor egnet netop Potenssatningen er tii at staa i,,Elementer" i den Betydning, hvori de gamle tog denne Benoevnelse, viser sig, naar baade ARCHIMEDES (der. dog kun kendte den i dens aeldre, ufuldstamndige Skikkelse) gor Brug af den ved Bestemmelsen af Snit i sine Omdrejningsflader af 2. Orden, og APOLLONJos kan pege hen paa dens Anvendelse til Bestemmelse af geometriske Steder, og NEWTON gennemfore en saadan, som, stemmier med APOLLoNios' Anvisning. Vor Henvisning til APOLLONios' Keglesnitselementer vii have tydeliggjort Betydningen af, at EUKLID's Hovedvaerk liar Navnet,,Eementer". Af disse Elementer kan man sammensaette nye SwAninger og lose nye Opgaver. Hvilke af de i dette Vawrk foreliggende Elementer man skal1 anvende saierlig tii at lose en stillet Opgave, maa man finde ved derpaa at anvende den problematiske Analyse i den Form, hvori PAPPOS liar meddeit den. Til Hjwlp ved Eftersporingen af de Elementer, som man kan faa Brug for, tjener EUKLID'S,,Data", et Vverk, livis Indliold ikke gaar voesentlig ud over det, som. findes i hans Elementer, men livori Suetningerne liar faaet en til denne Eftersporing bekvem Form, idet der udtales, at naar noget vist er givet (80S'Y)), vii nogret andet derved ogsaa vaere det. Kunstordet di0?' liar derved den i Slutningen af Citatet fra PAPPoS S. 25 (223) beskrevue Betydning. 1,,Mathematisches zu Aristoteles" 5. 27 viser HEIBERG, at dette me'd Analysen saa noje sammenhangeilde Begreb gaar tilbage til Tiden lige efter PLATON. Det kunde naturligvis ogsaa finde Anvendelse under den Analyse, som man anvendte paa den veldre mathernatiske Viden for at skabe et Vaerk som, EUKLID's Elementer, saavel som senere, da man besad baade dette Vawrk og EUKLI 's Data, for at anvende disse til nye Undersogelser. Endnu skal bemawrkes, at den Forkiaring, somi her er givet af Navnet,,Elementer", i livert Tilftelde ikke kan anvendes, naar man f. Eks. beretter, at HippoKRATES fra Chios liar skrevet Elementer, da disse ikke kan vaere ndarbejdede efter de samme platoniske Principer som EUKLID'S; men Benvevnelsen kan vawre fort tilbage paa en Samling af de vigtigste geometriske Swtninger, der har voeret ordnet paa en Maade, livorom. vi intet ved. Den her skildrede Brug af Ordene Analyse og Synthese turde i sig selv vwre naturlig nok til at gore P. TANNERY's Henvisning til Brugen af de isamme Ord i den groeske Regnekunst overfiodig, og det saa meget mere, sorn de i denne ikke betegner Operationer,,der er hinanden modsatte, s aaledes som. de af PAPPOS og her skildrede. Fuldstwndligere er Overensstemmelsen mned den af TANNERY berorte Brug af Analyse og Synthese i den groeske Gramnmatik, soni ogsaa omtales af PROKLOS (S. 7 2,6). Ved Analysen oploses Sproget i Sawtninger, Ord og Bogstaver, og disse,,Elementer" sammensaettes igen synthetisk til det skrevne Sprog. Sam menligningen passer saa meget bedre, da det heiler ikke her var Elementerne, der fra forst af foreiaa, men et Talesprog, som man maatte begynd~e med at opiose i Seetninger, Ord og Lyde, der fremstiiles ved enkelte Bogstaver, og da Analysen og Synthesen ogsaa her liar faaet en ny Anvendelse, naar Skriftsproget og dets Elementer foreligger, og det gwe1der om at auvende det rigtigt.

Page 231

33 33 ~~~~~Den,,analytiske Methode";,,Elementer".23 231 Noget tilsvarende gadlder, som. vi saa, for Matliematikens Vedkoinmende, hvor Analyse og en paafolgende Synthese dels liar vaxret anvendt tl fra den alt kendte. Geometri at naa tilbage tl dens simpleste Forudsaetninger og af disse sammenswAte, et rationelt System, dels, da et saadant var blevet til, skulde vejiede til dets rette Brug i videregaaende Undersogelser. I begge Tilfoelde maatte man sikre sig liver enkelt Operations logiske Rvekkevidde. Denne Sikkerhed skaffede man sig ved den alt om~talte Leddeling baade af Analysen og Synthesen, livormed forbandt sig en tilsvarende Udvikling af selve det mathernatiske Sprog, saa Brugen af et Ord lielst aidrig maatte vwere vilkaarlig, Betydningen aidrig tvivlsom.. Var end Dannelsen af et saadant Sprog begyndt langt tidligere, var det dog i Forbindelse med Brngen af' den analytiske Metliode, at det naaede til den stereotype Fuldkommenlied, som. vi moder i EUKLID'S sproglige Fremstilling, og som. dernwst lioldtes vedlige i den greeske Matliematik. Det er altsaa under Anvendelse af den analytiske Metliode, at den Omformning af Geometrien fandt Sted, som. tilsidst forte til EUKLID's Elementer. PLATON liar vistnok peget lien paa denne Methode; men en Methode selv bliver i Virkeliglieden forst til und'er Brugen og antager forst bestemte Former, naar man gennem. de enkeltes individuelle Arbejder paa de enkelte Opgaver, gennem de Vanskeliglieder, som disse fremibyder, og de Midler, som kiartskuende Mennesker finder lieldige at anvende over for disse, kommer paa det rene med, livilke Former der er de bedste og fuldkomneste. Gennem. det Arbejde, som. vi skal omlale i det folgende Kapitel, naaede man paa sam me Tid til Fnldendelsen af EUKLID's Elementer og af de Former og den Leddeling, livori den analytiske Metliodes to Afdelinger, Analyse og Syntliese, senere optrooder lios Grvekerne. Dette ses af, at EUKLID i Fremstillingen af sine Saetnigroveralt bruger den for Syntliesen foreskrevne Leddeling. Han bruger den saa. nojagtig, at man overalt vilde kunne opstille den tilsvarende Analyse, der ved den formelle Brug af den analytiske Metliode skal gaa forud for den tilsvarende syntlietiske Fremnstilling. I det li e 1 e o g s t o r e er sikkert ogsaa, som. vi lier liar gjort gwaldende, en Analyse gaaet forud for den syntlietiske Fremstilling af Elementerne. En saadan ka n ogsa-a vvere gaaet fornd for Fremstillingen af mlange enkelte Sodtfinger. Saaledes kan EuKLID's beroimte Bevis for den pythagorceiske 'Soetning godt va ere dannet ved en forudgaaende Analyse ar' denne da velkendle Seetning og. vaere en til denne Analyse svarende Synthese. Men under del Arbejde, livoraf EUKLID'S Elementer er frem~gaaet i Tiden fra PLATON til EUKLID, liar man dog sikkert ofte paa en friere Maade forbundet Analyse og Synthese, dog stadig med det Formaal sluttelig at faa en saadan fuldt sammenhawngende rent syntlietisk Lawrebygning som, den, vi bar i EUKLID's Elementer. D. KI D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. R.-elke, I. 5. 3 31

Page 232

232 232 ~~~~~~~~~~V. Kapitel. 3 34 Ka~p. V. De math~ematiske Ivwerksaettere af den platoniske Reform. Hele denne Udvikling maatte skyldes Mathematikere af Fag. De egentlig mathematiske Frernskridt, som. ti~llagges PILATON selv, er enten ikke tilstrawkkelig sikrede eller ikke betydelige nok til at karakterisere ham som saadan, og mxrk-vardigvis vedkommer de aldeles ikke et saadant systematiserende Arbejde som del, han priser i,,Staten"'1). Hans Ytringer i,,Staten" og andetsteds rober imidlertid en Opfattelse af Mathematiken og dens Svetninger, soi liar vaeret kiar nok tl at udfinde visse alimindelige Krav, der maatte stilles for at omdanne den tl en rent rationel Videnskab. Denne Kiarhed er sikkert vunden og skwrpet ved Forhandlinger med de Mathematikere, som han efterhaanden fik til at besk~ftige sig med denne Omformning, og som han flere Gange viser hen til (,,de, der beskaeftiger sig med Geometri" o. s. v.). At han ogsaa i herhen horende Sporgsniaal liar besiddet en vis Myndighed overfor disse M~end, ser vi af den Tillidsfuldhed, livormed han paa flere Steder uddeler sin Ros og Daddel; af hans Tone kan man se, at denne i Reglen liar vweret. respekieret, selv orn han bekiager, at man ikke endnu liar villet behandle Stereometrien saaledes, som han krawvede det. Dog maa man ikke overvurdere den umiddelbare Andel, som PLATON kan have haft i Ivoerks~ttelsen af de mathematiske Frernskridt, som. han bidrog tli at fremnkalde. En saadan vilde han have haft, hvis han sagde: den og den Svetning eller Gruppe af Soetninger er slet begrundet, man maa gaa kaengere tilbage for at faa en fuldstoendigere Begrundelse, eller den og den Fremstillingsform er ufuldstwndig; den giver ikke Sikkerhed mod enhiver Mulighed for Undtagelser. Den Mathematiker, der i Henhold tl saadanne nojere prwciserede Anker foretog Udstykningen af Swtninger i,,Elementer" eller uddannede betryggende Former for den problematiske ell4 theoretiske Analyse, vilde da gore bestilt mathematisk Arbejde, imaaske udmverket Arbejde, men et saadant, for livilket den, der forst fik 0je for dets Nodvendighed, vilde have en meget vvesentlig Andel i ~Eren. Saaledes liar PLATON efter,,Staten" imidlertid ikke forniet sine Opfordringer. Bortset fra Stereometrien, livor hans Kiager just ikke giver Anvisning paa Midler tl at afhjVelpe dem, priser han Mathematiken som den, der allerede er en rationel Videnskab, og livoraf han ser, at et saadant Ideal lader sig realisere. Denne Pris maatte imidlertid for Mathematikerne indeholde en Opfordring tl at prove, om del skildrede Ideal var naaet, paa en Maade, som ogsaa de fuidlud knnde godkende, og fli at strzebe at udfylde de Mangler, som. de maatte opdagIe. Del er sikkert ikke PLATON, der liar gjort EUDOXOS opm~rksom paa Utilstroekkeligheden af tidligere infinitesimale Groense') Tvwertimod ti~ldge man ham Opfindelsen af et Apparat til me k anis k IKonstruktion af to Mellemproportionaler og en numerisk Losning af Lignhigen XI -j y2 =Z2, som turde have vxret kendt langt tidligere.

Page 233

35 35 ~~~~De mathematiske Ivarksa~,,tere af den platoniske Reform.23 233 overgange, og han kan nwppe have anet Nodvendigheden Iaf ved en Konstruktion at tilvejebringe ligesidede Trekanter og Kvadrater, forend man gjorde Brug af disse Figurer. De Indvendinger, som SPEUSIPPOS, saaledes som vi straks skal se, gjorde mod denne af MENAICHMOS indforte Brug af,,Problemer", nemlig at Figurerne som evige ikke behover at tilvejebringes, er jo netop en Genklang af, hvad PLATON seIV siger om de mnathematiske Sandheder. PLATO N har saaledes nawppe selv vist Mathematikerne de Veje, ad livilke de skulde naa det af ham opstillede Ideal; men., ved at holde dem, dette for Oje har han faaet dem tli at swtte deres egen mathematiske Skarpsindighed ind paa at naa del paa en langt fuldsteendigere Maade, end det hidtil havde voeret Tilfwldet. Paa en Indflydelse af den her skildrede Art passer det, som udsiges, om, PLATON og hans neermeste Efterfolgere i EUDEMOS' ved PROKLOS (S. 65-68 i Friedleins Udgave) bevarede Mathematikerfortegnelse. Naar PLATON selv her berommes for den,,betydelige Udvikling" (uesyoarr E'jr1ioaet), som han gay Mathernatiken i Almindelighed og Geometrien i Saerdeleshed, motiveres dette ikke ved nye Opdagelser eller deslige, men,,ved den Iver, sorm han udfoldede for disse Videnskaber, og livorom hans [ogsaa af os kendte] Skrifter vidner, idet de alle er fulde af mathematiske Betragtninger og overalt hos dem, der giver sig af med Filosofien, v~ekker Interesse for disse Videnskaber". Det er aabenbart, at hans Filosofi da ogsaa omvendt maatte tiltrzekke Folk med mathematisk Anl~eg og wgge dem til saadant mathematisk Arbejde, som var fornodent for at gennemfore hans Krav til Mathematiken som. rationel Videnskab. Naar PROKLOs andetsteds (S. 21 1,2-1) siger om en af PLATON'S samtidige, LEODAMAS, at PLATON,,meddelte" ham den analytiske Methode, vNed Hjwlp af hvilken han derpaa gjorde sig bekendt som Ophavsmand til tairige geometriske Opdagelser - gm hvilke vi iovrigt intet ved -,vilde det lyde nnderligt, at nye positive Fremskridt i Mathematiken skulde skyldes Meddelelsen af en Methode af saa almindelig og derved ubestemt Karakter som den analytiske. LEODAMAs kan derinmod nok af PLATON have faaet Anvisning paa den af denne 0nskede f or m e 11I e Omdannelse og med Held have fulgt denne Anvisning. Paa at EUDOXOS, der nwsten er PLATrON'S saintidige,, i Mathematikerfortegnelsen betegnes soin Discipel af PLATON'S Venner, bor der naeppe 1wgges for stor Veegt (med mindre der derved skulde tankes paa, at han har haft samme Lwre~re som PLATON). Han synes nemlig at have stiftet sin Skole i Kyzikos, for hanl i Athen sluttede sig til PLATON og dennes Disciple, og sin fremragende Plads som. Astronom og Mathematiker har han sikkert indtaget ret uafhwengig af PLATON. Der meddeles endvidere, at han har behandlet visse Sporgsmaal, rejste af PLATON, og dertil anvendt Analyse; men dermed siges nwppe andet, end at han har behandlet Sporgsnaalene efter sin Ankomst til Athen, og at disse da ogsaa har interesseret PLATON. De gjaldt for det forste Opstillingen af 3 nye,Proportioner", nemlig a -x b a -x b a -- x x x -ba x- b x x -bb' og Opgaverne maa nawrmest have gaaet ud paa Besternmelsen af,,Mellempropor31":

Page 234

234 V. Kapitel. 36 tionalen" x af disse Ligninger. Losningen af d isse Opgaver, af hvilke de to sidste reduceres tli,,Fladeanlveg" (Losning af Ligninger af anden Grad), kan ikke have voldi EUDOXOs nogen Vanskelighed; men de geometriske Omiformuinger, hvorved den er foretaget, kan have frembudt Interesse, og er ganske naturlig fundne ved,,Analyse"' i dette Ords mere omfattende Betydning. Hvad der menes med de dernaest omtalte,,Sporgsmnaal med Hensyn tli Snittet", er ikke ganske kMart. Foruden andre af TANNERY (Ge'ome'trie grecque p. 76) berorte Muligheder kunde jeg tamnke mig, at der blot sigtes til. den Snitbestemmelse, hvortil Losningen af de tre alt neevnte Ligninger i sin geometriske Form forer; men herpaa ligger i denne Sammenharng ingen VaTgt. Naar der derimod. siges, at EUDO XOS forogede Antallet af de saakaldte almindelige Theoremer (rio- xcdi06ou xciouAie'wm t~ewpvryedz), kan derved twenkes paa den Almindeliggorelse af den tidligere kun for kommensurable Storrelser gaeldende Proportionshere, som. opnaas ved EUDoxos' beronmte i EUKLID V. Def. 4 fremsatte Postulat, der tillige ligger til. Grund. for alle infinitesimale Groenseovergange. Denne Definition er netop det aroeye-lov som rnaatte fremgaa ved en Analyse af det, som. man virkelig foretager sig ved en saadan Grwnseovergang som. dem, DEMOKRIT tidligere maa have foretaget sig for at finde Pyramidens og Keglens Rumfang, eller som. dem, man foretager sig ved at udvide Szetninlger omi Forhold mellem. kom.mensurable Storrelser til. inkomniensurable. Analysen af denne sidsle Udvidelse liar tillige givet andre o6rozzala, nemlig EUKLID V. Definitioner 5. og 7. paa Forholds Ligestorhed og Uligestorhed. Disse Analyser er altsaa nogle af de betydningsfuldeste Eksempler paa, livorledes man kommer til. det af PLATON fordrede rationelle Grundlag for Geometrien; men deraf folger ingenlunde straks, at EUDOXOS forst s~kulde have foretaget dem., da han kom under Paavirkning af PLATON. Lige saa rimeligt er del, at EUDoxos' Analyse paa dette vigtige Punkt, ligesom THEAITET'S tidligere omtalte Behandling af Kriterierne paa Rodstorrelsers Kommensurabilitet, liar bidraget til. at fremikalde PLATON's almindelige Krav. En mere direkte Indflydelse bar PLATON vistnok udovet paa de Disciple, som. dernawst omlales i Mathematikerfortegnelsen, nemlig AMiYKLAS, MENAICHMos, der til.lige var EUDoxos' Discipel,, MENAICHMos' Broder DEINOSTRATOS, THEUDIOS og ATHENALO0s. Naar der siges, at disse Forskere samledes i Akademiet og gjorde deres Undersogelser i Foellesskab, skal dette maaske ikke tages ganske bogstavelig; men del ndtrykker dog sikkert mere end del ret selvfolgelige, hvorpaa Indledningen tIl Dialogen,,Rivalerne",giver et Eksempel, at to eller flere slog sig sammen om Studie't af en Forfatter eller om. en faelles Undersogelse. Hvor saa mange Mathematikere samledes som. i Akadetmiet, maatte af sig selv de Sporgsmaal, der beskeeftigede dein, komme til mundtlig Forhandling, og da ikke mindst det af PLATON selv saa stawrkt freindragne om. Opforelsen af en strengt rationel. mathematisk Lverebygning, og om de Veje, de selv som Mathematikere maatte gaa for at realisere deres filosofiske Loorers 0nsker. Aftaler var nodvendige for at enes orn en feelles Terminologi, om feelles Udgangspunkter o. s. v., uden hivilket den ene ikke vilde kunne domme om Vawrd ien af, hvad den anden havde opnaaet, og disse Aftaler kunde forst troeffes

Page 235

37 37 ~~~De mathematiske Ivaxrksawttere af den platoniske Reform.23 235 efter Forhandlinger om, hvilke Veje der er at foretrzekke. *Om saadanne Forhandlinger vidner da ogsaa de Efterretninger, som vi her kan fremdrage om det Arbejde, der er udfort af de nwevnte Moend og deres Efterfolgere indtl EUKIAD. Noget saadant som de faste Former, hvori Grvekerne iklIedte Brugen af den analytiske Methode, og livis Henforelse tl den Tid bekr.Tftes ved, hvad der siges om DEINOSTRATOS og MENAICHMOS, og ligeledes de sproglige Regler, for mathemnatisk Fremnstilling, som EUKLID og senere Forfattere saa nojagtig 'folger, bawrer Praeg af at vaere fremgaaet af Forhandlinger og en fbelles Provelse af de enkelte Formers logiske Vverdi ogi Betydning. lovrigt peger selve den Dialogform, som PLATON liar givet sine Arbejder, hen paa den store Betydning, som paa hans Tid Samlaler havde for Viden.skabens Udvikling. At Geometriens formelle Behandling bar veret et Hovedemne for Forhandlingerne mellem PLATONS mathematiske og filosofiske Lzerlinge, ses af Beretninger hos PROKLOS, som vi straks skal omlale. Hvilke Bidrag der iovrigt skyldes liver enkelt af PLNTONS ovennawnte Disciple, v'ed vi for fleres Vedkomnmende ikke. DEINOSTRATOS gaar lige i EUnoxos' Fodspor i sit strenge Bevis for en rimeligvis allerede af HiPPIAs benyttet, men ikke nojaglig begrnndet Gramnseovergang (se Oversigt 1913, S. 461). Bevisets Nojagtighed haonger saa noje sammen med den Form, hvori det fremswettes, at det tor antages, at den oplievarede Form (PAPP'os ed. HULTSCH p. 256) i 'del voesentlige er den samme, somn DEINOSTRATos liar givet del. Da foreligger allerede her den lypiske Form for den til den analytiske Methode knyttede Anvendelse af en Rednctio, ad absnrdum tl Bevis for, at en Grxensevxerdi hverken. kan vaere storre eller mindre end den Storrelse, som det i Sadtningen. udtales at'den liar; det er den. samme Skikkelse, som senere EUKLID og ARCHIMEDES giver Beviserne for infinitesimale Grvenseovergange. Det er dog fremfor alle MENAICHMos, hvem bevarede Brndstykker ndpeger som virksom for at fremme og fra malhematisk Side uddybe PLATONs Tanker om. en fuldtud rationel. Behandling af Geomnetrien og udvikle de dertil tjenende Former. Vi liar allerede S. 27-28 (225-226) set ham' omtale de mathemnatiske Sletningers Oplosning i og Sammensvetning af,Elemnenter". Om hans Deltagelse i Forberedelsen af tilfredsstillende,,lementer" vidner ogsaa folgende Meddelelse, som er bevarel. hos PROKLOS (S. 77,15-78,13). W d8 io- z7wra~atio- ot" po 7rdtvra 8swjptyicra Allerede blandt de gamnle foreslog nogle, xa2eZtv 'Vwo~aa' Ng Ot' 76repi 2~rZe66ewwo! xat som Senusippos og AwMPHNomos, at kalde 'Aeui.opiov?~rou6leeeuot at &zwp~vzeakt E'rt- alt Theoremer, idel de mente, at BeGz~Lee~oise~4pi.ri.'e ~l.rJ?I U. wTNol Unawnelsen Theoremer passer bedre end 7rpoiv~-opkaiu ir v v c7hrpog2h'pd-cwv, &k22w- Benalvnelsen Problemer paa tlieoretisk. TZ Xat 7rept chUOv woeou0116~atg zToU 0 Aoug. oe3 Viden, isaer paa en saadan, der gadlder Ep 'ocee v -co &81ot, 'ar o'33 evige Ting; thi del evige liar ingen Tilwrp i2aa'ow i av~oveatu blivelse, saaledes at der for dettes Vede~a7yAArSWioVV W'l 7ro&GwM -coU P~7rt 7cpo'repov kommende heller ikke er Plads for

Page 236

236 236 38~~~~~~~~~V.\aptl 38 OU'rog, Owl0) 16072E,0e0po z-pcr~ouou aliar~7 za w 0o1 50aae )E,6r-ew, 0Jzc Wrdlurc raih5a grre, ra g;rEU~EUS ao'Zi-Vn 06 7roerTtxib dAwa' yl)woa-ex(2g 6pdi4asp d)~aavv rerv ~eva 2apgciolvz-eg Ca del olvra/. Ware~ xae 7rturaCI decoSl'paryia-cw E~ool)/1Sl (btalratelV 7t61L)Ta T7pof2i'?liart- 26,76tu M.exal'OUl), ro, IUOU JT 8 ~7repcwf)pvu aoua 1EV re Eaz-w,? w-oilov Te, 're' 7Wa7Ol)(6el, 11 zi.i I e wIo? 22A0 a'iTalg. Problemet, som udsiger Tilblivelsen og Frembringelsen af noget, som. endnn ikke er til, f. Eks. Dannelsen af en ligesidet Trekant (EUKLID I, 1), Tegningen af et Kvadrat paa en given Side (I, 46) eller Anbringelsen af en ret Linie (Liniestykke) saaledes, at den faar et givet Endepnnkt (I, 2). Det er aitsaa (siger de) bedre at sige, at alle disse Ting er til, og at vi ser deres Tilblivelse ikke frem.bringende, men erkendende, idet vi betragter de altid vawrende Ting som blivende til. Derfor maa vi sige, at alt tages i theoretisk, ikke i problematisk Form. IMen andre, som MENALCHMOS og de Mathematikere, der sluttede sig til ham, vilde omvendt kalde alt Pr oblemer: men disse havde et dobbelt Formaal, nem.lig enten at tilvejebringe det sogte eller efterat have taget noget bestemt at undersoge, hvad det er, eller hvordan det er, eller hvilke Egeuskaber det har, eller i hvilke Forhold det staar til andet. Man vii bemawrke, at begge Parter, der forhandler om den Form, Geometriens Elementer bor antage, er enige om, at der ikke er nogen vawsentlig Forskel paa den Rolle, Problemer og Theoremer deri skal spille; kun vii det ene Parti binge Fa-ellesbetegnelsen Theoremer, det andet Fseilesbeteguelsen Probiemer. Hvad man saaledes allerede synes at vwere bleven enig om, er den ejendommelige Rolie, som Problemer og d e dertil svarende Konstruktioner sknlde komme til at spille i den gra~ske Geometri 1). Om man tidligere har brugt Ordet Probiemer i Geometrien, ved jeg ikke; men man har, som. vi snart skal se,' i hvert Fald lost Konstruktionsopaeder gik ud paa Tegning af Figurer. Derved var da Tale oni den mekaniske Tilvejebringelse af disse ved de i hvert Tilf.Tlde hensigtsm~wssigste Midler og ikke udelukkende ved Lineal og Passer, som det efter EUKLID blev fordret, naar det overhoved et er mniigt. Ja selv disse mekaniske Redskaber nwevnes ikke i EuKLIDs Elementer; men de i Problemerne indeholdte Konstruktioner giver blot ')Se min Afhandling: Om Konstruktionen som Eksistensbevis i den gamle greeske Mathematik. Nyt Tidsskrift for Mathematik A, 3 (1892); pan Tysk i Mathematische Annalen 47 (1896).

Page 237

39 39 ~~~~De mathematiske Iv~erkspettere af den platoniske Reform.23 237 Beviser for, at den ved den i Ord beskrevne Konstruktion tilvejebragte Figurr maa eksistere, saa'vidt somn man anerkender, at de rette Linier, Cirkier og Punkter, hvis Eksistens krawves anerkendt i Postulaterne, virkelig eksisterer. De udtrykker altsaa en af al niekanisk Udforelse uafheengig Aarsagssammnenhawng mellem Postulaternes Eksistenskrav og de konstruerede Figurers Eksistens. De i PROKLOS' Meddelelse anforte Eksempler er saerlig typiske for denne enklidiske og senere groeske Brug af Problemer. En ligesidet Trekant eller et Kvadrat skal tilvejebringes ved en i et Problem angivet og bevist Konstruktion, for man gor nogen Brug af disse Figurer. Swrlig giver 1,2 Anvisning paa en Omvej, der er ganske betydningslos, naar man twnker paa mekanisk Brugr af Pass eren, og den kan kun sigte til Anvendelse af Postulater, der liar en rent geometrisk Karakter, og som. man vii opstille i et saa ringe Antal som, muligt. Disse Eksempler er vistnok de samme, som i sin Tid benyttedes i selve den om~talte Strid, og ikke saadanne, som senere er tagne af EUKLID's Elementer for at belyse denne. Naar PBOKLOS og andre senere Forfattere gor dette, f. Eks. paa det S. 28 (226) anforte Sted, livor MENAICHMOS ogsaa om~tales, anfores Soetningerne gerne mned Nummer. At to af de Sawtninger, der tages til Eksempel, netop er de to forste hos EUKLID, maa, da hero paa, at det forhandlede Sporgsmaal var fremkommet ved', at det nu netop blev gjort gjoeldende, at Geometriens Elementer maatte begynde med disse Soetninger som. de forste Anvendelser af Postulaterne til at sikre sig Eksistensen af de i disse to Swtninger bestem~te Figurer som, Udgangspunkter for den paa Postulate rue saint de,,almindelige Begreber" synthetisk opforte Loerebygning. Den voesentlige Andel, Isom MENAICHMOS liar haft i Valget af dette Udgangspunkt for geometriske Elementer, turde fremgaa af den her foreliggende Forhandling om. de dertil knyttede Bencevnelser paa Szetningerne og om den Betydning, man derved tillagde dem, og den bekrweftes ved, at vi 5. 28 (226) saa MENAICHMOS nwevne Postnlaterne som, Geometriens forste Elementer. Man vii maaske her indvende, at det er under Om~talen af SPEUSIPPOS' og AmPHINOMOS' Mening, at de tre Eksempler Dnevnes. Dels kan man imidlertid ikke fra dem. vente et seerlig i mathematisk Henseende betydningsfuldt Skridt, dels fremkominer Eksemplerne ikke som. Forsiag til en Ordning fra deres Side, men snarere som. Indvending mod en Ordning eller i det mindste imod at markere den ved at give de anforte forste Begyndelsessoetninger og dem, livormed man i Overensstemmelse dermed ogsaa nmaa begynde senere Afsnit, det sverfige Navn Problemer. Med nogen Ret kan der siges, at de netop efter den Brug, man 'gor af dem, bliver en Slags Theoremer, nemlig Eksistenstheoremer. Ved den anforte Begrundelse heraf -redder PLATON'S filosofiske Efterfolger, SPEUSIPPOS, som. alt bero'rt i Begyndelsen af dette Kapitel, sin Tilslutning iii PLATON, efter hvem. de miathematiske Sandlieder som evige Sandheder ikke kan tilvejebringes. MENAICHMos kommer paa en anden, Maade til sin Sammenstilling af begge Dele som,,Problemer", idet han synes at fastholde, at baade de ideelle Figurer selv og deres Egenskaber kun er til i vor Erkendelse, og at de saaledes forst bliyer til ved Eksistensbeviser, eller ved det,

Page 238

238 V. Kapitel. 40 som han kalder Probleener Maaske er det i Erindring om denne Strid, at EUKLID, ikke som mange af hans Efterfolgere ved Overskrifter betegner om de enkelte Saetfinger er,,Theoremer" eller,,Problemner" i den Betydning, hvori disse Ord altid.senere er blevet tagne. Den Forskel, der er imellem dem, og som ogsaa MENAICHmos anerkender ved Omtalen af to Slags Problemer, trawder dog altid frem i Satningernes Form og Behandling, saaledes ved'at ende deres Beviser henholdsvis med Ordene,det, som skulde gores" eller,det, som skulde bevises". Endog det store positive. geornetriske Fremskridt, som tillaegges MENAICHMOS, kan have haft at gore med Geometriens formelle Konsolidering. Jeg toenker paa Opdagelsen af plangeometriske Hovedegenskaber, der karakteriserer Keglesnitslinierne, eller snarere Anvendelsen af Keglesnit til at konstruere to Mellemproportionaler; thi begge Dele er vel nwppe fundne satutidig. Plane Snit i Cylind eren synes navnlig at have vwret undersogt tidligere, og det er ikke umuligt, hvad TANNERY antager, at det,,Snit", hvormied EUDOXOS, som vi nys saa, skal have besk~eftiget sig, kan have vteret et plant Snit i en Kegleflade. Hvad der sterlig tillaegges MENAICHmos, er Anvendelsen at' Parablerne x2 a y og y2 b x og Hyperbien x y == ab til at finde de to Mellemproportionaler x og y mellem a og b, saaledes' at a: x ==x: y = y: b. MENAICHMOS'O Odagelse er da gaaet ud paa, at de nawnte Kurver., livis Anvendelighed til at lose de naevnte Opgaver er iojnefaldende, og som maa. have fremibudt. sig, da. man saa, at -der til dette Brug kroevedes andre Linier end ret Linie og Cirkel, kan fremstilles somn plane Suit i Kegleflader. Denne Konstruktion giver netop, for disse Kurvers Vedkoinmende det Eksistensbevis, paa livilket vi nys saa, at MENAICHMOS lagde saa stor Vaegt. Eksistensen af Kegler og at' plane Snit i Kegler folger nemlig af de Eksistenskrav, som den elementaere Geometri stiller for Cirklens og den rette Linies Vedkommende. Ogsaa den Form, hvorunder Bestemmelsen meddeles af EUTOK1oS, fortjener Opinzerksomhed 1). Overskriften ',Q Me.'vaepog synes at betegne, at her virkelig foreligger en Gengivelse af den overleverede Form for MENAICHMos' egen Freinstilling, Under denne Overlevering imed et eller flere Mellemled er (ler ganske vist foregaaet Forandringer, i det mindste den ret selvfolgelige, at Keglesnittenes nye re Benwvnelser, Parabel og Hyperbel er indforte; men Delingen i en Analysis og en Synthesis, som freinsvettes i de for disse typiske Former, gaar rimeligvis tilbage til MEAIH mos. At selve Ordet Ana~lyse ikke forekommertm), stemmer med, at han ogsaa efter Citatet S. 28 (226) endnn ikke synes at have gjort Brug at' dette Kunstord. Naar derimod Synthesen indledes med cued'aeame 85' 0oE-ao, kan 'dette enten veere kommen ind senere eller vwre en begyndende Brug af Ordet Synthese. I Analysen traeffer vi Ordet dode1u,givet" i den samnine 5. 32 (230) omtalte Betydning, livorom det da be') HEIBERG'S 2. Udgave af ARCHIMEDES Ill, S. 78 if. 2) Det kan iovrigt staa hien, om man, selv da en fuldsteendigere Terminologi havde udvikiet sig for den analytiske Methode, som Overskrift over den her forst meddelte Analyse vilde bruge Ordet cl'd~uccg eller det noget mere begrxensende Ord dnarajrw~' I en videre Forstand tager den med MENAICHmos samtidige ARISTOTELEs Begrebet Analyse, naar han kalder sin Logik 'Apako-cxd.

Page 239

De mathematiske Ivaerksvettere af den platoniske Reform.23 239 maIwkedes, at den gaar tilbage til ARISTOTELEs' Tid. -Det kan altsaa ogsaa vvere brugt af MENAICHMos. Formerne for den fuldstaendige saakaldLe problematiske Analyse gaar saaiedes tiibage tl PLATON's nawrmeste Elever, og det er ikke urimeiigt at ant~age, at MENAICHMOS, der, som vi saa, fremhwevede Betydningen af,,Probiemer", kan have bidraget vwsentlig tl at udvikle disse Former. Hans opbevarede Fremstiiling vii: da senere have staaet som en Norm for Brugen af dem, ligesom DEINOSTRATOS'. for Fremstiilingen af de ligeledes til den analytiske Methode knyttede Beviser for Graenseovergange (S. 37 (235)). 0Gm MENAICHMos' Bidrag til Udvikling af den analytiske Methode vidner ogsaa den Fastsaettelse af Betingelserne for Paalideiigheden af Omvending af Soetninger, soim efter PROKLOS (S. 254,4) skyldes MENAICHMOS og AmPHINOMOS. Disse. forskeliige Meddeleiser om Fremskridt, der skyldes MENAICHMOS, vedrorer vel forskellige Sporgsmaal, men der er en saadan Sammenharng imeilem dem, at de. godt liar kunnet rummies i et enkelt Skrift, som da liar givet en skarpsindig og, opfindsom Mathematikers Svar paa de Tilskyndelser fra PLATON'S Side, sorn sawrlig konimer tii Orde i,,Staten". Han gaar saa grundig tilvaorks, at han ikke n~aar selv at udarbejde,,Elementer"; men han giver sikker Anvisning paa de mathematiske Principer og Betragtninger, som maa 12egges til Grund for Arbejdet paa saadanne, og paa de Soetninger, hvormed der maa begyndes. Og han viser tillige, hv~orledes de samme Principer kan l1egges til Grund for et videregaaende Arbejde _(Jeglesnit) oguvikier de paalidelige og frugtbare Arbejdsforme'r og noje bestemte Fremstillingsform-er, hivoraf Graekerne skulde gore saa ndstrakt Brug. Et Skrift af ham med dette Indhiold findes dog ikke onitalt, med mindre man tor, tilliegge ham en af flere Forfattere ointalt Kommentar tii. PLATON'S Stat, hvis Forfatter er en MENAICHMO-S fra Alopekonnesos; men denne antages i Almindelighed at vvere forskellig fra Mathematikeren'). Dog har H. MARTIN i sin Udgave af Theon fra -Smyrna inent, at et Citat af Mathematikeren MENAICHMOS, som findes der, maa referere Sig til PLATON'S Omtaie i X. Bog af koncentriske Planetsfeerer og da skrive sig fra den omtalte Kommentar til Staten. Denne skulde-saaledes skyldes Mathematik~eren. Det forekommer mig, at denne Formodning, der saaledes skriver sig fra eL heit andet Citat, i hoj Grad bestyrkes ved, a t MENAICHMOs' her refererede Ydeiser saa noje svarer til PLATON's Omntale af Mathematiken i VI. og VII. Bog af,,Staten". Kommentaren har dog saa ikke vaeret en Forkiaring laf det filosofiske Indhoid af dette Vawk, 'men kun beiyst de deni indehoidte mathematiske Bemwerk-ninger og vist, hvorledes dets Udtalelser om Mathematiken mathematisk lader sig gennemfore. Medens MENAICHMOS forbereder en ny og grundigere Omdannelse af Geometriens,Eiementer", forsoger en anden af PLATON's Disciple, THEUDIDS, straks at ud~arbejde saadanne, i hvilke han vistnok maa have straebt'at ivaerksaette en Del af 1)Saaledes MAX C. P. SCHMIDT i Die Fragmente des Mathematikers Menfichmus". Philologus (1884) Bd. 32. P. TANNERY antager clem derimod for identiske. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Rwekke. I. 5. 32

Page 240

240 VI. Kapitel. 42 de Forbedringer, som stemnte med PLATON'S ideelle Krav. Han har derved f. Ex. kunnet tage noget Hensyn tl Fremskrid~t, som skyldes EUDoxos, men den fornodne samnlede Omnarbej'delse af Elementerne liar han kun kunnet foretage i del Maal, som, var mnligt uden saa grundige Forarbejder som dem, MENAICHMOS samlidig paabegyndte. De,,lementer", somn THEUDIos' afl0ste, var skrevne af LEoN, der vel var yngre end PLATON, men ikke siges direkte at vaere paavirket af denne. O0gsaa. han havde dog optaget principielle Sporgsmaal, nemlig Undersogelsen af Mulighedsbetingelsen for stillede Opgaver, den saakaldte Diorisme, der senere fik en sverlig Plads i de bestemte Former 'for Analyse og Synthese og afgav et Hovedmiddel tl Bestemnmelse af Maxima og Minima. Om THEUDIos hedder del, at. han gjorde forskellige Soetninger mere almindelige, livad der passer godl med den ham tilskrevne Paavirkning fra PLATON. Iovrigt liar HEIBERG i,,Mathematisches zu Arisloteles" paavist, og ved sin Samling af mathematiske Steder hos ARISTOTELES givet, et godt Middel til at komme tl Kundskab om THEUDIos' Elementer endog om den Form, under hivilken mange enkelte Soetninger er fremsatle. De mathematiske Soetninger, livoraf ARISTOTELES gor Anvendelse som Eksempel paa eller tli Samnmenligning med sine Betraglninger, mnaa nemlig have vawere at finde i de da brugelige,,Elementer", fli lvilke ogsaa hans Disciple kunde. henvises. Sammenligning med EUKLID giver da. god Lejlighed tl at bemanzeke, hvilke Fremskridti Stof og sawrlig i Behandlingsmaade der efter THEUDIOS maa vaere vundne ved mellemliggende Mathematikeres og EUKLID's eget Arbejde. Dette Middel skal vi flere Steder benytle. Efler de her omltalte Akademikere nawvner Mathematikerfortegnelsen endnu HERMOTIMOS og PHILIPPOS. Naar del sawrlig siges om den forsle, at han fandt Slelninger af Elementerne, lyder del paa en Fortsuettelse af MENAICHMOS' Arbejde paa at give Elemenlerne den relte Skikkelse; han liar da vveret et Melleinled mellem MENAICHMOS og EUKLID. Hans Behandling af geometriske- Steder, soin ogsaa nawvnes, kan vvere gaaet ud paa ogsaa at bringe Bestemnmelsen af andre geometriske Steder ind under de samme analytiske Former, som 'MENAICHmos allerede havde anvendt paa Parablen og Hyperbien (S. 40 (238)). Ved Siden af Mathemnatikernes Arbejde og indbyrdes Samarbejde liar deres Samnarbejde med de samtidige Dyrkere af Filosofien vaeret af Betydning.: El Exempel herpaa liar vi allerede haft i SPEUSIPPOS; men en all overvejende Indflydelse paa Arbejdel pan Opforelsen af en rationel mathemnatisk Lawrebygning vii dog ARISTOTELES, der grnndlagde og opforte Lawren omn selve Tankens almindelige Love, have haft, medens han paa si n Side ogsaa kunde henle baade Materiale og Exempler fra del, som Mathematikerne paa deres Omraade havde naaet og vedblev at gennemfore. Hans Opgave var paa et videre O0mraade den samnme som de Mathemnatikeres, der gennem en Analyse af den all bestaaende Mathemalik udfandt den rationelle Sammenhweng og lagde denne tl Grund for en ny ralionel Opforelse af den hele Lzere. Tawnke sikkerl og klart havde man lamnge kunnet, og ikke

Page 241

43 43 ~~~~De mathernatiske Ivoerksoettere af den platoniske Reform.24 241 mindst Mathematikerne af PLATON'S Slaegtled ha'vde vist, livor stor en Finhed der kunde opnaas paa deres Omraade, livor man kunde holde alle de Sidehensyn borte, som. ellers gor logiske Slutninger indviklede og usikre. Deres Tankearbejde udgjorde. saaledes en sverlig frugtbar Mark for den Analyse, livorved ARISTOTELES imaatte hente de Elementer, livoraf han paa. sin Side skulde opfore sin omfattende Taenkekere. I denne fik Matheinatikerne paa deres Side Lejlighed tl at se de Tankelove, som. de selv fulgte paa. deres mere begroensede Omraade, i en storre Sammenhoeng, livad der ogsaa kunde hsere dem at give dem, fuldkomnere Udtryk. ARISTOTELES har saaledes baade benyttet den foreliggende Mathematik, hvad der her kommer Os fl Nytte ved hans tairige Citater af de da existerende Elementer (Theudios')., og vistnok samarbejdet med de samlidige Mathematikere og liar derigennem. og ved sine,Analytica", da de udkom, ovet en betydelig Indflydelse paa Mathematikerne, vel ikke mindst under deres Dannelse af de faste Former for Mathematikens Be-,handling, som, vi har omtalt i forrige Kapitel. I Kap. XI skal vi se et Eksempel paa, at de af ARISTOTELEs hawvdede Principer ogsaa fik Indflydelse paa selve Indholdet af de mathem'atiske Elementer. MENAICHMOS og ARISTOTELES var omtrent samlidige; livis det er rigligt, at ogsaa MENAICHMos liar vveret Lwerer for ALEXANDER DEN STORE, har dette vvaret et sawlfigt Bindeled mnellenm dem. Vi har ogsaa set dem udtale sig paa overensstemmende Maade omn Brugen af Ordet aozocsea. Vort sidste Citat af MENAICHMOS vedrorte Betingelserne for Omvending af mathematiske Soetninger; det samme Sporgsmaal b~ehandler ARISTOTELES i II. Bog 24 af Analytica priora for almindelige Dom.mes Vedkommende. Derimod. har det voeret underkastet nogen Tvivl, 'om.ARISTOTELES kender noget til den Brug. af Problemer og de tl Grund for disse liggende Postulater, livis Indforelse vi sperlig har tillagt MENAICHM os. T. L. HEATH kommer 1) i sit omhyggelige Studium, af ARISTOTELES' Analytica posteriora I. Kap. 10 (76a 31-77 a.4) til det Resultat, at denne deni netop gor Rede for den Brug af Postulater, som, findes hos, EUKLID og senere hos ARCHIMEDES; HEIBERG hoevder derimod (Ma-thernatisches zu Aristoteles 5. 5), at det i livert Tilfeelde ikke er paa. disse, han i dette Kapitels anden Del anvender Ordet a~'npc (Postulat). For mit Vedkommende slutter jeg mig i det mindste til HEATH'S Opfattelse af Kapitlets forste Del, hvor dette Ord endnu ikke forekommer, men livor der peges hen paa den Brug, som. d er virkelig er for Postulater i den euklidiske Betydning. ARISTOTELEs begynder med. at tale om de Grundbegreber, livorom. man ikke kan bevise, a t de er. H vad de er, maa man baade oni dette oprindelige (ru' wrpi-a.) og om det deraf dannede (rcz E'x rur fastslaa. [nemlig ved Definitioner, der som. fl~ere Gauge bemoerket endnu ikke indeholder nogen Paastand Om det defineredes Existens], saaledes i Geometrien baade h va d en ret Linie og en Trekant er. A t det er, forudsvettes for det oprind~eliges 1)Euclids Elements translated from the text of Ikiberg, with introduction and commentary. Cambridge 1908, vol I, S. 117 if. I dette Vverk gives omfattende og kritiske Oplysninger om.,den Litteratur, hv'orved EUKLID'S Elementer belyses. 32*

Page 242

242 V., Rapitel. 44 Vedkommende [altsaa om rette Linier] og bevises for det ovriges [f. Ex. Tr -ekanter]. - Det' er jo netop det forste, der gores i EUKLID'S Postulater, dog saaledes, at der ikke helL i Almindelighed siges, at f. Ex. rette Linier existerer, men Isaadanne, som 'er bestemt ved to Punkter (Post. 1) eller ved et hell Liniestykike (Post. 2) o. s. V. Ved Beviserne for Existensen af de samm-enlsatte Figurer, begyndende med. lige'sidede Trekanter, benytter Eu1KLID ikke blot de for Videnskaberne fbelles Forudswetfinger (r&' xoveud), af hvilke EUKLID SOM,Almindelige Begreber" (zoeucli E'V~oeat) har anfort dem, der ogsaa finder Anve ndelse paa. Geometrien; men foruden de efterhaanden beviste Soetninger bruges ogsaa de Egenskaber ved Grnndbegreber'ne, som gaar med ind iPaastanden om deres Existens, saaledes for den rette Linies Vedkoinmende dens Bestemmelse ved to Punkter. Det maa. vawre disse Egenskaber, som ARISTOTELEs naevner som. del tredie (xa" t~~z d~ v~6/CCe C~aTOI)), der foruden det, som. Definitioner og Axiomer (z-& xotv d) indeholder, behoves i, et Bevis og kr~ev es forudsat. Dette passer ganske paa EUKLID'S Postulater; men for det til EUKLID's Benvevnelse svarende Verbum, alraev (kroeve), bruger AR.iSTOTELES her endnu Ordet 2apdveeu (tage), der ogsaa kanl finde Anvendelse paa andre opstillede Forudsoetninger, saaledes i Kapitlets Begyndelse paa Definitioner. ARCHIMEDES kalder ogsaa de af ham indforte Forudsactninger Aqpajfia4eva. Ordet Postulat (af%'jpa) bor da vist kun soni hos EUKLID anvendes paa Existensantagelser, Existenskrav. Dette Ord forekom~mer somn sagt forst i, den anden Del af Kapitlet hos ARiSTOTELES, livor det sammenstilles med 'bw4?Yeceg, Forudsatning. Noget af del, som. hall her siger omn de 'Veil disse Ord betegnede Begreber, kan passe godt paa. de euklidiske Postulate'r. Naar han saaledes siger, at der ikke er nogen Nodvendighed for at antage dem, vilde dermed udtrykkes det samme, som jeg S. 8 (206) har betegnet ved at kalde dem den vaesentlige Del af Definitionerne, idet de f. Ex. for den rette Linies Vedkommende ikke folger- af den opstillede Definition 4. Denne, der blot knytter sig til del ydre (rpo' Iro' ~'$ow 20roov), er geometrisk intetsigende (smlgn. VIII. Kap. i nwrv. Skrift) og kan ikke bruges i Beviset., Dette maa knyttes tl del indre, som- opfattes med Sjaelen (7wpo' z-?vy Z'ow eller 7wpo' -r'n ' ri eo dteKa opfyldes af EuKLID'S Postulater, som i Modseetning tl den omitalte Definition anforer geometrisk, frugtbare Egenskaber. Endog det, der swrlig siges om. Postulater, at Lvereren postulerer det, hivorom'Loerlingen enten ingen Mening hiar e'ller endog en modsat, kunde forsvares med, at de ikke passer pa~a de tegnede Figurer. Derimod vil del vvere vanskeligere at forlige den Antagelse, at de her omtalte Postulater skal voere de euklidiske, med ARISTOTELEs' Forkiaring, at~ man deni uden Bevis antager del, som dog virkelig er bevist (J(Ta PEP o~' 5rex-r& ihVra ACpa1,VEI a~oq~ dla) en Egenskab, som 'han kommer tilbage tl. HEATH mener at komme ud herover ved at overs~ette J~exrd ved,,matter of proof", h-vad han i sn egne Forkiaringer omskriver tl,,a proper subject of demonstration". Derved kan sigtes til, at Postulaterne skulde udtale SwAtninger af samme Natur som~ dem, man- swedvanlig beviser. For ikke at tale omn 4. Postulat, som man swdvanlig und~res over

Page 243

45 45 ~~~~De mathernatiske Ivwerksaxttere af -den platoniske R~eformn.24 243 ikke at finde mellem beviste Sietninger, synes en saadan Opfattelse at hekraeftes ved de tairige Forsog paa at bevise det 5te. Disse skriver sig dog mest fra den Tid, da det opstilledes som 1tie Axiom, og man endnn ikke saa, at det var uund-va~rligt som Antagelse af en Existens, nemlig af et Skaeringspunkt. Jeg kunde bedre~ taenke mig, at der ved Anvendelsen af datrexm her ikke tienkes paa et matheimatisk Bevis, sorn jo netop ikke kan fores, men paa en Eftervisning af den panstaaede Mulighed af Post. 1, 2, og 5 ved Hjawlp af Lineal, af.3 ved Hjadp af Passer og af 4 ved. Hjmelp af Gnomon (se i det folgende Kap. VII og VIII); Pfl avh$ag udtrykk~er da, at Paastanden gores gadldende uafhoengig af denne Eftervis'ning, der dog kun kan voere ufuldsteendig. Der er dog en anden Forkiaring af Ordet 67reo~m, paa hvilken de her udtalte Ord synes at passe hedre, nemlig den, som. vi er vante tl, naar vi i Udsigelse af en geometrisk Soetning skelner mellem Udsigelserne af de Forudsawtninger, som, gores om. den forelagte Figur, og af de Egenskaber, den da skal bevises at have; disse kalder vi Hypothesis og Thesis. Her bevises Hypothesis ikke; men ~skal man anvende Spetningen paa en forelagt Figur, maa Hypothesis forud voere bevist om. 'denne. Ogsaa hvad der ellers siges i Kapitlets anden Del passer paa en saadan Hypothesis, del tilsidst anforte Exempel: at en Linie paa Figuren siges at vwre en Fod, uden dog at behove at vwre det paa den tegnede Figur, endog suerlig godt. Denne Forklaring af Ordet Hypothese, for hvilket man under nawrmere hetegnede Omstoendigheder skulde kunne siette Postulat (a~'l~ra), synes at viere den, hyortill HEIBERG sigter; men som sagt betegner den da. noget andet end del, der har vweret Tale omn i Kapitlets forste Del. Hypotheser i denne Betydning vilde overhovedet ikke vedrore Grundbegreber eller Grundswetninger (at' dpxal), der betegnes somn Kapitlets Indhold. Heller ikke ved jeg (hvis Knndskaber paa dette Omraade dog ikke gaar langt), omn ARISTOTELES swrlig anvender Ordet Hypothese paa denne Art Forudsoetninger. PROKLOS gor det vel (S. 252,7),. naar han i Anledning af EUKLLD 1,6 taler om Spetningers Omvending, sonm sker ved, at Hypothesis -- i den her noevnte Betydning — omubyttes med Thesis; Thesis kalder han derimod her i Overensslemmelse med szedvanfig groesk Sproghrug, Konklusion (aovuwrEpaqpLa)-. Dette sidste gor ogsaa AmSTOTELES, naar han i Anal. priora 11,24 taler om Omvending af Soetninger; men Ordet bwj6dfeae4. forekommer ikke her. Derimod har HEATH henvist tli, at del i Anal. posteriora 1,2 netop (72 a 14-22) bruges tl at betegne de i forste Del af 10. Kap. omlalte Existenspa astande, hvorved han, og jeg med ham, mener, at der vises hen tli saadanne Forudsoetninger som. dem, hvilke EUKLID kalder Postulater Af alt dette ser man, at ARISTOTELEs er forntrolig med den Tankegang, som. forte til Dannelsen af de enklidiske Postulater; men selv om man fuldt ud holder sig tli HEATH's Fortolkninger, har den vistnok endnu vweret temmelig ny og Genstand for Forhandlinger vel nawrmest mellem ARISTOTELEs og den Geomneter, der havde sawlig Brug for den ved saadanne,,Problemer" som der, hvormed han vilde

Page 244

244 VI. Kaplitel. 46 begynde Geioretrien, neinlig MENAICHMOS. Af Citatet S. 28 (226) saa vi, at li a n kaldte de geometriske Grundelementer, livortil han kommer ved sin Analyse, Postulater (al'rv'aza), og at disse i det mindste var af samme Aar som EUKLID'S, ser vi af den Maade, hvorpaa han (S. 39 (237)) begyndte at opfore Geometrien. Det tnrde da vvere i Tilsiutning til ham, at ogsaa ARISTOTELES i visse Tilfaelde vii bruge dette Ord, medens han liar begyndt med at kalde den Slags Forudsvetninger Hypotheser. MENAICHMos havde Brng for mere form-ulerede Postulater, end den blotte Paastand om. Existensen af en ret Lini~e o. s. v., swrlig i de Soetninger, hvormed han vii begynde, for EUKLID'S Post. 1 og 3 og maaske for Kvadratets Vedkommende for 4. Postulat (se Kap. VIII). Naar derimod ARISTOTELES ikke, saaledes somn han gor for,,Alm. Begr.", giver noget Exempel. paa. et udformet Postulat, forklares det ved, at saadanne ikke endnu liar foreligget i TH-EUDIOs' Elementer,7 men netop forst. opstilledes paa hans Tid afrMENAICIIMOS. 'Dette Resuitat stemmer med det, hvortil HEI'BERG var kommen, idet han slet ikke mente at fi~nde noget om de euklidiske Postulater hos ARISTOTELE.S1). Vi skal i VIII. Kap. se, at et Hovedformaal, som. knyttede sig til den her orntalte Brug af postulatbestemte Problenier, var at ombytte de anskuelige mekaniske Flytninger af Figurer med Konstruktioner. Vi vil da ogsaa *faa at se, hvilke Vanskeiigheder Mathematikerne fra MENAICHMOS til, EUKLID havde at overvinde for at inaa dette Maal, soin forst Nutiden, swerlig gennem HILBERT, liar naaet paa en Maade, der tilfredsstiller den. Forst maa vi dog se, livor stor en Rolle saadanne Figurflytninger spillede i den forplatoniske Geometri, og livor ncer det psykologisk liar ligget at binge dette Hjaelpemiddel. Kap. VI. Om oprindelige intuitive Billeder; Synsoplevelser. Hvad der indenfor den elementoere Geometris Omraade, det vii sige indenfor det Onmraade, som behan'dles i EuKIuI's Elementer, sierlig beskoeftigede Mathematikerne fra PLATON til EUKLID, var Anvendelsen af den analytiske Methode tl at ') Ved Gennernsynet af ARISTOTELES' Analytica ser jeg, af Anal. Post. 1,7, at Mathematikerne paa hans Tid allerede maa have beskoeftiget sig med Sporgsmaalet om. Losningen af Ligningen x3 ~ y3 = i hele Tal. Det nevnes som Exempel paa et arithmetisk: (taltheoretisk) Sporgsmaal, der ikke kan loses geometrisk (o: ved den almindelige Storrelsesheere); forud er det omtalt, at der ikke kan fores arithinetiske Beviser for almindelige geometriske Soetninger. Det her navnte Sporgsmaal, som ikke vedkommer de i v or Text omtalte Sager', omtaler jeg her som. et Vidnesbyrd om, at den platoniske Skoles mathematiske Undersogelser ogsaa strakte sig til dette Sporgsmaal, somn man ellers forst treeffer behandlet iden arabiske Mathernatik.

Page 245

47 47 ~~~~~~~Intuitive Billeder, Synsoplevelser.24.245 give Geometrien, der tillige om~fattede den davwerende Form for en almindelig Algebra, en saadan Skikkelse som. den, PLATON kriievede. Den forste Betingelse- for et saadant Arbejde var, at der allerede existerede en Mathemiatik, livis S'Ttninger man,kunde udstykke i,,Elem enter", ja i sine forste Elementer, Deflnitioner og Axiomer, for af disse igen at sammensoette baade de Seetninger, man gik ud fra, og nye Spetfinger. At denne Betingelse virkelig var tli Stede i et Omfang, der i sine ydre OMrids ikke udvidedes synderlig ved EUKLID'S -Elementer, ser vi tildels af HippoKRATEs' Behandling at' Halvmaanerne, der viser at han besad og forstod'at anvende hele det ikke ubetydelige Udsnit af geometrisk Viden, som. han derved kunde faa Brug for; DEMOKRIT kendte, Pyramidens og Eleglens Rum~fang, og de fern regulawre Polyedre var kendte paa PLATON's Tid. Den anden ForudsaTtning er, at denne wldre Viden ikke allerede selv var erhvervet ad voesentlig de samme Veje, somn EUKLID folger i sine Elementer, og som. vi efter ham bar vaennet os til at betragle som. de eneste, der forer til en paalidelig Viden. Man kunde i Virkeligheden fristes til at tro, at HiPPOKRATES' Viden er vundet ad fignende Veje, naar man ser ham benytte den paa hans Tid foreliggende Viden til ligesaa. korrekte Slutninger som dem, 'EUKLID eller en -nulevende Matbematiker vilde gore. Mange har derved ladet sig friste til ogsaa for de Soetningers Vedkommenide, som han anforer og benytter', men for hvilke vi ikke kender, hans -Begrundel se, at forudsoette Begrundelser stemmende med de euklidiske Principer. Saaledes har endog HANKEL, hvis Gintale af indisk Mathematik dog viser hans Erkendelse af, at der ogsaa gives andre Veje til mathematisk Viden end den belt igennem forstandsmawssige Behandling, i den Grad forset sig paa dennes Optrwd-en hos Graekerne, at ban overser, at den belier ikke hos dem kunde vvere Udgangspunktet, men kun en Bebandlingsform, som. forst kunde udvikle sig, efterhaanden som den fik Materiale at tumle med. Naar saaledes HIPPOKIIATES ved, at Cirkier forholder sig som. Kvadraterne paa deres Diametre, kan HANKEL kun forestille sig, at denne Viden er erhvervet paa en Maade, som i nogen Maade stemmi-er med EUKLID's Bevis for denne samme S~tniing. I saa Fald maatte HIPPOKRATEs5 have foregrebet Betragtningsmaader, som. EUDOXOS vist med Rette faar ~Eren for at have indfort. Paa Grund af Manglen af de samme Betragtningsmaader, der maa krawes anvendte i et exakt Bevis for Saeningerne om. Pyramidens og Keglens Rum fang, betkenker ARCHIMEDES i,,Ephodos" sig paa at betragte DEMOKRIT som. disses Opdager. Og som. virkeligt Bevis for de paa PLATON's Tid kendte fem. regulere Polyedres Existens betragtede Grzekerne efter EUKLID kun den -af ham givne Konstruktion, som. knytter sig til den forudgaaende Inddeling af de Storrelser, der - som. vi nu siger - er irrationale ved Kvadratrod. Den formelle Opstilling af Definitioner og Axiomer, som danner et uundverligt Grundlag, for en systematisk Behandling, gaar, efter bvad vi ved, belier ikke paa noget vw'sentligt Punkt Izengere tilbage end til PLATON's Tid. Der var altsaa virkelig paa bans Tid noget at gore for at opfore en systematisk Laerebygning, der omfattede den geoinetriske Viden, som. man alt besad. Hvorledes var da denne wldre Viden erhvervet? Og hvorfra skrev sig den

Page 246

246 VI. Kapitel. 48 subjektive Vished om denne Videns Gyldighed, som man ad Tankens objektive Veje kun kan erliverve ved et Bevis - der jo i~ovrigt, kun gor Tilliden til den beviste Setning affivengig af Tilliden tli de Forudszetninger, hvorpaa det bygger, og tl de Tankelove, som Slutningerne folger? Vi har rent formelt besvaret dette' Sporgsmaal ved flere Gange at bruge Ordet I n t u i t i o n. Ordet selv,,,Sknen ", indeholder endog en Antydning af den Vished, som den indgyder, men del er kun et Ord, der intet siger om, livorledes dette gaar til. Den intuitive Vished goelder et samlet Billede, medens Tanken erhverver samme Vished ved at sammenswtte det af dets enkelte Dele. Selve Intuitionen er ogsaa en sanimensat Tilegnelsesmaade, idet den erholdes ved en Samvirken af. forskellige legemlige og sjawlelige Evner: Syn med begge Ojne og efterhaanden fra forskellige Steder,- Folelse af Modstanden hos de Legemer, hvis Form man danner sig en Forestilling oni, mod at forandres eller flyttes og af de Stillinger,vyore Arme og Fingre derved indtager eller gennemlober o. s. v., og sammen dermed en Erindring om saadanne tidligere Sansninger og en Evne til at samle de forskellige samtidige Sansninger ogr Erindringer orn zeldre Sansninger til et Helhedsbillede. Dette opfattes som en,,Ding an sich", der liar alle de Egenskaber, for livilke det er det samlende og samlede Udtryk. Naar dette Billede kommer til at staa saa kiart, at man derpaa. kan afloese de Egenskaber, som det samler, uden at man er sig de enkelte Sansninger eller den Samnlingsproces bevidst, livoraf det er frenigaaet., kalder vi det et intuitivt Billede. Dettes Dannelse begynder med Barnets uvilkaarlige Kombination af de ved de forskellige 'Sansninger modtagne Indtryk, og dets Indliold udvides sammen med Kredsen af de Sanseindtryk, som. melder sig, eller som. man af en gavnlig Nysgerrighed skaffer sig Lejlighed til. at modtage. Derimod vii vi her saa. meget som mnligt se bort fra Dannelsen af de Billeder, livis Oprindelse man vel ikke ojeblikkelig gor sig Rede for, men som. er den samlede Frngt af foreg'aaende Twnkning eller modtagen Lverdom. Er det virkelig samlet til en Hellied, overfor hvilken man glemmer, hvorfra man liar disse Enkeitlieder, kan ogsaa. det kaldes intuitivt '). I Modsaetning dertil vii vi kalde et saadant intuitivt Billede, der ikke saaledes er vnndet som Frugt af Twenkning og Skoling, oprindeligt. Det er en psykologisk Erfaring, at denne Oprindelighed netop ikke tilliorer det, som en logisk Analyse bringer til at betragte som de forste, udelelige,,Eleimenter", dem, man alierforst definerer og livis Egenskaber man gor til Axiomer, men netop visse logisk talt sammnensatte Billeder og Begreber. For ret at forstaa. de wl~dste Overleveringer om. Begyndelsen paa. geoimetrisk Arbejde maatte man heist vide Besked om, livilke Billeder og dertil knyttede Sandheder der frembyder sig som Genstand for en oprindelig Intuition; men omvendt giver ogsaa den historiske Overlevering Midler til at finde, paa livilke intuitive Billeder dette Arbejde fra forst af liar bygget. Disse Billeder fremtrweder som Forudsawtninger, livorom alle antages at vawre enige, og for livilke ingen falder paa ') Gm en saadan 'ed, Taxnkning vunden og sikret,,Helhedserkendelse" henvises til min Afliandling iVideuskaberne's Seis'kabs- Overs'igt 1914, S. 274.

Page 247

49 49 ~~~~~~~Intuitive Billeder, Synsoplevelser.24 247 at give nogen Begrundelse. Den Twnkni'ng, som) allerede er fornoden for at beskri've et Billede i Ord., kan dog samtidig have faaet nogen Indflydelse ogsa~a paa dets Dannelse; Udsigelsen af dets enkelte Trzek er i sig selv en begyndende Twnkning. Bedst sikret er altsaa den oprindelig. intuitive Karakter af Billeder, hvis Gyldighed man betragter som saa selvfolgelig, at man finder det overflodigt at beskrive deres Indhold, ja endog blot at n~vne dem, og dog bygger paa dem som Kendsgerninger. Et Exempel herpaa fremibyder den tidlige Dannelse af Plangeometrien. Her er ikke fjerneste Tale om, hvad en Plan eller blot en Flade er, livilket jo, vilde kroeve rumlige Forklaringer; men hvad der siges omn Figurerne, om Stykker af Marken, som maales, om de Afbildninger, man gor i Sandet eller paa andre Flader, passer kun paa Figurer i Planen. Man liar saaledes et intuitivL Billede af Planen. Hvorledes dette er opstaaet, er et psykologisk Sporgsmaal, som det ikke her er vor Sag at, besvare. Man ser bort fra de Uj.Tvnheder, som alle de Flader, man liar set eller folt paa, frembyder; man foretager altsaa en ubevidst Abstraktion, hvad der er mindre mawrkeligt, naar det erindres, livad vi skal vende tilbage til i XIII. Kap., at Evnen til at abstrahere paa dette Standpunkt haenger noje sammen med Manglen paa Evne til at differentiere. Hvorledes det nu end er hermed, saa opererer man i en Plan, og Operationerne foretages og beskrives, uden at der tales om den Plan, livori alt foregaar. Dens Existens vedbliver som en Forudsawtning at ligge bagved, ogsaa 1lTnge efter at man liar begyndt at roesonnere over de i Planlen indeholdte Figurer. Deni ligger ogsaa Grunden til det store Forspring, sorn en videnskabelig Behandling af Plangeometrien fik for den endnu af PLATON savnede videnskabelige Behandling af Stereometrien. At den ideale Plan er et intuitivt Billede, trw~der os iovrigt ogsaa i Mode under alle de Forsog, som fra PLATON's Dage til nu er gjort paa at definere den direkte eller ved karakteriserende Postulater. Vi prover disse Definitioner, ikke efter om. de poedagogisk eller videnskabelig er mere eller mindre hensigtsmwssige, men efter om de stemmer med det intuitive Billede, vi nu engang besidder, og i Henhold til livilket vi foretager Operationer i Planen. Med Billedet af en ret Linie gaar det paa samime Maade. Ja, som.med Planen er det endog indtil yore Dage vedblevet at gaa med det tredimensionale Rum. Som intuitivt Billede liar dette som,,Rummet" dannet Rammen for alle geometriske Undersogelser, ind'til det selv som tredimensionalt er indramimet i det mere abstrakte Begreb: Rum med et vilkaarligt Autal Dimensioner. For at vinde den rette Forstaaelse af veldgammel Geometri vil det dog voere godt tillige at have andIre Midler til at afgore, hvilke intuitive Billeder der liar staaet til Raadighed paa den Tid, end selve Beretningern'e, der jo, som vi her saa, ofte kun -ved deres Tavshed rober dette. Vi maa helst have en Vejledning af sammtye Art som ved Lvesningen af de mere videuskabelige Arbejder fra en noget yngre Tid. Ved den gaar vi ud fra, at Tankens Love var de samme for disses Forfattere som nu, selv om de kan vwre iklaedt saa forskellige Former, at det kan kroeve et vist Arbejde deni at genfinde de samme Tankeforbindelser, som vi nun bruger. For ret at forstaa de wldste geometriske Iagttagelser maa vi paa lignende Maade gaa D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og matheni. Afd., 8. Reekke, I. 5. 33

Page 248

248 VI. Kapitel. 50 ud fra, at disses Iagttagere var udrustede med Evner af samme Art tli at danne opri~ndelige intuitive Bilieder, som findes hos nuievende Mennesker. Vi kan prove de intuitive Bilieder, som vi seiv er i Stand til at danne Os, men maa da saavidt muligt se bort fra den geometriske Skoling, som vi setv besidder. Den Fare, som kommer derfra,2 kan tildels aflijadpes ved Forsog med Personer, som er geometrisk uskolede. Selv disse vii ganske vist ikke kunne frigore sig fra Indtryk, der er komne til dem fra Bygninger og deslige, hvorpaa geomletriske Kundskaber liar udovet en Indfiydelse, der ved Brug af visse Figurer traeder synlig frem; men de intuitive B ilieder, der danner sig, vii i livert Fald i mieget stemine med med den oprindelige Intuition, livis Indilydelse liar gjort sig gaddende ved Danneisen af den ailerforste Geometri. Dette goelder saaledes om de,,Synsoplevelser", livorover Dr. RUBIN liar gjort en Reekke af systematiske Jagttagelser i sin Dokitorafliandling'). De intuitive Billeder, livorom jeg liar talt, og som jeg liar Brug for at kende, er bygget paa,Sanseopievelser", og en Sanseoplevelse er selv - som det fremgaar af de af RUBIN beskrevne Synsopleveiser - det samme som det intuitive Billede, som man faar ved en bestemt begraenset Brug af Sanserne, hi. a. begramnset til et enkeit Tidsrurn af en vis kort Storrelse; den opleves dog kun af den, der ved tidligere Brug af Sanseine er opovet i Sansning. En Synsopleveise kan vawre indskraenket til Syn med et Oje, hlodt paa et bestemit Sted i Rummet. Den, der ser saaledes, vii dog i Erindring om tidligere Sansuinger af forskeiiig Art kunne liave en bestemt Forestilling om Afstand~ens Virkning o. s. v. Biliedet vii imidiertid, livis det opfanges af en Plan, blive perspektivisk. At gamle Iagttagere siet ikke liar lag~t Vaegt paa en saadan Begroensning af Sansningen, fremngaar af, at det forst var i Rennoessancetiden, at Perspektiv blev en Lov for Maierne. RUBIN beskaftiger sig ogsaa -vaesentlig med Syn med begge Ojuene, livad der saetter Beskueren i Stand til at opfatte de enkeite Punkters Afstande og derved faa en kiarere Forestilling om de enkeite Punkters indbyrdes Beliggenlied, aitsaa om Figurernes virkelige Former. Dette opnaas dog ikke ved noget Roesonnement, men ved en ubevidst Evne, der maa vsere udvikiet ved tidligere Komnbination af forskeliige Sansninger. RUBIN gor forovrigt ogsaa ofte andre Indskroenkninger i de Synsopievelser, som lian underkaster sine Forsogspersoner; idet lian f. Ex. lader dem se paa et Kvadrat fra et Punkt enten over en Vinkelspids elier over Midten af en Side. Saadanne Indskramnkninger maa naturligvis interessere liam, der kun ved en Deling kan naa den tilsigtede psykologiske Analyse; de kan ogsaa interessere os, naar de veldgamie Iagttagere liar vweret underkastede lignende Indskramnkninger; men i Regien vii disse liave liaft Lejliglied til, ja, interesseret sig for en mere aisidig Beskuen. Meget af det, som RUBIN's Forsogspersoner liar synsopievet under mere indskruenkede Forliold, lader sig dog ogsaa anvende paa de fuidstoendigere intuitive Billeder, livortil de liar ydet Bidrag. I den efterfolgende Beretning oni nogle af RU BIN'S Undersogelser over Synsop ') E. RUBIN: Synsoplevede Figurer. Studier i psykologisk Analyse. 1915.

Page 249

51 51 ~~~~~~~Intuitive Billeder, Synsoplevelser.24 249 levelse af plane Figurer i samme Plan vii jeg kaide F Ia de fi g ur, hvad han kalder Figur, idet jeg liar en mere omfattende Brug for Ordet Figur, og foruden om, Fladefigurer, der optager en Del af Planen, ogsaa taler onm L i ni ef ig u rer (der kan gengives ved Stregfignrer). Naar to Fladefigurer, af hivilke den ene kan awee sort, den anden hvid, stoder sammen langs en frelles, Grawnseiinie, f. Ex. naar den ene omslutter den anden, gaelder, som RUBIN's Forsog viser, en Synsoplevelse kun den ene Fladefigur ad Gangen, overfor livilken den anden da optraeder som,,Grund". Er den ene omsluttet af den`1 anden, vii. den forste vel sped-vanlig straks opfattes som. Fiadefigur, den anden som Grund. En Fladeflgurs Form, f. Ex. et Lands paa et Landkort, kan man mere eller mindre noje beskrive ved Angivelse af dens udadgaaende Tunger og indadgaaende Bugter. Den Viden, man ved denne Synsoplevelse faar og ved Beskrivelsen meddeler om Fladefigurens Form, rummer logisk talt en tilsyarende Viden om. Grundens Form langs hele den, Gr~enselinie, som. de liar fa,1-] les; Tunger paa Fladefiguren s-varer til Bugler paa Grunden og omvendt. Denne nye Viden vindes dog forst ved Siutninger, og r umm.e s i k ke i d en for s t e S yn soplev eis e. Ved en Tilfaildighed eller ved en Anstrengeise, der kan foranlediges ved den naevnte Siutning, kan man derimod opnaa i en ny Synsopleveise at se det, der forst var Grund, som, F-ladefigur, og omvendt. Ved et Arbejde, sorn bestaar i med Biikket at gennemiobe Skillelinien eller en Fiadefigurs hele Omrids, kan man synsopieve denne, livorved Fiadefigurens Tunger og Bugter bliver til Bojninger tli liojre og venstre. Dette Arbejde er vaesentlig et sjadeieigt Arbejde og behover i det mindste ikke at vwere forbundet med nogen Bevidstlied om en tilsvarende Bevwgelse af Ojet; en saadan kan iovrigt ogsaa voere nodvendig for at synsopieve seive Fiadefiguren. Den ved Synsopievelse vundne Viden om Omridsets Form medforer ogsaa en Viden om. den deraf indesluttede Fladefigurs. Ja, dette kan ikke alene ske ved en Slutning, men Fladefiguren tilegnes saa. umiddelbart ved Fremstiliingen af dens Otnrids, at 'man gennem en Stregfignr, der i sig kun fremstilier Omridset, umiddeibart kan synsopieve Fladefiguren uden at binge en virkelig Synsopieveise af Omridset tii Gennemngangsied. Dette liar, som man ser af de adldste Afbildninger, ailerede i awidgammel Tid vaeret benyttet tii Afbiidning ved Stregfigurer. RUBIN meddeler S. 164 if. nogie meget velvaigte Forsog, som. skai oplyse, om den, der ved e t Omrids afbuider en Figur, der er forelagt, ikke ved sit Omrids, men som farvet Fiadefigur paa en Grund af anden Farve, opnaar dette ved at synsopieve Fiadefiguren seiv elier dens Omrids. Forsogene ndgjorde 4 forskeiiige Raekker, livis Forskeiie beroede paa, at delis de afbiidede Figurer en t en vedbiev at vere synlige under Tegningen eliie r skulde erindres efter at have veret forelagte en vis Tid, deis de eftertegnede Bilieder under Tegningen enten var synlige elier usynfige for Tegneren. Forsogspersonerne var geometrisk skolede, maaske fordi de da. bedre kunde gore Rede for deres Opieveiser. Eliers kunde jeg 0nske, at de havde vweret saa uskoiede som, muiigt. Uiemperne -ved deres, Skoling faider imidiertid bort derved, at deres forskellige Udtalelser rober, i livilken Grad de havde 33*

Page 250

250 VI. Rapitel. 52 forstaaet at frigore sig fra Skolingen. Denne kan nemlig efter det folgende kun have medfort en Tiibojeiighed tl at freste Opmawrksomheden ved Omridset.. Man tor derfor hoide sig til Udtaieiserne fra den Person, som ojensynlig bedst holder sig fri for Paavirkning fra Skolingen, og fra hvem de ovrige kun afviger ved nogie Opfatteiser, der ret tydelig bearer Praeg af denne. Bortset fra de Vanskeligheder, som Tegningen paa et Biad, som man ikke selv saa, voidte, og som man maatte overvinde ved at foige Omridsene, foregik Tegningen nawrmest ved en Omkresning af Fiadebilieder, som man tienkte overfort paa Biiiedpianen. Deraf fremgaa~r, at Opleveisen af Fiadefiguren frembyder sig miere umiddelbart end Opleveisen af Omridset. Det kunde vaere interessant ligeledes at erfare, om Afbiidninger af en Stregfigur ved en Fladefigur elier ved en ny Stregflgur vilde give samme Resnitat. I sidste Tilfbelde vilde der dog foreligge en stor Fristelse tli umiddeibart at efterligne den foreliggende Figurs Streger. Heit anderiedes gaar det, naar man i Ord skal gore Rede for den forelagte Figurs Egenskaber, elier naar man, sonj ved det Forsog, der dannede en Undlageise, skal gore Brug af disse. Da vii, naar man skal gaa videre end til at nawvne de for omtalte Tunger og Bugler, Omtalen af Omridset spille en storre og storre Rolle, jo videre man gaar, og i en geometrisk Behandling vii dette efterhaanden blive Hovedsagen. Paa den vigtigste Grund hertil peger Dr. RUBIN S. 179. Vi vii dog omskrive hans Forkiaring saaledes: Omridset har kun en Dimension, medens Fiadefiguren har to, eller hin indeholder co' Punkter og kan gennemlobes ved en kontinuert Bevaegelse af et Punkt, hvad Fiadefiguren, der indeholder 001 ikke kan. Paa den anden Side faar man lige saa meget at vide ved at undersoge Omridset. Ved at holde sig til dette gor man, hvad der maa gores i enhver indgaa'ende logisk Behandling: ved at se bort fra del, der ligger indenfor Omnridset, abstraherer manl fra noget, som ingen Indflydeise kan faa paa Resuitatet af den foreliggende Undersogeise af Fladefigurens geometriske Egenskaber. Det forste Skridt i denne Retning var den alt omtalte Tegning af et Omrids, der skal gawlde som Fremstilling af selve Fladefiguren og ogsaa opfattes saaledes. At man udenfor mathematiske Betragtninger fastholder den oprindelige Opfattelse som Fiadefigur, stemmer.med den daglige Brug af Ord sorn Trekant og Firkant, hvor,,Kant" betyder det samme som RUBIN kalder jak" paa Figu'ren, o: en'skarp,,Tunge". Det var forst Mathematikerne, der fik Brug for Ord som Treside og Firside. EUKLID bruger endda kun rpbw~s;2a og rsrpUd7r~eupa som Adjektiver til aX~,/ara (Figurer), medens man af Definitionerne 1,20 og 21 ser, at z-plrwpop er Sprogets soedvanlige Ord for Trekant. Naar han har maattet kalde almindelige Firkanter,,firsidet Figur", kommer det af, at Sprogbrugen, ligesom ofte i populvert Dansk, havde iagt Besiag paa Ordet relsrpdwovo (Firkant) for Kvadrat. Paa Dansk og Tysk er,,Firside" jo kun et Kunstord, som Mathematikerne fik Brug for, da de skulde tale om den fuldstamndige,,Firside" med 6,,Vinkelspidser". Paa iignende Maade er det gaaet med Ordet ar~a Figur. Det er, somi vi ser af EUKLID's Definitioner, oprindelig Udtryk for en begraenset Fiadefigur, men er

Page 251

53 53 ~~~~~~~~Intuitive Billeder, Synsoplevelser.21 251 efterhaanden gaaet over tl at betegne liele den tegnede Figur med dens- Linier, som man fik Brug for i den mere indgaaende geometriske Undersogelse, og som baade indbefattede Fladefigurer~nes Omrids og andre Linier, som der under Undersogelsen bley Brug for. Den samine Overgang liar, som je'g bemwrkede, fundet Sted fra RUBIN's Sprogbrug til min, netop fordi jeg skulde knytte mere geometriske Hensyn til de, intuitive. Skont RUBIN ikke siger noget nzermere derom, og det for den her omtalte Undersogelse om Forhold m-ellem Fladefigur og Omrids liar vaeret uvoesentligt, antager jeg, at den Genfremstilling af plane Figurer paa ny Planer, som her liar vwret tilsigtet, er Genfremstilling ved kongruenle (eller dog ligedannede) Figurer og navulig ikke perspektiviske Billeder. Der foreskrives nemlig i Reglen intet omn kun at binge et Oje og holde det og Tegnefladen i bestemte Stillinger. Proverne giver altsaa en Bekrawftelse paa, livad man ogsaa kan se af de zeldste opbevarede Afbildninger, at plane Figurer kongruenle med en forelagt liorer med til de intuitive Billeder, som kan tilegnes alene ved Sanseoplevelser I). Det samme maa da ogsaa. vwere Tilfawldet med Kongruens af Dele af samme Figur. Sverlig naar disse er symmetrisk beliggende, vii en saadan Symmetri trzede tydelig frem, naar man ser paa Figuren fra et Punkt af Symmetriplanen. Paa denne Maade kan man faa en-intuitiv Vislied for Existeiisen af Rektangler, nemlig Firkanter, livis fire,,akker", livormed RUBIN betegner Vinklerne, som de optramder paa Fladefiguren, er ganske ens, derigennem. for at de to Trekanter, hvori Rektanglet deles ved en Diagonal, er ganske ens., og derved, at 1) Da seedvanlige, tegnede eller malede Billeder vel ncermest skal gengive Synsoplevelser, kan der maaske rejses nogen Tvivl om Eneberettigelsen af Brug af Perspektiv. Som en Nodhjvelp til Gengivelse af en rumlig Figur ved et Billede i en Plan kan den perspektiviske Gengivelse ikke omifatte den hele Synsoplevelse, men alene et enkelt Synsindtryk, nemlig Synet med' 6t Oje fra et bestemt Sted. Der gores herved et vilkaarligt VaIg indenfor de Synsindtryk, som hidrager til den hele S yn s op le velIs e, som fornden ved Brug af to 0jne yderligere kan vwre fuldsthendiggjort ved Flytning af Ojnene. Den ved dette Vaig begramnsede Opgave hiar ganske vist den store Fordel at vvere geometrisk bestemt; men det kan neeppe betragtes som givet pan Forhaand, at man ved netop at veelge d e nne Indskreenkning ialle Tilfielde faar den mest levende Gengivelse af den fuldstwndige Synsoplevelse ogsaa da, naar de afbildede Genstande er nvere nok til at give de to 0jne forskellige Synsindtryk. Som Gengivelse af et enkelt Synsindtryk skulde man tro, at den perspektiviske Gengivelse kun vilde have Vverdi, naar den ses fra det tilsvarende 0jepunkt; set fra andre Synspunkter vii det perspektiviske Billede give et Synsindtryk, soin man ikke vilde faa ved se den afbildede rumlige Genstand faa nogetsomhelst Synspunkt. At dog Synet af Billedet fra forskellige Synspunkter kan tilfredsstille i det mindste dem, der er vant til at se Billeder, maa hero paa, at den Synsoplevelse af plane Figurer, med hvilke vi her beskeeftiger os, og ved hvilken kongruente Figurer opfnttes som ens, hos dem er bleven saa sterkt udvikiet, at det tegnede eller malede plane Billede opfattes som det s a mn me, fin hvilket Punkt man end ser detI og at man derved faar en hestemit Folelse af, at der existerer et Punkt i Rummet, for.hvilket dette Billede er en- virkelig perspektivisk Gengivelse af de afbildede Genstande i Rummet. Flytningen af Ojet kan derimod ikke, naar man holder sig til de geomietriske Forhold, give det en Dybde, som det ikke selv hiar, og vel neeppe illudere nogen anden Dybde end den, man bedst forestiller sig med det perspektiviske Ojepunkt til eneste Synspunkt. Det kan maaske lonne sig at se med det ene Oje fin dette Punkt; men stiller man sig andre Steder, faar man Brug for begge sine Ojne, da man man have en fuldstxendig Synsoplevelse af den plane Afhildning for at fan en rigtig Forestilling om, livorledes den,m aa vise sig fin et 0jepunkt, hivorfra man da ikke selv ser den.

Page 252

252 252 ~~~~~~~~~~ViI. Kapitel. 5 54 de er fige store. Den intuitive Vished, som man begynder med at have heroin, horer, som vi skal se, til det forste, hvorpaa man liar bygget de aildste geometriske Betragtninger, man kender. I Forbindelse hermed staar Deling af Planen ved to Sa4t Paralleler i Rektangler og Kvadrater. Kap. VII. Brug af Figurflytning i de aeldste Tider; geometriske Redskaber. Den Overgang, som vi her liar omltalt, fra den Synsoplevelse af Fladefigurer, som forst frembyder sig, til en nawrmere Beskaeftigelse med de Liniefigurer, der benyttes til paa. en nemmere Maade at reproducere, beskrive og nojere undersoge de hele Figurer, liar efterhaanden fundet Sted fra de wldste geometriske Betragtfinger indtil den euklidiske Geometri. Det skyldes dog ikke udelukkende Synsoplevelser, at man fra forst af lagde mere Voegt paa selve de lukkede Figurer end paa deres Omrids, men \Tel ogsaa de 0konomiske Formaal, for hvis Skyld man dyrkede Geometrien. For de aegyptiske Landmaalere f. Ex. kom det betydelig mere an paa de begrarnsede Figurers Fladeindliold end paa Formerne af deres Om-.rids. Det gjaldt om, med saa god Tilnoermelse som. muligt at faa den indenfor Ornkredsen liggende Flade opfyldt med, eller toonke den opfyldt af, lige store Kvadrater og tuelle disse. Omridsene selv kom da kun i Betragining i Forhold til den storre eller mindre Lethed, med livilken dette lod sig gore. Bedst lykkedes det for Rektanglers Vedkommende, som man snart kverte at maale ved Produktet af Rektanglets Lamgde og Bredde udtrykt i Larngdemaal, hvad der i dette Tilfadde er det samme som to sammenstodende Sider af Omkredsen. Paa en Tid, da Omkredsens og dens Forms Sammenhveng med Arealets Storrelse endnu ikke var nojere undersogt, kunde det ligge noer, naar en anden Firkant var givet, at prove paa anden Maade at benytte den foreliggende Figurs Omrids til at udmaale den,,Lwngde"l og,,Bredde", som skulde multipliceres, og da er man faldet paa at prove at anvende Middeltallene mellem modstaaende Sider. Naar denne Beregningsmaade anvendes paa Firkanter, der nwrmer sig til at vvere Rektangler, giver den ganske gode Resultater, idet Resultatets Afvigelse fra det rigtige bliyer liue af anden Orden, naar Vinklernes Afvigelser fra at vvere rette betragtes som. sinaa af forste Orden. De, der af dette Held, som jo nok kunde efterproves ved Skon eller ved anden Deling af Figurerne, lod sig friste til at antage Fremgangsnmaaden for almengoeldende, maatte imidlertid i andre Tilfbelde komme tli Resultater, som enten robede Reglens Ubrugelighed og da maatte opfordre fii mere indgaaende Undersogelser,

Page 253

O rl Q I - 55,El~~~~~~A~dre Brug af Figurflytning.zo eller godkendtes i' Henhold tl gammel Slendrian og da robede en fuldstaendig Mangel paa. Evne til selvstarndig geomnetrisk Undersogelse. I forste Tilfadlde nodtes man fil paa Figuren ogsaa at indfore andre Linier end Omkredsens Sider; i sidste kunde det gaa saa. vidt, at saadanne Regler fik en vis Lovkraft, og deres, Udforelse lagdes i Hzenderne paa Folk, som, nden at bryde sig omn Sagen selv kun teenkte paa at udfore, livad der blev dem. paalagt. Sammenhiengen med de Synsoplevelser, livis nojere Beskaffenhed RUBIN har undersogt, troeder fuldstamndigere frem, ved den Samling af geometriske Satninger, som er ophe-varet os i de indiske Culbastitraer'), der er omitrent fra PYTHAGORAS' Tid, men peger tilbage til en meget aeldre Fo'rtid; de indeholder nemilig overleverede rituelle Forskrifter for Konstrnktionen af Altre saint de geometriske Swtninger, der ligger til Grund for disse. Undtagelsesvis finder man her foruden Sawtninger et geometrisk Bevis, nemlig for, at (Fig.l1) det ligebenede Trap ez ABCD med Grundlinierne G ~R B 30 (CD) og 24 (AR) og Hojden 36 (AF eller BEF) er 972 Kvadratenheder. Man omformer Trapezet tl et Rektangel GBFD ved Flytning af Trekanten BCF' tl Stillingen DAG. Paa samme Maade kunde vi, EUKLID's Disciple, bevise at Paralleltrapezel er lig Rektanglet, men kun under Forndswtlning af, at Vi D E F C forst liar faaet bevist selve Paralleltrapezets Existens, der — Fig. 1. under Existensen af parallele Linier, eller saadanne, der overalt liar samnme Afstand, og dernwst Ligestorheden af de to Trekanter. Den sidste vises ved, at de liar saadanne Sider og Vinkler lige store, at de maa vwere kongruente, og Beviserne for alt dette maa kunne fares tilbage til udtrykkelig opstillede geometriske Forudsoetninger. Sverlig kan del fremhoeves, at manl ved disse Beviser hell igennem, behandler de forskellige Fladefigurers Omnkredse, deres Siders Lvengder og Vinklerne imnellem, dem. APASTAMBA derimod betragler alle disse Ting somn umniddelbart indlysende. Han maa. lese dem ud af et ved Synsoplevelser vundel intuitivt Billede. Dette falder ind under demn, somn man mest umniddelbart har lkunnet danne sig. Vi liar blandt saadant udtrykkelig noevnlt Billedet af et Rektangel; paa dette fremtrwder Billedet af' Paralleler ined overalt lige store Afstande, og dertil knytter sig Billedet af et Paralleltrapez; i Kraft af Synsoplevelse af Symmetri faar man sverligr et Billede af ligebenede Trapezer. Denne Symmetri viser ogsaa, at den Trekant, vi liar kaldt BCF, er lige stor med Trekant ADE, der som fremkommen ved Deling af et Rektangel er lige stor med DAG. Alt dette liar kiunnet samle sig i et intuitivt Billede af Figuren, og del saa megel lettere, somn man liar indskrarnkel sig til en FiI)I CANTOR'S Mathematikens Historie gores efter TITIBAUT (Journal of the Asiatic Society of Bengal 1875, I) naerinest Rede for Baudhayana Culbas~tra. BCRK har i Zeitschrift d. Deutsch. Morgenldind. Gesellschaft, LVI (1901) gengivet den dermed i Hovedtroekkene stemmende Apastamba Culbasifitra, til hvilken jeg har holdt mig i en Artikel, sorn er forelagt den ILI. nternationale Kongres for Filosofi i Gene've 1904 og optaget i Beretningen om denne Kongres.

Page 254

254 VIL Kapitel. 56 gur, der forelaa med bestemnte Maal. Dertil komnmer da kun den logiske Slutning, at BCE og DAG, der begge er lige store med en og samme tredie, er indbyrdes lige store; men netop saadanne Slutninger gaar helt ind i Intuitionen, uden at man bliver sig dein swerlig bevidst, livad der jo vilde vvere en begyndende geometrisk Analyse. Den forste Begyndelse tli en saadan, som vi kender, er netop den her virkelig forekommende Udskillelse af Trekanternes Ligestorhed som. Middel til at sikre Trapezets og Rektanglets. Det beminerkes, at saavel de benyttede intuitive Bibleder, som. selve det beskrevne Bevis, udelukkende knytter sig til Fladefigurerne. Stregfigurerne tjener kun til at fremstille disse -ved deres Omrids. Det er vawd at prove, om de 0vrige geometriske Resultater, som. Culbasutraerne meddeler, kan vaere vundne alene gennem. lignende Intuitioner, forbundne med saadanne Omlwgninger som den, der anvendes i dette eneste opbevarede Bevis. Da faar vi i det mnindste en Forkiaring paa, at de indiske Geometre overhovedet kunde naa saa vidt, swerlig naar de Figurer, hvormed vi ser, at de beskwftiger sig, maatte lede Sans og Tanke hen -i de Retninger. Hvad der i de indiske Culbastitra' er vaekker storst Opmoerksomhed, er den deni indeholdte almindelige Udsigelse af den pytha'goreiske Loereswtning (APASTAMBA 1,4), idet blot Siderne i en retvinklet Trekant ombyttes med Diagonalen og Siderne i et Rektangel. Tillige findes angivet en Del Grupper af hele Tal a, b, c, som tilhorer Siderne i retvinklede Trekanter (Diagonal og Sider i Rektangler), idet a2 -= b2 2 Som noget, der staar i Forbindelse med denne sidste Viden, kan nwevnes en jwvnlig Brug af en Belwgning af en Grund med Sten af en vis Form. Denne Form er tildels et Formaal for den geometriske Undersogelse; men hvad man gaar ud fra som. det simpleste, er Kvadrater.. Man blev saaledes - soin det sker ved den Brug af kvadreret Papir, der nu jwevnlig gores ved den indledende geometriske Undervisfling - vant til at operere paa et Felt, der er inddelt i Kvadrater. Disse samler sig i storre Kvadrater. I 'APASTAMBA II. og III. gores Rede for Antallene af de smaa Kvadrater, som. fandes i to saadanne storre Kvadrater og i disse storre Kvadraters Differens. Denne fremstilles, idet de to Kvadrater laegges saaledes, at et Par Vinkler falder sammen, ved den samme Figur, som. Graekerne benyttede paa samme Maade og kaldte Gnomon. Det Resultat, som man kan aflawse ved Betragtning af denne Figur, er det sammne, som. vi nn udtrykker ved de algebraiske Formier (a 4-b)2=a2+ b2+_-2ab, (1) og a 2- b 2 (a +b) (a -b), (2) der kun er de forskellige Omskrivninger af det ved Gnomonfiguren under et givne Resultat, som. man faar ved at lade de hele Tal a og b betegne henholdsvis Siden i- det 'mindre eller det storre Kvadrat og Gnomons Bredde, eller Siderne i begge Kvadrater. Figuren kan da anvendes til. ved geometrisk 'Omhegning eller Tadlling af de smaa Kvadrater, som. fylder de tre Figurer, at foretage de samme Operationer som. man algebraisk udforer ived Formierne. Naar man saaledes bestemmer en Gnomon, hvis Antal af smaa Kvadrater selv er et Kvadrattal, finder,man en Los

Page 255

57 57 I~~~~~~~~Eldre Brug af Figurflytning.25 9rl; Aw"" ning i hele Tal af den pytliogoreiske Ligning a'2 b2 2 Saaledes forstaar man, at der i Culbasfitra'erne angives nogle Bestemmelser af Grupper af hele Tal for Sider i retvi~nklede Trekanter. Disse Taigrupper svarer til Gnomonbredderne I og 2. Behandlingsmaaden er den samme, som Graekerne anvendte. Den Losning af den pythagoreiske Ligning, som. man (PROKLOS S. 428) liar tillagt PYTHAGORIAS, svarer fl Gnomonbredden 1, den, som man har tillagt PLATON, fli Gnomonbredden 2. Del er dog ingenlunde min Mening at tll1agge Inderne. paa den Tid, der beskoeftiger os, nogen saadan Sammenfatning i aim indelige Regler'), men kun at pege paa, at de samme simple Forhold, som. ligger tl Grund for disse, liar tilladt Inderne at finde livert enkelt af de dern bekendle Resultater ved Taelling af de i Gnomonfigurer indeholdte Kvadrater. At Culbasui-tra'ernes Forfattere og deres Forgarngere ogsaa kunde gore videre gaaende Anvendelser af Gnomonfiguren, ses navnlig af deres derpaa. grundede Konstruktion af et Kvadrat lige stort med et givet Rekiangel, som er den samme, som, vi genfinder i EUKLID'S II, 14, og som rimeligvis Pytliagoreerne anvendte. I en ny 1) T. A. HEATH tilla-egger mig (EuCLID I S. 363) en saadan Anskuelse, fra livilken han da ganske naturlig tager Afstand. Hans Anskuelse synes iovrigt at stemme med en anden Hypothese om Indernes Opdagelse af forskellige pythagoreiske Trekanter og en dertil. knyttct Opdagelse af den pythiagoreiske Saetning, for hvilken BEPPO LEVI gor Rede i Bibliotheca ruathematica 93 (1908). Som det ses af Culbasfitra'erne, forstod Inderne til den intuitive Opfattelse af Figurens indre Symmetri at knytte den ogsaa nu brugelige lKonstruktion af en ret Linie, som i Midtpunktet C af en ret Linie AB staar vinkelret paa denne: den skal ogsaa gaa igennem et andet Punkt D, som er lige langt fra A og B. I Stedet for Passer brugte man til Bestemmelsen af D en Maalesnor. Da det nu for at faa aldeles bestemte Regler for IKonstrtiktion af Altre havde nogen Betydning, at alle derved brugte Maal fik bestemte Va-erdier, har man efter LEVI's Formodning provet at finde saadanne Snorkengder, at ikke blot AC og AD, der umiddelbart anvendes ved Konstruktionen af den vinkeirette, men ogsaa Katheten CD kunde udtrykkes ved et vist Maal, taget et hielt Antal Gange. Forsog herpaa lykkedes paa forskellig Maade, hvorved man fik de forskellige i Culbasfitra'erne angivne retvinklede Trekanter med Sider udtrykte i hele Tal. For disse Tilfbelde viste det sig, at Hypotenusens Kvadrat var lig Summen af Katheternes; ved en Induktion sluttede man da, at det samme ogsaa gjaldt om. andre retvinklede Trekanter. 'leg skal derimnod bemaerke for det forste, at den Induktion, hivorved man skulde have almindeliggjort en Iagttagelse fra nogle specielle Tilfeelde, ikke under de foreliggende Omsteendigheder vilde kunne vxere ledet af en intuitiv Folelse af en Sammenhoeng mellem de numeriske og geometriske Egenskaber, somf i disse TilfaIde havde vist sig at vvere forbundne. Endvidere maatte man vente, at den pythagoreiske Setning, hvis den paa denne Maade fin forst af saerlig var knyttet til. en Konstruktion af Trekanter, ved hvilken de af disse dannede Rektangler er ganske ligegyldige, ogsaa vilde woere bleven udtalt om Trekanter og ikke som i Culbasii-tra'erne om Rektangler. Af disse Grunde forekommer Hypothiesen mig noget vilkaarlig. At B. LEVI har fundet den nodvendig, beror efter mit Skon ogsaa paa en Undervurdering af det intuitive Overblik, som i det hele hegges for Dagen i Culbasitra'erne, og hvoraf navnlig den Omdannelse af et Rektangel til. et Kvadrat, som vi straks s~kal omtale, er en betydelig Frugt. Culbasfiftra'erne rober for megen Figursans og Figurl-ghde li, at det skulde vxre nodvendigt at antage, at det er u del u kken de praktiske Formaal, der, gennem de til disses Opfyldelse nodvendige forsogsmnossige Konstruktioner, ret tilfwldig og ved en ret dristig Induktion liar fort til at opstille den almindelige pythagoreiske S.?etning. Det er Figurgleede, som man. 1,gger for. Dagen ved at give sine Helligdomme netop saadanne Former, hvor de f o r s k e 11I i g e retvinklede Trekanter, somn man kendte, og hvoraf en enkelt vilde wvere nok for Konstruktionens Skyld, samtidig forekommer hver paa sin Maade. D, K. D. Vidensk. Selsk. Slir,, naturvidensk. og mathenm. Afd., I. Mlieke, I, 5. 34

Page 256

256 VII. Kapitel. 58 algebraisk Oniskrivning af Gnomonfiguren, ved livilken vi saetter Kvadratsiderne ~. a+ b a- b ig 2 og 2,og som nawrmest svarer tl den geometriske Omdannelse i EuKLID II, 8, udtrykkes den. alt betragtede Egenskab ved denne Figur ved') (a+b) (a- b)2b 3 Er x2 =ab, kan x altsaa ifolge den ogsaa af de indiske Forfattere kendte pythagoreiske Saetning bestemmes som Kathete i en relvinklet Trekant, hvis Hypotenuse a +b na- b er 2 medens den anden Kathete er -2*-Det kan mawrkes, at ved denne og de andre Konstruktioner, hvor Linierne og deres Leengder benyttes, bliver det en retvinklet Trekant, man benytter, medens Saetnilngen oprindelig var knyttet tli et Rektangel. Dette sidste var naturligt, under Opfattelsen af en Sandlied, som fra forst af var knyttet til Fladefigurer, medens den Betragtning af retvinklede Trekanter, som vi nu er vante til, af sig selv har gjort sig gveldende, da man skulde binge Linier og deres Lzengder til. geometrisk Konstruktion. Culbastitra'erne giver os vel ingen direkte Oplysning om, hvorledes man var bragt til at opstille den pythagoreiske Lawresaetning; men en adldgainmel kinesisk Tavie 2) kerer os i hvert Fald, hvorledes man i tidlig Tid i Ostasien er kommen til. den netop gennem saadanne Figurbetragtninger og Figuromleegninger som dem, hvor- - - ~med Culbasiitra'ernes Forfattere paa. anden Maade har vist - - - - - - sig fortrolige. Taviens Alder lader sig vel ikke bestemme, og navnlig vides ikke, om dens Jndhold skulde skyldes indisk Paavirkning, eller omvendt den derpaa 'udtrykte Viden kan have forplantet sig fra Kina til. Indien; men i alle Tilfadlde er den et Vidnesbyrd om gammel - asiatisk Anvendelse af den intuitive Figuropfattelse, hvor'Fig. 2. med vi her beskoeftiger os. Figuren er efter Beskrivelsen som Fig. 2. Den fremstiller aabenbart- et Kvadrat, som ved 6 Paralleler med hvert Par modstaaende Sider er delt i 49 lige store Kvadrater. At den indskrevne Firkant, hvis Vinkelspidser deler den givne Side i Stykkerne 3 og 4 ligeledes er et Kvadrat, vii ogsaa.uden nogen nzermere Begrundelse have vawret indlysende paa Grund af den ganske ensartede Bestemmelse af dens Sider og Vinkler. De Trekanter, som ved Siderne i det mindre Kvadrat skawres bort af det store, er hver Halvdelen af et Rektangel med Siderne 3 og 4. Tilsamnmen udgor disse Trekanter altsaa saa meget som 24 smaa Kvadrater. Det indre Kvadrat, der til Side har Diagonalen i de naevnte Rekt 1) For a ==4, b == 3 kan den med (3) stemmende Formel (a +L b)2 - (a - -b) boga2flee af den Fig. 2 afbildede gamle kinesiske Tavie, der saaledes ogsaa forer til den her skildrede O'mdannelse af et Rektangel. 2) Se BloT's Artikel i Journal Asiatique 1841, S. 601, Note 1.

Page 257

59 59 ~~~~~~~~A~ldre Brug af Figurflytnling.25 257 angler, er altsaa netop lig Summen 25 af Kvadraterne 9 og 16 paa disse Kvadraters Sider. Dette er alt noget, som enhver, der blot er i Besiddelse af de intuitive Billeder af Rektangler og Kvadrater, kan Ihese, eller bringes til at koese, ud af Tavlens Figur, uden forud at vwee i Besiddelse af Kendskab tli nogen geometrisk Sadtning. Det er aabenbart, at man her kan ombytte Tallene 3 og 4 med livilke som. heist hele Tal, a og b. Den, der har bemoerket dette, vii som. Culbas-atra'ernes Forfattere tro sig i Besiddelse af den almindelige pythagoreiske Saetning; thi paa den Tid,vii det ikke were faldet nogen ind, at Siderne a og b i et Rektangel ikke altid har et fadlles Maal, ved hvilket de paa en Gang kan ndtrykkes i hele Tal. I Virkeligheden er det i det Bevis, sorn vi har least ud af Figuren, og som. man naeppe er faldet paa at give noget Udtryk i Ord, ganske ligegyldigt, om, Diagonalen c -- l/a2 -4 b2' da ogsaa bliver et helt Tal. Det er dog muligt, at man kan have sat Pris paa ogsaa at kunne a~fsatte de c2 smaa Kvadrater, hvoraf det indre Kvadrat da kommer til at bestaa; men man kendte jo ogsaa, eller fandt efterhaanden, andre Tilfadde af denne Natur. I Culbasutra'erne anvendes den pythagoreiske SwAtning dog ogsaa paa Tilfadde, hvor dette ikke gvelder, f. Ex. til Multiplikation af et Kvadrat med 3-6. Den Begrundelse af den pythagoreiske Swtning, som, omend forelobigr kun for a=-3, b -4, ndtrykkes ved (len gainle, kinesiske Tavle,- - har fundet Udbredelse i de ostlige Lande og holdt sig i den - - --- senere indiske Mathematik. Denne er vel ved Brugen af den indiske Talskrivning, ved Laan fra den groeske Mathematik og ved sit begyndende Tegnsprog naaet betydelig videre i Regnekunst, Arithmetik og Algebra, end man var paa Culbasiitra'ernes Tid; men paa noget Trigonometri nuer, som. slutter sig til den greeske, har Geometrien ikke hwevet sig synderlig over det i Culbasutra'erne naaede Standpunkt. Til dette knytter sig saaledes nogle Sammensa4t- Fig. 3. ninger af retvinklede Trekanter, hvis Sider udtrykkes ved hele Tal, til Firkanter med indbyrdes vinkeirette Sider, som. de hair benyttet i deres Trigonometri 1). Den sidste betydelige Repr,?sentant for den yngre indiske Mathematik BHASKARA, f. 1114 e. Kr., forer for den pythogoreiske Seetning et Bevis, der kan betragtes som. en Omdannelse af det, somn kan affieses af den kinesiske Tavle, men en saadan, som. knytter det nawmere til en retvinklet Trekant end til et Rektangel. De fire Trekanter I ab, som. paa Tavlen ligger udenfor Hypotenusens Kvadrat medtages nemlig ikke, men de, der udfylder to paa hinanden folgende af disse til Rekta-ngler, kegges, som. Fig. 3 viser, over paa de to andre Sider i Hypotenusens Kvadrat, som. derved ojensynlig" hvad BHASKARA netop siger, omdannes til Kvadrater paa Katheterne. Ogsaa BHASKARA indskranker denne Eftervisniing tii Til1)Se min Afhandling:, L'arithrnie'ique ge~om~trique des Grecs et des Indiens. Bibliotheca mathematica 53 (1904). 34*

Page 258

258 VII. Kapitel. 60 freldet a, — 3, b_4, men da dette her bliver ganske uvoesentligt, mener han med Rette derved at have eftervist, hvorledes den almindelige pythagoreiske Swtning lader-sig bevise; med samme Ret kan det samime siges om det paa den kinesiske Tavie indeholdte. For BHASKARA's Tid har iovrigt den arabiske Mathemlatiker ABUJLWAFiX bevist Soetningen ved voesentlig den samme Omlkegning, som ogsaa kan voere kommen til ham fra det fjernere Osten. I sine forskellige Skikkelser bliyer dette Bevis saa anskueligt derved, at man kun opererer med Omliegning af synsoplevede Fladefigurer. Yderligere kan det anskueliggores derved, at man. udskawer Hypotenusens K-vadrat og af dette de Tre - kanter, som. skal flyttes, i Trwc eller Pap og virkelig flytter dem. Det kan iovrigt bemoerkes, at 0velse i Flytninger af Fladefigurer, som, Culbasiitra'erne havde givet andre Exempler paa, faas ved det saakaldte kinesiske Spil, livis Na-vn peger hen paa den 0stasiatiske Oprindelse, men om hvis Alder jeg ganske -vist intet ved. Det bestaar i den Skikkelse, hvori jeg kender det, af de i Fig. 4 angivne forskellige Figurer, hvori et Kvadrat er sonderskaaret, og som. skal sammen1aegges tl nye Figurer efter Fortegninger, som kun indeFi g. 4. holder den onskede nye Fladefigur, men ikke Skillelinierne mel1cm de Stillinger, de enkelte Stykker skal indtage i denne. Det er aabenbart ogsaa her Opfattelse af og Evne til at operere med Fladefigurer, som det kommer an paa, saa lkenge man kun anvender Skon og ikke mathemiatisk Analyse. Jeg antager, at den Ovelse, som jeg i mmi tidlige -Ungdom erhvervede mig i at behandle dette Spil, har bidraget til~ langt senere at aabne mine Ojne for den Betydning, Figuromleegninger endnu ha'vde i den groeske geometriske Algebra. De Omkoegninger af Fladefigurer, som findes i Culbastitra'erne, spiller ogsaa en stor Rolle i den veldste groeske Mathematik og sawlig anvendte Graekerne Gnomonfiguren paa samme Maade, som det sker i Culbasiitra'erne. Om denne Overensstemmelse skulde hidrore fra en Overlevering eller hero paa en fwlles menneskelig Tilbojelighed til ensartede Synsoplevelser og derved til at danne de samme intuitive Billeder, lader sig nweppe afgore. En enkelt Anvendelse kan ved sin praktiske Nytte i Lobet af lange Tider have truengt sig viden om. og da paa forskellig Maade givet Impulser til ensartede Udviklinger. Allerede Pythagoreerne er imidlertid, som vi snart skal se, gaaet, videre i Brugen af Gnomon end Culbasutra'erne og har dertil knyttet en hel,,geometrisk Algebra". Ved Brugen af den spillede ogsaa den,,pythagoreiske Lwresoetning"4 en Rolle. Om end den Overlevering, der henforer dennes forste Optreeden hos, Grxekerne til Pythagoras selv, er draget i Tvivl, viser den Sikkerhed, hvormed allerede HLPPOKRATES fra Chios anvender den, at Grzekernes Kendskab til den ikke kan vere meget yngre end PYTHAGORAS (Oversigt 1913, S. 467). Da tilmed Groekerne tidlig maa have kendt ~Egypternes Anvendelse af Trekanten med Siderne 3, 4 og 5 til Konstruktion af retle Vinkler, maa vistnok senest PYTHAGORAS eller hans alleraeldste Disciple i deres vaagnende Forskertrang have

Page 259

61 61 i~~~~~~~~Eldre Brug af Figurflytning.25 259 sogt at faa en Begrundels'e af det derved benyttede Faktum, og da kunde Vejen tl den almindelige pythagoreiske Satning ikke voere lang. Den praktiske Brug af Trekanten (3, 4, 5) kan ogsaa skrive sig fra fjernere ostlige Lande, men den almindelige Seetning og dens Begrundelse kan nwppe voere fnlgt med herfra; thi i den grwske Geometri findes intet Spor af en saadan Begrundelse, som ligner den, der udtrykkes ved den kinesiske Tavie, eller som viser Slaegtskab med BH-ASKARA's eller ABUL-AF'S senere Beviser. Kendte Graekerne for EUKLID et saadant Bevis, vilde der nemilig ikke have vawet Anledning for denne til, SOM PROKLOS siger (S. 426,12), at opfinde det fine, nien mindre anskuelige Bevis, som findes i Slutningen af hans forste Bog. For et saadant liar han Brug her, da det gaelder om at have Soetningen tl Raadighed forud for den almindelige og af Spokgsmaal om Leddenes Kommensurabilitet nafhamegige Proportionslawre i V. Bog. Dertil kunde han godt have benyttet et saadant Omheegningsbevis som de asiatiske, livis han havde kendt et saadant,' idet bian kunde omskrive Omlaegningerne paa samme Maade, 'som han gor det ved Brugen af Gnomon. Et nyt Bevis blev derimod nodvendigt, naar der i det adldre grawske (PYTHAGORAS'?.) var gjort Brug af Proportioner eller ligedannede Figurer. Det er derfor rimeligt at antage, at dette liar vveret Tilfoeldet (Oversigt 1913, S. 472); i Tilsiutning til AEgypterne havde Grwkerne nemlig, som vi senere skal se, tidlig begyndt at beskoeftige sig med saadanne Figurer. Grundlaget for den nys nawvnte geometriske Algebra maa man 1aere at kende af II. Bog af EUKLID's Elementer. Selve den Methode, som dette Navn udtrykker, traider her dog kun indirekte frem. Det er nemlig ikke Fremstillingen af en Methode og Regler for dens Anvendelse, som EUKLID giver. Her som andensteds nojes han med at bevise Swtninger, som skal bruges, og forst af senere Szetninger, Theoremer eller Problemer, ser man, at de virkelig finder Anvendelse. Her er tilmed Tale om en Methode, som var vel kendt for hans Tid, og livori han maa forudsautte nogen Ovelse hos sine Laurlinge, der for Begyndelsesgrundene kan have erlivervet den ved den tidligere Undervisning i Logistik og Metretik 1) og senere faaet den suppleret ved Ovelser knyttede til hans egen Bog. Uden det vilde de ikke godt kunne folge de talrige Anvendelser, som han i X. Bog gor af Ligninger af 2. Grad, og endnu mindre blive sat i Stand til at hexse videregaaende Vaurker som Keglesnitslauren, livor vi hos APOLLONIOS ser, at den geometriske Algebra anvendes noesten helt igennem. I IL. Bog er EUKLID's Formaal derimod at give de Sautninger, som bruges ved Udforelsen af de herhen horende Operationer, en belt ny Begrundelse. Naar Pythagoreerne gjorde saadanne Anvendelser af Gnonomflguren som dem, vi 5. 56 (254) liar peget hen paa, og naar de ved Flytning af Rektangler dannede de Gnonomfigurer, der anvendes ved Fladeanlaug, maa de have forestillet sig virkelige mekaniske Flytninger. At ombytte disse med postulatbestemlte Konstruktioner er derimod nauppe faldet nogen ind for MENAICHMOS, og det er det, som EUKLID gor i II. Bog. I forste Del af I. Bog liar han paa. en Maade, som vi skal ') Se PAUL TANNERY: Le'ducation platonicienne. Revue pllilosopliique 10-12 (1880-81).

Page 260

260 260 ~~~~~~~~~~VII. Kapitel. 6 62 omltale i nwste Kapitel, overvundet de store Vanskeliglieder, som Dannelsen af Grundlaget for en saadan Behandlingsmaade voider, og i Slutningen bar han bevist de for den geometriske Algebra nodvendige Arealseetninger, derunder den pythagoreiske. En konstruktiv Behandling af de Rekiangler og Kvadrater, h~vormed den geometriske Algebra opererer, kan derfor ikke volde ham nogen alvorlig Vanskelighed i II. Bog; men det er dog lierpaa og paa dennes omhyggelige Udffrelse, Hovedvw~gten loegges. I 4. er det f. Ex. Konstruktionen af Gnoinonfiguren og Beviset for, at de enkelte dannede Figurer er Rektangler og Kvadrater, som lwgger Beslag paa Forfatterens Omliu. Den logiske Sammenliang mied de euklidiske Definitioner fastholdes ved Opstilling af Saetningerne 2. og 3., som nvermest er specielle Tilfrelde af 1. Denne indeliolder nemlig den geometriske Fremstilling af a (b +c +d..) ab +ac + ad...-, hvor alle Produkterne er Rektangler mellem samme Paralleler. I 2. og 3. vises det samme i sawrlige Tilfadde, h-vor et af Rektanglerne er o'mbyttet med et Kvadrat; thi Rektangler og Kvadrater liar liver sin Definition, saa de sidste ikke opfattes som specielle Tilfbelde af de forste; maaske liar den oeldre geometriske Algebra ogsaa gjort sawrlig Brug af 2. og 3. Paafaldende er -det, at, som HEATH gor opmawrksom paa (I, S. 377), de 10 forste af Bogens 14 Sadtninger trods deres noere Sammenliamg bevises belt uafliaengig af hinanden i stawrk Modsaetning til EUKLID'S synthetiske Beliandling af de 0vrige Boger. Del turde liidrore fra, at EUKLID i disse 10 Swtninger, der soorlig ligger til Grand for den geometriske Algebra selv, vii vise, at hans Beliandling af Geometrien kan give liver af dem og de anskuelige Figurer, livorved man udtrykte dem, et fast rationelt Grundlag, men lier ikke bekymrer sig om deres indbyrdes Sammenliamg. Da flere af disse Soetninger ikke bruges i det folgende, er disse endog kun medtaget af Hensyn tli de Anvendelser, som man alt forstod at gore, og som han ikke naevner. Jeg liar saaledes i 1. Afsnit af,,Keglesnitsloeren i Oldtiden", vist at Saedningerne 1) 9. og 10. laa tl Grund for den sukcessive Dannelse af de fra Pythagoreernes Tid kendte Kaedebrokskonvergenter tl 1/2-, og deres virkelige Sammenliweng med disses Bestemmelse er bekrreftet ved KROLL'S senere udkomne Udgave af PROKLOs' Kommentar til PLATON'S,,Stat". Del er ogsaa let at paavise den Anvendelse, man liar gjort af Sadning 8., nemlig tli Bevis for den Losning i liele Tal af Ligningen x2 y2 -= Z2, som man liar tillagt PLATON. Allerede den simple Gnomonfigur vii, naar man tager liele Tal tli Kvadratsider, og giver Gnomon Bredden 1., vise, at de ulige Tal er Differenser mellem to paa hinanden folgende Kvadrattal, og at saaledes de ulige Kvadrattal giver en Losning af Ligningen, nemlig den pythagoreiske. Den platoniske vilde vel faas ved Gnonoib redden 2; men del samme opnaas i Soetning 8. ved dels indenfor, dels udenfor samme Kvadrat at loegge en Gnomon med Bredden 1. SwAningen, livis geometriske Form i umiddelbar Overswtlelse tli del nuvaerende algebraiske Sprog vilde lyde 1) Mon man iovrigt ikke for EUKLID skulde have aflxst disse Seetninger af samme Figur, som benyttes i 8.? Dette forekommer mig at have ligget den geometriske Algebra niermere. (Se HEATH I S. 394).

Page 261

63 63 i~~~~~~~Eldre Brug af Figurflytning.26 261 (a +b)2-==(a- b)2 +4 ab, giver, naar man soetter Gnomonbredden b - 1 og for a lager et Kvadraltal, den saakaldle platoniske Losning. En sawrlig Interesse fremibyder Saetningerne 5. og 6., da. de angiver de algebraiskgeometriske Ornformninger, hvorved man udforer del elliptiske og del hyperbolske Fladeanlkeg, som. er den groeske Form for Losningen af blandede Ligninger af 2. Grad. Og dog er del ikke tl dem, at EUKLID knytter Losningen af disse Opgaver; men han opsaetter del, tl han i VI. Bog kan give denne Opgave en almindeligere Skikkelse. Da denne Alnmindeliggorelse slet ingen Rolle spiller ved de senere Anvendelser af Fladeanlaeg, men han i X. Bog holder sig til de Operationer mied Rektangler og Kvadrater, som man kerer at kende i 11,5. og 6., er dette et fremntraedende Eksempel paa, at han i II ikke straeber udtrykkelig at fremdrage Nytten af den geometriske Algebra. Denne Nytle kunde han ogsaa betragle som bekendt, da Fladeanlaeg efter EUDEMOS var en Overlevering fra Pythagoreerne (PROKLOS, 5S. 419,15). Efter at EUKLID i de ti forste Spetninger har fort saadanne Beviser for den geometriske Algebra, somn passer ind i hans System, anvender han den i de fire sidsle til at bevise saadanne geometriske Saetninger, for hvilke han allerede har Brug. 12. og 13. supplerer den pythagoreiske Saetning med Beslemmelsen af en Side i en vilkaarlig Trekant ved de to andre og Projektionen af den ene paa den anden. Del er hertil, at han har haft ojeblikkelig Brug for den geometriske Algebra. 14. indeholder den Omdannelse af et Rektangel til et Kvadral, som vi allerede fandt i Culbasuitra'erne. I 11. hojdeler han en ret Linie, hvad han i IV, 10. og 11. faar Brug for ved Konstruktionen af en regulwr Femkant. Dette udfores ved Hjwelp af II, 6 altsaa i Virkeligheden ved et hyperbolsk Fladeanloeg; men da dette forst direkte opslilles i VI. Bog, maa han nojes med her at behandle dette specielle Tilfadlde for sig. Direkte anvendes Saetningerne 5. og 6. lil. i III, 35. og 36., at bevise Spetningerne om et Punkis Potens med Hensyn tl en Cirkel; men bortset fra. de i VI. Bog almindeliggjorte Fladeanlwg lager EUKLID ikke i II. Bog Hensyn til. de Former for geometrisk Algebra, som han derefter i X. Bog faar Brug for, men opstiller dem. forst som Hjaelpeseetninger til denne (se Kap. XII). Praktisk udfores Figurilytninger ved mekaniske Tegneredskaber. Del har derfor i denne Undersogelse stor Belydning saa vidt muligt at komme lil Kundskab om, hvilke mekaniske Hjadlpemnidler man brugle i Tiden for PLATON, og hvorledes man praktisk anvendle dem, for de dermed udforte Konstrnktioner fik den Iheoretiske Betydning, som de har i EUKLID's Elementer. Brugen af Lineal knytter sig dertil, at en ret Linie uden at forandres kan flyltes fra et Sled til et andet. For man lavede Linealer, brugle saavel Indere som iEgyptere en strammet Snor, Maalesnor, tl Konstruktioner af relle Linier i Marken. Gjordes Maalesnoren fast i del ene Endepunkt, tjente den som, Passer, og Larngder lod sigr derved maale og flylte fra et Sled lil et andet. Vi bar (5. 57 (255), Note) set, at Culbastitra'erne foreskrev

Page 262

262 262 ~~~~~~~~~~VII. Kapitel. 6 64 virkelige geometriske Anvendelser lieraf, og nogle saadanne kendte I_,gypterne sikkert ogsaa, deriblandt Konstruktion af en ret Vinkel som Vinkel i en Trekant med Siderne 3, 4, 5. Trangen tl en fast Lineal, livis Nojagtiglied kunde sikres ved forskellige Prover, gjorde sig naturlig-vis tidlig goeldende i Bygningsliaandvawikerne baade ved Udforelsen af Arbejdet og ved Lederens Tegninger. Dermed forbandt A~gypterne tidlig Brug af Vinkellinealen; den ligebenede Vinkellineal fik hos Graekerne Navnet Gnomon, livorved man ogsaa betegner den B alt omtalte geometriske Figur af samnme Form (Fig. 5): Differensen mellem to Kvadrater med en fselles Vinkel. En saadan ligebenet Vinkellineal findes paa wgyptiske Afbildninger og liar vistnok v~eret brugt Fig. 5 af Murerne som den Dag i Dag til at afsawtte og prove rette Vinkler. Fig. 5. Den liar imidlertid faaet en videregaaende Anvendelse, som forkiarer dens Navneftellesskab med et astronomisk Apparat, nemlig en lodret Stang, ved hvis Skygge man bestemmer Solens Hojde, dog nden derfor at udtrykke denne i Vinkelmaal. Vinkelbegrebet liavde man nemnlig den Gang ikke, men en Vinkels Kotangens gay en lige saa god Bestemmnelse af den Stilling, som Synslinien til Solen danner med Horizonten. Forst langt senere, da Trigonometrien opstod, sattes denne Bestemmelse i Forbindelse med egentlig Vinkelbestemnmelse, og det peger netop lien paa den her omitalte indirekte Vinkelbestemmelse, at den veldste Tangens- eller efter sin Form Kotangenstavle fremtreeder som en Tavle over de Gnomonskygger, der svarer til givne Solliojder, ndtrykte i Vinkelmaal 1). Men ogsaa det forstneevnte Gnomonapparat liar kunnet benyttes og sikkert vawret benyltet til indirekte Vinkelbesternmelser, det er til Bestemnmelser af to liinanden skaweende rette Liniers Stilling mod hinanden. Nyere LEgyptologer liar nemnlig fundet, at den saa-kaldte Seqt, som zxgyptern e brugte til den Slags Bestemmelser, ikke, som man tidligere troede, var en Kosinus, men den vandrette Katliete CR i en retvinklet Trekant, livis Hojde AC liavde en given Vaerdi b, altsaa b cot B. Denne lader sig netop afirese paa en Gnomon (Fig. 5) med en Snor befoestet i A, eller naar man brugte Linien AR som Sigtelinie 2), og Methoden er vistnok anvendt til Bestemnmelse af. Heidningen af en Pyramides Sideflader, eller rettere til at give disse en bestemt Heidning. Bredderne af de Trin, somn under Opforelsen dannede Sidefladerne, liar netop ladet sig bestemme paa denne Maade. Gnomonfignren eller Vinkellinealen vedblev ogsaa at liore med til de graeske Geometres Tegnerekvisiter, saaledes somn M. P. C. SCHMIDT liar vist 3). Af de Citater og bevarede Afbildninger, som lian meddeler, fremgaar det, at Graekern'e anvendte Gnomonlinealen ved Siden af Linealen paa en Tid, da man endnu kun kendte Passeren i Form af M a a 1 e passer og vistnok brugte en Snor med et fast ') Se A. A. BJ0RNBO: AL-CHWA'RIZMI'S trigonornetriske. Tavie, i Festskrift til ZEUTHE~N. 1909. 2) Paa denne Maade brugtes Gnomon som,,Jakobstaven" i Middelalderen. 3) MAX P. C. SCHMIDT: Kulturhistorische Beitr~ge zur Kenntnis des griechischen en1d romischen Altertumns I (1906 S. 42-47.

Page 263

65 65 A~~~~~~1~dre Brug af Figurflytning.26 263 Punkt til at tegne Cirkier. Naar man da. sporger om, hivorledes Pythagoreerne tilvejebragte deres Figurer, skal man ikke derved t~enke paa. Brug afTegnepasseren. Deres geometriske Undersogelser, saadanne som. findes i Slutningen af EUKLID I. og isoer i 1I., knyttede sig for en stor Del til retliniede og retvinklede Figurer, og disse lod sig tegne ved Lineal og Gnomon, saint ved at afsawtte Maal pa'a disse Linier og maale Afstande, og dette sidste lod sig udfore ved en Maalesnor eller en M a a 1 epasser. Selv om, man - f. Ex. for at finde en Kathete i en retvinklet Trekant, naar den anden Kathete og Hypotenusen er givne - skal finde et Punkt af en ret Linie, der liar en given Afstand fra. et givet Punkt udenfor, kan dette ske ved en Maalepasser. lovrigt vides ikke engang, hvor megen Vvegt Pythagoreerne lagde paa den nojagtigre Udforelse af Figurerne. Den storste Interesse knytter sig pemlig fil disses Anvendelse til tydelig og almindelig Fremstilling af Losning af algebraiske Opgaver, swrlig af Ligninger af 2. Grad. Selv om man ser borL fra Anvendeligheden ogsaa paa inkommensurable Storrelser, giver deres Fladeanleg en anskuelig Fremstilling af den arithmetiske Losning, som Skridt for Skridt svarer til den, der udtrykkes ved Yore litteral-algebraiske Fornmler, og saaledes da. kunde gore en nlignende Nytte som disse nun og give Regneren Overblik over, hivorledes han kunde behandle numeriske Opgaver. Anderledes liar det forholdt sig med Astronomiens-Anvendelse af geometriske Konstruktioner, der jo netop skulde give den Nojagtighed i Bestemmelserne, som man forst efter Trigonometriens Opfindelse blev i Stand til at opnaa ved Regning. Hvorvidt man efterhaanden naaede paa den Maade, ses af PTOLEMAlos,' Analein ma1) hvor de samme geometriske Operationer -- [ildels saadanne, som nu anvendes i deskriptiv Geometri - bruges til paa. en Gang at finde mekaniske Bestemmelser af Sider eller Vinkler i sfwriske Trekanter og de trigonometriske, som. nu skulde aflose dem. Her var der rigelig Brug for Cirkier, til livis Tegning man naturligvis nu anvendte omhyggelig forarbejdede Tegnepassere. Det er da ogsaa fra et astronomisk Vverk - fra et tidligere Stadium end det i Analemma naaede - at EUDEmos n~evner det forste Exempel paa en saadan Anvendelse af Cirkier, ved hivilken deres Skwringspunkter benyttes, den forste Anvendelse af et grafisk Konstruktionsmiddel, som. snart skulde faa stor Betydning ogrsaa ved Brug af, andre Kurver. Det er (se PROKLOS 5. 283,7 og 333,.5) OINOPIDES fra Chios, der ifolge EUDEMos Beretfling forst skal have angivet Konstruktioner ved Passer og Lineal af en vinkelret fra et givet Punkt til en given Linie og af' en ret Linie, der i et givet Punkt at' en given ret Linie danner en given Vinkel med denne. Jeg liar tidligere (Oversigt 1913, 5. 441) vawret i Tvivl om., hvorvidt EUDEMos kunde have Ret i, at denne Forfatter fra- sidste Halvdel af det 5. Aarhundrede skulde have -v.eret den forste, som liar anvendt saa simple Konstruktioner, for hvilke Pythagoreerne maatte antages at have haft megen Brug; men det bliyer forstaaeligt, naar maIn erindrer, at for.uden Linealen Gnomonlinealen stod til deres Raadighed. At de ikke, sorn senere ')Se ini Athandling i Bibliotheca mathematica 13 S. 20. 1). K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og inathemn. Afd., 8. 1vlieke. I. 5. 35

Page 264

264 VIII. Kapitel. 66 OINOPIDES, liar twenkt paa at bruge Cirkier og deres Skawringspunkter sorn Hjwelpemnidler ved Konstruktion af relvinklede Figurer, hindrer naturligvis ikke, at de ved den nysnwevnte Snorkonstruktion liar kunnet tilvejebringe Cirkier for disses egen Skyld. Ved den forste af de anforte Konstruktioner bemnvrker PROKLOS, at OINoPIDES paa archaisk Vis kalder den sogte Linie r~' w'dIetou xazii. r~oilaova, en Betegnelse, der Inurde staa i Forbindelse med, at man tidligere bar udfort denne Konstruktion ved en Gnomonlineal. Iovrigt siges, denne Konstruktion at vvere angivet i et astronomisk Vwrk, og det samme turde ogfsaa have vveret Tilfoeldet med den anden; men derved er Opmwrksomheden bleven henledet paa den gode Brug, man kan gore af Tegnepasseren ogsaa i Konstruktioner med med rent geometrisk Formaal. Saadanne Anvisninger er vistnok sawlig fulgte af hans Discipel, i det mindste Landsrnand, HippoKRATES, der gik saa. vidt i Brugen af Konstruktioner, at han endog forsocgte at kvadrere Cirkien ved en. Konstruktion og virkelig opnaaede at konstruere kvadrerlige Halvmaaner. Derfor beho ver Passeren dog ikke straks helt at have fortramgt Gnomonlinealen hos Mathematikerne i Athen, der jo naermest sluttede sig til Pythagoreernes Arbejde. Son vi senere skal se, finder et af EUKLID'S Postulater sin Forkiaring i en saadan veldre Brug af Gnomon, som i sin Tid har overflodiggjort Anvendelsen af Passer til de to Opgaver, som, forst OINOPIDES loste ved de'ns Hjwlp. Et andet Exempel paa, at man i tidligere Tid brugte andre Hjmwpernidler end Lineal og Passer, er den saakaldte vz6qcl: Indskydning af et ret Liniestykke af given Loengde mellem, to rette eller krnmme Linier, saaledes at Liniestykket selv eller dets Forlamngelse gaar gennem et givet Pnnkt. Den maatte foretages ved at prove Sig frem. med en Lineal, paa hvilken to Mawker afsaettes med den givne Afstand. Ved alle de her noevnte Redskaber flyttes en Figurdel uden nogen Forandring fra et Sted til et andet. EuKLID, der, som. vi nu skal se, netop soger at nndgaa eller orngaa den direkte Brug af en saadan mekanisk Flytning, ja endog Henvisfling i sine Beviser til Muligheden af saadanne, faar ingen Anledning til at nawvne noget af disse Redskaber, end ikke' Lineal og Passer. Kap. VIII. Figurflytning hos EUKLID. Paa PLATON's Tid var man ad de her antydede Veje komimen ret vidt i Behandlingen af saadanne fwrdige plane Figurer, som man fra det senere euklidiske Standpunkt vilde kalde sammensatte, fremnfor alt af Rektangler og Kvadrater, saint Figurer, som kunde dannes ved Sammensoetning, Sonderskoering og Flytning af

Page 265

67 67 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.26 265 disse. Mindst af alt vilde man nawe no gen Tvivl om Gyldigheden af Beviser stottede paa en saadan Flytning, om livis Mulighed man havde en paa Sanseoplevelser grundet intnitiv Vished. Disse Operationer var vel fra forst af mest anvendle paa fwrdige Fladefigurer; nien under Undersogelsen af disse var man ogsaa kommen til at beskwftige sig med deres Begruensningrer, for retliniede Figurers Vedkommende med Sider, og, som vi senere skal se, efterhaanden ogsaa med Vinkler af forskellige Storrelser; rette Vinkler horte ligesom Paralleler til de forste Forestillinger, somn allerede knyttede sig til Forestillingen om et Rektangrel. De Be viser, som fortes paa Grundlag af saadanne Forestillinger, maatte i det hele vaere gode og tilforladelige nok til at forkiare PLATON'S Pris af Mathematiken i,,Staten", naar man tillige erindrer, at der allerede da existerede,,Elementer" ordnede saaledes, at man efterhaanden sikrede sig Rigtigheden af det, som man dernwst benyttede. Beronimelsen var dog en saadan, at den maatte tilskynde Mathematikerne til nojere at prove,i hvilken Grad den var fortjent, navnlig prove, om en saadan Ordning var naaet, at man virkelig begyndte med de simpleste Forestillinger og fik alle Forudswtninger med, og ellers tilstraebe at opnaa dette. Derunder kzerte man at formindske Antallet af Forudsaetninger og at straebe at udelukke saadanne, som. man ikke kunde give et bestemnt Udtryk, og som derved vilde berove Lawrebygningen den rent rationelle Karakter. Hvad der skulde gores, maatte findes ved en A na ly se af de mere eller mindre sammensatte Forestillinger, hvorpaa man byggede som sikre Foruds~etninger; de simpleste Forestillinger, hvortil man derved fortes tilbage, skulde danne en ny RwkkeForudswtninger, ved hvilke man gennem S ynth es e forst og fremmest beviste det, man tidligere havde bygget paa. Kravet heroin er saa naturligt, at det ogsaa for den Tid havde gjort sig gwldende og f. Ex. havde fort til det nysinwvnte Vinkelbegreb. Da man nu var bleven sig dette Krav mere bevidst, var et Hovedpunkt, hvorimod det maatte rettes, Beviset for Existensen af de Figurer, hvormed man hidtil havde opereret, og den maatte bevises paa Grundlag af Paastande opstillede i Definitioner og Postulater om Existens af simiplere Figurdele, rette Linier ogr Cirkier og visse Egenskaber ved disse. Med saadanne Exist~ensbeviser begynder ogsaa EuKLID den egentlige Behandling, lige efter at han har opstillet. Forudsawtningerne. Han kan straks ved en med disse -stemmende Konstruktion bevise Existensen af ligesidede Trekanter (1,1); han stiler dernaest henimod ved Konstruktion at bevise Existensen af rette Vinkler og af parallele Linier og bliyer forst derved i Stand til paa samime Maade at bevise Existenslen af Rektangler og Kvadrater, det Materiale, der havde udgjort en saa. vigtig Bestauddel af den zeldre Geometri, og hvormed nu ogsaa han ad sin mere rationelle Vej har vundet Ret til derefter, at operere i Slutningen af I. og somn omtalt i hele II. Bog. Ved Siden af det, som Postulaterne indeholder, har han dog ogsaa Brug for det ved de,,Almindelige Begreber" karakteriserede Storrelsesbegreb, for hvis Anvendelse paa Geomnetrien, der swerlig banes Vej ved Nr. 7:,,Storrelser, der dzekker hinanden (-r't ao,,,pO6'"Ovz-ca iir-'(dA2~Ua), er ligestore". Man har - og dette goelder ogsaa 35*'

Page 266

266 VIII. Kapitel. 68 mig selv i min,Mathematikens Historie" -vawet tilbojelig til at behandle dette Axiom, som om 'der stod,,Storrelser, der kan bringes til Daekning", altsaa del, som vi nu kalder kongruente Storrelser, der ved mekanisk Flytning kan bringes tl Weeknling. Dette er det Hjadlpemiddel, sorn Praktikeren bruger, del, som vi liar set, at de veldre Geoinetre i Indien og Graekenland anvendte, eller dog tarnkte sig anvendt, og som man ogsaa i den nuvoerende Skoleundervisning tLenker sig anvendt som den forste Prove paa geomuetriske Storrelsers Ligestorhed. Det var naturligvis ogsaa. dette, der i Virkeligheden gay EUKLID Sikkerhed for, at der existerer praktiske Forhold, hvorpaa den Geometri, som han bygger paa. sine Forudsawtninger, kan anvendes; men som den gode Platoniker, han er, vii han skrive en Geometri paa Grundlag af Forudsoetninger, som han selv opstiller paa. en saa selvsteendig Maade, at de bliyer uafhamgige af de praktiske Forhold, hvorfra de er laan-te, og ikke alene beregnede paa praktiske Anvendelser at' Geometrien. Han tor altsaa kun anvende de Operationer, som han betinger sig ved sine Definitioner og Postulater, og i disse forek onmer Ordet 4appoa6,eev, der baade kan betyde,anbringe" (for at prove om en,Dvekning-" finder Sted) og,,vvre i Dwekning med", ikke. Han kan altsaa ikke mek anisk anvende den ved den transitive Betydning af Ordet antydede Operation, men kun prove, om Figurer, der kan tilvejebringes ved LKonstrnktioner, som stemmer med hans udtrykkelige Forudsvetninger, er i den v ed den intransitive Betydning angivne Tilstand. Det samme gadder om del ved,,Almindelige Begreber" 8. opstillede Kendetegn paa Uligestorhed:,,Det hele er storre end en Del af del". Der er kun Tale om en Tilstand og slet ikke om nogen Flytning, der skulde tilvejebringe denne Tilsfand. Ogsaa dette Sammenligningsmidddel kan altsaa knn anvendes paa Figurer, der umiddelbart tilvejebringes ved de ndtrykkelig foreskrevne og ene tilladelige Operationer. Disse er de Konstruktioner, som udfores ved ret Linie og Cirkel med de Egenskaber, som tillwgges dem i Definitioner og Postulater. Derimod maa. man, som allerede bemwrket, i k ke s ig e: Konstruktion ved Lineal og Passer. Til saadanne imekaniske Redskaber henvises ikke; men Postulaterne 1. og 2. krwver kun, at den ved to Punkter eller et Stykke af en ret Linie bestemlte, ubegraensede rette Linie existerer, Postulat 3., at den ved Centrum. og et Punkt (en forelagt Radius med Endepunkt i Centrum) bestemte Cirkel existerer, og Postulat 5., at to rette Linier, der overskawes at' en tredie saaledes, at Summen af de indre Vinkler paa dennes ene Side er mindre end to rette, har et tl denne Side liggende Skawringspunkt. Om Postulat 4. skal vi siden tale. Til at bevise Existensen af Skauringspnnkter bruger EUKLID foruden Post. 5. endnu et Hjoelpemiddel, nemlig den Ornsteendighed, at en Linie, der forbinder et Punkt indenfor en lukket Kontur med et udvendigt Punkt, maa skawre Kontureni. For ikke alene at bygges paa Auskuelsen kUnde dette Hjadlpemiddel fortjene at vwere nawvt blandt Postulaterne; indirekte peges dog derpaa i Definitionerne 13.:,,Granse er det, hvortil noget naar"1, og 14.: Xn Figur er del.,

Page 267

69 69 ~~~~~~~~Figurflytning hos ETJKLID.26 267 ' som indesluttes af en eller flere Grawnse(linie)r"-; Existensen af et Skawringspunkt udtrykkes da ved Ordet,,indesluttes" 1 Vi skal flu se, hvorledes EIJKLID strieber at overvinde de Vanskeligheder, livormned det er 'forbundet, alene ved de her angivne Hjwlpem-idler at undgaa at henvise til en rent mekanisk Flytning. Bestroebelsen herefter vii forkiare de Spring mellem forskelligartede SwAninger, soni hans Ordning af Stoffet frembyder, og Isom kan stode Lzesere i Nutiden. Den Hensigt at nndgsaa at gore Brug af rent mekaniske Flytninger troeder straks frem i EUKLID'S forste Swtninger, som vi liar berort 5. 39 (237), da vi talte om MENAICHMOS og hans Andel i den Begyndeise paa det euklidiske System, SOM DU skal beskiwftige os. Efter i 1,1. at have angivet Konstruktionen og derved bevist Existensen af en ligesidet Trekant tried given Side, er EUKLID i Stand tii konstruktivt i 1,2. at flytte et Liniestykke B-C (Fig. 6) over til Stillingen AL med et givet Punkt A fl Endepunkt. Det sker ved at konstruere den ligesidede Trekant 2) ABD paa AB, dernwest ved Cirkien CG om B at fore BC over til BG i Forlwngel- L sen af DB og ved Cirkien GL oin D at fore BG over som Fig. 6. AL. I Praxis vilde neeppe nogen gaa den Omivej, men benytte Flytning af begge Passerens Ben, der tilmed er iigesaa skikket til Flytning over i en helt fly Plan. Netop ved at man ikke nojes meed dette mekaniske Middel, trw-der Seetningens rent theoretiske Formaal tydelig frem. Da man ifolge Postulat 3. ved en Cirkel kan fore et Liniestykke over paa en anden Linie gennem dens ene Endepunkt, szetter 1,2. i Stand tii at sammenligne to vilkaariige Li niestykker i Planen med hinanden og viser, at naar de er givne, er deres Sum- elier Differens (1,3.) det ogsaa. Videre synes man irnidlertid ikke at kunne komme ad denne Vej, som EUKLID tilsyneladende forlader ailerede i Swtning 4., hvis man, som en Nutidsi~eser kunde vwere tilbojelig til, opfatter den som ensgwiddende med: To Trekanter er kongruente eller kan bringes til Dwekning, naar de liar en Vinkel og de hosliggende Sider stykkevis iigestore. Til en saadan Udsigeise af Swtningen synes Beviset endog, som vi skal se, at give nogen Berettigeise; men EUKLID har en god Grund til ikkei 1) Det. er vildiedende, naar Froken EIBE her oversvetter O3pog, Greense, her nvermest Grgenselinie, ved Omkres og taler om flere Omkrese. En Figurs Omkires er efter EuKLID kun 6n; men den kan bestaa af flere Graenser (Groenselinier). - Som T. A. HEATH bemxrker (EUKLTD's Elements I S. 235 if.) er det DEDEKIND'S Postulat, som EUKLID stiltiende bruger. 2) ABD kunde lige saa gerne blot vwre en ligebenet Trekant, men for at sikre Sig, at de til Konstruktionen af en saadan tjenende Cirkier skeerer hinanden, skulde EUKLID da forud have opstillet de Betingelser, som Siderne i en Trekant maa tilfredsstille. Af samme Grund er det,. at han ved Halveringen af en Vinkel i 9. og af et Liniestykke i 10. og ved Oprejsning af en vinkeiret i 11. bruger ligesidede Trekanter, hivis Existens han har sikret i 1. Da denne Forsigtighedsregel kun liar theoretisk Betydning, er det ikke rimeligt, at man har anvendt den ved den forud kendte (S. 65 (263)) praktiske Udforelse af de tie sidstnoevnte Konstrnktioner.

Page 268

268 VIII. Kapitel. 70 selve Saetningen at tale om at bringe Trekanterne til Daekning, nemlig at han ikke i Beviset, men f0rst senere kan give Anvisning paa den postulatbestemte Konstruktion, jfX ~ hvorved dette skal ske. Han siger derfor ikke i selve Setningen noget, der kan minde om en Flytning, men / udtaler, at naar (Fig. 7) to Trekanter (ABC og DEZ) har to Par Sider stykkevis lige store (AB DE og B I/C~ / / AC=DZ) og de mellemliggende Vinkler lige store B/ / (BAC = EDZ), saa vil de ogsaa have lige store GrundE ~ linier (BC =EZ), og Trekanterne vil vere lige store Fig. 7. (A ABC A DEZ), og de ovrige Vinkler, som ligger over for lige store Sider, vil vere lige store (ABC = DEZ, ACB DZE). Beviset herfor f0res saaledes: 'TEapu'oopJUvov rap rob ABF rpeywvoo ic: Ob AEZ rpiywvov xac rtIseIIvoou rob,uv A aricoo 7rn rT A) ar A l ov v1 q ok 8 AB esueIaC e7nT rjv AE, A; apaO6eI xac )O B (7/suEfov 7Ur Tr E oac TO ri' iar elvae T V AB ry ADE ~SDapiooa'davqS o8] rc AB 7n} r^l'v DE ~~papo'caet xza c] ArF eov sa Scw Ti Jv AZ i&a rz Tariv elwvat rv rCi) BA rywvcav r- Ot7rO EAZ' dar-T xa r? Fae v a ry e b Z a eti'Oov 5oe.iSaet ea To }'^ rdich elvae TIv Ar r. dAZ. di& /r^7V xai Ir B E7r ro E EoppoIxev' (caJre 3da7t ^?) Br iCcw a d(yw iZjv EZ S papCp6(,a. ae. Yap rTO /pEv B Ell T b E DapOipOaavrog TvO 8 r E7 Or Z t Br fia6' ur' rC fv EZ oux rE~app.6oae, o60o el3Eat ZCpoh WpCO opieooautwv OrSrp SarTv d&lvarov. scapf. oa0e pa ^ BE fidate Eru Tr^v EZ xac 'la] aTrij "arac arT~ xai 5ov rib ABE Trplwvov en: A2ov JT AEZ trzc(Ol)wo ~(apltoaor~ xac wcaov a vcTW oTraC, xac A 2otrcaU Tco)ilat ri e nT 2otr7r&ca rwviacg O a'opo1O(0V0lC xat aae aCrae4 6 6aovz'Wra, Iq l yv bn(b ABF ^q brob AEZ ^ 8 67nrb AFB r?, u7rb A ZE. Thi naar Trekant ABC er anbragt paa Trekant DEZ, og Punktet A er lagt i D og den rette Linie AB paa DE (EuKLID 1,2.), vil ogsaa Punktet B deekke Punktet E paa Grund af Ligestorheden af AB og DE. Da nu AB daekker DE, vil ogsaa den rette Linie AC daekke DZ paa Grund af Ligestorheden af Vinklen BAC med EDZ, saaledes at ogsaa Punktet C daekker Punktet Z paa Grund af Ligestorheden af AC med DZ. Men nu daekkede ogsaa B E; altsaa vil Grundlinien BC daekke Grundlinien EZ; thi hvis, naar B dsekker E og C dsekker Z, Grundlinien BC ikke daekker EZ, vil to rette Linier omslutte et (Flade-)Rum, hvilket er umuligt; altsaa vil Grundlinien BC daekke og vaere lig med Grundlinien EZ. Derfor vil ogsaa hele Trekanten ABC daekke og vaere lige stor med hele Trekanten DEZ, og de ovrige Vinkler vil daekke og vere lige store med de ovrige Vinkler, nemlig ABC med DEZ, ACB med DZE. For at faa nojagtig at vide, hvad EUKLID vil udtrykke i dette Bevis, maa man overalt paa samme Maade overssette det Ord EfapuaoCdt, som han gentager 12 Gange, og hvormed han peger tilbage paa den i Postulat 7. gjorte Brug af samme Ord. I Modssetning til HEIBERG og Froken EIBE, der bruger forskellige Ord, hvoraf nogle

Page 269

71 71 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLTD.26 269 direkte peger paa en miekanisk Flytning af en hel. og uforandret Trekant, overspetter jeg overalt. det intransitive 6'~rapfeo'etu E'dt ved,,dwkke". I det forste Participiurn iMedinm 4upooe'uodvou mnaa Ordet derimod vwere taget i sin transitive Betydning, og denne Passiv liar jeg oversat ved,,er anbragt", livorved da underforstaas,,nemlig for at prove om der er Deekning" 1). Endog denne sidste Oversvettelse vil ikke undlade at lede Tanken hen paa. den Operation, livorved Dwekningen skulde opnaas, altsaa nawrmest paa en Flytning. Det sanitne kan vel. ogsaaI siges om det grwske Ord srappO',w,`et i dettes transitive Betydning; men den gentagne Brug af dette Ord rober, at EUKLID dermed liar en udtrykkelig Hensigt, som i Betragtning af, at han ellers undgaar mekanisk Flytning, maa vvere den, forelobig intet at sige om, liv orlIe d es,,Anbringelsen" tilvejebringes. Det er nemlig forst s en e re, at han. fuldstamndig kan gennemfore den Konstruktion, som er det eneste Middel dertil, som han. har betinget sig ved. sine Postulater. Hvad der er bevist i Swtning 4., er, at denne, Konstruktion, naar den engang lader sig ivoerkswtte, og naar Beliggenheden af den flyttede"l Figur er valgt, nemlig for Punkte't A i Pnnktet D og for AB ndad. DE, og livor der maa vwre underforstaaet den Side af DE, hvor den,,flyttede"l Fignr skal falde, at Konstrnktionen da. vil. blive e nt y d ig. Dette folger af Ai m. Begr. " 7. og 8.; navnlig 8. viser, at B da ikke kan falde inden- eller udenfor E, AC ikke inden- eller udenfor DZ o. s. v.; og det er dertil disse Axiomner binges. Derimod. synes Slutningsbemwrknirigerne omi, at to rette Linier ikke kan indeslutte noget. Fladerum, nogenlunde overfiodig, idet Entydigheden af en ret Linies Bestemmelse ved to Punkter er nnderforstaaet i Postulat 1., saaledes som dets Anvendelser i Swetningerne 1. og 2. allerede viser. Efter en mundtlig Meddelelse. af HEIBERG stemimer dog denne Bemoerkning ikke med EUKLIDS swdvanlige Frenmstillingsform og turde vaere indskudt. ligesom det dermed. ligelydende Postulat, sorn man liar tilfojet. efter EUKLIDs Tid. For at Swtning 4. kan faa sin fulde Anvendelse, kraeves der altsaa en Angivelse af en Konstrnktion af den Trekant med en given V7inkel og to hosliggende Sider i en ny Stilling, om livilken det i 4. bevises, at den paa Beliggenheden n~rda vii. vwre en ty d ig bestemt; Sietningen udtaler netop, at dens ovrige Stykker og Arealet da. vii. vvere bestemte. En Del af Konstruktionen er dog allerede angivet, nemnlig Anbringelsen af en ret Linie af given Lwngde AR fra D udad DE, og dette 1) Naar jeg her tager Afstand fra en Overseettelse af HEIBERG, maa jeg straks tilfoje min hjertelige Tak til ham for Gennernsyn og Berigtigelse, ikke blot som anfort i Note S. 13 (1211) af de fin HMSE, laante, men ogsaa af mine andre Oversxttelser. De ovenfor opstillede Fordringer til Overs~ettelsen tilfredsstilles af T. A. HEATH (I S. 247-48), hvor det intransitive 4t~apU.e:5CM ~77 overalt gengives ved,coincide -with", gappio~optvou ved,if (the triangle) be applied to"; men da der hverken forud eller her er sagt, hvor~ledes denne Anbringelse skal have funidet Sted, gaar han ud fra, at der her. nodvendigvis maa vxre t~nkt paa en mekanisk Flytning. Han antager det dog S. 249 for muligt, at allerede EUKLID var opmeerksom paa de Indvendinger, som, kan gores derimod. lovrigt henvises til Meddelelser som. HEATH, saavel her som. i Noternie S. 224 ff. til,,Almindelige Begreber" 7. (der hos ham bliver til 4., da han kun medtager de utvivlsomnt zegte Axiomer), giver om. andre Behandlinger af de samme Vanskeligheder, som, her moder EUKLID.

Page 270

270 VIII. Kapitel. 72 er sproglig betegnet ved her ikke at bruge Ord et 4app6o'fee, h-vis Anvendelse ikke er l-ijemlet ved Postulater og lidligere Konslruktioner, me n del samme Ord,,1agge" (T0e'9vaz), som. i Savlning 2. er knyttet tl Forlawggelsen af et Liniestykke lil et Sled, hvor del faar el nyt givet Endepunki, og hvorfra det ved en Cirkel kan drejes ind paa en given Lini e. Dette er blevet rnuligt derved, at allerede Definition I, 15. paa en Cirkel indeholder en Forudswtning om. Storrelse. I at fuldfore Konstruktionen mangler endnu en Konstruktion af en given Vinkel med et givet T'oppunkt og Ben og liggende tl en given Side af dette. Denne Konstruktion swtlles EUKLID dog forst i Stand tli at udfore ved Hjvelp af senere S-etninger, der stolter sig paa selve den i 4. beviste Sawlning. Denne Ordning slaar i Strid med den Fordring, som synes at maatte knytle sig til MENAICHMos' Anvendelse af Problemer med deres Konstruktioner somn Beviser for Exislensen af de Figurer, man undersoger eller benytler. De maa antages at skulle gaa forud for Anvendelser af disse Figurer og for de Theoremer, der udlrykker deres Egenskaber. Saaledes gor EUKLID ogsaa, naar hian f. Ex. ved Konstrnktion viser Exislensen af et Liniestykkes Midtpunkt, for han benytter det. Og vi skal snarl se hisloriske Beviser for, at man virkelig fastholdt denne Fordring. Dens logiske Beretligelse ses ogsaa i del her foreliggende Tilftelde, idet der forst bevises, at 4. er rigtig, hvis man er i Stand tl konstrnktivl at udfore den i Beviset benlyttede,Anbringelse", og saa dog den derlil Ijenende Konslruktion beror paa Swtninger, der bevises ved Hjwlp af 4. Delte er en Cirkeislutning; men det er -allerede noget, at denne logiske Cirk el af sig selv lukker sig. Derved er man sikiret imod at indvikle sig i nogen Modsigelse ved i Beviset for 4. at forudswtte MulighedeD af en,n bringelse" eller Flytning, og ved her at gaa ud fra. denne blot-Le Mulighed at udlede den Freingangsmaade, livorved den skal virke-liggores. Antagelsen af denne Mulighed er imidlertid en Forudswtning om, at,,Rummet" er saaledes beskaffent, at det tilsteder en saadan Flytning, at visse Stor relser,,Flytningsinvarianter": Afstande, Vinkler og Arealer bliyer uforandrede, eller at, som. vi nu siger, Rummet har et,konstant Krumningsmaal". Forudsvetningen er saaledes et virkeligt Postulat eller Axiom, som. EUKLID stiltiendle antager. HILBERT undgaar i 1,G,Grndlageiz der Geomelvie" en saadan abstrakt og alinindelig Antagelse ved den mere konkrete at opstille selve Swtning 1, 4. som. Axiom, en Udvej, som allerede PELETARius havde vist hen paa i In Euclidis elementa geometrica demonstratioimmr libri sex (1557), S. 15. I 8., hvor den Swtning, at to Trekanter, der har Siderne slykkevis ligestore, ogsaa har de ensliggende Vinkler ligestore, bevises antithetisk ved at antage et Par saadanne Vinkler ulige store, anvendes Ordet 4apfu'Cee1 ganske paa samme Maade som, i 4., og paa de lilsvarende Steder, for at omgaa en direkte mekanisk Flytning af den ene Trekant over paa den anden. At vor Forkiaring tl 1, 4. og 8. ganske stemmer med den Opfaltelse, som. gjorde sig gawldende paa den Tid, da Begyndelsen af EUKLID's Elementer blev tli, fremgaar af en Krilik af I,,4. og af dette Theorems Plads, somn netop maa skrive sig fra denne Tid. Den er bevaret ved PROKLOS (5. 241,1.8-243.,20) efter en veldre

Page 271

73 73 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.27 '27 1 Meddelelse fra KARPOS og kan visinok fores tilbage til de tidligere (S. 37 (235)) omtalte Forhandlinger mellem MENAICHMOS og SPEUSIPPOS OMn Problemer og Theoremer. Efter den heldige Begyndelse med Problemerne I, 1. og 2. maa del nodvendigvis vwre sat under Debat, hvorledes man skulde gaa videre og forud for Theoremet I, 4. faa opstillet et Problem, der fnldtnd sikrede Existensen af de omhandlede Figurer. Hermed stemmer det, at Udtalelsen, hvoraf en stor Del dog kun foreligger i PROKLos' refererende Gengivelse, begynder med i Almindelighed at fremhweve, at Problerner maa. gaa. forst, da det er ved dem, man finder det, hvis Egenskaber undersoges i Theoremerne. Del folgende passer kun paa de i.4. og 8. indeholdte Theoremer. At der dog formelt gives Paastandene en storre Rwkkevidde, kan bero paa. PROKLoS' Tilbojelighed tli en udvandende Almindeliggorelse af det, som. han meddeler, men kan ogsaa hidrore fra, at man paa den Tid, paa hvilken Kritiken forst fremkom, ved Theoremer og Problemer mnest toenkte paa dem, der skulde tages, tl Udgangspnnkt for den hele L~re: naar man havde givet dem den rette Form, vilde den Skikkelse, hvori de ovrige skulde fremtrwde, give sig selv. Naar der saaledes siges, at medens et Problem er klart ogr bestem-t, er Udsigelsen af et Theorem besvwrlig og krwver en stor NeJagfighed og forstandig Kritik for hverken at blive for oinfattende eller snever med Hensyn til Sandheden- (ToD 8Js Oswpfyiaroq (7wp Oaa iV) e xo ae 7Ro2gj Jsope.irji dxpoejsriag xca e'mzryovex~ xpeastog, eva 1a~ze 7sowd'cowaa 0 cz I VJ -Z IC IIz~ Z" ZWE7woua riji al2~dzlc), saa. passer dette kun paa 4. og 8., af livilke del forste udtrykkelig nawnes s om Exempel. Den forlangle,,orstandige Kritik" vil del dog ikke have v.Tret saa. svwrt at udvise ved selve Udsigelsen (7wpoz-aoe) af Suetningen, hvorom der - dog kun efter PRiOKLos' Referat - navnlig skulde voere Tale; thi ved at gore denne tilstrxkkelig lang, har man kunnet nndgaa at noevne nogen Flytning; men del en kun ved den ydersl forsigtige Brug af Ordet 4apji6cefv, at man ogsaa i Beviset har kunnet undgaa en direkte Henvisning til en mekanisk Flytning. At del dog heller ikke derved hell er lykkedes at undgaa. at hentyde til en anskuelig Flytning, siges i den direkte Omlale af Beviset for 4., som gives med KARPOS' Ord: llaurA-6i 2r('/p E iorou WO'Tcd 'r XowVa~gZI)woiaeg Dertil bruger han (EUKLID) ndelukkende XVPY2ZW xa.t rpOW01J TC5~& TO wf07 r6 Tprwvou E' de,,almindelige Begreber" og lager paa en 8z'ta~00polg Aaaj0d1e n Xwoe IxJeesoV. XCai;p Maade den samme Trekant i forskellige BeV E~apjlor-;; xci Vj U7rio rciAT~g I'aoTz- 8sexv9u/i9 liggenheder; thi ogsaa. Daekningen og den 7wa!)Tdwaer~l~S %ez-ae -c~ atueyr7g xac) Eap7-oSg derved viste Ligestorhed skyldes hell og 07iwOe#Wg. da' /,ew xcIt)q- -C0IaTrjg Ot'aU~ T holdent den sanselige og auskuelige OpfatTO57OO wpoho?%wS(p 'aaroq d()wO(I'$E~wQ s6'x0'zw telse. Men dog, skont Beviset for dette wpO7T5I.az' ra wp19L~j az. denc xad~h52ou forste Theorem er et saadant, er ProbleCIjL WrpO~YftQUeS7JI) Exelva r(XVVxev merne med Rette stillet foran. Altsaa har disse i Almindelighed faaet den forste Plads. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr'., naturvidensk. og mathemn. Afd., 8. Rcelike, I. 5. 3 36

Page 272

272 VIII. Kapitel. 74 Idet det fremhbwves, at Bevisel kun bruger de,,almindelige Begreber" (swrlig 7. og 8.), mindes der om en Mangel af et ved Postulater 10s1 Problem, somn skulde skaffe Figuren tilveje. I Stedet herfor bruges,Betragtningen af den samme Trekant i forskellige Beliggenheder", der jo maa hero paa en Flytning; og del er ikke for at rose den, at den siges at,,skyldes en sanselig og anskuelig Opfattelse", selv om den undskyldes lidt ved Ordene,,paa en Maade". Naar KARPOS tilfojer, at Problemerne dog gaar forud, maatte dette sigte tl EUKLID'S Sawtninger l.-3.; men disse er i Virkeligheden ikke tilstrawkkelige til i 4. at udfore den Konstruktion af den flyttede Figur, som. skulde erstatte Flylningen. Ved 1. og 2. flyltes -vel Liniestykkel AB; men'den Konstruktion, livorved Vinklen BAC skulde flyttes, kommer forst senere (i 23.). Mon Kritiken ikke netop fra forst af skulde have gjaddt dette Punki, og KARPos' afglaltende Bemawkning tilsidst bero paa en Misforstaaelse, af den op.. rindelige Kritik og vere foranlediget ved, at der dog gaar n o g 1 e Problemer forud for dette forste Theorem? Hvorledes dette sidste Sporgsmaal end skal besvares, ses det, at del, man bekla'gede ved Beviset for 4. og ved 8., netop liar vwret Brugen af en anskuelig Flytning i Stedet for en rationelt begrundet plangeomnetrisk Konstruktion, og del stem.mer med, at EUKLID overall i del folgende for retlinede Figurers Vedkommende saetter en saadan Konstruktion i Stedet for anskuelige Flytninger. Han var sig altsaa Kravet om. dette fuldt bevidst og niaatte i det hele tage Hensyn tl alle de Krav, som. var blevet gjort goeldende i de Forliandlinger om den rette Begyndelse paa en Fremstilling af Geometriens Elementer, der efter yore forskellige Uddrag af PROKLOS var blevne forte mellem Mathematikerne fra MENAICHMOS tl EUKKID. Man kan derfor vide, at EUKLID vel liar overvejet baade den Plads, hvorpaa han liar slillet liver Swetning i forste Bog, og livert Ord i Udsigelsen af og Beviset for disse SaAninger, sverlig naar del gJaldt noget saa omstridt som. Beviserne 'for 4. og 8. Derfor liar vi ogsaa maattet og kunnel prove selve Ordene i disse sidste Beviser. Vi skal nu give et kort Overblik over, livorledes EUKLID bygger videre, forelobig for at naa tli den Konstruktion, der skal helt overvinde den i 4. og 8. kun delvis overvundne Vanskelighed ved Flytning af retlinede plane Figurer. I 5. anvender han del i 4. fundne Resultat tl at bevise, at i ligebenede Trekanler Vinklerne ved Grundlinien er lige store. Ogsaa i dette Theorem maa han endnu, imod MENAICIIMOS' Principer, forudsatte Existensen af ligebenede Trekanter, allsaa af Trekanler med gi-vne Sider (som dog m-aa lilfredsstille visse givne Betingelser), forend han i et senere Problem beviser den. I 6. beviser han den om~vendle Swtning. 5. benytles i 7. tl at bevise, at to Punkter A og B ikke kan vaere Toppunkler i to ligebenede Trekanter med en frelles Grundlinie, som hell ligger paa samme Side af den relle Linie AB. For denne S&etning liar han Brug i del alt omtalle antithetiske Bevis for Setning 8., at to Trekanter, der liar Siderne ligestore, ogsaa liar Vinklerne ligeslore og allsaa ifolge 4. selv er del. Hve-rken her eller i det folgende sammenfalter han detle ved et om. Flylning mindende Ord som. vort,,Kongruens". Forst efler senere at have tall om. Ligedannethed, kan han sige jigestor og lige

Page 273

75 75 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.27 273 dannet", livor vi siger kongruent; herved er enliver Anvisning paa Flytning undgaaet. Med 8. liar EUKLID vundeL et konstruktivt Kendetegn paa, livad ligestore Vinkler er, nemlig i deres Optraeden som. ensliggende Vinkler i Trekanter med samme Sider. For i 23. at bruge det til den almindelige Konstruktion af en flyttet Vinkel, det er her, hvor al Tale om mnekanisk Flytning nndgaas, af en Vinkel ligestor med en given, med Toppunklet i et givet Punkt og en given Linie gennem dette til Ben, maa han dog forst i 22. give den almindelige Konstruktion af en Trekant med- givne Sider; men forud for dette maa han finde Mulighedsbetingelsen for dette Problem, der uden Tilfojelse af denne Betingelse som Diorisme slet ikke vilde vawre noget Existenshevis. Efter den Orden, som han og senere grwske Mathematikere folger, skal det forud for Problemet i et Theorem (20.) bevises, at den opstillede Betingelse er nodvendig; dens Tilstreekkelighed bevises ved Konstrnktionen. Forend EUKLID naar saa vidt, nojes han med at anvende det i 8. vundne Kendetegn paa mere specielle Tilfadde; men allerede i disse sawtter det ham i Stand til at give Problemer og Theoreimer den rette indbyrdes Ordning, hvad han jo nodtes til at forsomme i 4.-8. Han konstruerer saaledes i 9. og 1.0. en Vinkels Halveringslinie og et Liniestykkes Midtpunkt, for han tor forudsAtte, deres Existens og gore Brng at dem. i andre Swtninger. Og dette steminer ganske med de almindelige Krav, som han stiller sig, og efter hivilke han ikke kan nojes med Anskueligheden af, at der maa vwere en Halveringslinie og et Midtpunkt. Det galder om- at de Vinkler, livori den forste deler den givne Vinkel, skal komme tl at tilfredsstille det konstrnktive Kendetegn paa. Ligestorhed, som. han endelig har knnnet opstille i 8., og ligesaa de Stykker, hvori Midtpunktet deler Liniestykket, IKendetegnene paa Ligestorhied mnellem, Liniestykker. Kendetegnet 8. s~etter ham i Stand til de,,Problemer", hvorved det vNises, at der virkelig er noget, som, svarer til Definition 10.'s Bestemimelse af en ret Vinkel, det er en saadan, som er lig med dens Nabovinkel. Det sker ved de bekendte Konstrnktioner af en ret Linie, som. staar vinkelret paa en given i et givet Pnnkt af denne (11.) eller gaar gennem et givet Pnnkt ndenfor den (12.) Noget vidtloftige forekommer os maaske nu Beviserne i 13. og 14. for, at Vinklerne, som. en ret Linie i et Punkt danner med en ret Linie paa sammne Side af denne, tilsammen udgor to rette, og at, naar omvendt Snmmen af to eller flere paa hinanden folgende Sidevinkler er to rette, de yderste frie Ben ligger nd i en ret Linie. En mulig Grund til Vidtloftigheden, sawrlig af Beviset for 14., skal vi sn~art berore. Til de nawvnte Saetninger slntter sig Sadtning 15. om. Ligestorheden af Topvinkler.Swtninag 15. benyttes i den nn paafolgende, mere direkte Forberedelse af den Diorisme, som udtrykker Forudswtningen for, at tre opgivne Liniestykker kan vw-re Sider i en Trekant. I 16. bevises, a t Nabo-'inklen ACD til en Vinkel i en Trekant ABC (Fig. 8) er storre end en hvilkensomhelst af Trekantens andre Vinkler, f. Ex. A. Det sker ved tl Midtpunktet E af Linien AC, hvis Existens er bevist i 10., at 36*

Page 274

274 VIII. Kapitel. 76 drage Lini en BE og paa denis Forl1,~ngelse afswt-te EZ -- BE. Da folger det at' 4., at Vinkel A =ACZ <ACD Sam tidig med-tages med Henblik paa den senere Paralz leitheori den af 16. folgende SwAtning 17., at Sumn~ ~~~men af to Vinkler i en Trekant er miindre end to rette. 16. benyttes dernwst til at bevise (18.), at overfor den storste af to Sider i en Trekant ABC, B C ~~~~~~hvor AC > AB (Fig. 9), ligger deii storste Vinkel; Fig. 8. thi afsadttes AD ==AB paa AC, er iro0lge 5. Vinkel ABD, som kun er en Del af Trekantsvinklen B, ligestor med ADB, somi ifolge 16. er storre end C. Den omnvend-te Swtning 19. udledes heraf ve(1 et antithetisk Bevis. Til 19. knytter sig atter (1 20.) Beviset for, at (Fig. 10) en Side BC i en Trekant ABC er mindre end Summen af de to andre BA +AC; thi afsawttes AD =-AC paa - ForkeTngelsen af BA, er (ifolge.19.) BD> BC. Skont EUKLID dermed hiar naaet at bevise Nodvendigheden af Mulighedsbetingelserne for cei Trekants Bestemimelse, B C -ved sine tre Sider, fojer han dog dertil straks den al- Fig. 9. mindeligere Soetning (21.), at naar af' to Trekanter med en fwlles Side den ene ligger indeni den anden, er Summen af den indvcndige Trekants to andre Sider D nmindre end Summen af de to ovrige Sider i den udvendige Trekant. Af Hensyn tl en sencre Betrag-tning indskyder vi her den Beiii~rkning, at at' de to Seetninger 20. og 21. folger umiddelbart de almindeligere, at, naar en rct og en brndt Linie hiar samnme Endepunk-ter, er den forste mindst, og at, naar af to brudte Linier mel1cm samme Endepunk-tcr, der vender LKonkavitcten fli samme Side, den cue ligger indenfor den at' den anden B Cog den rette Linie mellem begges Endcpunk-ter begrwnFig. 10. sede Figur, er den inderste mindst. Sawtning 20. saetter EUKLID i Stand til. at tilfoje Mulighedsbctingclsen fli Problemet 22. omi en Trekants Bestemimelse ved sine tre Sider og efter dettes Losning at konstrucre en given Vinkel paa et iiyt Sted (23.). Manglen fra 4. og 8. er;altsaa nu udfyldt, og Fly-tningen af en Vinkel kan flu som tidligere Fly-tningen af et Linicstykke (2.) udforcs ved en postulatbestenit Konstruktion. Da dette nu er vist en Gang for allc, kan derefter EUKLID ftwnke sig en hvilkensomhelst retlinet Figur flyttet hen tli et andet Sled i Planen, saaledes f. Ex. at en Side faider sammen mced et givet dermed ligestort Liniestylkke i Planen, uden at bygge.paa en intuitiv Forestilling om en. mckanisk Fly-tning. Derved saettes han i Stand tl at fuldstarndiggore 4. og 8. mced Swtningerne orn Trekanter, der liar to Sider stykkevis ligestore, men (24.) den mellemliggende Vinkel 1) eller (25.) den tredie 1) I den bevarede Tekst er Beviset for 24. ufuldstwndigt, idet Mulighederne ikke er udtomte med Hensyn til den tredie Vinkelspids i den flyttede Trekant; denne Mangel er dog tidlig beniwrket og udfyldt.

Page 275

77 77 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKID.27 275 Side uligre stor, og fil. i 26. under antithetisk Form at bevise, at en Trekant paa Beliggenhed-en nwer er fuldstoendig bestemt ved en Side og to Vinkler. Nu gaar EUKLID over til Lawren omn Paralleler og den dermed forbundue om Vinkelsumnmen i en Trekant, og derved benytter han. som bekendt det berolnte 5. Postulat, i oeldre Udgaver betegnet som det 11. Axiomn. Undersogelsen af dette Postulats principielle Betydning skal. vi dog her forbinde m-ed en Undersogelse af Betydningen af det mnwrkelige Postnlat 4.: alle rette Vinkler er ligestore; thi det maa voere for det Sted. i EUKLID's Elementer, livortil vi nu er naaet, at der skulde kunne have voeret Brug derfor, og dog har vi i vor Gennemngang ikke fnndet nogen Anledning til. at omtale det. Tvertimnod fremgaar det af Definitionen paa en ret Vinkel, at den er Halvdelen af en lige Vinkel, som vi nu kalder den, hvis Ben falder i hinandens Forlwngelse, og at sige, at saadanne er ligestore, er det samme sorn at sige, at en ret Linies Forl.Tngelse ud. over et Punkt (Postulat 2.) er entydig bestemt. EUKLID bruger ganske vist ikke Begrebet en lige Vinkel, som. han i det hele ikke udstrwkker sine Begreber til Groensetilfbelde (et Kvadrat er ikke et Rekiangel osv.); men denne Vanskelighed vilde han. ligesaa let her som andetsteds kunne omngaa ved Brng af et antithetisk Bevis eller lignende. Der synes altsaa ikke at have foreligget nogen Nodvendighed. for at ndtale den noe-vnte Paastand som Postulat, for i SwAtning 14. deraf at slutte, aL to Vinkelsummer, der begge er to rette, er indbyrdes ligestore. Det er jo netop dette, der umiiddelbart folger af Entydigheden af Postulat 2. Ved at se hen paa, hvad der umiddelbart findes i EU KLI's Beviser, har jeg derfor tidligere, nemlig i mmn Mathematikens Historie, ikke kunnet finde nogen anden Grund for EUKLID til. at opstille Postulat 4., som udtaler, at,,alle-rette Vinkler er indbyrdes ligestore", end den, at han derved har villet pointere Entydigheden af Postulat 2.; men saa skuld e han ligesaa vel. have pointeret Entydiglieden af Postulat 1. Begge Dele ses imidiertid af Anvendelserne overalt at have vweret underforstaaet. Hlvis man imnidlertid vii. betragte Opstillingen af Postulat 4. som en Uagtsomhed, turde den her givne Forkiaring vwere den rimeligste og vistnok den eneste, slom kan knyttes til. virkelige Anvendeiser hos EUKLID af Postulatet. Ved at se hen til den Omhn, hvormed hvert Skridt i Begyndeisen af forste Bog er overvejeL og forhandlet af kyndige Mathematikere, hvis Opmoerksomnhed var saa. megeL mere aarvaagen, soni det behandlede Omraade var file, bliyer man dog mindre tilbojelig tii at tro, at en saadan Uagtsomhed kunde begaas, og begaas uden at abhie anholdt. I Virkeligheden var Fristelsen til. at anholde den og bevise Postulatet storre, end den til. at godkende dets Opstilling som Postulat. Der er derfor Grund til at undersoge, om 'ikke netop den Ornstoendighed, at EUKLID har strebt at nndgaa. Brug-"af Figurilytning, kan have bragt ham til. at opstiile et Postulat, hvorved hans mere rationelie Geometri, i hviiken det i og for sig ikke savnes,,bliver reelt identisk med den hidtil kendte, den, soin benytter Flytninger. Man opfordres saa meget mere til. at prove dette, somn vi af EUKLID's Behandling har set, hvor meget Besvawr den Vanskelighed, soni har bragt HILn3ERT til at opstille EUKLD'S Sawtning 4. sowi Axiom,

Page 276

276 276 ~~~~~~~~~~VIII. Kapitel. 7 78 liar voldt ogsaa ham. For at foretage denne Prove maa vNi undersoge,den Geometri", som EUKLID vii faa ud, naar han alene bygger paa Postulaterne 1. —3. Derved skal vi forelobig ganske se bort fra, om yore Betragtninger ogsaa kunde tlilaogges EUKLID og hans samtidige, og blot 1awnke paa, hvad en konsekvent Videreforelse af de Undersogelser, som i Elementerne bygger paa de nawvnte tre Postulater, vii give'1). Hvad der liar voidt de Vanskeligheder, livormed vi i det foregaaende liar set EUKLID kaornpe, er, at Anvendelsen af Storrelsesbegrebet paa geornetriske Storrelser, forst og fremmest Lzengden af begraemsede rette Linier, sker ved de,,almindelige Begreber" 7. og 8., som. forst kan anvendes, naar Storrelserne helt eller delvis daekker hinanden, men at paa den anden Side denne Daekning ikke som. en praktisk Maaling maa tilvejebringes ved en mekanisk Flytning, men ved Konstrnktioner, byggede paa de tre forste Postulater. Ved disse ben'yttes Cirkier. En saadan er ifoige Def. 15.,,en plan Figur, indesluttet af en saadan Linie (som kaldes Periferien), at alle de rette Linier, der kan drages ud fii den fra et indenfor Figuren liggende Punkt, er indbyrdes ligestore". Her 1aegger man forst og fremmest Maerke til, at Cirkellinien, Periferien, bestemmes somn Sled for Punkter med indbyrdes ligestore Afstande fra Centrum.; men livad,,ligestore" Afstande er, faar man forst at vide i,,Alrnindelige Begreber" 7. Der er dog ingen Grund til at stodes over denne Orden; thi Brugen af EUKLID's Forudsaetninger svarer her ligesaa lidt som andetsteds til den Orden, hvori de opstilles. Mangen en Definition forstaas forst efter de senere Sawtninger om, hvorledes det definerede tilvejebringes 2). Derimod kunde man befrygte en,,circulus vitiosus", naar de ved Ligestorlied af Radierne definerede Cirkier benyttes i de Konstruktioner, som. tilvejebringer den Flytning, livorved Ligestorheden efter,,Alm. Begr."1 7. proves. At EUKLID's Forudsvetninger dog ikke danner en saadan logfisk Cirkel, kan ses deraf, at de virkelig, som. vist i det foregaaende, har kunnet benyttes til en rationel Opforelse af en Hellied, livori baade Cirkler og Ligestorhed af Liniestykker faar deres bestemte Betydninger. Dette sker ved en Sanivirken af de to paa forskellige Steder opstillede Forudsaetninger. Betragter man i Cirklens Definition Kravet om. Radiernes Ligestorhed som. gaildende en endnu ikke nawmere forklaret Egenskab, hvorom. kun vides, at den bestemmer Radiernes Endepunkter, er Cirkien forelobig kun en lukket Kurve og Centret et saadant Punkt, at en Linie derigennem kun sk~erer Periferien i et Punkt paa liver Side af Centrum. At det siges, at Radierne er ligestore, og at man efter Postulat 3. med et hvilketsomhelst Pnnkt til 1) Den Forkiaring af Postulat 4., som vi derved erholder som et paakrwevet Supplement til de andre 4 Postulater, er given af LINDEMANN i,Vorlesungen fiber Geometrie" II, 1 (1891) S. 540 ff. Denne gaar dog ikke ind paa den Maade, hvorpaa EUKLID i det enkelte benytter de Forudsvetninger, -som han opstiller; men han viser kun deres Sammenhveng med det, som karakteriserer projektivisk og metrisk Geometri. 2) Dette gw1der f. Ex. i VII. Bog, i hvis Begyndelse vi hiar troet at se en Model for den senere synthetiske Ordning af andre Afsnit (se S. 24 (222)), omi Definitionen paa. Dele af" (se Oversigt 1910 S. 410). Det stemnmer ogsaa. med ARISTOTELEs' Analytica post, 1, 10 (se S. 43 (241)).

Page 277

79 79 ~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.27 277 Centrum kan konstruere en Cirkel, som gaar igennem et hvilketsomhelst givet Punkt (det -vii sige, at en 'saadan Cirkel existerer) giver dernzest e t k o n s I r u. k tIi v t K e n d etegn paa, om Liniestykker med et fwlles Endepunkt, er ligestore. Delte giver dernoest (ved EUKLID'S Swetninger I, L.-3.) Kendetegn paa, om Liniestykker, der ligger p aa -v iika a rliige St e der i Planen, er ligestore, eller livilket der er storst. Herrned bliyer der stillet nye Krav til det System af Kurver i en Plan, som man skal have Lov tl at kalde Cirkier. -De Linieslykker, som ved Konstruktioner med dem beslemmes som ligestore, skal nemlig ogsaa svare tl det i de 6 forste,,Almindelige Begreber" opstillede Storrelsesbegreb, deriblandt soerlig tilfredsstilie del forste Krav, at naar to Storrelser er ligestore med en og samme tredie er de indhyrdes ligeslore. Naar man saaledes i Svetning 1. konstruerer den ligesidede Trekant ABC ved Cirkier om A og B som Centre og med Radius AR, der skwrer hinanden i Punklet C, skal Cirkien med C som Centrum, der gaar gennem A, tillige gaa gennem B, altsaa vere underkastet en Betingelse forud-en de nysnoevnte, og f1re Betingelser vii. kornme tl, naar C bliyer betraglet som Vinkeispids iflere ligesidede Trekanter, eller naar man lillige lager Hensyn tl Flytningsswtningen 2. Der synes nu at rejse sig det Sporgsrnaal, om. der overhovedet existerer et System af Kurver i Planen, der tlfredsstiller aile de Belingelser, som krwves af dem, som man efter de opstillede Forudseetninger vii kalde Cirkier. Dette Sporgsnmaal kan jinidlertid efter den Maade, hvorpaa' PLATON's Efterfolgere dannede Postnlaterne, straks besvares med Ja. Del er sket ved en Analyse, Oplosning af forud kendle Swtninger i deres Elemenler, og de sidste Elementer, de, fra h-vilke mnan gaar nd i den synthetiske Fremstilling, er de, der opslilies som Definitioner og Postnlater. De forud bekendle Saetninger, som. man gaar ud fra, er saadanne, som man let kunde bevise ved Figurilylning, og som altsaa, som vi nu vilde udtrykke os, gadlder for,,den Geometri", i livilken Figurflylning er en ltilladelig Operation, og som vi for Nemlieds Skyld vii kalde den emp i ris ke Ge o metIri. Analysen sknlde vel ifolge det Formaal, som man havde sat sig, heist naa tli saadanne Forudsoetninger, af hviike man ogsaa. uden Figurflylning knnde udlede de samme og nye Spetninger; men Sikkerheden for, at disse Forndsoetninger ikke staar i indbyrdes Strid, altsaa overho-vedet er mulige, folger af, at del efler deres Oprindeise paa Forhaand vides, at der existerer,,en Geometri", I~or livilken de gadder, nemlig den,,empiriske Geometri". El andel Sporgsmaal er del, om de samme Forndsatninger er tilstraekkelig snawvre tl at passe al1e ne paa denne empiriske Geometri. Al dette ikke er Tilfwldet, skal her forst -vises ved Betragtninger, som ikke stod tli de gamles Raadighed. Holder man sig ndelukkende tl Postulalerne, m aa der endog sporges, om der ikke exislerer en almindeligere Geombetri, hvis rette Linier alene defineres ved Postnlaterne 1. og 2. og et til 5a. svarende, om end anderledes begraenset, Skaeringspostniat. Detle vilde finde Sled i den Geometri, som F. KLEIN efterlyser i sit Erlangerprogram 1). Forudsoetningen om, at de rette Linier, ') Vergleichende Betrachtuingen iiber neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872. Se ogsaa: Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geonmetrie, II (Math. Annalen VI (1873)).

Page 278

278 VIII. Hapitel. 80 hvilke man i EUKLIDs.Elementer vii tillawgge de ved de nawnte Postulater udtrykte geometriske Egenskaber, tillige skal vvere de emnpiriske, opstilles dog andetsteds, nemlig i Definition 4. paa en ret Linie. Naar denne siges at vawre en saadan Linie, livis Punkter ligger E' i'a'ou, er dette uoversattelige Udtryk, der ligeledes, bruges i Definitiolnen paa en Plan, vistnol(, som P. TANNERY har begrundet '), et Laan fra. den tekniske Prove paa, om en Linie er ret, eller en Flade plan. Definitionen peger altsaa direkte hen paa den empiriske rette Linie. Naar den er traadt i Stedet for den, SOM PROKLOS (S. 108,6) tilloegger PLATON: den Linie, hvis Midie og Ender (dhekker hinanden (nemlig naa~r 'man ser henad den), er det maaske, fordi denne kun fremhawver en enkelt af de Maader, hvorpaa man praktisk kan prove, om en Linie er ret. De mangfoldigre Forsog, man har gjort paa at presse et geometrisk Indliold ind i EUKID~'s Definition, turde derfor voere ret betydningslose, og hvad voerre er, Navnet Definition, der senere har faaet en mere onifattende Betydning, end -der kan till~egges mange af EUKLID's Definlitioner, har bragt2) til at overse, at det, swrlig for den rette Linies Vedkommende, er i Postulaterne, at man skal soge den egentlige geometriske Bestemmnelse, nemlig Angivelsen af de rent geometriske Egenskaber, hvorpaa der i det folgende skal bygges. Dette ses deraf, at EUKLID intetsteds gor nogen direkte Brug af den nawvnte Definition. Hvad han derimod opnaar ved denne, det er at faa tilkendegivet, at det er paa den empiriske rette Linie, at han vii have anvendt alt det, som han derefter udtrykker ved eller kan udlede af sine Postulater. Det er da kun disse, som han benytter i sit geometriske System, og Anvendeligheden af dette beror paa, at de empiriske Linier har de i Postulaterne angivne Egenskaber, hvad EUKLID forudsaetter, eller, om man vii: det afhawnger af, hvorvidt3) de har den. - Brugen af Linealen til at tegne og flytte rette Linier hoenger sammen med dens i Definition 4. udtrykte empiriske Egenskaber; men, som alt bem~erket, har dette Redskab ikke urniddelbart noget at gore med den paa Postulaterne grnndede Geometri. Ved den alt anforte Definition paa Cirklen sigter EUKLID derimod ikke sawlig til. den empiriske Cirkel, men giver, som alt anfort, ogsaa nogle af Oplysningerne om dens Brug i det geometriske System. Detle turde hwnge sammen med, at han forelobig i Bog I-Il ikke har Undersogelser af Cirklen selv for Oje, men derimod en Anvendelse som geometrisk Hjvelpemiddel (,,Symbol", se II. Kap.) ved Undersogelse af retlinede Figurer og til at slaa Storrelsesbegrebets Anvendelse paa Liniestykker, Vinkler og Arealer fast; det er en Anvendelse af samme Art som den, der fra forst af har foranlediget Indforelsen af Keglesnitslinier og af ARCHIMEDES' Spiral. De Cirkler, der anvendes i de nawvte to Boger, har derfor, saalkenge man nojes mied Postulaterne 1L-3., kun de Egenskaber, som fremgaar af Brugen af disse og af Definitionen, forsaavidt den forstaas i Overensstemmelse med det Begreb om ') Revue des E~tudes grecques, t. X (1897) p. 14. -MWmoires scientifiques, 11 p..540. 2) F. Ex. ENRIQUES: Encyklopiidie der math. Wissensch. III, 1. 3) Sinlgn. HJELMSLEV: Lxerebog i Geometri, eller: Vidensk. Sels k. Oversigt 1916, S. 181 —189.

Page 279

81 81 ~~~~~~~.Figurflytni'ng hos EUKLID.27 270 Storrelser af Liniestykker, altsaa ogsaa om Radiernes Ligestorhed, som, efter hvad. vi -viste, fremgaar deraf og af de,,Almindelige Begreber". For at* faa. fat paa de Egenskaber, som maa tillegges de Linier, der i den saaledes almindeliggjorte Plangeometri i Overensstemmelse mied de Fok'udswetninger, som virkelig benyttes, maa kaldes Cirkier, vii vi tamke os to Planer a o g a' o g i den ene a',,,den empiriske Plan", operere mned empiriske rette Linier og empiriske Cirkler og Afstande og i den anden a-1 vel, i Overensstemmelse med Definition 4. paa en ret Linie, med empiriske rette Linier, men med Cirkier og Lvengder af Liniestykker, som endnu ikke er undei'kastede de i Begyndelsen af EU KLID'S I. Bog ubenyttede Postulater 4. og 5. Vi kan lade fire Punkler A, B, C, D af a, af hvilke ikke tre ligger i en ret Linie, svare tl fire Punkter af a.', med livilke det samme er Tilfwldet. Naar flu til enliver ret Linie i den ene Plan ogsaa skai svare en ret Linie i den anden, faar vi en projektivisk Samsvaren mneliem Punkterne i de to Figurer. Gaar man nu ud fra til hinanden svNarende Punkler i de to Figurer og anvender tilsvarende linewre Operationer, kommer man i al og a' tii nye tilsvarende Pnnkter. Ved Konstruktionen af tre Pun-kter L', M'l N' i ac', som ligger i en ret Linie, kan man ogsaa deivis benytte Cirkier, neinlig ved Anvendelse af PASCAL'S S~etning paa en Cirkel. De tre Punkter L, M, N, der svarcr tii L', M', N', ligger i en ret Linie, og til Siderne i den pascaiske Sekskant sva-rer Linier, som danner en ny saadan, hvis Vinkeispidser ligger paa et Keglesnit, der svarer tli Cirkien i a'. Da nu den i Ord udtrykte Anvendeise af de KurVer, som i de to Geometrier kaides, Cirkier, er ganske den samme, vii det fundne Keglesnit v~re en,,Cirkel"1 i den udvidede Geometri. Som svarende projektivisk til Cirkierne i Pianen a.' maa Samlingen af,Cirkler" i a vwre Keglesnit gennem to faste reelle ciler imaginocre Punkter E og F sva rende til Cirkelpunkterne i aLinien EF altsaa tii den uende'lig fjerne Linie i a', og,,entrene"l for disse,,Cirkler"- vii vwre Linien EF's Poler. Naar nu EUKLID, der jo ikke tzenker paa at bygge en ny og almindeligere Geometri paa de geometriske Forudswetniliger, han faktisk indskroenker sig til at b~enytte, vil have slaaet fast, at den virkelige Genstand for hans- rationelie Tankebygning er den empiriske Geometri, kan det kun ske ved Tilfojeise af nye Postulater. De maa paa den Maade, han kunde det, udtrykke, at Punkterne E og F er de nendelig fjerne Cirkeipunkter. Hertil horer forst og fremmest, at Linien EF er den nendelig fjerne Linie i Planen, elier at det, som han kalder parallele Linier, netop er de empiriske Paralicier. Tildels er dette ailerede udt-rykt i Def. 23 paa paraliele Linier som saadanne Linier i samime Plan, der kan forlwnges i det uendeiige til begge Sider uden at skoere hinanden; men i det vwesentlige vilde man opnaa det samme ved en Begr~ensning, som Under en elier anden Form udtrykte, at Operationerne ikke udstrwekkes til. den Del af Planen, livor den Linie, vi har kaidt EF, ligger. Hvis man uden at ane den fuide Roekkevidde af de beskrevne Operationer, der ved Brug af de omitaite Kegiesnit i Stedet for Cirkier i Virkeligheden bliver projektiviske, fik mied Skweringspunkter mcd denne Linie at gore, viide disse Operationer fore til. Resuitater, der I), K. D. Vidensh. Selsk. Skr., naturvidensk. og ruathem. Afd., 8. Rai~ke, I. 5. 3 37

Page 280

280 VIII. Kapitel. 82 vilde fo~rekomme EUKLID ganske absurde: Linestykker, hvis konstruerede Midtpunkt ligger i det ene Endepunkt eller paa For1wngelsen, Vinkler mellem rette Linier, soml skawrer hinanden, der ifolge Konstruktionen bliyer 0 eller negative (o: optreeder som Subtrahender i Stedet for Addender' og oinvendt). Saadanne Absurditeter undgaar EUKLID dels ved faktisk at holde sig til en Figuranskuelse, der bunder i e n empirisk Opfattelse af Plangeometrien, dels ved den nysnaxvnte Definition paa. Paralleler. Derved bliver han i Stand til at bevise den ene Parallelsaetning (I, 27), nemilig at to Linier bliver parallele, naar de overskawres af en tredie, saaledes at de. ensliggende Vinkler er ligestore. I modsat Fald vilde man nemlig faa en Trekant, hvor en ndvendig Vinkel var ligestor med den indvendig modsatte, medens det 1 16. er bevist, at den er storre. Det Tilfwlde, hvor denne Forudsetning vilde blive ugyldig ved en konsekvent Gennemforelse af de beskrevne Konstruktioner, ndelukkes nemlig ved den i Definitionen paa. parallele Linier ndtrykte Forudswtning. At dette kan opnaas gennem. en negativt ndtrykt Definition, beror paa, at Beviset for 27. fores antithetisk. Derinmod maa. der en positiv Forudsoetning til, for at begrunde denne Sawtnings Modscetning, at der virkelig existerer et Skoeringspunkt mellem to rette Linier, naar de overskoeres saaledes af en tredie, at de ensliggende Vinkler ikke er ligestore. Og her er det EUKLID'S (eller hans nwrmeste Forgoongeres) store Fortjeneste at have set, at en saadan Forudsoctning ikke er en Folge af dem, han alt har opstillet, men at en ny er nodvendig. Da har han valgt at opstille den noevnte Paastand selv som Postulat. Den omtalte Nodvendighed er dog allerede den logiske Folge af hans hele Behandling. Konstruktioner ved Hjwlp af rette Linier beror nemlig lige saa. meget paa, at man kan bestemme et Punkt ved to ret'te Li nier, som paa, at man kan bestemme en ret Linie ved to Punkter, og del er kun nndtagelsesvis, at EUKLID i en foregaaende Sawtning (21.) har kunnet paavise Existens af Skoeringspunkter mellem rette Linier derved, at en Linie, der forbinder et indre Punkt af en Fladefigur med et ydre, maa skawre Kon~turen (S. 68 (266)). Hermed har man den Enklidiske Paralleitheori, som i Tidernes Lob har fristet saa. mange tl at forsoge at bevise den Paastand, som den mere kiariseende EUKLID har fundet det nodvendigt at.gore tl et Postulat. Om dettes Tilbliven freingaar det af nogl~e af de af HEIBERtG (5. 18) anforte mathematiske Steder hos ARISTOTELES (65 a 4, 66 a 11, 74 a 13), at man da. var begyndt at faa Blik for de Vanskeligheder, denne Theori k an fremibyde, men ikke endnn havde overvundet dem. Som Kendetegn paa Parallelismen brugte man vel ogsaa da Ligestorheden af et Par ensliggende Vinkler fremko mne ved Overskoering med en tredie Linie; men man synes hverken at have bevist Tilstrawkkeligheden, som del sker ved EUKLID I, 16., eller at have set, at Nodvendigheden maatte slaas fast ved -et Postulat. Man var dog bleven sig bevidst, at her forel'aa et Savn. Parallelsporgsmaalet er altsaa allerede sat under Debat pa~a samme Tid som de 0vrige Sporgsmaal, somn ligger tl Grund for Behandlingen af Begyndelsen. af forste Bog. MENAICHMos har da. rimeligvis ogsaa haft det for 0je ved sine Forsiag til Behandlingen af denne Begyndelse. Ved Definitionen paa. Paralleler og ved den Forbindelse, hvori denne swttes

Page 281

83 83 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.28 281 med det i alle Tilfawlde uundvawrlige Konstrnktionsmiddel, som gives i Postulatet I, 5., har EUKLID faaet slaaet fast, at i den Geomietri, hvorpaa han anvender sine iovrigt vidererw~kkende Postulater 1. ---3., er den Linie, vi i vor Provelse af disses Rwekkevidde liar kaldt EF, nendelig fjern. Den Brug af Anskuelsen, sorn han helter ikke n~egter sig, vii ogsaa medfore, at de for alle,Cirkierne" i hans Fignrplan cz fw1I~es to Pnnkter E og F er imaginwre, eller at de paagoeldende Kurver er ligedannede og ligedan. beliggende Ellipser; men videre kan man ikke komme, naar man udelader Postulat 4. og ikke til1vegger Ligestorhed og Uligestorhed af Liniestykker og af Vinkler eller,,Cirkler" anden Betydning end den, som. det lykkedes at fastslaa uden mekanisk anskuelig Figurtlytning. Hvert Ord af EUKLID'S forste Bog bliver, naar Postulat 4. udelades, ogsaa. anvNendeligt paa en Plangeometri med saadanne Ellipser i Stedet for Cirkier, en Plangeornetri, hivis Soetninger kunde udledes af den swdvanlige empiriske Plangeometris ved Paralielprojektion fra en Plan til en anden. Der behoves aitsaa endnn et Postulat elier en Definition,5 svarende til Definitionen. 4. paa. en ret Linie, til at indskramke den paa de 0vrige ndtrykkeiig opstiliede Forudswtninger byggede Geometri til at omfatte empiriske Cirkier, som. man (med. TiInvermelse) kan tegne med. Passer, og i hvilken Ligestorhed af Liniestykker eller Vinkier er den, som. kan. proves ved. mekanisk Flytning. Hertil vii de. vwere nok at siaa fast, at en af hans,,Cirkler" er en empirisk Cirkel, og dermed. de alie, eller at to af hans,,ette Vinkler", hivis Ben ikke er stykkevis parallele, er virkelige empiriske rette Vinkier, det er saadanne, som, mekanisk kan. bringes tl Daekning med. deres Nabovinkler. Dette sidste Krav opfylder EUKLID (ganske vist paa en Maade, der siger mere end del strengt nodvendige), naar han. i sit Postulat 4. siger, at a I I e r e t t e V i n k 1 e r er iigestore, forndsat, at han dermed. mener, enten. at han om. de Vinkler, der ifolge hans Swtninger og Iionstruktioner og rationeile Beviser har frembnd~t sig som. rette, vii forudswtte, at de ogsaa ved mekanisk Flytning kan bringes til Dwekning, e 11 e r omvendt, at de Vinkler, der ad mekanisk Vej kan konstateres at vo're ligestore med deres Nabovinkler, altsaa rette, ogsaa er figestore efter de Kendetegn. paa Ligestorhed, som. Bogens rationeile Fremstilling forer til. Tages Proven derimod i Postnlatets Snb~jekt og Prawdikat fra den s a m m e af disse to geometriske Opfattelser, saa er Paastanden ikke noget Postulat, men en Soetning, der er let at bevise. Opfattet derirnod, som. jeg her forst liar gjort det, opfylder Postulat 4. netop det nysnoevnte Krav. Medens vi her liar fundet dette ved. at tale om. den,aimindeligere Geometri", som man vilde have, naar dette Postulat mangier, liar EUKLID og hans Forgwngere sikkert kun. twnkt paa at opfo re en Geornetri, der fra Indhoidets Side skuide faide sammen. med den empiriske. Det er dennes forste Elementer, han liar villet ndtrykk~e i sine Definitioner og Postulater, og ined stor Skarpsindighed, forbunden med Forsigtighed, liar han paa Grundlag af disse opfort sine Swetninger nden i sine Beviser at gore noget Laan fra en Forudsvetning om. Flytning; han har jo ikke engang uden Bevis villet forudsette noget saa. anskueligt som. Existensen af et Liniestykk~es Midtpunkt eller en Vinkels Haiveringslinie. Del vilde ikke voere 37*

Page 282

282 VIII. Kapitel. 84 utkenkeligi, at man under et saa omhyggelig ud~fort Arbejde paa en el~ler anden Maade var bleven opmwerksom paa, at de saaledes dannede Soetninger liar ~en storre Rwkkevidde end den, der gwlder for den empiriske Geometri. Allerede paa MENAICHMOS' Tid kendlte man vistnok saa meget fl Ellipser som Suit i Cylindre, at man kunde faa. Blik for den Udvidelse til Brug af ligedannede og ligedan beliggende Ellipser i Stedet for Cirkier, som overtydede os om. Behandlingsmiaadens storre Rae'kkevidde; men en saadan Betragtning liar ganske vist ikke efterladt-Spor blandt de -faa Beretninger, som vi liar omn det store Forarbejde paa Elementerne, der er gjort i Tiden fra MENAICHMOS til EUKLID. Under de dertil knyttede Forhandlinger kan der dog nok have -vwret Lejliglied til TvivI om, hvorvidt det saglige Indliold. af den Lwrebygning, som man var ifwrd med at opfore med saa stor Kunst, ganske deekkede den empiriske Geometri, livis Swtninger man i tidligere Tider havde godtgjort ved rigelig Brug af m-ekanisk Figurflytning. At Grundene til en saadan Tvivl vilde bortfalde ved at opstille, eller maaske ved at beholde Postulat 4., sorn der, livad vi straks skal se, kan have vweret andre Grunde til at opstille, liar det ikke vveret svwrt at overbevise sig om-. Er Sagen gaaet saaledes til, kunde. man -dog maaske ogsaa hos EUKLID savne en Paavisning at; at Postulat 4. nu ogsaa er tilstrwkkeligt til at indskrawnke Omra~adet til i Virkeligheden kun at omfatte den empiriske. Flytningsgeomletri. En saadan Paavisning var dog ikke at vente i EUKLID's Elementer. Som g~eldende, Forbindelsen med. mekaniske Flytninger maatte den i nogen Maade knlyttes til disse; men dem er det netop, han liar villet holde uden for sin Lwrebygning. Det er ham nok, ved. Definition 4. og Postulat 4. at have opnaaet, at Lrerebygningens Resultater netop gwlder den swedvanlige Geometri, livis Storrelser maales ved. Flytninger; men disse skal ikke udgore en Del af selve Lwrebygningen. I denn e gores derfor heller ingen Brug liverken af Definition 4. eller af Postulat 4.; de nwvnes blot forud som en begrvensende Angivelse af det Omraade, for livilket Lverebygningen skal gvelde. Hermed liar vi set, baade at EUKiLID'S Postulat 4. indtager en logisk vel grundet Plads, og at der foreligger logiske Grunde til, at der dog i Bogen ikke forekommer direkte Anvendelser derar. Vii man saa dog fastliolde, at det skyldes en tilfreldig Fejitagelse eller Misforstaaelse, maaske den, jeg tidligere liar provet at give som. Forkiaring og berort S. 77 (275), saa er dets Medtagen dog et Tilfaelde, der ligner en Tanke. Naar EUKLID netop liar sagt, hvad der efter hans Forrnaal burde siges, liar man saa Lov at tvivle om, at han og de, der for ham'saa omhyggelig liar droftet disse Spor'gsmaal, ogsaa selv liar twenkt de Tanker, der kommer frem i Bogen?om de end ikke liar givet dem den Skikkelse, i livilken jeg liar forsogt at tawnke dem efter. - Dette Sporgsm-aal lader sig i alt Fald. ikke helt afvise. Det kan dog have nogen Interesse at prove, omit ikke Postulatet kan have spillet en noget anden Rolle for IEUKLID og sawlig i den Droftelse, som gik forud. for den endelige Skikkelse, som han gay Elementerne. Skont det i disse kun optrwder som. en, Baggrund, der - hvad enten det nu tilsigledes eller ikke - sikrede den euklidiske Geometris Tilknytning til den empiriske Geometri, kan dets Fore

Page 283

85 85 ~~~~~~~~Figurflytning hos EUKLID.28 283 komst og den Skikkelse, det bar, inaaske pege tilbage paa en tidligere mere direkte Anvend else. I den Henseende skal vi bemverke, at Definition 4. paa en ret Linie giver Anvisning paa at anvende en Lineal til materielt at tilvejebringe de i Postnlaterne 1. og 2. kroevede rette Linier gennem to Pnnkter eller som Forloengelse af en given. Saetning 2. liar paa den anden Side vist, at man endnu liar betragtet Passeren som et saadant mekanisk Instrument, paa livis Anvendelse tl at bestemnme ligestore Liniestykker man ikke turde bygge en rationel Geometri. Anbringelsen af Postn'lat 4. iblandt Postulaterne peger lien paa, at man liar taenkt' sig dette anvendt tli Konstruktioner. Det udtales netop, at enliver ret Vinkel kan tilvejebringes soni Kopi af en en Gang for alle tilvejebragt Norm, det er ved en Gnomon (S. 65 (263)). Har denne ved Siden af Linealen v~iret det Redskab, som jwvnlig anvendles af Pytliogoreerne ved deres tlieoretiske Undersogelser, saa kan man endog forelobig liave givet den et Fortrin for dell frie Brng af det da mere moderne tekniske Instrument, Tegn epasseren. Har nu dette vveret Tilfaddet, saa liar Brugen af Gnomnon kunnet lijalpe ud over de Vanskeligheder, som Indledningen til Geometrien foraarsagede. Del liar da ikke vwret umuligt, at man, som det 5. 38 (236) anforte Uddrag af PROKLOs kunde tyde paa, liar forsogt at stille Tilvejebringelsen af et Kvadrat ved en Konstruktion i Spidse n for Lwrebygningen ved Siden af Konstruktionen af en ligesidet Trekant. Ganske vist kunde man da ikke straks bevise, at i den i 'et saadant Problem' konstruerede Figur al11e Vinkler var rette, al11e, Sider ligestore; det maatte i Overensstemmelse med den siden MENAICHMOS forlangle Roekkefolge forbelioldes senere Tbeoremer. Til liurtigere at naa dette vilde det bidrage, at Satning 4., naar Brugen af Gnomon liawdedes i et Postulat, ikke mere vilde volde, Vanskeliglied, naar de to Trekanters ligestore Vinkel var ret, og let fore Ill den Konstrnktion af en flyltet Vinkel, som forelobig savnes i EUKLID's Bevis for den almindelige SwAning 4. Hvorledes man i det enkelte bar sig ad, maatte bero paa, livorledes den i Postulat 4. antagne Flytning af en ret Vinkel blev anvendt tl Konstruktionen af et Kvadrat, livad der kunde ske paa flere Maader. Har nu virkelig MENAICHMOS gjort en saadan Brug af Postulat 4., saa sk ylder man EUKLID, der ganske undlader at binge Postulat 4. i sine Konstruktioner, et stort systematisk Fremskridt, nemlig Reduktion af alle de i lians rationelle System forekcommende Konstruktioner tl saadanne, der alene bygges paa de 0vrige Postulater og praktisk vilde udfores ved Lineal og Passer. Delte Fremskridt vilde opveje den Afvigelse fra den gode Ordning af Problemer og Tlieoremer, somn Citatel af KARPOs liar vist os, at man paatalte i Oldtiden. EUKLID bar dog vweret forsiglig nok til at lade Postulat 4. blive slaaende. Hertil liar der, som vi liar set, vveret god Grund, livis lian ikke uden videre liar villet bave den ved Passeren teknisk erholdte Ligestorlied af Radierne i en dermed tegnet Cirkel godkendl som gyldigt theoretisk Grundlag for sine Undersogelser. Ligesaa godt som at admittere den tl Brug af Gnomon knyttede theoretis-ke For~

Page 284

284 IX. Kapitel. 86 udseetning kunde han irnidlertid have admitteret Passeren og altsaa slaaet fast, at de i hans Theori indgaaende Cirkier er emipiriske Cirkier - ikke blot ligedannede og ligedan, beliggende Ellipser. Da vilde Postulat 4. blive ganske overflodigt. Da nu EUKLID netop har indfort den konsekv\ente Brug af Cirkier, soni han naturligvis i Virkeligheden tegnede med Passer, kan det ikke have varet lenge, inden. det 4. Postulat virkelig blev overflodigt og kun blev staaende Af Respekt for Meste-. ren. Under denne Forudsxtning bliver rigtignok ogsaa I, Swtning 2. overflodig. Vi behover ikke at folge EUKLID Ilengere for at se, at han fra nn af for retlinede Fignrers Vedkommende er naaet ud over de Vanskeligheder, det har voldt ham at om-bytte den i,,Almindelige Begreber" umiddelbart forndsatte Figurflytning med Konstruktioner, byggede paa ndtalte Postulater, selv om Maaden, hvorpaa det er sket, har voldt enkelte theoretiske Bet~enkeligheder. For Figurer, hvori ogsaa Cirkier og Cirkelbuer indgaar, sker det dels direkte paa samme Maade, dels ved Gramseo-vergang. Det forste. er Tilfaildet i ML. Bog, hvor man i Sawtning 24. paanyV moder den samime forsigtige Brug af Ordet '4apu6~eep som. i 1, 4. og 8., det sidste i XLI. Bog, hvor Overgangen sikres ved EUDOXOS' Postulat. Kap. IX. Ligedannede Figurer og Proportioner. Den samme Forandring, som den geometriske Opfattelse og den geomeiriske Behandling af kongruente Fignrer nndergik ved Overgangen. fra en delvis intnitiv Geometri til en gennemfort rationel Geometri, er ogsaa Opfattelsen og Behandlingen af ligedannede Figurer undergaaet.,Oprindelig havde man en ganske almindelig Forestilling om, al der existerer Fignrer ligedannede med saa alimindelige Figurer, som man i det hele var i Stand til at opfatte; i den rationelle Behandling har man derimod. nndersogt Ligedannetheden af de allersimpleste Figurdele for forst derefter at danne Begrebet om. almindelig Ligedannethed ved ensartet Sammensvetning af saadanne ligedannede Dele. Oprindeligheden af. Forestillingen. om, alinindelig Ligedannethed viser sig af de 2eldste Afbildninger., En plan Afbildning af en plan Figur vii man altid have strwebt at gore ligedannet med denne, naar der ikke har vwret Anledningr tii at gore dem. kongruente, og til forskellige' plane Af bildninger af den samme Rumfigur set fra samme Side vil man have stillet den Fordring, at de skal vwre indbyrdes ligedannede. Gronlandsforskeren KNUD RAsMUSSEN, hvem jeg ndspnrgte om en wldre Meddelelse af PEARY, har veret saa god at vNise mig nogle Tegninger af Kystlinier,

Page 285

87 87 ~~~~~~Ligedannede Figurer og Proportioner.28 285 som var udforte af Gronloondere, hvem han havde, glivet de dern uvante Redskaber Papir og Blyant i Haanden. Kystlinierne strakte sig over Iadskillige Dagsrejser, der var (let Maal, som Gronlenderne angav, og Buginingerne var udforte meget detailleret og med en Omhn, der vidne'de orn den gode Hukommelse, livori de bevarede den synsoplevede Linie. At det var Linier, de kunde afbilde, strider ikke imod, at de oprindelige Syiisoplevelser gwlder Fladefigurer; thi Erindringen af Linien liar sikkert veret knyLtet til Erindringen om det Terrwn, der laa indenfor Linien, Fjeld, Dal o. s. v. Hr. KNUD RASMUSSEN bemwerkede, at den Evne, som Gronl1enderne herved lagde for Dagen, ikke var ny og indfort af Europwerne. Ved det forste europoeiske Besog i Angimagsalik forefandt HOLM saaledes en Art Landkort, der maatte ndfores idet Materiale, man havde, og var ndskaarne i Tree (Drivtomme-r). Det-var Reliefkort, i livilke forskellige Oer var afbildede, forbundne ved en fasi Stok. I disse var dog rimeligvis Hojdemaalestokken forholdsvis stor, som. den let bliyer, naar den bestemmes ved et Skon. Her skal vi dog holde os til plane Afbildninger af plane Figurer. Prover paa saadanne liar man ogsaa i de ved RUBIN's Forsog (S. 5t (249)) gjorte Afbildninger; thi der synes i alt Fald ikke at vwre lagt VW-gt paa, at Maalestokken skulde vwere den samme som paa Forbilledet. Paa alle disse Maader fremtrwder det som. en ret oprindelig Evne, gennem Synsoplevelse at opfatte vilkaarlige Fignrers Ligedannethed, som bestaar i, at de som Figurer betragtet, altsaa bortset fra fysiske Forskelle, Farve eller Freinstilling ved ensfarvede Flader eller blot ved Konturtegning, er ganske ens nndtagen i Henseende til Ma'alestok og Beliggenhed. Ligesom Forestillingen om Kongruens liar man besiddet denne almindelige Forestilling, for man liar ftenkt paa at udtrykke den i Ord. Man er bleven sig de Egenskaber, der karakteriserer ligedannede Figurer, mere og mere bevidst, efterhaanden som det, saaledes for de wgyptiske Landmaalere, kom mere og mere an paa aL tegne Figurerne nojagtigere og at gore den tilsigtede Anvendelse af dem. Der vil aldrig voere faidet-nogen and et ind, end at rette Linier skal gengives ved rette Linier. -Man vil have gengivet et bestemt Maal i Marken ved et bestemt Maal paa Kortet og derved have set, at Lzengder, -der fremstilles ved hele Antal af disse Maal, staar -i samme Forhold paa de to Figurer, og snart ogsaa, at det samme gwlder om Dele af Fladefigurerne, der indeholdes hele Antal Gange i disse. Derefter 1)1ev man, idet manl sagtens begyndte med simple Multipla eller Submultipla, snart saa fortrolig med denne Proportionalitet af ensliggende Linier, at der skulde mere Skarpsindighed til at tvivle om -dens Almengyldighed end til at antag-e den for sikret uden alt. Bevis. Lzenge for del opdagedes, at to Liniestykker ikke behover at vwre kommensurable, havde man altsaa faktisk iligedannede Figurer et Middel til at operere med Forhold mellem geometrisk fremistillede Storreiser uafhen~gig af, om de er kommensnrable. At der til et Kvadrat i den ene Figur vii svare et Kvadrat i den anden, vii man have betragtet som indlysende, og Landmaalernes Opgave at se, hivor mange Kvadrater paa Lwngdeenheden der indeholdes i et vist Areal paa Marken, vil man have lost ved de tilsvarende Operationer paa Kortet og derved have bemwerket, at ligedannede Arealer

Page 286

286 IX. Rapitel. 88 forholder sig som Kvadraterne paa ensliggende Liniestykker. Dette ligger allerede iat de ligedannede Figurer skal vvere ens i alt paa Maalestokken naer. At i ~Egypten ogsaa andre end Landmaalere liar baaret sig vwsentlig saaledes ad, ses af en vegyptisk Afbildning af, livorledes en Tegning er overfort i storre Maalestok paa en Vweg. Det er gjort ved at dele begge Billedplaner ved to Systeiner af Paralleler i ensliggende Kvadrater og stykkevis loverfore Billedet fra et Kvadrat i den ene Plan tl del tilsvarende i den anden. Et Skon, der snarl bliver til Vished, om Proportionalitet dels af Loengder dels af Arealer vii let have knyttet sig til en saadan Fremstilling, der iovrigt ogsaa er en Brug af retvinklede Koordinater. At to Cirkler maa vaere ligedannede, vii man tidlig have betragtet som indlysende. At man dertil tillige liar knyttet den Forvisning, at der er et konstant Forhold mellem en Cirkels Periferi og dens Diameter eller dens og det omskrevne Kvadrats Areal, ses af de wldgamle, mere eller mindre held~ige Forsog paa at finde disse Forhold. Man traeffer saadanne Forsog baade hos iEgyptere og Indere. At de fortsattes hos Grawkerne, ses af dem, som ANTIPHON og BRYSON gjorde, og sorn senere anfortes som Modsawtninger til den da fordrede exakte Behandling (se Oversigt 1913, S. 457). At to Rektangler, hvis Sider slaar i samme simple Talforhold, er ligedannede, ligeledes de Trekanter, h-\vori saadanne Rektangler deles -\ed Diagonalerne, derom kan der ikke have vawret n ogen Tvivl. Efter min Opfattelse af -Apastambas Culbasiatra 1) liar allerede denne forstaaet at anvende Swtningen om ligedannede Figu.rers Arealer saint den pytliagoreiske Soetning tl at multiplicere et saadant Reidangel med 3 uden at forandre Formen. Da man sikkert tidlig liar liaft swrlig let ved at faa fat paa Ligedannetlied af Figurer i ligedan Beliggenlied og bemwrket Parallelismen af disses Sider, kan mau lieller ikke have noeret nogen Tvivl Om, at en Trekant er ligedannet med den, som afskwres ved en Paralleltransversal. Dette benyttes f. Ex., naar man liar dannet Gnomonfigurer i videre Forstand som Differens mellem to ligedannede Figurer, livoraf et Par paa hinanden folgende Sider falder paa liverandre. Man forstaar saaledes, at Pythagoreerne kunde vvere vel rustede tl et kombineret Studium af Proportioner og de ligedannede Figurer, livorpaa de fremtrweder. Denne Forbindelse troeder tydelig frem i den gamle Benwvnelse liige da nn ed e p 1 a n e Tal, livilke forliolder sig som to Kvadrater. Vi liar ogsaa berort (S. 61 (259)), at det pytliagoreiske Bevis for den pytliagoreiske Lwresuetning rimeligvis liar vwret knyttet tli Brug af ligedannede Figurer. Den ansknelige Maade, hvorpaa saadanne Figurer lader Proportioner troede frem, liar ganske vist i de paa disse Figurer byggede Begrundelser draget Opmwerksomheden bort fra den Mangel paa Exakihed, livorpaa ZENON pegede lien, og som forst EUDoxos aflijalp (se Oversigt 1915 S. 336 Noten); men netop, derved belioldt man sin Frilied tl at -gore en frugtbringende Brug af Intuitionen. Om Enkeltheder i de saaledes foretagne Under I1) Se S. 843 i den anforte Afhandling fra V. Congr~s de Philosophie. Gen~ve.

Page 287

89 89 ~~~~~~Ligedannede Figurer og Proportioner.28 e 287 sogelser'1) ved vi dog kun iidt, fordi de derved vundne Resuitater i EUKIDi's V. Bog fremtroeder i den airnindeligere Skikkeise, som ELUDOXOS gay Proportionsioeren, og som i Tilsiutning dertil EUKLID i VI. Bog liar givet Lwren om ligedannede Figurer. Det nytter heiler ikke at vise hen tl EUKLID'S VII.-IX. Bog, i livilke man, da Talen her kun er om Forhold meliem hele Tai, har troet at finde den Form, som man for EUDOXOS' Tid liar givet Proportionsloe ren. Indskreenkningen til hele Tal hidrorer nemlig ikke fra Hensynet tl den Simplifikation i Beviserne for Proportionsswtninger, som disse tiliader, men fra Hensynet til den Anvendelse, som her skal gores tii at fore exakte Beviser for THEAITET'S i EUKLID X, 9. opstillede Kriterier for Rationalitet eller Irrationalitet af Rodstorrelser, og som forkiarer den Plads, disse arithimetiske Boger liar faaet i Geometrien (Oversigt 1910). Disse Boger er i ligesaa hoj Grad prwgede af og for Begyndere vanskeligg~jorte ved THEALTET'S forsigtige Skarpsindighed som V. Bog af EUDoxos' geniale almiindelige Synspunkt. Derimod vii mange af de i aile de her omliandiede Boger (V —IX) indeholdte enkeite Swtninger have vveret kendte for de nwevnte nwrmeste Forlobere for den piatoniskeuklidiske Omdanneise tl en ratioiiei Lverebygning, men da begrundede med mindre Omsigt og Forsigtighed og i mindre Almindelighed. Fra den pythagoreiske Tid kender vi dog et vigtigt Hjwipemiddel, som dels opstod under Behandlingen Af ligedannede Figurer, deis, gjorde stor Nytte ved disses videre Undersogeise, nemlig V i n kelb egre be t; men dets, Opstaaen og Udvikling vii vi heist omtale for sig i et. swrligt Kapitel (X.), tl hivilket vi derfor nu indskrwenker os, til at henvise. Med hivor stor Sikkerhed og Kiarhed en hojt begavet Mathemnatiker kunde behandle ligedannede Figurer, derunder ogsaa de med disse forbundne Vinkler, paa en Tid, da liverken EUDoxos endnu havde behaindlet Proportioner fra sit aimindelige Synspunkt, elier Piatonikernes, Analyse havde opiost den almindelige Ligedannethed i Setninger om Ligedannethed af de simpleste retlinede Figurer, ser vi af det opbevarede Fragment af HIPPOKRATES fra Chios (Oversigt 1913, S. 442-456). Naar han udenvidere antager, at Cirkier forhoider sig som Kvadraterne af deres, Diametre, altsaa som de ornskrevne Kvadrater, gor han kun del samme som de mange, der for ham liar sogt at bestemme Vwrdien af dette Forhoid. Idet to Cirkier er iigedannede, miaa man ogsaa af dem ved Korder kunne afskxre ligedannede Afsnit, og ifoige iigedannede Figurers, almindeiige Egenskaber maa dels, disse stan i samme Forhoid til de hele Cirkier, deis, de deni indskrevne Vinkier vwre figestore. Dette er, hivad HIPPOKRATES opstiiier som Udgangspunkt for sin Afhandling, og det gaar ikke ud over det, som enhver, der har en almindelig Forestilling om ligedannede Figurer, -vii tillwgge disse uden at have nogen Tvivi om sin Paastands, Rigtighed. Man behover derfor ikke at antage, at HiPPOKRATES skulde have vawret i Besiddelse 1) At man ogsaa ad denne geometriske Vej kan komnme til en exakt Proportionslwre, har MOLLEnUP~ viSt i Mathemnatische Annalen 56 (1902); forst dens Forbindelse med den aritlimetiske ProportionsI1ere kroever en Anvendelse af EUDOXOS' Postulat. D. K. D. Vidensli. Selsk. Skr., naturvidenslk. og mathern. Afd., 8. RwAkke. L. 5. 38

Page 288

288 IX. Kapitel. 90 af saadanne Beviser for disse Paastande, som. vilde have tilfredsstillet de Krav, man stillede i Perioden fra. PLATON tl EUKLID, ja i Betragtning af det Arbejde, som, det liar voldt at opfore en geometrisk Lawrebygning, livori disse Krav er opfyldte, er det endog kun lidet sandsynligt, saa meget mere som Gennernforelsen af et saadant Bevis for de ligedannede.Afsnits Proportionalitet m-ed Cirkierne maatte blive meget vidtloftigt og gaa. om. ad ligedannede Udsnit. Saadanne omltaler end ikke EUKLID, og hans Orntale af Cirkeludsnit indskrwnker sig til en Definition, medens han udforligere behandler Cirkelafsnit. Medens den almindelige Forestilling om ligedannede Figurer og deres alnmindelige Egeuskaber endnu dannede Udgangspunktet for saa. indgaaende Undersogelser som. HIPPOKRATES', maatte den enklidiske Behandling omvendt gaa ud fra de,,Elementer", hvori man efter de platoniske analy-tiske Principer oploste denne almindelige Viden. Vinkler, derunder deres alt berorte Anvendelse til Bestemmelse af Paralleler, saint Forhold, deres Ligestorhed og Uligestorhed., Proportio'ner, deres Omdannelser og Kombinationer, maatte forst studeres; forst derefter kunde man benytte dem til IDefinitioner paa ligedannede Figurer og til flu ved Konstruktion at sikre sig det, man tidligere gik ud fra som selvfolgeligt, nemlig, at der existerer saadanne Figurer som de definerede. Disse Exis-tensbeviser og de dermed forbundne Betingelser for Ligedannethed maatte man begynde med Anvendelsen paa Trekanter for derefter at heave sig til ligedannede retlinede Figurer i Alniindelighed, om. hivilke der i VI. Definition 1. siges, at det er saadanne, der liar Vinklerne stykkevis ligestore og de i Forhold til disse ensliggende Sider proportionale. Det almindelige Existensbevis fares i VI, 18. ved Losning af folgende Opgave: Paa en given ret Linie (det er: et givet begranset Liniestykke) at tegne en retlinet Figur, som. er ligedannet med en given retlinet Figur, og. i livilken Liniestykket er ensliggende med en given Side i den givne Figur 1). Efter at Existensen af Figurer, svarende til. hans Definition paa. Ligedannethed, saaledes er bevist, kan EUKLID dernawst bevise de 0vrige Egenskaber, som. man efter den almindelige Forestilling ogsaa vii till1egge saadanne, nemlig, at Forhold og Vinkler mellem ensliggende Diagonaler og Sider ogsaa er ligestore, og, idet han begynder med Trekanter (VI, 19.), at Figurerne selv forholder sig som. ensliggende Siders Kvadrater (VI, 20.). Da EUKLID's Definition paa Ligedannethied kun goelder retlinede Figurer, liar han ingen Anledning til at sige, at to Cirkier altid er ligedannede; men han beviser i XI, 2., at de forholder Sig som Kvadraterne paa Diainetrene, ved at betragte dem SOrn Greenser for ligedannede indskrevne Polygoner; Groenseovergangen sker i den at EUDoxos angivne Form. Derimod giver han allerede paa et tidligere Sted, nemlig i III. Bog, folgende Definition 11. paa. ligedannede Cirkelafsnit: at deL er saadanne, der rumrmer ligestore Vinkler, eller, tilfojer han, i livilke Vinklerne er ligestorIe. 1)De sidste Ord skal udtrykke, livad EUKLID kalder 6goe'to xdpespov. Det er vildiedende, naar Froken EIBE oversvetter disse Ord ved,ligedan beliggelnde"l, da herved efter den vedtagne danlske mathematis'ke Sprogbrug betegnes noget andet, som slet ikke vilde passe her; der siges nemlig intet om, at de opgivne~ til hinanden svareade Liniestykker skal vmre parallele

Page 289

91 91 ~~~~~~Ligedannede Figurer og Proportioner.28 289 Denim sidste Definition siger dog ikike meget, idet han ikke opgiver noget andet Maal paa Afsnittets Vinkler, livormed menes. de, der dannes af Korden og Buen; de inaa nemlig, som vi skal se senere, ikke, som vi nu gor, iden-tificeres med Vinklerne mellem. Korden og Tangenterne i dens Endepunkter. Tilfojelsen er derfor snarere en Paastand on, at ogsaa disse blandetlinede Vinkler er ligestore paa de to ligedannede Afsnit. Benvevnelsen ligedannede bruges dog om. Afsnit kun i IlI, 23. og III, 24., sonm tilsammen gaar ud pan, at ligedannede Afsnit paa samme Korde eller paa. ligestore Korder er kongruente. Allerede disse Saetninger viser, at fraset Beliggenlieden de Afsnit, som. kaldes ligedannede, er ens paa Maalestokken naer, og kan altsaa, uden at der dog siges noget derom, i nogen Maade forkiare Berettigelsen af at binge samme Benawnelse,,ligedannet"l i III. Bog om. Afsnit og i VI. Bog omi Polygoner. Overensstemmelsen mellemn de to Anvendelser af samnme. Ord treader endnu tydeligere fremn ved den, som finder Sted mellem, de i III, 33. og i VI, 18. loste Opgaver, idet begge Steder den ligedannede Figur bestemmes ved, at et givet Liniestykke skal vaere ensliggende med et bestemt Liniestykke i den givne, nemlig Afsnittets Korde i III, 33. og en Side i Polygonen i VI, 18. I den forste af disse Sawtninger nwvnes vel Ordet ligedannet ikke, men af Definitionen III, it. fremgaar det, at Ta1~n. er om. Konstrunktion af saadanne, der for forskelligt Vaig af Korden bliver ligedannede, idet der paa et gi-vet Liniestykke forlanges konstrnueret et Cirkelafsnit, som. rummer en Vinkel lig med en given. I III, 34. bestemmes dernawst den Korde, der af en given Cirkel afskaerer et Afsnit, der - efter Definition III, it. -bliver ligedannet med et givet. Dette kunde noermest tjene til Existensbevis for de af HIPPOKRATEs betragtede ligedannede Cirkelafsnit; men at disse er proportionale med Cirklerne naar lieller ikke EU KLID at bevise, livad han sikkert vilde vawe i Stand til at gore i XII. Bog; men han liar betragtet det som. en Enkeltopgave, der ikke henhorer til, og som. vilde voere for vidtloftig at tage med i,,Elementerne". Dette havde han dog noeppe forsornt, livis, soin flere liar antaget, allerede HiPPOKRATES5 havde fort et formelt Bevis derfor i sine Elementer. Idet BUKLID ikke liar kunnet ndtale en almindelig Definition paa Ligedannetlied, der ogsaa omfatter alle krumlinede Figurer, o g af livilken han derDWSt maatte kunne udlede aile de Egenskaber, som. ein fbeles for ligedannede Figurer, ba r han nmaattet behandle de forskellige Arter liver for Sig, 'navnlig retlinede Fignrer I VI. Bog og Cirkelafsni t i III. Bog, men Afgorelsen af, livilke lian i etlivert Tilfeelde vilde kalde ligedannede, mantle hero paa den samine almindelige, Imen nbeskrevne Forestilling, hvorpaa HIPPOKRATrEs byggede, ogr det er i Henhold til denne, at ogsaa Lw~seren billiger bans Vaig af denne f~e1les Benaevnelse. Det liar sin Interesse atundersoge, omn EuKLID i andre Skrifter eller hans Efterfolgere i den Henseende er naaet videre. Af livad ARCHIMEDES i Sit Skrift om Konoidein og Sfwroider siger om, ligedannede Ellipser og i Indledningen til dette Skrift om ligedannede Konoiderog. Sfawroider kan man se, livorledes man paa hans Tid definerede ligedannede Keglesnit'I);. 1) Se XVII. Afsnit af min Ieglesnits1ere i Oldticlen. IDet er mnig en vis Tilfredsstillelse her 'at kunne konstatere den fulde Overensstemmnelse mellem de Betragtninger, jeg den Gang knyttede alene til 38*

Page 290

290 - X. Kapitel. 92 de samme Definitioner har formodentlig EUKLID givet i sine Keglesnilselementer. Om Parabler kunde der sorn om. Cirkier kun siges, at alle Parabler er ligedannede; da der altsaa ikke bliyer Brug for nogen Definition, er dette nwrmest en Szetning, livis Rigtighed beror paa. den udefinerede almindelige Forestilling, livorpaa man fra. gammel Tid havde bygget, og denne Forestilli~ng ligger ogsaa til Grnnd for, at man kalder Ellipser ligedannede, naar der er samme Forhold mellern Axerne, Hyperbier, naar de ligger i ligestore Asynmptotevinkler. Forst APoLLoNios liar opstillet en for alle Keglesnit faw1les Definition. Den knytter sig til Ligningen y2=px + P x2 (livor a a er en Axe, p den dertil liorende Parameter) og gaar i Realiteten ud paa, at to Keglesnit henforte liver til sit Par, retvinklede Koordinataxer, er ligedannede, naar deres Punkter (x, y) og (xj, y1) svarer saaledes til. hinanden, at bestandig Forlioldene x: xi og y: yi liar samme konstante Vzerdi. Om denne Betingelse, der omfatter de af ARCHIMEDES for livert enkelt af de tre Keglesnit anforte, ser man at Fortalen, at den skyldes APOLLONIOS selv. Den kan aabenbart anvendes paa. hvilkesomlielst Kurver, ja livilkesomhelst Figurer, forsaavidt man under en eller anden Form liar forstaaet at benfore dern til et Par retvinklede [{oordinatsystemer. Midlet er altsaa fundet Lii at definere Ligedannetlied i Airniindeliglied, selv oin APoLLoN1os kun an-vendte det paa. Keglesnit. Forst lierved er Ligedannetlied bleven et almindeligt Begreb, livis Anvendelse paa de enkelte Arter, Figurer ikke mere beliover at bygges paa en uforkiaret Forestilling.- APOLLoNlos' Definition ved Koordinater er jo iovrigt den, som. Agypterne faktisk anvendte i Praxis., Kap. X. Vinkelbegrebets Opstaaen. Medens -vi ellers liar fundet og endnu i XIII. Kapitel vil finde en smuk og fuldstoendig Overensstemmelse mellem den zeldste Geometri, vi kender, og Udbyttet af Dr. RUBIN'S Undersogelser over Synsoplevelse af plane Figurer, giver disse ikke nogen Iilfredsstillende Forkiaring af, livorledes Vinkelbegrebet er opstaaet eller kan opstaa eller fremkaldes lios den, der endnu ikke besidder det. De Sporgsmaal, som pa~a dette Punkt stilledes Forsogspersonerne,' var ikke egnede til at fremkalde den mest naerliggende Forkiaring; paa et vigtigt Pnnkt beroede de endog paa en matliematisk Misforstaaelse; de utilfredsstillende Besvarelser kan derfor nawrmest tages den greeske Mathematik hos og efter EUKLID, og dem, som jeg senere og uafhoengig deraf har anvendt for at forkiare det omstridte Sted hos HiPPOKRATES.

Page 291

93 93 ~~~~~~~Vinkelbegrebets Opstaaen.29 291 tli Indtoegt for at forkiare Sagen paa. a n d e n Maade end. den, som. Sporgsmaalene peger hen paa 1. Med Rette 1awgger Dr. RUBIN (S. 102 if.) Vaegt paa. ogsaa for Vinkler's Vedkommende at begynde med Synsoplevelse af Fladefiguren, altsaa her med at opfatte en Vinkel mellem. to Sider af Begreensningen som. en jak" (Fladevinkel) af. Fladefiguren; men denne Opfattelse lader sig noeppe fastholde under den kvautitative Bestemmelse, som, Forfatteren straks indlader sig paa; denne leder ojeblikkelig Opmawrksoinheden hen paa Vinklen som Middel til at bestemme de to Siders indbyrdes Stilling. Her som. i de Tilfwlde, vi tidligere har betragtet, vii den nojere geometriske Provelse bringe til ogsaa at beskoeftige sig med og sanseopleve Omridset; hvad er nemlig Takkens Storrelse betragtet i og for sig? Baade fra. et matheinatisk og et historisk Standpunkt maa jeg dog swerlig tage Afstand fra den Maade, hvorpaa en ret Vinkel (Tak) gores til Genstand for en kvantitativ Bestemmelse, nemlig som. en enkelt blandt de Storrelser, som en kontinuert varierende Vinkel kan antage. Den skal efter RUBIN opfattes som. Overgangsvwrdien mellem spidse og stnmpe Vinkler; men disse Begreber forkiares kun ved Henvisning t11 Tydeligheden af, om. en Vinkel er megret spids eller meget stump. Ved Overgangen ma~a der imidlertid nojagtigere Forkiaringer til af, om, en Vinkel er spids, -ret eller stump, og da h a v e s ikke nogen anden Forkiaring end den, som mere eller mindre direkte gaar ud paa, at den er det, eftersom. den er mindre, lg eller storre end sin Nabovinkel. Holder man sig alene til Overgangsformen, er den rette Vinkel, saaledes som ogsaa Mathematikerne definerer den, en Vinkel, der er ligestor med sin Nabovinkel. Og dette er ikke nogen kvantitativ Sammenligning med andre Vinkler; thi om. Vinklen er ligestor med sin Nabovinkel, kan manl en-ten prove ved at lwgge den ene.paa den anden, som. naar man danner rette Vinkler ved at sammenfolde et Stykke Papir, begroenset af en ret Linie, saaledes at de to Dele af denne Linie kommer til at daekke- hinanden., eller det maa opfattes gennem en Synsoplevelse af, om, Vinklen og dens - tegrnede 1) Formnaalet med denne Kritik af et Sted i Dr. RUBIN'S interessante Bog er naturligvis at bringe den storst mulige Kiarhed i Forhandlingen om Sporgsmaal, hvor Samarbejdet mnellem experimentale Psykologer og Dyrkere af Mathematikens Forhistorie vil vvere af stor Betydning for begge Parter. For mit Vedkomnmende modtager jeg naturligvis ogsaa gerne saadanne Berigtigelser af min Opfattelse, som. der maatte vvere Anledning til fra psykologisk Side, og som angaar Synsmaader, der kan antages at have ligget dem. nermest, der forst gay sig af med mathematiske Sporgsmaal. Ved denne Lejligh-ed skal jeg ogsaa navne et andet Sted i RUBIN's Arbejde (S. 119 if.), sonm man fra mathematisk Side vii finde svagt., Den deni orntalte Uklarhed i Forsogspersoners Besvarelse angaaende det, der kaldes,,Jcevnbredde"l af en Stribe, beror.vistnok udeltikkende paa en Samimenblanding af Begreberne,ens Bredde i en bestemt Retning" og,,ens Bredde vinkelret paa Stribens Retning". I forste Tilfbelde skal den ene Rand vxre dannet ved Parallelforskydning af den anden, i sidste Tilfbelde skal Randene vawe Mathenmatikernes parallele Knrver, hvis til hinanden svarende Punkter liar samme Normal (og altsaa parallele Tangenter). Nu forstaar jeg nok, at det kan have psykologisk Interesse, om der er Tilbojelighed til denne Sammenbianding i en ganske ureflekteret Synsoplevelse; men paa den anden Side maa den, der sporges, faa. at vide, hivilken af to ganske forskellige Ting han sponges omn. Jeg antager dog, at selv den Forsogsperson, der er for uskolet til at opfatte denne Forskel, vii anerkende en Stribe, hvis Rande er parallele Kurver, som,joevnbred".

Page 292

292 X. Rapitel. 94 eller forestiliede - Nabovinkel ligger symmetrisk med Hensyn til deres fales Ben. Den, der allerede kender en ret Vinkel, kan fremdeies ved Sammenligning med denne erkende, om en anden er del. Ved Sainmenligning med en saadan kan ban ligeledes afgore, om en anden Vinkel er spids eller stump, men ikke otmvendt 1) Her er ikke nogen anden Forskei meilem den -mathemalisk skolede og den ikke skolede, end at den forste gor sig Rede for, at han bruger disse Hjwlpemidier, den anden bruger dem, uden at han gor -sig Rede -derfor; thi selve Kendskabet tli rette Vinkler maa idetmnindste i vore Dage, da man ser Husvwgge, Vinduer og Ruder, Mobler med fremtrwdende Rektangler, Boger o. s. v., vwre udbredl tli alie. Maaske vii RuBIN'S,,uskolede"l Forsogspersoner have ladet sig forvirre ved Henvisningen tli spidse og stnumpe Vinkler; men hans anden Forkiaring, at den ene Linie,,skai gaa fige nd. paa den anden"1 2), -vilijalt Faid have pegel paa, hvad der spnrgtes om. Den storre elier mindre Nojagtighed hvormed man afgor, om en Vinkel, set i en Stilling, hvor den nwvnte direkte Prove vanskeliggores, er ret eller ej, vii da nwppe bero paa. geomietrisk Skoling, men paa den storre eller mindre Lejlighed, som man i sin Bestilling har tl at se paa. retle Vinikier i forskeiiige Stillinger; en, der plejer at dele Ler i Mursten, vii gore del bedre end en Geometer af Profession. Del var netop en Afgoreise i en saadan ngunslig Stilling, som RUBIN foriangte ')Dette bemeerker ogsaa ARiSTOTELES 1035 b 6 (citeret efter HEATH I S. 181). 2) Ogsaa hvad dette vil sige, vii vel egentlig forst den forsiaa, der alt har Forestilling om en ret Vinkel. Der kunde dog maaske vvere tzenkt paa, at den forlangte Linie skal vvere,,den korteste Vej". fra et af dens Punkter til den givne; men denne Oplysning giver ikke noget godt synligt lKendet-egn, idet en noerliggende Skra'aiinies Afvigelse fra den vinkelrette buyver stor i Samimenlignin~g med For~skellen mellem. de to Vejes LUengder. Samme Mangel frembyder Bestemmelsen af en ret Linie som,,den korteste Vej mellem, to Punkiter". Bedre end RUBIN's er den indirekte Forkiaring af Betydningen af en ret Vinkel, som Forskole1ererinder faar Anvisning pan at give Born. En Firkant med to vandrette og to lodrette lige store Sider, kaldes et Kvadrat. Den deri indirekte indeholdte Forkiaring paa en.ret Vinkel som Vinklen mellem en vandret og lodret Linie staar vel i nogen Forbindelse ogsaa med Sanseoplevelser, der skyldes Tyngden; men det, der kommer til at karakterisere den rette Vinkel, er, at der paa den vandrette Linie ikke gores Forskel mellem hojre og venstre; og at saaledes den lodrette Linie har samme Stilling mod den vandrette Linies to Retninger, altsaa det, som. man,.naar Vinkelbegrebet bliyer indfort, vil, men ogsaa forst da kan, udtrykke ved at sige, at Linierne danner ligestore Nabovinkler. Saaledes er Begrebet om en ret Vinkel som en Kvalitet opstaaet. At det er knyttet til en bestemt Stilling af Linierne, giver ingen Indskraenkning, naar man samtidig fastholder den ved Sanseoplevelser vundne' Erkendelse om Figurers Flytning uden at forandres. At den intuitive Forestilling om rette Vinkler mellem rette Linier virkelig er opstaaet, og den Dag i Dag naturlig opstaar, paa denne Maade, udtrykkes ved, at man i min Barndom, bestandig sagde,,en Linie er Ilodret pan en anden", hvor Mathematikerne nu for at fremhoeve Uafhavengigheden af Beliggenheden siger,vinhelret"l. Ligeledes siger Franskmvendene endnu,,perpendiculaire a" Tyskerne,,senkrecht auf. At man i Forskolen taler om. Ivadrater i Stedet for om indbyrdes vinkeirette Linier, hidrorer fin, at Forestillingen om Flader gaar forud for Forestillingen om Linier. At der da tales om lKvadrater og ikke om Rektangler, komplicerer i Virkeligheden Sagen, da Opfattelsen af, at Siderne er ligestore, ikke er knyttet til samme Stilling af Figuren som Opfattelsen af, at Vinklerne er rette; men det sker for ikke at indfore for mange Figurer i Barnets Forestilling. - Den oprindelige Optreeden af Rektangler og Kvadrater i den allerveldste Geometri turde knytte sig til den samme naturlige Opstaaen af Forestillinger, som Forskolen kommer imode hos Bornene.

Page 293

95 95 ~~~~~~~Vinkelbegrebets Opstaaen.29 293 af sine Forsogspersoner. Man skulde betragte en foranderlig ligehenet Trekant fra den Side, livor Grundlinien laa, og saa angive det Ojeblik, da Vinklen blev ret. Idet Vinklen fremtraadte som. Vinkel i en ensfarvet Trekant, havde man ingen Lejliglied tli at se dens Nabovinkel. Stillingen gay heller ikke Anledning til at forestille sig en saadan i en med den givnes ganske ensartet Stilling, saaledes som man kunde hvis man saa fra. et Punkt over det ene Ben, med~ens det andet indtog Grundliniens Plads (eller det ene var lodret, del andet vandret). Proven kan altsaa kun have veret. en Prove paa Evnen til at g en ke nd e en ret Vinkel i en ugunstig Stilling, og en saadan Prove af Hukomimelse eller Rutine kan vel have sin Interesse, men liar intet at gore med Sporgsmaalet om, livorledes Forestillingen om rette Vinkler er opstaaet uden nogen kvantitativ Sammenligning med andre Vinkler. Denne Forestilling er sikkert langt veldre 'end Culbasatraerne og liar vaeret knyttet tli Bygningshaandverker og andre Haandvwrker; men vi skal her begynde med dets Optraiden i Culbasiitraerne. Den er, som, alt berort 5. 59 (257), Note, knyttet til Symnmetriforestillingen: en Linie er vinkeiret paa en anden, naar dens synmmetriske Linie i Forhold til denne er dens egen Forlwngelse; men swerlig fremtrooder den gennem, Synsoplevelse af Firkanter, livis 4 jakker" er ganske ens, altsaa Rektangler; ser man end ikke her umiddelbart Vinklernes Nabovinkler, erstattes de af de to nwrmeste Vinkler i Firkanten. Her optrwder den rette'Vinkel ikke som et Kvantum, der samimenlignes med Vinkler af andre Storrelser, men dette Begreb er en Kvalitetsbestemmelse. Naar vi dog her bruger Benoevnelsen,,ret Yinkel", er det kun en for Lwserne forstaaelig Angivelse af, livad der tales om. Optroeden og Sammenligning af andre Vinkler end rette er noget langt yngre, som er fremikomnmet, da man fik Brng derfor. Dette er vistnok forst indtraadt lios de babyloniske Astronomer. Forskellen mellem to Pnnkters Beliggenhed paa Him.melkuglen angives ved den mellemliggende Storcirkelbue eller ved Vinklen mellem. Synslinierne dertil, som. jo kan angives ved Seror, der peger paa Stjernerne. At bestemme Liniers Stilling mod hinanden ved deres Vinkel, der maales ved de Cirkelbuer, for livilke de er Centervinkler, blev sawrlig bekvemt, naar man betragtede Punkter, der ined joevn Hastiglied bevaiger sig paa Storcirkler saaledes som det sker med Stjerner i ~Ekvator under Hinmlens daglige Omlob. Det er til denne Bestemmelse af Vinkler og de Cirkelbuer, livorpaa. de maales, at Inddelingen i 360 Grader, liver paa 60 Minuter, livert paa 60 Sekunder, er indfort. Hertil knyttedes imidlertid ikke stort andre geometriske Betragtninger end de, der vedkommer Proportionaliteten af Centervinkler og de Cirkelbuer, hvorpaa de staar. Forst'da denne Maaling af Cirkelbuerne og Vinklerne forbandt sig med den graieske Geometri, livis Vinkelbestemmelse hidtil nmermest var knyttet til Vinklers Optrzeden i retlinede Figurer, opstod Trigonometrien; men dette skete forst i den alexandrinske Tid, altsaa efter den Omdannelse af Geometrien, livormed vi beskeeftiger os i dette Arbejde. Del interesserer os derfor mere at se, livorledes Vinkelbegrebet uafheengig heraf opstod i den mere af iXgypterne paavirkede grrwske Geometri. Vi liar allerede 5. 64 (262) set, livorledes iXgypterne ogsaa i deres Astronomi kunde undgaa at

Page 294

294 X. Kapitel. 96 bestemmre Liniers, Stilling mod hinanden ved Vinkler maalte paa Cirkelbuer, livortii de var Centervinkler. Det skete ved Hj~lp af Gnomon, altsaa. ved direkite Afmaaling uden nogen Vinkels Mellenmkomst af dein Storrelse, vi flu kalder Vinklens, Kotangens (eller Tangens tii den anden spidse Vinkel i samme relvinklede Trekant). Derved var begyndt en Brug af ligedannede, rorelobig retvinklede Trekanter, og deane Brug af ligedannede retlinede Figurer gik over tii Grwkerne og udvikiedes videre hos dem. At Dannelsen af det almindelige Vinkelbegreb liar knyttet sig til Studiet af ligedannede Figurer, frerngaar af en som, archaisk betegnet Benwevnelse af ligestore Vinkler, neinlig,,igedannede Vinkler" (;rcoviat (wiy0ae, se PROKLOS S. 251,i og flere Steder hos ARISTOTELEs). Dette er fra. forst af en Kvalitetsbestemmelse; men det kan dernest ikke have varet lwenge, inden man ogsaa. sammenlignede ulige store Vinkler, trak dem fra hinan'den, lagde dem sainmen og i Idet hele behandlede dem kvantitativt. Hvor tidlig denne Betragtning af Vinklerne begyndte hos, Grlekerne, lader sig nw~ppe afgore. Af de mest gennieni EUDEMos bevarede Meddelelser om THALES kunde det synes, som om allerede denne forste hellenske Mathematiker skulde have kendt og betjent sig af VinkelbegrebeL. Af disse Meddelelser skal. vi nwvne dem, der till1egger THALEs IKendskab til folgende rent geometriske Sawtninger: 1. En Cirkel halveres af en Diameter (PROKLOS 5. 157,12). 2. Vinklerne ved Grundlinien i en ligebenet Trekant er jigedannede" (PRoliLos 5. 2 50,2 4). 3. Topvinkler er ligestore (PROKLOS S. 299,4). 4. THALES indskrev forst en retvinklet Trekant i en Halveirkel. (DIOGENES LAERTIUS I, 24). 5. To Trekanter er kongruente, naar de har en Side og to hosliggendle Vinkler ligestore (PROKLOS 5. 352,15). Desuden tillkegges der hamn nogle praktiske Bestemmelser som af en Pyramides Hojde ved dens Skyggelwngde og af et Skibs, Afstand fra Kysten. At EUDEMOS hai' tillagt THALEs Kendskab til SwAtning 5. konmmer, som han selv siger, deraf, at THALES maatte binge den ved den sidstnwvnte Bestenimelse. Der er altsaa ikke Tale om, at THALES skulde have opstillet eller bevist et Theorem med en saadan Ordlyd; nej, han har kun lagt Evne for Dagen tii praktisk at binge den ret selvfolgelige Ting, som. dette Theorem udtrykker. At EuDEMOS ti11vegger THALEs Kendskab til de andre anforte Swtninger kan, som. PAUL TANNERY bemwrker 1), hero paa. lignende indirekte Slutninger. Den direkte Omlale af Vinkler kan saaledes overalt skrive sig fra. den Maade, hvorpaa EUDEMOS udtrykker de Sandheder, som, THALES praktis-k benytter. Kun den som. archa-isk betegnede Udtryksmaade i 2. kunde tyde paa. et Citat, men den kan ogsaa. blot v~re et Forsog fra EUDEMos eller PROKLOS paa at udtrykke sig, som han efter den archaiske Sprogbrug antog, at THALES vilde det. De i L-3. udtrykte Sandheder fremgaar i hvert Tilfwlde saa umiddelbart af 1) G~omktrie grecque S. 89-93.

Page 295

97 97 ~~~~~~~~Vinkelbegrebets Opstaaen.29 295 iojnefaldende Symmetriforhold, at THALES n~eppe vilde have betaenkit sig paa at anvende dern u'den at udtale dem, hvis han havde Brug for dem. Endnu mawrkeligere vilde det vwre, omi man paa det Tidspunkt kunde falde paa udtrykkelig at udtale noget saa selvfolgeligt, som at en Diameter deler en Halvcirkel i to ligestore Dele; del gor man forst, naar man layer teoretisk Geometri. Den eneste af Swtningerne, som- fra Indlioldets Side frembyder virkelig Interesse, er 4. omn Indskrivningen af en retvinklet Trekant i en Halvcirkel, som viser Kendskab til, at Hypotenusen er Diameter i en retvinklet Trekants omskrevne Cirkel. Meddelelsen oni THALEs' Kendskah til. denne Sawtning er ganske vist ikke kommen til Os ad den samme paalidelige Vej som de andre, nemlig ved PROKLOS fra EUDEMos, men gennem PAMPHILA, en kvindelig Historiker fra Nero's Tid. Som P. TANNERY bemoorker, hindrer denne Omstoendighed dog ikke i at antage, at ogsaa denne Meddelelse skriver sig fra EUDEMOS; thi da den ikke vedrorer nogen Soetning i EuKLID's I. Bog, vilde PROKLOS' ikke som for de andre Meddelelsers Vedkommende have haft Anledning til at medtage den i sin Kommentar tl denne Bog. At THALEs kendte denne Sadtning, vii dog s~ynes mindre paafaldende, naar man erindrer, at Beskaeftigelsen med Rekiangler paa det intuitive Standpunkt vist i Reglen, som det er Tilfadldet i Culbasiitraerne, er gaaet forud for Beskaeftigelsen med retvinklede Trekanter. SwAningen er da ganske den samme som den, at en Cirkel kan omskrives om et Rektangel, eller at Diagonalerne' i et Rektanget er ligestore og halverer hinanden, noget som. bliyer ret iojnefaldende ved de Kongruens- og Symnmetribetragtninger, som forbinder sig med Synsoplevelser (S. 53 (251)). Del tor da antages, at paa EUDEMos' Tid en Operation, hvor der netop gjordes Brug af den anforte Svetning, henfortes tl THALEs. Denne Operation maa under en eller anden Form have gaaet ud paa at konstruere rette Vinkler, maaske paa at konstruere et Rekiangel, livortil end ikke vilde behoves en Tegnepasser, da. det vilde vawre nok at afswtte lige store Stykker paa de fire Ben i de Vinkler, hvori to rette Linier skiverer hinanden. Ved Hjvelp heraf kan man have lavet de Gnomon'er, som dernwest tjente til. at afswtte andre Vinkler (S. 64 (262)). Selv orn man ogsaa umiddelbart liar benyttet SwAningen til i et Punkt af en ret Linie at oprejse en Linie yinkeiret paa denne, liar man dertil endnu ikke behovet- S~karing mellem tegnede Cirkier, i livis Brug OINOPIDEs' Fremskridt maa have bestaaet, hvis EUDEMos' Beretning heroin skal have noget paa sig. Naar nu EUDEMOS i den Mathematikens Historie, som han skrev efter AnISTOTELES' Tilskyndelse, liar skullet angive, hvorvidt THALES var kommen i Geometrien, liar del vweret naturligt for ham at anvende den samme Analyse, som hans saintidige, benyttede tl at forberede geometriske,,Elementer", paa den geometriske Viden, soin han vidste, at THALEs havde lagt for Dagen, for da ogsaa at finde den Viden, som han da nodvendigvis ogsaa maatte have besiddet for at komme saa vidt; eller m'aaske liar han blot lagt Mwrke til, paa livilke Soetninger Ii de da allerede foreliggende Elementer af THEUDIOs den er bygget. Efter den saglige Saminenhaong niaatte han da netop konmme til at ti~llgge THALEs Kendskab til saadanne D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr'., naturvidensk. og matherm. Afd., 8. IRekke. I. 15. 39

Page 296

296 X. Kapitel. 98 Swtninger~ som dem, vi liar kaldt 1L-3. For 'nojere at prove denne Antagrelse er del vwrd at undersoge, livad vi ved om den Form, hvori disse Swtninger optraadte paa. EUDEMos' Tid. Faar v~i end ikke derved fuld Sikkerhed for vor Forkiaring af EUDEMOS' Meddelelser om THALES, vii vi paa den anden Side erfare noget om Geometrien umniddelbart for EUKLID, navulig Om den Roile, som Vinkler mellem rette og krum'me Linier elier meilem krumme Linier indbyrdes da spillede. Hvad flu forsi den Satning hos THALEs angaar, som vi liar kaldt 1., saa findes (len hos EUKLID, dog ikke 'som bevist Saetning, men d-erimod som Led i I. Bogs Definition 17. paa en Diameter; der tiifojes nemlig, at en saadan deler Cirkien i to ligestore Dele. Den tages altsaa med iblandt Geomnetriens Forudsawtninger. Dette synes 4 flere Henseender gaadefuidt.- For det forste' syn'es EuKLID likke noget Sted at an-vende den. Den er da bleven staaende som en Levning fra et aeldre Arbejde, hvor den v~irkelig er bleven anvendt '), og hvor den iovrigt kan vawre optraadt som Forudsatning eller som bevist SwAtning. Det sidste er dog rimeligst, da EUDEMOS omtaler den som en Saetning, og da man paa THEUDLOS' Tid endun ikke gjorde sig nogen Skrupel af at bevise en saadan Soetning ved" at lawgge den ene Hicre over paa den anden; men paa dette Punlkt var EUKLID S~rlig forsigtig, livad man iII11. Bog 'ser af, at han finder -det rigtigt ogsaa at opstiile Ligestorheden af -to Cirkler med samme Radius som Definition 1. I begge Tielfade havde det dog vawret ham muiligt at omibytte Flytningen med et 'postulatbestemit,Problem", ikke at tale Om, at Swtningen om Ligestorlieden af Cirkier med samme Radius vilde fremgaa af den samme Grwnseovergang, som i XlI, 1 benyttes til at vise, at to vilkaariige Cirkier er proportionale med Radiernes Kva'drater. Den THALES tiliagte Swtning vil'have: indbefattet Muligheden af' at bringe to Halvcirkler af samme Cirkel saint dertii paa ens Maade kn'yttede Figur er tii Dwekning baade ved Forskydning og Omlkegning. For den anden af de THALES tillagte Swetninger, neinlig om Ligestorheden af Vinkierne %ved Grundlinien i en ligebenet Trekant, liar ABISTOTELES (41b 6 ff.) uedjdelt et Bevis, som rimeiigvis liar vawret at finde i THEUD'ios' Elemienter 2). Del bygges paa folgend-e to' Smetninger om Vinkier ineilem rette Linier og Cirkeibuer: samine Cirkel er Halvcirkiers Vinkier, del er Vinklerne miellem -en Cirkelbue og en Diameter, ligestore, og: et Cirkeiafsnits to Vinkler, del er de to Vinkier, som en Cirkeibue danner med sin Korde, er indbyrdes ligestore. Begge Sretnihger er rimeligvis beviste ved i Overensstemnielse med THALES' Swtning 1. henhlodsvis at'liegge de to Halveirkier elier demn, livori Cirklen deies af Diameteren vinkeiret paa Korden, over paa hinanden. Disse Seetninger benyttes (Fig. 11)_ til at bevise, at Vinkierne ved Grundlinien I en -ligebenet Trekant OAR, livor OA =-OR, er ligestore, idet de liver for sig i en Cirkel med; Centrum 0 er Dilferensen meliem en Di~ameters Vinkei med Periferien og en af Afsnittet AR's Vinkier. ') Dens Opstilling minder orn, hvad vi (S. 85 (283)) hiar sagt orn Postulat 4., naVnlig lhvis dette oprindelig liar vwret besternt til at hoevde den Brug af Gonomon, sorn EUKLID jo inetop hiar gjort overfiodig. 2) Det forkiares nojere -af HEIBERG i Vid. Selsk. Oversigt 1888 S. I f.

Page 297

99 Vinkelbegrebets Opstaaen 297 At, idet vi fuldstwndiggor Figuren som paa Fig. 11, Vinklerne ved Grundlinieni iTrekant OAR er ligestore med Vinklerne ved Grun'dlinien ~i Trekant- OCD, kan' man dernwest sl utte, idet man flu ogsaa benytter den tredie Sw-tning, som EUDEMOS till1~gger THALES, nemlig at Topvinklerne ved- 0 i disse to'Trekanter e~r figrestoreSaa maa han dog tillige tilkeggre THALES. Kendskab tl endnu en.Swetning, nemlig e nte n, at Suinmen af Vinklerne i. hver af disse to Trekanter er fig to rette, el Ie r at de to Trekanter, naar. man ved, at de nxvnite Topvinkler saint deres Ben er tiggestore, kan bringes fl Dwkning. Kendskab tii Swtningen om Vinkelsum men tillwgger EUDEMos dog forst 'Pythagoreerne, og han kunde ikke have overset. det., hvis THALEs efter hans -Restitution af dennes Bevis maatte have benyttet denne Swtning. Derimod kan han have betragtet Muligheden af at bringe Trekante-rne ti1 Dwkning som en simpel Folge af, at de vil folge med to Halvcirkler, som kan~ bringes til Dxekning. Paa lignende Maade bliver de 4 Vinkler ved Grundlinierne~ i Trekanterne DOA og BOC ligestore, og deraf vil folge, at alle fire Vinkler i Firkanten er ligestore, At de da maa v~ere reLte, er ikke en Anlvendelse af Swtningen om \Tinkelsummen i en Trekant eller en Firkent, men tvwert- D c imod, som vi har set, et oprindeligt Kendetegn~ aa rette Vinkler. Trods sin egen mathernatiske Skoling kan ogsaa EUDE~Mos have faaet Blik herfor ved sine Studier af den veldre grweske Mathematik, livilke Kilder, han nu. har haft0 til sin Raadighed. Paa denne Maade ser vi, at, naar EUDEMOS vilde tilke~gge THALEs Kendskab til de Swetninger, sorn han selv v~ed,B en Analyse fandt at ligge til Grund for den Konstruktion af.Fg 1 Rektangler og rette Vinkler, sonm tillagdes ham, og tage saadanne, som fandtes i de da foreliggende Elementerva inte Vagntriee en det ar de Swetninger, som vi har opstilliet som 1., 2. og 3. Naar derved knnde undvweres en Henvisning til, at Summen af Vinklerne i en Trekant er Lto rette, 1)eroede del dog paa, at en Anvendelse heraf knn blev undgaaet ved netop at best~emme rette V inkler som saadanne, der forekommer som Vinkler i en Firkant med lutter ligestore Vinkler. Skawererman de'rimod den ene Halvcirkel og med den den ene af de to Treka'nter, hvoraf Firkanten bestaar, bort, og vi a a eie Swtningen o den anden Trekant, maa 'man paa denne, anvende Swetningen om Vinkelsummen i en Trekant. Derved kommer man omtrent til det Bevis, sorn findes i EUKLID III, 31. 1). ')Om det direkte Bevis for TH'ALES' SRetning, -som ma'as'ke har vwret at finde i THEUDIOS' Elementer, faar man ikke li~strwekkelige Oplysninger i* den Begrundelse, som ARISTOTELES otntaler S. 94 a28 og 1051 a 26 — Det vilde, saavidt~ man kan se, falde samnmen med EUKLID's, naar dette udelukke-nde anvendes paa et swrlig si mpelt Tilfxelde, netimlig en ligebenet retvinklet Trekant. At HEIBERG dog deri (Mathemnatisches zn ARISTOTELES S. 21) kan tro at se THEUDios' Begrundelse af den -almind elige Swtning om Per-iferivinkler i enl Halvcirkel, maa bero paa, en Forudsnetning om, at THEUDIOS ligesom, EUKLID forud skulde have -bevist, at Periferivinkler.paa samme-Bue er 1igestore, og at han' derfor kan noje med at betragte en af Perliferivinklerne paa samme Bue. Den nevnite Forudsvetning er fimidlertid hos EUKLID netop ikkc forud 1)evist om Periferivinkler paa en Halvcirkel. S'vtning 111, 20., at en Periferi39*

Page 298

298 X. Kapitel. 100 Her er jeg gaaet ud fra, at THALES virkelig har kendt den saakaldte,,Thales' Soetning", som vi liar betegnet som Nr. 4. Har han derimod, SOM M. C. P. SCHMIDT antager'), ikke gjort det, eller liar EUDEmos ikke kendt andre Konstruktioner af ham, der, i EUDEMOS' Ojne vidner om Kendskab tl 1.-3., som man paa dennes egen Tid udtrykkelig opstillede som Svetninger, maa allerede THALEs have fundet det hensigtsmaessigt udtrykkelig at udtale Sandlieder, om livis Rigtighed ingen, der liar haft med Cirkier, skawrende Linier eller. ligebenede Trekanter at gore (f. Ex. Bygmesteren af den Gavi, som liar gjort THALES opmoerksom paa disse) vii have nzeret nogen Tvivi. I saa. Faid vilde TIIALEs have gjort mere, end vi liar turdet tillwgge ham, nemlig det forste Skridt til en theoretisk Behandling af Geometrien; han vilde da vwre den, som for at give saadanne Sandlieder Udtryk liar indfort Vinkeibegrebet, dog begramnset til ligedannede (ligestore) Vinkler, og Svetningerne 2. og 3. vilde da v.Tre bevarede Exempler paa. hans Anvendelse af dette Begreb. Det saaiedes begraensede Vinkelbegreb liar i intet Tilfawlde ladet vente lwnge paa. sig, og den dertil knyttede Sammenligning af ligestore Vinkier rnaatte snart udvides til en kvantitativ Sammenligning af uligestore. Man maatte se, at naar c ligestore Vinkler ligger som. Sidevinkler, kan de adderes, og i 3 saasn'art man tillige liar begyndt i Stedet for Rektangler at betragte de retvinkiede Trek-anter, livori et saadant deles ved en Diagonal, saa vii man ikke have vawret i Tvivl om, at (3 Summen af de spidse Vinkler i en saadan Trekant er en ret B Vinkel, eller at Summen af alle denne Trekants Vinkler er to Fig.~ 12. rette. Herfra. er Springet ikke langt til som paa Fig. 12 at dele en viikaarlig Trekant i to retvinkiede ved Hojden paa en af Siderne og derved finde, at ogsaa Summen af Vinklerne i enliver Trekant er lig to rette. Denne Begrundelse findes, SOM M. CANTOR liar gjort opmawrksom paa '), i en Bog, der vel vinkel er halv saa stor sorn Centervinklen paa samme Bue, kan nemlig efter den foreliggende Begrundelse umiddeihart kun finde Anvendelse paa spidse Periferivinkler; thi for rette eller stumpe Vinkler vilde den tilsvarende Centervinkel ikke falde ind under det euklidiske Vinkelbegreb. At EuKLID kun tawnker pan Vinkler, som er mindre end to rette, fremgaar nemlig allerede af deres lnddeling i rette, stumpe og spidse i I. Bogs Definitioner 10.-12. Saetning III, 21., at Vinkler i samme Afsnit er lige store, er altsaa endnu kun bevist for spidse Vinkler, altsaa naar det omskrevne Afsnit er storre end en Halvcirkel; S&etning III, 22. udvider den dog straks til ogsaa at gwelde for Vinkler i et Afsnit, som er mindre end en Halvcirkel, idet det bevises, at Summen af de modstaaende Vinkler i en Firkant indskreven i en Cirkel er to ret te. I Beviset anvendes vel III, 21., men saaledes at man kan lade det vvere spidse Vinkler, hvorpaa den anvendes. Et fuldt gennemfort formelt Bevis for, at Periferivinklerne i en Halvcirkel er ligestore, foreligger altsaa endnu ikke, og derfor kan EUKLID i det i III, 31. givne Bevis ikke indskrnvenke sig til ved Betragtning af det hos ARISTOTELES omtalte specielle 'Tilfeelde at bestemme en frelles Vqerdi for disse Vinkler, men han beviser direkte, at enhver saadan Vinkel er ret. I Realiteten naar han saaledes alt trods den mindre heldige Ordning af disse &zetninger. ') Se S. 29-41 i det (S. 64 (262)) anforte Skrift. Man vii iovrigt bemeerke, at SCHMIDT i Vurderingen af de forskellige Fremskridt mere ser paa deres Bidrag til EUKLID'S faerdige synthetiske System end -tager saadanne psykologiske Hensyn, som jeg i rnervaerende Skrift liar ment at maatte gore gaeldende. 2) Vorlesungen tiber Geschichte der Mathematik I, (3. Auflage)' S. 144.

Page 299

101 101 ~~~~~~~Vinkelbegrebets Opstaaen.29 299 skyldes en anonym Landmnaaler fra X. Aarhundrede efter Clir., men som er udskreven efter virkelig gamle Monstre. Det saaledes fundne Bevis afviger iovrigt ikke saa meget, som det i forste 0jeblik kunde synes, fra det, som EUDEMOS tilkegger Pythagoreerne (PRIOKLOS S. 3 79). Dette kan tvawtimod vawre fremgaaet af hint ved en meget naturlig Udvikling. Ligesom Begrebet rette Vinkler oprindelig liar voeret knyttet tl Rektangler, saaledes er det nemlig ogsaa gaaet med Paralleler, og THALES' udforlig omtalte Konstruktion liar ligesaavel vaeret en Konstruktion af Paralleler som af rette Vinkler. Betragtning af Diagonalen i et Rekiangel viser da Ligestorheden af de indvendige Vekselvinkler, soni en ret Linie danner med to Paralleler, som. den overskoerer. Fig. 12, der anskuelig fremstiller den Begrundelse, som vi antager for den zeldste, vii da, naar vi borttager de Ire lodrette Linier, umiddelbart gengive det af EUDEMos anflfrte pythagoreiske Bevis. I dette drages gennem C en Linie parallel med AR. Da er ifolge den anforte Egenskab ved Paralleler de to med a betegnede Vinkler begge fig Trekantsvinklen A, de med ~9 betegnede lig Trekantsvinklen B, og det viser sig, at A + C B = to rette. Og dette er netop det Bevis, som EUDEMOS tillwgger Pythagoreerne. Den Maade, hvorpaa vi her kommer tii Swtningen om Vinkelsummen, afviger derimod fra en ved EUTOKIOS overleveret 1) Beretning af GEMINOs, efter livilken Swtningen forst skulde vwre vist for ligesidede; dernwst for ligebenede og dernwst for uligebenede Trekanter. Denne tilsyneladende historiske Meddelelse turde imidlertid, som HEIBERG bem~erker 2), bero paa en Misforstaaelse af en rent logisk Betragtning hos ARISTOTELES. Denne bruger nemlig oftere og navnlig 74a 25 det nwvnte Exempel fra Trekanter tii at oplyse, at det er at foretrzekke at bevise en almindelig Swotning ved Argumenter, som paa en Gang gwelder alle Tilfwlde, for at bevise de enkehle Tilfbelde bvert for sig, selv om nian ogsaa saaled~es kan faa bevist, at den virkelig gw~lder i alle Tilfbelde; men han siger ikke noget om, at del skulde v,~re gaaet saaledes til. ved den historiske Opdagelse af SveLningen. Havde GEMINos haft sin Oplysning fra en virkelig historisk Kilde som EUDEMOS, vilde PROKLOS vel heller ikke have undladt at mnedtage den i sin Kommentar 3). I det mindste fra OINOPIDEs af kunde man konstrnktiv~t flytte Vinkler, derved addere og subtrahere dein og multiplicere dem med hele Tal. Dermed var ogsaa den Opgave at dividere dem med et helt Tal stillet, og en dertil tjenende Kurve, 1) APOLLONIOS ed. HEIBERG II, S. 170. 2) Mathematisches zu ARISTOTELES S. 20. 3)Naar GEMINOS ikke ligefrem oser af wldre historiske Kilder som, EUDEmos, maa man netop paa Grund af hans storre Selvsteendighed i Fremnheevelsen nf det, der netop ligger ham paa Sinde, bruge hans historiske Oplysninger med en vis Varsomhed. Saaledes har det v~eret en uhieldig Genvej til at fande de Fremskridt, som. i Keglesnitslkeren scerlig skulde skyldes APOLLONios, at se hen til GEMINOS' korte Omtale af APOLLONios' nye Udgangspunkter i Stedet for at soge det ved det ganske vist vidtloftigere Studium af ARCHIMEDES' Skrifter og APOLLONios' Keglesnitshxere selv. Gor man dette sidste, vii man derved ogsaa. faa. fat pan. den rette Betydning og Begroensning af GEMINos' Bemxerkninger om det sidstwevnte Voerk. (Se min Keglesnitslaeren i Oldtiden, 2. Afsnit).

Page 300

300 X. Kapitel. 102 som i alL Fald kunde give en theoretisk Oplosning, nemlig -HIPPIAs' Kywadratrix, blev [idlig udtoenkt. En praktisk Halvering ved Lineal og Passer turde dog vere weldre; den egnede sig ogsaa, men.uden' at -disse Redskaber noevnes, til Optagelse pa it Sted (se forrige Kapitel) i EUKLID's Elementer. Da det ikke lykkedes at tredele Vinklen -ved Lineal.og Passer, bar man udtoenkt forskellige Maader at lose denne Opgave paa ved en Indskydning (us~aeg), og da Brugen af dette Hjvelpetnid — del ikke hjemledes ved EUKLID'S Postulater, maalte for denne Opgave Brugen af Keglesnit blive obligalorisk fra. den Tid af, da man bavde godkendt disses Anvendelse tli Konstruktion af to Mellemproportionaler. De her ointalte Konstrnklioner vedrorer kun Vinkler mellem rette Linier. Om saadanne Vinkler bar vi iovrigt i Kap. VIII set, at den kvantitative Betydning Af del i Def. 9. forelobig indforte Vinkelbegreb, somn af a'ndre geometriske Storrelsesbestemmelser, gives i,,Aimindelige Begrbe 7. og.8., men Iat man for at benytte denne uden rnekanisk Flytning, maatte stotte sig tl en konslrnklivt anvendelig Bestemmelse af lige store Vinkler, ne'mlig som ensliggende Vinkler i Trekanter med ligestore Sider. Retlinede Vinkler e~r dern~est delagtige i det Kendetegn, som EUKLID i V. Def. 4. opstiller paa. Slorrelser, paa hvilke den i denne Bog indehoidle almindefige Proportionsleere, so'rn i Virkeligheden er en almindelig Storrelseskere, skal kunne anvendes; thi ogsaa oin dem gwclder del, at en Vinkel,ved at mangfoldiggores kan overga~a" en anden Vinkel. Derfor kan EUKLID ogsaa i VI, 33. fore et almindeligt Bevis for, at reltlinede Vinkler er proportionale med de Buer, til livilke de i sammne eller ligeslore Cirkler er Centervinkler eller Fig. 13. Periferivinkler. ForudsveLningen for Proportionalitet goelder derimod ik ke, naar den ene Vinkel er krumlinet eller blandetlinet, den anden rellinel. Af Swtning III, 16., livori d~et udtales, at i et Punkt. af en Cirkelperiferi ingen ret Linie kan drages i Mellemrummet mellem den Linie, soin staar vinkeiret paa Diameteren tl delte Punkt (altsaa. Tangenlen), og Periferien, fremgaar, at Tangentens Vinkel med Periferien er mindre end enliver retlinel spids Vinkel. Om den gwlder altsaa ikke, at den,ved at mangfoldiggores kan overgaa." en given retfinet Vinkel. En saadan,hornformet" Vinkel bar. altsaa inlet Forbold til en, retlinel Vinkel. Dens Behandling gaar altsaa. ikke ind under EUKLLD's almindelige Slorrelseskere i V. Bog; del samnme vil gwlde om andre Vinkler mellem hinanden skawrende rette Linier og Cirke-lbuer eller sa adanne indbyrdes; thi disse er Summer eller Differenser, af retlinede og hornformede Vinkler. Da nu disse sidste ifolge III, 16. er forsvindende i Sammenligning med de forste, vilde del have vawret rigligst af EUKLID, da. han dlog belier ikke ansliller nogen Sammenligning, mellem hornformede Vinkler indbyrdes, i Stedet for om Vinklerne mellem krummne Linier ndelnkkende at tale om Vinklerne miellem disse Liniers Tangenter. Naar ban dog ikke indskrzenker sig dertul, men taler om eLi Afsnils eller en, Halvcirkels Vinkler uden f. Ex. at sige, at disse sidste er rette, giver dette endog,

Page 301

103 103 ~~~~~~~Vinkelbegrebets Opstaaen.30 301 Anledning til en formel Selvmodsigelse. At sige i III. Def. 11., at ligedannede Cirkelafsnit er saadanne, hvis, Vinkler (o: Buens med Kord en, Ill, Def. 7.) er ligestore, staar saaledes (se Fig. 13) i formel Strid mned I Alm. Begr. 8., som siger, at en Del er mnindre end det hele. EUKLID har imidlertid paa. dette som andre Punkter bevarel Begreber, som han dog ikke gor nogen virkelig Brug Af EUKLID'S III, 16. indeholder i Virkeligheden Forkiaringen af denne Seivmodsigeise og forbyder ham at anvende den aimindeligre Storrelsesiawe i V. Bog pa a krumlinede Vinkler; men den berorte Seivmodsigelse peger hen paa. en Ukiarhed, som oprindelig maa. have vwret tilstede i den intuitive Opfattelse ar krumlinede Vinkler, afr hvilke man, som vi har set, for ham har gjort mere omfattende Brng. Psykologisk beror den tildeis paa en Sammenblandingy af de to til Grund liggende Synsoplevelser at en Vinkel som Konturvinkel eller som Fladevinkel. Den forste gives der Udtryk i EUKLID I, Def. 8., naar det siges, at Vinklen er Heidningen (z,2ioe1') at det ene rette eller krumme Ben mod det andet, den sidste, naar,,Alm. Begreber" 7 —8. lvegges til Grnnd for Saminenligningen mieilem Vinkiers S~torrelser, og naar disse subtraheres som i det efter ARISTOTELEs anforte Bevis, S. 98 (296). Run for retlinede Vinkler vil de to Betragtninger give samme Resultat. Det er ogsaa den sidste Opfattelse, som RUBIN liegger til Grund for sine Forsog paa. experimentalt at bestemme den retlinede Vinkel, somi vii synsopleves som ligestor med en forelag[L krumlinet Vinkel. Man vii vvere udsat for, at Forsogspersonerne trods al Instruktion vii gore sig skyldige i den samme Sammenblanding af Kontnrvinkel og Fladeviiikel, som vi talte om, og Sporgsmaalet er i det hele saa kompliceret, aL Besvareiserne paa Grnnd af forskellig Opfattelse at Lnstruktionerne og forskellig Sansning rimeligvis vii blive ret individuelle. At den sidste Forskellighed vii gore sig gaw1dende, ses ved at reducere Sporgsmaalet til det rent fysiologiske om Sansning med et enkelt Oje, der fra given Afstand ser i en given Retning. Vi vii antage, at 0jet beflinder sig i given Afstand fra Vinklens Plan, lodret over Vinkelspidsen, og at det ser lige ned mod denne, og at a er Radius i den Cirkel, som. Ojet da' overhovedet kan sanse i Planen 1). 1 denne brnger vi pohere Koordinater med Polen i Vinkelspidsen og antager, at Vinkelbenene er bestemte ved Ligningerne tY =: co (r) og d. = — po (r). Ved f (r) vii vi betegne den Tydelighed, hyvormed man vilde se et Element at Storrelsen 1., hvis dette kunde koncentreres i Afstandent r. Da vii vi kunne bestemme Vinkien v opfattet som Fiadevinkel ved Integralet Dette vii fore tii den sawdvanlige Bestemnmelse at Forhoidet meilem retlinede 1)Vi gor den rent fysiologiske Forudsawtning, at baade denne Flade er en Cirkel, og at de lige tydelig sansede Punkter af denne ligger paa koncentriske Cirkler; om deane Forudsoctning er rigtig., maa kunne under'soges ved at prove de deraf afledede 1Resultater. Er den det ikke, kompliceres Forholdene yderligere.

Page 302

302 XI. Kapitel. 104 Vinkler, idet da. Vi(r) - ~o (r) bliver uafhwngig af r, og a kun indgaar i den for alle Vinklerne fadles Fakior 0f (r) rdr. Er derimod en af de Vinkler, hvis Forhold bestemmes, krumlinet, vii Radius a for Synsfeltet indgaa i dette Forhold. a svarer imidlertid tl -en bestemt Afstand for OjepUnktet. Skulde en friere Synsoplevelse give en bestemi Vawrdi for v's Forhold til en Vinkelenhed, maatte der vvere en bestemt Afstand, som betragtedes som den normale. Denne vilde vwre forskellig for noer- og fjernsynede Ojne. Efter 0jets Beskaffenhed vilde den Iii en given Afstand svarende Vverdi af a og Funktionen f(r) rimeligvis ogsaa. blive forskellige. Der er altsaa ingen Udsigt Iii, at man gennemn Synsoplevelse vii komme til nogen fadlles Vurdering af krumlinede Fladevinklers Storrelse. JDette hindrer ikke, at man kan komnme overens om en tl det opstillede Integral knyttet mathernatisk Bestemmelse, hvor Forholdet mellem de Grwenseverdier, som Integralerne antager for lim, a = 0, opfattes som Forlioldet mellem Vinklerne. Vinkler mellem Kurver, der berorer hinanden, vii da. afhwenge af Kurvernes Krumning. Denne Indskrwenkningti lim.rn a== 0, vii irnidlertid voere en Opgiveise af Betragtningen af en endelig Udstrwkning af Fladevinklen eller Takken og udelukkende knyttes til Konturen, og (len hele Be-tragtning har, foruden den Onibytning af Vinkler mellem hinanden skwerei-nde Kurver med Vinkler mellern deres Tangenter, sorn EU KLID burde have fastholdt, ingen Tilknytning tii opbevarede antike Undersogelser. Kap. XI. Bevisers Almindeliggorelse; infinitesimale Opgaver. En Hovedhetingelse for, at den omformede Geometri virkelig skulde blive rationel, var selvfolgelig Brug af fuldi ud almindelige Beviser, som ikke paa. noget Punkt nojedes med ufuldstoendige Induktioner, heller ikke saadanne, hvor der sluttes tli den fulde Almindelighed fra uendelig mnange uendelig toet paa. hinanden folgende Tilfweide. En saadan Slutning vii gores, naar en Soetning bevises under deii Forudsawtning, at de deni indgaaende Storrelser er kommensurable, og den dernwst betragtes som gwldende uden denne Indskrawnkning. Ligeledes, naar man i de infinitesimal e Undersogelser uden nogen strengt kontrolleret Gramseovergang anvender paa Gramsetilfadde, hvad der kun er bevist om Storrelser, der nermer sig til en vis Grarnse. Selve Opdagelsen af irrationale Storrelser ma~atte dog tidlig henlede Opirnawk somheden paa. Utilstrawkkeligheden af saadanne Beviser, og denne Utilstrwekkelighed stiliedes til Skue ved ZENON'S Paradoxer. Der krwvedes dog en 1lengere Udvikling, under hviiken man gik frem saavei i Paavisningen af forskellige

Page 303

105 105 B~~~~levisers Almindeliggoirelse,; i nfinitesi malle O'pgaver.30 303 Storrelsers Irrationalitet som i den almindelige, Behandling baade af irrationale Storrelser og af infinitesimale Bestemnmelser, der bar god Frugt, selv om den ikke var hell exakt, for de paapegede Mangler kunde blive fuldt forstaaede og afhjulpne. Med denne Udvikling og dens Afslutning ved den Behandling, som findes i EUKLID'S Elernenter liar- jeg beskoeftiget mig i de mindre Arbejder, som findes anfort 5. 12 (210) Note 1, og jeg liar paavist, livorledes de her omlalte Hensyn liar givet EUKLID Anledning tli hans Fordeling af sit Stof i de 13 Boger. Jegs har ogsaa anfort, at del er EUDOXOS, livem Grundlaget for 'denne Beliandling skyldes. Han levede jo imidlertid netop ved Begyndelsen af den Ti d fra PLATON tli EUKLI, livis Reformer vi her suerlig undersoger. Det vil derfor ogsaa nok vawre voerd at faa Oplysninger om, livorvidt EUnoxos selv i del v~esentlige, har giveL Behandlingen af de paagaeldende Sporgsrnaal den Skikkelse, sorn vi finder hos EUKLID, eller Om en videre Udvikling liar fundet Sled i Mellemliden eller fra den sidstes Side, ligeledes om muligVis noget Skridt paa denne Vej maatte voere gjort for EUDoxos. Meget lader sig ikke sige heroin, men et Bidrag faas dog ved de mathemnatiske Sleder hos ARISTOTELES, somHEIBERG liar samnlet i,,Mathematisches znt ARISTorEL ES", soerlig dem, somi findes 5. 11 og, 5. 22-23. For nu at gore den rette Brug af disse vii del vwre godt forst at anfore de Steder lios EUKLID, hvorpaa han bygger Lweren orn Forhold meliem inkommensurable Storrelser og de in-finitesimale Bestemmelser, og at nwevne de Anvendelser, som EUKLID gor deraf. V, Def. 4. udlaler, at Storreiser siges,,at have et Forhold, naar de ved at mangfoldiggores kan overgaa hinanden". - For at tale om Forliold mellem to forelagle Storrelser eller maale dem mied hinanden, maa man allsaa vide. eller postulere om dern, at de tilfredsstiller denne Belingelse. Dertil kir.ves ikke alene, at de er af samme Art, men ogssaa, som vi liar set ved hornformede Vinkler, at den ene ikke er at betragle somn forsvindende i Forhold tli den anden. Af dette Postulat udledes Samtning X, 1:,,Naar der er afsat to ulige store Slorrelser, og der fra den storste trwkkes en, der er storre end Halvdelen, og fra Reslen en, der er slorre end dens Halvdel, og man bliyer ved med del, vii der blive en elier anden Storrelse tl Rest, som -vil voere mindre end den afsatte rnindste Slorrelse". -- At Storrelserne er,afsatte" (som Liniestykker), viser, at Talen er orn Slorrelser, der efter V, Def. 4.,,lar et Forhold". Vi skal straks vende tilbage tli den Brug, som i selve X. Bog gores af x, 1. I X1I. Bog lwgger EUKLID den tl Grund for de in'finitesimale Grsensebestemimelser af Forholdet mellem to Cirkelarealer (2.) eller Kuglevoinminer (18.), og i 5. bruges den til at forberede Bestemmelsen af Forlioldet I mellem en Pyramide eller Kegle og Prismet eller Cylinderen paa samme Grundilade. Den bliyer swrl ig skikkel til saadanne Grwenseovergange, dla den kan bruges til at gore en passende valgt foranderlig Siorreise mindre end enliver opgiven Storrelse. Naar saaledes Forlioldel mellem to variable Storrelser aitid liar Vwrdien B, og man kan bevise, at disse Storrelser kan voelges saaledes, at Differensen mellem deres Forhold og del ubeD. K. D. Vicdensk. Selsk. Skr',, naturvicdensk. og mathenm. Afd., 8. R~ekke, I. 5- 40

Page 304

304 XI. Kapitel. 106 kendte Forhold A mellem. to forelagte Storrelser i hvert Fald kan gores mindre end enliver given Storrelse, saa maa denne Differens vwre 0 eller A==B. Dette bevises ved en reductio ad absurdnrn, idet den Antagelse, at A - B * 0 vilde fore til en Selvmodsigelse. ARCHIMEDES bevidner saavel i Indledningen tli Skriftet om. Kuglen og Cylinderen som. i Ephodos, at EUDOXOS forst liar fort et exakt Bevis for en af de anforte Spetninger, nemlig den omn Pyramiden og Keglen. I Ephodos meddeler han tillige, at DEMOKRITOS tidligere havde opstillet denne Swtning, men nden et saadant Bevis, som. man paa ARCHIMEDES' Tid vilde anse for fyldestgorende. Som, fyldestgorende anser han derimod EUDoxos' Bevis, og dette maa i Hovedsagen vaere fort efter det samme Princip, som han selv folger i sine egne Beviser. Dette Princip anforer han i Indledningen til Skriftet om. Parablens Kvadratnr, hvor han tillige om~taler de nysnwvnte tidligere Anvendelser, som. findes hos EUKLID. Umiddelbart er ganske vist det af ARCHIMEDES anforte Princip det, som findes i EUKLID V, Def. 4.; men da X, 1. er ndledet deraf, er det i Hovedsagen ogsaa det samme, som. vi fandt anvendt i EUKLID X1I. Selv giver dog ARCHIMEDES sine Beviser en elegant Form, der ikke bygger paa EUKLID X, 1, men umiddelbart paa det i V, Def. 4. udtrykte Princip, hvorom. han minder. Fra ARCHIMEDES ved vi altsaa, at den af EUKLID og ham selv anvendte Formnlering af en exakt Grwnseovergang skyldes EUDOXOS og af denne er anvendt i de af EUKLID behandlede Tilfuelde. Derfor behover EUDOXOS ikke at have behandlet disse ganske paa samme Maade som EUKLID. Han kan f. Eks. godt, som. DEMOKRITOS synes at have gjort, have anvendt Delingen af Pyramider og Kegler ved Snit parallele med Grnndfladen og ikke som. EUKLID en uendelig Rawkke Prismer af aftagende Storrelse, indskrevne i den tresidede Pyramide. Det nye, sorn skyldtes EUDOXOS, var det opstillede Grundlag for en exakt Behandling, hvo rimod ege ntlige geometriske Operatioller allerede for EUDOXOS og PLATON var naaet vidt 'nok til, at man knnde finde forskellige geometriske Former for Tilnwermelsen. Den i EUKLID XII. benyttede Methode lod sig imidlertid ikke blot anvende, naar Talen er omi Tilnvermelse til en bestemt angivet Groense, men ogsaa til at sammenligne to Gransevaerdier. Da disse ikke som. i moderne Behandling ndelnkkende defineres ved selve Grwenseovergangen, men betragtes som. existerende i Kraft af den geometriske Fremstilling, V-2 f. Ex. som Forhold mellem. Diagonal og Sidei et Kvadrat', kan vi kaide Groensevawrdierne A og B og forudsxtte, at A' og B' er Storrelser, der samtidig antager saadanne Vawrdier, som, tilfredsstiller Betingelsern e A' = A ~L k, B' =- B __ 1 livor k og I kan gores mindre end enhiver opgiven Graense. Er da samtidig A'~ B' maa man have A ==B. Ogsaa herved gwelder det knn om, at bevise Groenseovergangen for A' og B', hivortil atter X, 1 kan benyttes. Paa hignende Maade kan man bevise A> B, naar A' -- B' vedblivende er storre end en given Storrelse. Dette kan anvendes til at sammenligne Forhold mellem inkomlnensurable Storrelser; men herpaa. tager EURKLID dog fat paa en anden Maade. I sin V. Bog,

Page 305

107 107 ~~~~Bevisers Almin deliggorelse; infi nitesimale Opgaver.30 305 hvis Forhold har ganske samine Betydning som den moderne Mathematiks almindeliggjorte Tal, opnaar han dette ved en elegant Brug af V. Def. 4., som staar i samme Forhold til den her nwvn-te Grwnsernethode, som DEDEKIND'S Snitmethode staar tli mnoderne Anvendelser af Grtensemethoden. Dette opnaas ved Hjwelp af Definitionerne 5. og 7. i V. Bog, som udtrykker Betingelserne for Ligestorhed eller Uligestorhed af to Forhold. Ved Brug af mioderne Tegn kan disse udtrykkes saaledes: a:b ==c: d naar (5.) for alle hele Tal m og n ma n b inedforer mc > nd; og a: b> c:'d naar der (7.) gives saadanne hele Tal m og n, at ma > nb, men me ~nd. Det er paa disse Bestemmelser, at Proportionsl1eren i V. Bog er bygget. I den moderne Maithema-Lik er man gaaet folgende Skridt. Forst liar man nojedes med en ubevist Greenseovergang fra, hvad der er bevist om rationale Tal (Forhold mellem, kommensurable Storrelser) til Anvendelser paa irrationale. Der'rnesL har man benyttet samme Overgang mned Bevis for dens Rigtighed. Endelig liar man anvendt DEDEKIND'S Snitmethode. I Oldtiden liar man -,selvfolgelig", kan del naesten siges - begyndt med det f0orsite Skridt, om man end mere eller mindre kan have skjult Manglen paa. egentligt Bevis for sig selv ved Brug af den geometriske Freinstilling 1), der samtidig omfatter irrationale og rationale Storrelser. ZENON'S Paradoxer vNiser den logiske Utilstrwkkelighed af denne Fremgangsmaade, som Mathematikerne dog ikke kunde undvawre, saalenge de ikke havde nogen anden. Det tredie Skridt, livor V, Def. 4. bingpes, er gjort i EUKLID'S V. Bog. Det ligger dog ikke fjernt at antage, at ogsaa Grwkerne forst er naaet dertil gennem det af os betegnede andet Skridt som et Mellemstadium, paa hvilket de liar bevist selve -Grawnseovergangen ved Hjadlp af EUKLID X, 1. Detle vilde ganske svare til de Skridt, der lader sig eftervise for infinitesimale Bestemmelsers Vedkommende, nemlig 1. nbeviste Groenseovergange som DEMOKRIT'S for Pyramide og Kegle og de langt weldre (se S. 88 (286)), hvorved man i sin Tid liar sluttet Cirkelperiferiers Proportionalitet med Diametren, Cirklernes med Kvadraterne paa Diametrene; 2. Grwenseovergange bevisle ved EUKLLD X, 1. som i EUKLIDXII; 3. Grwnseovergarige omdannede og beviste ved EUKLID V, Def. 4. som hos ARCHIMEDES. Del lader sig nu virkelig ved Hjxlp af de af HEIBERG anforte Steder hos AimSTOTELEs eftervise, at man ogsaa for Forhold mellem inkommensurable Storrelser til -en Tid liar benyttet den anforte Mellem iform: Grxenseovergang bevist ved EuKLID X, 1., som da paa sin Side enten kan vwre udledet af EUK~LID V,.Def. 4., der isaa Fald maatte vaere opstillet forud, eller snarere tidligere direkte opstillet sonet Postulat. Vi skal forst nawne, at ARISTOTELES viser sit Kendskab til begge disse Ud') Se Oversigt 1915 S. 338, Note. 40*

Page 306

306 XI. Kapitel. 108 gangspunkter for exakie Infinitesimal- elle'r Groensebestemmelser ved 266b, 2 at sige, at man, naar en Storrelse er given, ved at lwgge til kan overskride og ved at troekke fra. naa under enhver given Grwnse. El andet Sled. baade fremhoever han Nodvendigheden af nojagtig at definere, hvad man mener med. at swette to Forhold mellem inkommensurable Storrelser lige store, og Ilegger samtidig for Dagen, tl hvilken Definition. han sigter. Han. siger nemlig 158b 29: goIEx OE xal Ev Toe paua?%Jyaal Eva de' 6pecrpo5 (Z AS 1) 7 ir W ) TE11V0~,96O~ uTOl4Ieece IMS T&rweaxc;ap tpaafeai, raptaaper TCOD a(9i:OL) AOTOL) OuTrOg. Ogsaa i Mathematiken synes et og andet at vwere vanskeligt at fremstille paa Grund af Mangel paa Definition, f. Ex. at den Linie, der skwrer et Parallelogram parallelt med en Side, deler baade Linien [o: en Af de andre Sider] og Fladen' paa samme Maade [o: proportionalt]. Men naar Definitionen er udtalt, er Sadtningen straks indlysende; thi Fladerne og Linierne har samme Antanairesis og dette er Delinitionen paa samme Forhold [Proportionalitet]. Kunstordet diivravadP~geq gengives af ARISTOTELEs' Komnientator ALEXANDROS (in Top. 5. 545,15 ed. Wallies) ved Ordetd uco~a' reae, som i EUKLID VII, 2 og X, 2 binges om de Subtraktioner, somi anvendes ved den sxdvanlige Bestemimelse af storste foelles Maal. Da de dertil tjenende Operationer er de samme, som nu bruges ved Udvikling i K~debrok, kan man, selv om Grwkerne, der jo paa den Tid end ikke brugle Broksform (5. 17 (215)), ikke kendte tl nogen Opstilling som Koedebrok, noget frit overswtle Antanairesis ved,,Udv~ikling i Kwdebrok". De nwvnte Steder anvendes denne Operation til' at prove, oi -to Storrelser er kommensurable eller inkommensurable. Det sidste vii vwre Tilfbeldet, naar Operationen ikke kan bringes tli Ende. Dette er en speciel Form for den her fremsatte Definition paa Ligestorhied af Forhold; thi at to Storrelser har en Antanairesis, som ikke kan fores til Ende, tilkendegiver netop, at deres Forhold ikke tilfredsstiller Betingelsen for at vwre ligestort med Forholdet mellem to hele Tal, da dette har en endelig Antanairesis. Idet nu efter ARISTOTELES ogsaa i Almindelighed Ligestorheden proves ved den fortsatte Overensstemmelse mellem de paa Forholdene anvendle Antanaireses, altsaa ogsaa mellem de Kwdebroker, som. faas ved at standse disse paa sammie Sled, udtrykker Definitionen, at man bestemm-er Vwrdien af et Forhold som Grwensevverdien for de af Forholdet dannede Kwedebrokskonvergenter. Dermed har man altsaa i hvert Fald del forste af de forannaevnte Trin. Dette kan man fra forst af have troet tilstrxkkeligt, idet mian formente, at Tilnwriielsesbrokerne virkelig gay en saadan Bestemmelse af Groensevoerdierne, at man af de forstes Ligestorhed eller Uligestorhed umiddelbart kunde slutte de sidstes, med andre Ord, at en given Antanairesis reproesenterer en derved fuldkommen besteimt

Page 307

109 109 ~~~~Bevisers Almindeliggorelse; infinitesi male Opgaver.30 307 'Storrelse. At nu dog denne Formening krawver et Bevis, liar inan, som. Begyndelsen af EUKLID'S X. Bog viser, erkendt allerede i del fornaW'vnte specielle Tilfadlde, idet Saetningen X, 1. eller (livad den maatte vvere, saakoenge den ikke udlededes af V., Def. 4.),,Postulatet" X, 1. er sat i 'Spidsen som. Grundlag for Beviset for, at to Storrelser, der giver en uendelig Antanairesis, er inkomnmensurable. Saa mneget mere nodvendigt var det ogsaa at bygge den almindelige Paastand orn Ligeslorhed af Forhold med samme' Antanairesis paa samme Forudsaetning. Dermed var det a nde t Trin, bevist Grwenseovergang, naaet. At dette allerede var sket pa~a ARISTOTELES' Tid 1), frem~gaar af hans all omitalte IKendskab tl EUKLID V, Def. 4. og X, 1. Vor Fornmodning om., at den grteske Mathematik ogsaa liar taget dette Mellerntrin med, inden den naaed~e til V. Bogs Bestemmelse af Ligestorlied af Forhold, liar altsaa bekrwftet sig. Idet ALEXANDROS paa det nys anforle, af HEIBERG citerede, Sled gentager ARISTOTELES' Definition paa lige store Forhold, meddeler han, at de gamle (ol' d-pyIctdo) brngte den. Dette er saaledes 'skel, for man gik over tl den Definition, som. opstilles i EUKLID V, Def. 5., og dermed tl del af os betegnede tredie Trin. Forskellen mellem. den hos ARISTOTELES og hos EUKIAD angivne Definition kan betegnes som, en Forskel mellem. Analyse og Synthese. Ved at anvende en Anlanairesis paa Forholdet mellemn to forelagle Slorrelser anvender man samme Operation, som naar Forholdet mellem. to kommensurable Storrelser skal forkorles, tli muligvis at sw~te simplere Forhold i Stedel. Del sker ved Divisioner, eller ved sukcessivt at subtrahere Multipla, af den ene fra den auden. Er Storrelserne inkom.mensurable, lykkes del ikke at komme tl Ende hermed; men to Forholds Ligeslorhed viser sig ved, at Operationen anvendt paa. dem. stadig giver samme Resultater. Orr den derved konslate'rede Ligestorhed, som. er fundet ved gentagne D i viS i o n e r, er tilstede, kan man omivendt prove ved M n It i p I i k a I i o n af Forlioldenes Led. Derved kommer man tl den euklidiske Definition V, 5. paa Forholdenes Ligestorhed, som. giver den synthetiske Prove paa. Resultatet af den nwvnle Analyse. At den kan gennemifores, er sikret ved Definition V, 4.; denne udtrykker, at man ved Multiplikation af en Storrelse kan naa. udover en anden, og giver saaledes en Prove paa. X, 1., der udtrykker, at man ved sukcessive Subtraktioner eller en dermed ensgwldende Division af den anden kan naa ned unuder den forste. Stedet hos ARISTOTELES gor del sandsynligt, at endnu THEUDIos har anvendi den,,archaiske" Definition paa Ligestorheden af to Forhold2). Deune liar let kunnet anvendes tl at bevise Szetninger omi Proportionalitet af geometriske Slorrelser; saaledes kan man i del af ARISTOTELEs nwvnte Exempel se, at de tl Forholdet 1) Hervecl bortfalder den Formodning, somn jeg fremnswtter i Oversigt 1915 S. 354, om at muligvis forst EUKLID skulde have bemoorket Nodvendigheden af at anvende X, 1 til at begrunde. det af THEODOROS og THEAITET anvendte Kendetegn pa~a Inkommensurabilitet. Dette turde tvwrtimod have vveret et af de forste Tilfeelde, livor man liar set Nodvendigheden af et Bevis for den benyttede GroenseoverganDg. 2) Hermed passer ogsaa de i HEBERG: Mathematisches Zn ARISTOTELES S. 11 anforte Steder ligesaa godt som, med Anvendelse af den 'enklidiske Proportionslere,

Page 308

308 XI. Kapitel. 110 i-nellem. Sider og Forholdet mnellem Arealer horende Antanaireses folger hinanden Skridt for Skridt, og paa lignende Maade gaar del med de fleste af de i EUKLID VI opstillede Sietninger, der direkte angaar Proportionalitet. og Ligedauinethed. Men Antanairesis er i sig sel1v en vidtloftig Operation og giver derfor et mindre overskueligt Kendemeerke, end den i EUKLID V, Def. 5. angivne Multiplikationsprove. Den sidstes Anvendelse paa et bestemt Tilfwlde lader sig derfor udtrykkeme storre Prwecision. Og at bygge en saa almindelig og abstrakt Lawre om Proportioner og disses Omdannelse som, den, vi finder i EUKLID'S V. Bog, paa gentagen Anvendelse af Antanairesis tnrde blive vidtloftigt og er nawppe gennemnfort. EUKLID'S Proportions1vere beror derimod. paa en konsekvent gennemnfort Brug af den i V, Def. 5. og 7. nojagtig beskrevne Multiplikationsprove. Naar derfor HELBERG i denne nvermest blot ser en bedre Formulering af den Prove paa Ligestorhed. afr Forbold, sorn findes hos ARISTOTELES, og mener, at denne Forbedring kunde skyldes EUKLID, vilde. dette fore til en Konsekvcns, SOM HEIBERG vel neeppe vilde tage, nemlig at det Mesterstykke, som Proportionslawren i V. Bog er, hovedsagelig skulde skyldes EUKLID tvawrimod den Tradition, som forer den tilbage til EUDOXOS. Denne Tradition, der kommer' til Or'de i et Scholie tl EuKLID's Elemnenler'), turde i: alt Fald vacre riglig for Grundlagets Vedkommende, hvad der ogsaa sLemmer med, at ARCHIMEDES, der ninvner EUDOXOS som den, der har opstillet Grundlaget for Infinitesimaluindersogelser, andetsteds meddeler det dertil tjenende Postulat i den Form, sonm det liar i V. Bog, medens EUDOXOS ndenfor Proportionsl1eren rimeligvis, som EuKLID i XII. Bog, liar anvendt dets Omdannelse tl X, 1. Den Omstwndighed, at ARISTOTELEs dog ikke viser noget Kendskab til den Form for Proportionsleren, som er gennemfort hos EUKLID, men holder sig til den,,Iarchaiske" Definition pan Proporlioner, kan maaske forkiares saaledes, at den nyc Definition vel var opstillel af EUDOXOS indenfor Mathematikernes Kreds og dens Brugbarhed sorn Grnndlag for en fnldStkcndig Proportionsilere paavist, men at en saadan endnu ikke var ndviklet saaledes i sin fulde Sanimenhieng, at THEUDIOS knnde bruge den i sine Elementer, og at ARISTOTELEs kendle den eller kunde henvise sine Disciple tl den som Exempel. Hertil var da den w1dre og mere kendle Definition bedre egnet. Muligheden, ja, Rimeligheden for, at der gik nogen Tid mellem EUDOXOS' Opstiiling af en ny Definition og en fuldstaendig gennemfort Brug af denne, fremgaar ved en Samnmenlignling med Nutiden, hvor DEDEKIND'S Opstilling af Snitmethoden jo ikke straks medforte en gennemfort Brug deraf i alle de Tilfwelde, for hivilke den er bestemt. EUDoxos kan derfor godt vwre Grundlwgger af den i EUKLID V. indeholdte Propor-tions1vere, meden-s en af hans Efterfolgere, rimeligvis EUKLID, bar wEren for den konsekvenle Gennemnforelse af denne Lvere, som. vi finder paa del anforte Sled. El uundvierligtl) Supplement tli denne Lsere, 1) HEIBERG's Udgave af EUKLID, V. S. 282,i3.' Det kan dog t~nkes, at Scholiasten stotter Sin Angivelse paa det. sanime Sted hos ARCHIMEDES, som vi ogsaa her henviser til. 2) Herpaa gores ogsaa. opmeerksom i min,Forel~sning over Mathematikens Historie". (Dansk Udgave S, 127, Tysk S. 145, Fransk S. 119), lhvor Brugea af sarmaresatte Forhold tillige paavises.

Page 309

ill 111 ~~~~Bevisers Almindeliggorelse; infin itesi male Opgaver.30 309 der som Existensbevis efter det forst ved EUDoxos' Discipel MENAICHMOS indforte Princip maatte fores ved en geometrisk Konstruktion og derfor henvises tl VI. Bog, maa sawlig antages at skyldes EUKLID. Del vedrorer et Hovedpunkt af ProportionsIlaren, nemlig Dannelsen af sammensatte Forhold EUKLID V., 22. (ogr 23.), denne Form, hivorunder Multiplikation (og Division) af de ved Forhold fremstillede rene Tal (i moderne Betydning) udfores. Ved Sammensoetning af to Forhold forudswttes det nemlig, at man har givet deml Formerne a: b og b: c, og 'del sammensatte Forhold bliver da a: c. For altsaa at kunne anvende Sammensoetningen paa et vilkaarligt Forhold e: [ maa dette kunne skrives under Formen b: c. Dette bevisesi EUKLID VI, 12. ved Konstruktion af fjerde Proportional til e, f og b. Ligeledes vises Existensen af en Mellemproportional i VI, 13. ved dens geometriske Konstruktion. Kan der saaledes ikke siges noget bestemt omi, h-vor langt frem EuDoxos bar fort Proportionsleren, kan der ogsaa vawre n ogen Tvivl om, paa livor fidligt et Trin, han liar grebet ind. THEAITET, der, rimeligv~is i Tilslutning tl THEODOROS, liar benyttet Antanairesis som Kendetegn paa, om to Storrelser er kommensurable eller ej (Oversigt 1915, S. 356), maa have anvendt den samme Proces fl at prove, om to Forhold er ligestore eller uligestore, et Sporgsmaal, som han for Anvendelsernes Skyld ikke kan have ladet ubesvaret. Om hans Behandling af Proportioner dermed liar staaet paa del forste eller andet af de af os betegnede Trin, beror dels paa, om han blot stiltiende liar benyttet dette Kendetegn eller udtrykkelig udtall det, dels paa, om han liar vweret opmwrksom paa, at Brngbarheden af dette Kendetegn saavel som det i EUKLID X, 2. opstillede Kendetegn paa Inkommensurabilitet afli~nger af en Anerkendelse af den i EUKLID X, 1. opStillede Soetning9, og om han udtrykkelig biar opstillet denne. I saa Fald liar det dog vistnok vaeret som Postulat; thi der er nveppe Grund tl at tro andet, end at del er EUDoxos, der ved en yderligere Analyse liar- fundet, at man kan gaa tilbage fl del i V, Def. 4. opstillede Postulat og deraf udlede X, 1. som Sawtning. At det i hvert Fald er EUDOXOS, der udenfor Proportions1wren liar anvNendt X, 1. fl saadanne infinitesimale Besteinmelser somn dem i EUKLID XII, er efter ARCHIMEDES' Vidnesbyrd ganske utvivlsomt. Som man vil se, er del kun Sporgsniaal om de enkelte Personers Andel i de forskellige Fremskridt, der kan underkastes Tvivl. Saadanne vil imidlertid aidrig udeblive, naar forskellige Personer staar i nogen Forbindelse under deres Arbejde paa samme Sag (smlgn. Fremskridtene i det XVII. Aarhundrede). Den historiske Roekkefolge af selve Fremskridtene turde derimod, vwre godt opklaret ved de sparsommie Oplysninger, som vi liar om den Tid, der gaar forud for EUKLID's Elementer. Af disse Oplysninger er det anvendle Sled hos ARiSTOTELEs et voerdifuldt Led.

Page 310

310 ~~~~1o M~~~~~~~XI. I~apitel.11 112 Kap. XII. Almindeliggorelse af Saetninger; Br'ug af Ligninger af 2. G rad. I ARISTOTELEs' Analytica Posteriora I, 5. opstilles den Fordring, at de Forudspetfinger, under hvilke en Swetning bevises (og udtales) bor vwere de almindeligste, under hvilke den- samme Swtning gvelder. I Geometrien maa dette Krav gaa ud paa, at den Figur, sorn en Swetning gwlder, bor vwre den almindeligste Figur, for livilken, den er rigtig. Det oplyses ved folgende geornetriske Exenmpel (ARISTOTELES 74a 13): Hvis nu nogen har vist, at de rette Linier vNinkei~rette (paa en og samme Linie) ikke skoorer hinanden, kunde det synes, at hans Bevis gjaldt paa Grund af, at de alle er vinkeirette; men saaledes forholder det sig ikke; det g~elder ikke, fordi de netop paa denne Maade danner, ligestore Vinkler, men fordi de overhovedet danner ligestore Vinkler. ARISTOTELE-S, som paa dette Sled henter flere Exem pler fra. Geometrien, udlaler vistnok her og mange andre Steder, hvad Geometerne, sverlig de, der arbejdede paa den Reform, soni beskoeftiger os, selv gjorde gwldende. Men hans Frensms-ttelse og Almindeliggorelse af denne oprindelig geometriske Regel maatte bagefter give den foroget Autoritet, ikke mindst for Elementforfatteren. EUKLID har da ogsaa fulgi den og sverlig i sin VI. Bog benyttet den ved den almindelige Proportions~awre i V. givne Lejlighed tl Almindeliggorelse af de opstililede geometriske Sawtn inger. El Exempel herpaa er Almindeliggorelsen af den pythagoreiske Leresadtning VI,31, hivor Kvadraterne paa Siderne i en retvinklet Trekant ombyttes med ligedannede Figurer paa disse Sider. Naar PROKLOS (S. -426,12) udtaler sin swrlige Beundring af denne Saetning, kan jeg i -visse Maader tiltrwde denne Beundring. Del er dog ikke, fordi den paa del Tidspunkt kunde antages at udvide den geometriske Viden vwsentlig. Saaledes svetler allerede HIPPOKRATES med saa stor Frihied ligedannede Afsnit i Stedel for Kvadraterne paa deres Korder, at han sikkert ikke kan have vwret i nogen Tvivl onm Gyldigheden af del i VI, 31. opstillede Theorem; men Opfattelsen af den egentlige, pythagoreiske Svetning som. et speciell Tilfwlde af den udvidede har en stor intellektuel Vwrdi derved, at man -i Overensstemmelse med ARISTOTELLS' Udtryk paa. det anforte Sled kan sige, at del i den pythagoreiske -SwAning ikke er paa Grund af, at Figurerne paa -Siderne i den relvinklede Trekant netop er Kvadrater, men paa Grund af, at de i deres Egenskab af Kvadrater er iig e dann e de, at Hypotenusens Kvadrat bliver lig Summen af Katheternes. Der gives imidlertid ogsaa Tilfadlde, hivor en saadan Almindeliggorelse nawrmest virker forstyrrende, fordi Saitningen netop faar sin Brugbarhed ved at anvendes

Page 311

113 113 ~~~~~~~Almindeliggorelse af Sa-eninger.31 311 p,,,a (IC mere specielle Tilfwlde, og hvor Almindeliggorelsen afleder Opmwrksomri heden fra denne Brugfbarhed. Dette er en Anledning til. srerlig at fremhoeve den egentlige pythagoreiske Swtning, og i det af ARISTOTELEs nwvnte T1ilfw-lde vil det ofte vvere bekveminmere at bestemme Paralleler som. dem, der staar vinkelrette paa en given Linie, end som. dem, der danner en anden given Vinkel med en ainden. Saaledes har del vel stor intellektuel Interesse, at, rette Linier bestem~mes paa samme Maade i et skeevvinklet Koordinatsystern som. i et retvinklet, men naar Koordinatsystemet blot skal optrwde som Hjw-lpemiddel ved geometriske Undersogelser, vii man dlog ja-vnlig forelrwkke el retvinklet, som. det, der samliidig giver en simplere Bestemmelse af Afstande og Vinkler, saint af Cirkier. Af lignende Grnnde kan vi ikke ubetinget prise den almindelige Skikkelse, somi EUKLID i VI, 28.-29. har givet de saakaldte Fladeaniwg ogp i VI, 27. den fli det forste af disse svarende Mulighedsbetingelse, idet han ombytter Rekitangler med Parallelogrammer mned en given Vinkel ogr det mangylende eller overskydende Kyadrat med et Parallelogram, livori tillige Siderne staar i et givet Forhold. Som. For-fatter af,,Elementer" med det videnskabelige Forma~al at danne Grn ndlaget for videregaaende Undersogelser kan EUKLID vel fole en vis Forpligtelse til at gore sine Swtninger saa' almindelige soin muligt; des-to mere kan der da bygges paa (dem. Men paa samme Tid sk-jnler Almindeliggorelsen af disse SadLninger (let algebraiske Formaal, for hvilket de var bestemnte, og som. paa en shimplere Maade opfyldes af de simple Fladeanlawg. Disse falder ganske sammen med den nu brngelige algebraiske Losning, naar man blot ombytter deres Rektangler og K'vadrater med Produkier og anden Potens, deres Bestemmelse af en Side i en retvinklet Trekant, hivis to andre Sider er givne, med en Kvadratrodsnddragning. 'Den pythagoreiske Swtning var alierede i I. Bog fremsat i sin simple Skikkelse, og der havde allerede vwret rigelig Lejlighed i JI.-IV. Bog tli at vise de Anvendelser, som man kan gore af den netop i dens ikke almindeliggjorte Skikkelse. Ligeledes var parabolske Fladeanlwg og, et Rektangels Omdannelse tl et Kvadrat, eller, som vi nn siger, Losningerne af Ligningerne ax =-bc og X2 = ab i I. og II. givne i deres algebraisk-geomnetriske Form, for de i VI, 12. og 13. behandles ved Proportioner. Derimod er Ligningerne ax -x2 -= bc og -4- ax 4-X2 -= be, livis geometriske Freinstilling og livis Losning er indbefattede i de almindeliggjorte Fladeanlai-g VI, 28. og 29., ikke fornd opstillede i deres oprindelige simple Skikkelse, om. end deres Tilknytnling til den greometrisk-algebraiske Behandling tydelig fremgaar af II, 5. og 6. Det er dog ndelaikkende i denne simplere Skikkelse, at EUKLID -virkelig anvender Fladeanlkegene, livad han gor i rigt Maai i X. Bog. Fornden Afslutningen af THEAITET'S Undersogeise af Rodstorreisers Irrationatitet indehoider denne en Kiassifilkation af de Storreiser, som er irrationale ved Kvadratrod. Udtalt saaledes falder denne Inddeiing deivis i Ojnene ved Brng af del moderne Kvadratrodstegn, men ogsaa kun delvis, idet Udtryk af visse Former kan rednceres tl andre, navnlig ved at hweve dobbeit Irrationalitet. EUKLID, der omhyggelig medtager saaD. K. D. Vidensk. Selsk. Ski., naturvidensk, og matheim. AMd., 8. Raekke, 1. 5. 41

Page 312

312 312 ~~~~~~~~~~XII. Kapitel.14 114 danne Reduktioner, danner de samme Storrelser ved Losning eller sukcessive Losfinger af Ligninger af 2. Grad. Det er disse, der ved at gores til Fladeanloeg opstilles som. Ligninger af 1. Grad mellem- Rektangler og Kvadrater, og efter Swetningerne om. Fladeanleg fores tilbage til. Angivelse af en Konstruktion; men. at Sporgsmaalet er onm de fremkomne Storrelsers Kommensurabilitet med givnle Storrelser eller ind-,byrdes, viser, at der ogsaa tawnkes paa Anvendelsen paa numeriske Ligninger. Under disse Omistwndiglieder er det, at X. Bog kommer tl at indeholde saa mange Fladeanlaeg, nemlig i 17, 18, 54, 55, 91-101. Idet Undersogelsen i sig seiv er algebraisk, maa EUKLID her ogsaa paa anden Maade foretage algebraiske Orndannelser, som. man nu vilde foretage ved Algebraens nuvoerende Symboler, men som. EUKLID mnaa fremstille ved den geometriske Algebras Rektangier og Kvadrater. Som. omitalt i VII. Kapitel liar EUKLID vel i II. Bog fremsat og bevist nogie af de Sawtninger, der ligger tl Grund lierfor, navnlig Konstrnktionen af en Gnomon, og dertil fojet nogle geomnetriske Anvendelser som, han liar 0jeblikkelig Brug for; men disse Svetninger giver ikke en direkte FremStilillig af Metlioden. Naar EUKLLD vii bruge den i sin syntlietiske Fremistilling, og naar det, han vii bruge, ikke allerede indelioldes i Sawtningerne i II. Bog, maa han give det Form af Hjwa1pesawtninger, om. det end beror paa en nok saa simpel Anvendelse af Metlioden. Af saadanne Hjw'1pesoetninger troeffer -vi derfor flere i X. Bog, saaledes tl Bevis for Soctningerne 17, 22, 29, 33, 54, 60. Den geometriske Algebra viser sig saaledes at vtwre en Methode, som EUKLID liar til Raadighed, liver Gang han liar Brng for den. Da beviser han i sin swedvanlige syntlietiske Form de af dens Setninger, som han skal binge og ikke lidligere liar bevist; men et saadant Overblik over disse Satninger, som. swerlig vilde vejlede ved Anvendelse af Metlioden, giver han derimod intetsteds. Det vigtigste for lians Tid vundne Udbytte af denne, nemlig Losningen af Ligninger af 2. Grad iForm af Fladeanlaeg, liar. det vel hort med til lians Forniaai. at bevise ogsaa. for dets egen Skyld. Dette viser sig ikke mindst ved hans Bestrawbelse for at give det en saa almindelig Form som, muligt; men trods hans flittige Brug af de deni idbefattede simple Fladeanlwg finder han det ikke engang fornodent at opstille disse som. Korollarer tl de aimnindelige, som. han dog ikke bruger i den almindetige Form. Alt dette tyder paa, at EUKLID ikke blot selv liar haft, men ogsaa lios sine Loerlinge liar turdet forudswette en storre Fwrdighed i Anvendelse af den geometriske Fremstilling af Algebraen, end nu Lwsere af EUKLID, der menler lios ham selv at skulle finde Omfanget af hans Hjwlpemidler direktLe paapeget, ofte antager. Under disse Omstrendiglieder -vil Ralkkevidden af hans algebraiske Hjwlpemidler yderligere vaere foroget ved den almindelige Beliandling af Proportioner, der tillader en Fremstilling af Produkter med et hvilketsomlielst Antal Faktorer -ved Hjwlp af sammensatte Forliold. De almindeliggjorte Fladeankveg i VI. Bog, livilke EUKLID dog soin sagt ikke selv Lager i Brug, vii paa denne Maade fremstille en Ligning af 2. Grad med Koefficient til det kvadratiske Led (se Keglesnitslieren i Oldtiden 1. Afsnit). Af det her anforte Skrift ses, at det er ved gennemngaaende Brug af den ved

Page 313

115 Almindeliggorelse af &etninger. 313 Hjwe~p af Proportionslxiren udvidede geometriske Algebra, at APoLLoNIos liar kunnet gennemfore de omfiattende Undersogelser, som. hans,,Keglesnit" indeholder. Paa dette Sted bor vi imidlertid isaer fremdrage de Kendetegn paa Fawrdighed i algebraiske Undersogelser i geometrisk Form, som allerede EUKLID i0egger for Dagen udover, liv~ad han deraf liar faaet Brug for i,,Elemnenterne". Saadanne kan soges i,,Data", som jo netop er beregnet paa. at lwgge den mathematiske Viden til Rette til Brug for de i Analysen indehoidte Reduktioner. Det er netop saadanne Reduktioner af de i opstillede Ligninger udtrykte Fordringer, som, vi flu foretager, naar vi loser Ligningerne algebraisk. I de Tilfbelde, hivor en antik Unde~rsogelse liar et algehraisk Forinaai, vii,Data", blot i geometrisk Form, give Anvisning paa de samme aigebraiske Reduk-tioner, soin vi nu ndtrykker i det algebraiske Tegnsprog. Ved en umiddeibar Overswetteise af den geometriske Frenistiliing ses det saaledes, at Data 84. og 805. udtrykker det samme som, at Losningen af Ligningerne xyi7-i a y - x = b fores tilbage Lii Losning af Ligningen x2 bx = —a (hyperboisk Fladeankoeg), Losningen af Ligningerne xy - a, x + y z b tli Losning af Ligningen bx - X2 -~ a (elliplisk Fladeanlwg). I 86. rummer den geometriske Form en helt.gennemfort algebraisk Losning af Ligningerne xy =a - mx 2 =b. Vi skal nedenfor fremsawtte den umiddelbare OvTersoettelse af Losnlingen paa Algehraens nuvawrende Sprog, idet vi blot bemawrker, at de deni forekommende Produk-ler betegner Parallelogrammer (Rektangier), x, og y2 Kvadrater, og at de Udtryk ved de givne Storreisor, som vi skriver paa hojre Side af vore Ligninger, er Gengivelse af, at del siges, at Udtrykkene paa venstre Side er,,givne", del vii sige: e fte rha a nden kan bestemmes, naar a, b og in er givne. Vi skriver da. kun de algebraiske Betegnelser for de Operationer, ved livilke disse sukcessive Bestemmelser, som EUKLID betragter som bekende, inaa foregaa i Henhold til de tidligere Sadtninger af Bogen. Anvendelsen af geometrisk Frenmstilling spiller her Doesten ingen Rolle; den bestaar khun i, at den Hjwelpestorrelse, vi her kalder z, afswdt-es ud ad y, hvorved ogsaa y -z bliyer fremstillet sorn et Liniestykke; saadanne betegner EUKLID helt igenn-em, ved Bogstaver paa. Endepunkterne. Operationerne er da de folgende: Man soetler b = yz og, da b =- nix2 og xy =- a, faas efterhaanden, ideL vi Skridt for Skridt gengiver EUKLID'S Slutninger: Y, (y- Z) _ x a x 2 a 2 cc2 1 4y (y -z) a2 x ~z b' z b' y (y- Z)ni' z 4y (y-z) 4- z2 _(2y - Z)2 = ma2+ z z b 41*

Page 314

314 314 ~~~~~~~~~~XII. Kapitel.16 116 z b y __yz b I_ 1/ a2, 4m 1 1' og da y~~~z —b buyerb 2b Eugi a Frintlln i blgbraseSunnesSe.liverekliadeLgier ivlke henvies ir MleNE' Uedgave.i Vremtller de iaa den geomietriske Frostruiongs af den Storrelse, som siges at vwre givn nade i dle foregaaende bestem-le Stor relser er Jet, at der formelt gives Anvisning; men da nan af EUKLID'S X. Bog har sluttet, at Grwekerne allerede paa den Tid ogsaa. anvendte Fladeankveg tl Losning af numeriske Ligninger, og om. end rimeligvis med ret grov Tinwrmnelse uddiog de derved. forekommende Kvadratrodder, kan vNi vide, at de ogsaa, naar a, b og in var givne som. Tal, forstod. at omiswtte de her foreskrevne Konstruktioner tl sukcessix'sT Beregning af de Storrelser, som. efterhaanden paa,-staas at vwre,gi-vne"', livilket maatte ske i fuld Overenss'temmelse med. de moderne mathematiske Tegahore vi har udtrykt de foreskrevne Konstruktioner. EUKLID Siger iovrigt ikke noget imermere omt i hvilken Form a, b og m er givne, medens den konstruktive Losning vilde kroeve, at a og b fremstilles som. Arealer af givne Figurer, m som Forholdet mellem to Linier. Den geometriske Form var dog nodvendig for LUKLID, der ikke liavde yore Betegnelser for almindelige Storrelser og algebraiske Operationer med. disse, naar han skulde give en almindelig Losning af den stillede Opgave. End ikke et numerisk bestemt Exempel vilde han knane fremstille nojagtig ved Tal og Angivelsen afRgning mddse da Roduddragningen kun kunde ud~fores med. Tilnaerm else; og en saadan. Fremstilling vilde vwere ham hell umulig, naar ikke a, b og in er opgivne som. rationale Tal. Den algebraiske Sammnenhoeng mellem de forskellige Operationer er dog ganske den samme, hvad enten de udlrykkes i EUKLID'S geometriske Sprog eller i den nuvwcrende Algebras, og den algebraiske Fwrdighed i at benytte disse Forbindelser til at lose forelagte Opgaver lader sig derfor nwcsten lige godt. knytte tii den ene eller anden af disse Fremstillingsformner. At det i det fore

Page 315

117 117 ~~~~~~~Almindeliggorelse af Sawtninger.31 315 liggende Tilfaqde, naar man liar et Udtryk for!' (Y-z) Ivii fore tii et fuldstcndigt Kvadrat at multiplicere med 4 og 1egge 1 tii, er f. Ex. et Kunsigreb, som. EUKLIDhlar haft paa. rede Haand uden at behove at tegne en Gnomonflgur, lige'som. den, der nun kan Formien for et Kvadrat af et Binom udenad. Allerede v~ed Indforelsen af den nye ubekendte z liar EUKLID tilined haft Dannelsen af et med en,,given" Storrelse ligestort Kvadrat for Oje. En saadan algebraisk Indforelse af en ubekendt Hj.YAdpestorrelse, hvoraf DIOFANT 600 Aar senere gor saa. heldige Anvendelser, var altsaa. lige saa. lidt noget. ukendt paa EUKLID's Tid som. algebraiske og numneriske Anvendelser. af Ligninger af anden Grad. Det er blot bleven mere skjult for Lwsere i den nyere Tid derved, at EUKLID selv overalt Ilegger Hovedvvegten paa. den Forbindelse ined exakt bestemnte geometriske Konstruktioner, somn han i Tilsiutning til PLATON'S Disciple havde sat si~g til scerlig Opgave at behandle. Manglen af Fremnhaven af den rent algebraiske Side af Sagen tyder, som. alt fremhwvet, snarere paa, at heri ikke dengang laa noget nyt. Det kunde dog ikke undgaas, at ogsaa. selve Algebraen gik frem. ved den Brug, EUKLID gor af den f. Ex. tl at lose den her omntalte Opgave i Data 86, og ved dle mangfold~ige Anvendelser af Algebraen, som. f. Ex. APOLLONIOS gjorde saavel i sine Smaaskrifter som. i Kegle snitsloeren, hvor de meddeles under sammne geornetriske Former som hos EuKLID. DIOFANT's algebraiske Opgaver viser, at denne Beskwftigelse med Algebraen er fortsat gennem. de mange mellemnliggende Aarhundneder og vel nok videre udviklet under Anvendelsen paa Hlere og forskellige numeri~ske Opgaver. Det er som sagt den geomnetriske Form, der her som. andetsteds giver de algebraiske Operationer den for selve disse 0nskelige Almindelighed; men Fonmaalet for EUKLID's Data en ikke at give en 0velse i disse. I Overensstemmelse med yore Bemverkninger S. 32 (230) skal de ved Siden afrElementerne som. Grundlag give Midlen til videregaaende Undersogelser, og dette liar i EUKLID'S Oj'ne ogsaa. her kroevet den forovrig[L let kobte hojere Grad af Almindelighed, somi i de anforte Spetninger 84.-86. faas ved at ombytte Rektangler og Kvadnater med Parallelogramnmer og Rhoinber mned en given Vinkel. For denne Almindeliggon-else sverlig af 86. kan. EUKLID iovrigt have haft en Anvendelse i de videregsaaende Undersogelser, som. beskoeftigede hain selv under hans Behandling af Lwren omn Keglesnit. Hvad hans tabte -Keglesnitselementer indeholdt, antages jo nwermest at v~re (let, som. ARCHIMEDES forudswtter bekendt. Dertil borer den Spetning, som man i Nutiden ofte liar kaldt,,Apollonios' Svetning", og somn anvendt. paa. en Hyperbel i mere geometrisk Form uditnykker det samme som. denne Kurves Freemstilling ved den i Data 86. behandlede Ligning y2-, MX2 =:b, naar den henfores til et Par konjugerede Diametre. Ligningen xy ==a for en ligesidet Hyperbel henfort tl sine Asymptoter var kendt af MENAICHMOS. Med EUmKLID'S Lyst til Almnindeliggorelse ligger det ikke fjernt, at antage, at han, som. senere APOLLONIOS, kendle den samme Lignings Anvendelse til at henfore en vilkaarlig Hyperbel tl sine Asymptoter. I saa Fald liar EUKLID vidst, at den i Data 86. be

Page 316

316 XIII. Kapitel. 118 handlede Opgave faldt samm-en med den at bestemme Skweringsuk re mellem. to Hyperbier, af hvilk~e den ene liar et Par givne konjugerede Diametre, den anden de samme Linier tl Asymptoter. Kap. XIII. Idealiteten af de geometriske Figurer. I VI. Bog af,,Staten" fremliouver PLATON, som v\i allerede liar set S. 13 (211), at Geoineterne bruger, synlige Figurer og knytter deres Slutninger til dein, skont det ikke er dem, de liar i Tankerne, men hine, med livilke de liar Lighed. Er Talen saaledes om et Kvadrat og dets D~iagonal, galder deres Beviser dkke deim, som die tegner, men selve Kvadratet og selve Diagonalen o. s. v. PLATON kan med fuld Ret fremhoeve dette som noget, der allerede finder Sted; ja det liar fundet Sted iden alleradldste Geometri; men lians Udtalelse miaatte paavise Nodvendiglieden af ien paa et rationelt Grundlag bygget Geometri ved kiare og, utvetydige Definitioner at slaa de Begreber fast, livorom Undersogelsen virkelig drejer sig, og som de tegnede Figurer kun skal tjene til at fastliolde i Forestillingen. Selv uden en udtrykkelig Opstilling i Ord af disse Begreber er det dog' dem, man i Intuitionen fra forst af liar liaft for Oje, paa samme Tid som man, som PLATON siger, knyttede sine Slutninger til de tegnede Figurer. Det var i Virkeligheden kun i deres Anvendelse paa de i en Intuition fastlioldte ideale Figurer, at disse Slutninger og de deraf fremgaaede Resultater var rigtige. Denne Evne til intuitiv Abstraktion fra en tegnet Figurs rent tilfwldige Enkeltlieder og tli g'ennem. den at tilegne sig Billedet Af en langt simplere Figur, som ikke er beheftet med alle disse forstyrrende Enkeitlieder, er en oprindelig psykologisk Evne lios Mennesket, uden livilken det vilde have vwret det umuligt at bringe nogen Sammenliwng i al Sausningens Virvar. Det er en Abstraktionsevne, som. paa det-nojeste lianger sam men med Manglen af en anden Evne: DifferentieringsevNnen. Man ser det fwlles, almindelige og derved simple i Faenomener, som dog i mindre Ting er ret forskellige, netop fordi man er for uudvikiet til at gore sig Rede for disses Forskelliglieder. Hermed liwnger den barulige Fantasi ogsaa sammen; man kan faa et Barn, og vistnok ogsaa voxne paa et barnligt Kulturtrin, til i en lost udkastet Stregfigur at se, livad man fortwdler dem. o m. I et Omrids med noget, der skal betegne Hoved, Hale og fire Ben kan man faa det til at se en Hest, Ko, Hund eller Kat 1), ja Afbildningen af et enkelt bestemt af disse Dyr. 1) I en Samtale am denne primitive Abstraktionsevne henviste JUL. LANGE CU Gang til POUL MOLLER'S,,L.gdsgaarden i Olsebymagle"', livor Billedkunsten representeres ved en saadan Tegning af et,flrfodet Dyr".

Page 317

119 119 ~~~~~~Idealiteten af de geornetriske Figurer.31 317 Hertil liar vi alt henvist i VI. Kap., hvor det omltaltes, at man behandlede plane Figurer og rette Linier, lrange for man var i Stand til i Ord at give et fuldkomment Udtryk for, hvad en Plan eller en ret Linie er, ja for man twnkte paa, at dette kunde vxre 0nskeligt eller nodvefldigt. For Planers Vedkommende gjorde man sig maaske knap Rede for, at de anstillede Betragtninger knn gw1der om Figurer, d er ligger i en saadan, eller man opdagede forst. dette, naar der gjordes Fors0g paa~ at anvende dem paa Figurer, der i iojnefaldende Grad ikke laa i en Plan. Til at bemwrke saadanne Afvigelser, hvad man sikkert tidlig kunde, horte dog en ret tydelig Forestilling om. en ideal Plan, og hvor fuldstoendig den umiddelbare Tilegnelse at' denne og andre ideale geometri ske Forestillinger liar vwret, for man liar opstillet. Definitioner, fremgaar at', at disse sidste proves efter, livor godt de stem-mer med det forud intuitivt tilegnede Billede. Er man uenig om, hvorvidtL en Definition er god og fyldestgorende, forudswtter de, der forhandler derom, dog fuld Overensstemmelse omn, livad det er, man vii definere. Denne Overensstemmielse goelder ogsa a Sporgsmaalet omi, hvad der virkelig menes med en tegrnet Fignur. Af denne Grund liar vi i de Sammenligninger, vi hidtil liar anstillet mellem den weldre Geometri og den fra PLATON 's Tid paabegyndte belt rationelle Behandling, rolig kunnet gaa ud fra, at Talen er om ganske de samme ideale Figurer, lbaade da. man ikke endnu gay deres ideale Egenskaber Udtryk i Ord, og da. man senere definerede -dein og lagrde Definitioner og Axiomer fl Grund for et synthetisk opbygget System. Disse Definitioner er jo, som forkiaret i Kap. IV, netop dannede ved en A n aly se af de Swtninger, man fornd kendte, og omi hvis Rigtighed man allerede forud var overtydet. Denne Analyse maatte fores tilbage til de Grundegenskaber, man stiltiende, uden at gore sig Rede derfor, maatte have tillag-t Figurernes enkelte Dele, naar de deraf dannede Figurer vi rkelig skulde have de Egenskaber, som. Spetningerne tillwgger dem. De Egenskaber, som Geometerne af den platoniskeuklidiske Skole ad denne analytiske Vej maatte bringes til at ndtale i deres Definitioner og Postulater, viser sig iovrigt at vawre ganske de sammne, som det ogsaa efter Dr. RUBIN's Undersogelser om Synsoplevelser maatte falde natnrligtL at forudswette, o gsaa for man twnkte paa i Ord at ndtale dem, en Omstoendiglhed, der i Virkeliglieden liar sparet Reformatorerne en stor Del af Arbejdet ved den her omtalte Analyse. Som Exempel lierpaa kan vi nwvne Begrebet: Linie uden Tykkelse eller, somi vi vil sige her, iv or vi vwesentlig beskoeftiger os med plane Figurer, uden Bredde, og5 del dermed forbnndne: Pnnkt uden Udstrwekning. Som. vi liar set i Tilslutning til RUBIN, er det fra forst af Fladefigurer, der er Genstand for Synsoplevelser. Linierne trweder forst frem somn Dele af Fladefigurers Begroonsning. Optiwder en Linie som, Groonse mellem. to Fladefigurer, der kan skelnes ved forskellige Farver, bliver, der' slet ikke Anledning til at tillwgge den nogen Bredde. Den oprindelige Opmwrksomhed for Fladefiguren er endog saa. stwrk, at man bringes til netop at Lt~nke paa den, naar dens Omrids gengives ved Streger. Saalwnge man kun toonker paa disse som Fladefigurens Begrawnsning, taonker man ikke paa at tillawgge dem

Page 318

318 318 ~~~~~~~~~~XIII. Kapitel.12 120 nogen Bredde. Og liar de en saa stor Bredde, at m-ani ikke kan undlade at tage den i Betragining, vii ian stakspreomFaefguesalens'L!Sees ydre eller indre Rand, altsaa. virkelig til en Linie uden Bredde, nem-lig Grwnsen mellem. den ved Stregens Bredde opstaaende Stregiladefigur og Tegnepapirets Grund. Vvelger man f. Ex. Midlerlinien mnellem Stregens Grwenselinier, bliyer den ogsaa en Linie uden Bredde. At de Operationer, som. man allerede finder om~talt i Culbasatraerne, i Virkeligjheden hun goelder, naar mian twiiker sig Grwnselinierne som Linier uden Bredde, overbeviser man sigf let om. Den der beshrevne Omdannelse af et Rektangel til et Kvadrat goelder saaledes kun, naar begge Figurer er omgivne af mathematiske rette Linier. Naar dette ikke er Tilfwldet, mien Figurerne er omigivne af en Rand, der for begge bar samme Bredde, han man ikke se saaledes bort fra denne, at man f. Ex. siger, at naar Omdannelsen gwlder for de indre Omikredse, maa den samime goelde for de ydre Omkredse. Nej, den Tillid, son] man med Rette liavde til Omndannelsens Rigtighed, kan hun have vwret knyttet til Opfattelsen af Grundlinierne som. Linier uden Bredde. IDenne Opfattelse liar ved. denlne og mange andre geomnetriske Operationer vweret en Forudscetning, livormed ogsaa Grwkherne regnede, kenige for de slog den fast i en udtryhhelig Definition. Paa lignende Maade faar Punktet som. Grwense for en begrawnset Linie eller som. Skawringspunkt mellemi to Linier ingen Udstrawkningl. Det er saaledes i fuld Overenssteimmelse med, livad den awldre Geometri faktisk havde forudsat, at man, da man ved en Analyse af denne vilde gaa. Lilbage til dens mest elenienteere Forudswtninger for dernw-,st at tage dem, til forste Udgangspunhter for en synthe-tisk Opforelse af et rationelt System, imaatte ende denne Analyse med at betragfte Linierne som. Grwenser for Fladefigurer, der som saadanne ingen Bredde havde, men kun Udstroekning i Lwngde, og paa lignende Maade for Punkter som. Grwnser for Linier og Flader som. Gr~nser for Legem-er. Netop denne Analyse giver sig Udtryk i EUKLID'S forste Definitioner, men i den omvendte Orden, soni baade det hele og Enkeithederne shal antage, naar Udhyttet af en Analyse omsuettes til Synthese. I Definition 1. hedder det: Et Punht er det, som. ikke kan deles; i 2.: En Linie. er en Lvengde uden Bredde; i 3.: En Linies Grwenser er Punhter; i 5.: En Flade er det, som. hun liar Lwngde og Bredde; i 6.: En Flades Grwnser er Linier. I XI. Bog suppleres de med 1.: Et Rum er det, som liar Uenigde, Bredde og Dybde; 2.: Et Ruins Grwnse er en Flade. Man liar ofte i disse Definitioner villet se to 1)Det er i denne Sammenlhveng mindre vxsentligt, at man efter et Forsog af RUBIN S. 180 ogsaa Ikan synsopleve en som Streg tegnet Linie som Linie uden Bredde. Fjerner man sig nemnlig fra den, vil enhver Opfattelse af dens Bredde ophore for Opfattelsen af, at der overhovedet er en Lin'ie. Det samme er lovrigt vel bekendt fra Astronomien for Punkters Vedkommende. Idet vi kan se Fixstjernerne og angive deres Plads, men ikke kan opfatte nogen Udstrzekning af en Fixstjerne, bliyer disse virkelig til Punkter paa Himinelkuglen. Dette er de dog ikke for den nmiddelbare Sansning med det blotte Oje eller gennem Kikkert. Manglen paa synlig Udstraekning opdager man nemnlig derved, at den tilsyneladende Udstrvekning bliyer min'dre, i jo storre Forstorrelse man betragter Himlen. For vor Sy~nsopfattelse fremstiller de sig altsaa altid mied en vis Udstrpekning.

Page 319

121 121 ~~~~~~Idcaliteten af de geometriske Figurer.31 319 Raekker Definitioner paa de samime geometriske Grnndbegreber, som lknnde hidrore fra forskelligle Kilder, og som EU KLID af Troskab mod Overleveringen hiavde ment at burde medtage begge. For en saadan historisk Hypoihese bliver der irnidlertid ikke Brug, naar man loogger Mlwrke fii, at de ganske noje avntager de Skikkelser, som de maa i en Synthese af de E-lementer, som maa fremkomme ved en A nal1y se af den Geometri, der lidligere gjorde prakiisk Brug af de her definerede Begreber. Definitionerne i forste Rxkke, I, 1., 2. og 5., XI, 1. paa Pnnkt, Linie, Flade, Rum er de virkelige Definitioner, de, der skal danne Udgangspunkter for en syntbetisk Behandling; de er de ydersie Groenser, hivortil Analysen kan fore; og de er ordnede efler deres Simpelhed. Ved Analysen maa man vvere kommet til (1cm, i omvend-L Orden. Denne Analyses forskellige Skridt kan man genfinde i den anden Rawkke Definitioner XI, 2., 1, 6. og 3.;,men i Synihesen maa de fremstillesi omvend-L Orden, og deres Plads i Synthesen hoevder de ikke som nye Definitioner paia Punkt, Linie og Plan; nej, ogsaa i dem selv bevxger Synthesen sig i modsat Reining af Analysen, saa-de nu - ogsaa efier deres Ordlyd - bliver Definitioner paa Groenser for Linier, Flader og L egemer, og der-ved forklares, hvad begrrensede Linier, Flader og Legemer er. Ogsaa disse Begreber, fra livis Exisiens Analysen er gaaet ud, og' som i Virkeligheden er Gensiande for mere umiddelbare Sanseoplevelser, maa nu indfores ved ndtrykkelige Definitioner. Som svarende til sidste Led i den geometriske Analyse, dcer har fort lil de virkelige Definitioner paa Grundbegreberne, maa de i Synthesen liver for sig komme efter den lilsvarende Definition. Som man ser, udsiger de anforte Definitioner paa rette PladS netop, livad der ska.1 siges for at have de relic Udgangspnnkter for de folgende Undersogelser, uden at give nwrmere Forklaring eller anstille yderligere Betragtninger; men saadanne bar ganske sikkert baade gaaet forud, ledsaget og fulgi efter Opstillingen af Definitionerne; dertil mnaalte Uvirkelighieden af Begreberne: geometriske Figurdele uden Udstrockning i den cue, den anden eller alle Retninger indbydc. Hvad vi i den Henseende troeffer saa langi tilbage som hos Pythagoreerne og ZENON'), vedrorer nermest Sporgsmaalet om Tilladeligheden af infinitesimiale Grwnseovergange, for hivilke forst langt sencre EUDOXOS fandt en exakiL Form. Naar saaledes Py-thagoreerne definerer ci Pnnkt somi: Enhed med Beliggenhed, s-taar dette i ModswAning til de enklidiske Definitioner, der udelnkkende giver Punktets Beliggenhed. Ordet Enhed peger derimod. hen paa en Bestrwbelse efter at udtrykke Liniers Lamgder ved Tal, der ganslhe vist maa vwre uendelig store, naar Linierne er inkommensnrable, men hvis Forhold man ved en intuitiv Grvenseovergang liar mient at kunne behiandle. En Linie skulde da beslaa af ucudelig mange Punkter. Herimod indvender ZENON med Rette, at bivis Punkiet ingen Udstrwkning har, faar man kun ci Pnnkt, hvor tidt man end geniager dci, og hvis dci liar en nok saa lille Udstrwckning, vil en nendelig Geniagelse give en nendelig Linie. Allerede her trwder ') Heroin henvises til P. TANNERY'S Onmtale af ZENON i,Pour l'histoire de la science lhelne". Paris 1887. D. K. D. vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathenm. Afd., 8. Rwkke. I. 5. 42

Page 320

320 320 ~~~~~~~~~~XIII. Kapitel.12 122 en abstrakit Opfattelse af et PunktI som vawrende uden Udstrvekning os tydelig imode, selv orn Pythagoreerne sogte at omibytte Manglen paa Udstraekning med en uendelig file Udstrookning. Al Matliematikerne ogsaa for PLATON gjorde de ideale Forestilhinger gwldende, ser 'vi, naar Sofislen PROTAGORAS netop bebrejder Matheiniatikerne, at de gor dette og f. Ex. paaslaar, at en Tangent tli en Cirkel kun liar et Punkt fwelles med denne. Paa den anden Side finder man ogsaa Bestroebelser for at bringe Overensstemmelse mellem de ideale, definilionsmoessige Bestemmelser af de geoinetriske Former og deres Optrzeden i Virkeliglieden, og selv om saadanne forsl foreligger fra den eftereuklidiske Tid, kan lignende Betragtninger neeppe have vveret fremmede for dem, der slog de ideale Opfattelser fast i Definilioner. Naar disses Uoverensstemmelse me'd den erfaringsmnwssige Virkelighed vak-te saadanne Modsigelser som fra PROTOGORAS, maatte der nemlig ogsaa fremkomme forkiarende Forsvar. I et af PROKLOS (S. 100, 6-19) anfort Sted] af et tabt Skrift af APOLLONIOS') gor denne gooldende, at nimar man taler om Leengden af en Vej eller af en M\ur, opfatter man denne for saa v~idt kun som en Linie med en Dimension. Mindre slaaende synes det at vvere, naar samnme Sled en Slagskygges Begrwensning noevnes som Exempel paa en mathematisk Linie; Ihi naar Lysgi-veren ikke allerede er et nmatheinatisk Punkt, naar den f. Ex. er Solen, vii. Overgangen mellemi Lys og Skygge finde Sled, i en Stribe af endelig Bredde. I hvert Tilfoelde liar dette Exempel ikke indeholdt noge n Tanke, som kunde vwre fremnmed for dem, der foretog den Analyse, soin ligger bagved EUKLID's Definition I, 6. Iovrigt kan del ikke med Bestemithed ses af PROKLOS' Cilat, orn ogsaa del fra Slagskyggens Begrarnsning hentede Exempel skyldes APOLLoNIos. Denne har dog nelop haft Lejhighed liI at betragle Keglesnitlsinierne soin Gruenselinier for Slagskyggen af en Cirkel eller en Kugle. Dette liar han kunnel, naar han betragtede Lysgiveren som et Punkt, hvad han kunde med samme Ret, som han - i passende Sammenhbeng - betrag-tede en Vej eller en Mur som en Linie. Det hele Cilal viser, at APOLLONios liar fremhaevet Beretligelsen tl - naar det sker i relle Sammenhen~g - at,,betragte" empiriske Punkter, Linier og Flader som matliemaliske, altsaa til, at anvende Geometriens idealiserende Abstraktioner paa, Virkeligheden. Ved denne Forkiaring af de gawngse Abstraktioner er han langt fra at satte sig i Modsatning tl disse. ') P. TANNERY har (Bulletin des Sciences math~matiques, 2 s~rie, t. V. (1881) S. 124-136; Mrmoires scientifiques I, S. 124-138) ved Saimmenstilling af de Uddrag af dette Skrift, sorn forefindes, Og no0gle beslaegtede Uddrag af unwevnte Forfattere forsogt at give en Forestilling omn, hvad dette Skrift kan heave indeholdt.

Page 321

123 123 ~~~~~~~~~Stereometrien.31 321 - Kap. XIV. Stereo metrien. I de foregaaende Undersogelser over Geometriens Omdannelse fra en delvis intuitiv Viden iii en rationel Videnskab har vi kun, nu og da taget Hensyn til Stereometrien, hvor den foreliggende Sammenhwng gjorde det onskeligt ogsaa at medtage stereometriske Anvendelser af de orntalte Principer. At de Principer, som fulgtes ved den virkelig gennemiforte Omdannelse, i det mindste fra forst af var knyttede tl Plangeometrien og forst ved en Udvidelse ligele~des blev gjort anvendelige paa Stereometrien, ses af PLATON'S i III. Kap. omtalte Kiager over Forsomumelse af Stereometrien. Den synthetiske Opforelse af den nye geometriske Loerebygning maatte iovrigt ~gaa nedenfra opad fra Punkt, Linie Iil Flade, swerlig Planen med Figurerne i denne, og forst derefter komme til Rummet med Legemer og andre rumlige Figurer. Lwren heroin begynder EUKLID forst i XI. Bog med at opstille Definitionerne XI, 1. og 2., som vi alt liar omitalt. Men vi omtalte da ogsaa, at forud for de 0vrige syntlietisk formede Definitioner og dermed for hele den foregaaende Geoi-etri maatte voere gaaet den i Def. XI, 2. omdannede Analyse, ved livilken Begrebet Flade som Grwnse for Legeme forst er opstaaet. At saaledes Opfattelsen af Legemer gaar forud for Opfattelsen af Flader, stemmer. med den intuitive Begrebsdannelse, son liar fundet Sted i Geometrien. Og det staar ikke i Strid med det historiske Faktum, at virkelige geometriske Undersogelser forst er knyttede til Geometri paa Flader, swrlig Planen, for Astronomiens Vedkomrnende ogsaa Kuglen. Ganske som -vi liar set, at geometriske Undersogelser af Fladefigurer hurtig tog Skikkelse af Undersogelser af d eres Begrawnsning, var det forst gennemi Fladeundersogelse, at man ilk virkelig Besked om Rumfigurer. At man dog, ja, at vi endnu vedbliver at knytte det, som vi kan erkende om, Overfladen, til Legemet, ses, naar vi kalder Farven af et Legemes Overfiade Legemets Farve, og tillawgger Legemet den Form, sorn dog forst erkendes gennern Overfiadens Form. Selv Matliematikere gor sig ingen Skrnpler af at tale om Kuglens Ligning, naar de mener Kuglefladens Ligning, og at binge Betegnelserne Kegle og Kegleflade noget i Flawng; Sammenhwengen vil vise, livorom. Talen er i livert enkelt Tilfa-lde. Saaledes er der ikke noget langt Spring mellem de geometriske Undersogelser af Legemer og Flader, og, s om vi liar set, kom man snart swerlig ind paa Undersogelsen af plane Figurer; men de intuitive Forestillinger, som, laa til Grund for disse Undersogelser, var i boj Grad knyttede til Legemer og rumlige Forliold. De,,lytningsinvarianter", som man straks gay sig i Lag med, skyldte man Kendskabet til saadanne fysiske Legemer, som kan flyttes fra et Sted til et andet uden nogenl Forandring af Figurdelenes indbyrdes Forbindelse. Det var netop ved disse Invarianter: Afstande, Vinkler o. s. v., at man udtryk-Le denne uforanderlige Forbindelse. 42*

Page 322

322 XIV. Kapitel. 124 Som vi har set, foretoges de weldste geometriske Undersogelser saavel hos Inderne somi hos Grawkerne ved On1awgning af uforanderlige plane Figurer; men dels var Fladerne knyttede [il. Legemer eller endog helit ornbyttede med tynde Plader, dels kunde kun nogle Omilytninger foretages i selve Planen, medens det for andre var nodvendigt a[ tage Figurerne ud i Rummet og l1egge dem omvendt ned i Planen igen. Dette turde vwre en af Grnndene til, aIt MENAICHMOS og EUKLID, der jo netop iTilsiutning til PLATON'S Ordning i VII. Bog af Staten vilde opfore Plangeometrien forud for ogr uafhwngig af Stereometrien, saa ivrig strwebte at undgaa saadanne Omhegninger (se VIII. Kap.). Den intuitive Tilegnelse knytter sig saaledes endog mere umiddelbart, til Rumopfattelsen end til de mere abstrakte plane Figurer. Heraf gjorde man Brug, for den theoretiske Udvikling, som. Geomnetrien efterhaanden fik, stil~lede ret mang ae Midler til. Raadighed. Hertil var Babylonierne henvist ved Samimenligninger f. Ex. mellem Stjerners Opstaaen og mellem en Stjernes samtidige ~Endriinger af Rekiascension og Azimuth. Hertil var ogsaa de wldste grweske Astronomer henviste, om end Projektioner paa indbyrdes vinkelrette Planer, i det mindste ved Konstruktion af Solure, tidligy tillod dem ogsaa at gore Brug Af plangeometriske Operationer. At den delvis intuitive Rumbetragtning gjorde sikkert endnu EUDOXOS og hans Elever Brug under den betydelige Udvikling, som. de paa PLATON's Tid gay den til Astronomien knyttede Sfwrik1). Som Exempel paa en til de astronomliske Bestemmelser knyttet stereometrisk Swtning kan vi nwvne den, at Storcirkler, der danner samme Vinkel med en fast Storcirkl berorer en med denne parallel Lillecirkel. Denne Soetning, der iovrigt kan anfores somn et tidlig forekommende Exempel paa Indhyllingskurver, lnoder os i Forbindelse med saadanne astronomiske Swetninger, hvor Tiden spiller 'en Rolle. DeL er saadanne Sammenblandinger, soin PLATON vil have undgaaet, naar han i VII. Bog af Staten efter at have begyndt at tale om Astronomien synes at komme i Tanker om, at der forud for en rationel. Behandling af astronoiniske Undersogelser maa gaa saadanne, hvor man vel er gaaet over til 3 Dimensioner, men ikke endnu lager Tid og Samtidighed med i Betragitning. Og i denne Stereometri skal tilligre den storre eller mindre Brug af Intuition ombyttes med- roesonnerende Begrundelser, der da heist maa have til Udgangspunkt ligesaa videnskabelig anlagte Elementer som. dem, man var ifoerd med at lxgge tii Grund for piangeometriske Undersogelser. 0nsket orn saadanne stereometriske Elementer maatte tillige stotte's ved at se hen til det Kendskab, man alleredle havde til de regulwre Polyedre. Af disse kendle Pythagoreerne i det mindsle de tre, som. er begrwnsede af Trekanter, saint Terningen, medens Betydningen af det Sted, hvoraf man har sluttet, at de ogsaa kendte det 1)Over den grceske Sfverik, ogsaa over dens Tl~dre Former, faar man det bedste og vistnok paaldeligte Overblik i vor afdode Landsmand A. A. BJORNBO: Studien tiber Menielaos' Sphdirik. Beitrdge zur Gesehichte der Sphiirik und Trigonometrie der' Griechen. (AbhandlUngen zur Gesehiechte der math. Wissensehaften 14, VII 1902).

Page 323

125 Stercometrien. 323 femte, Dodekaedret, anses for tvivlsomtD). Nogen saglig Grund fl Tvivl, eller tii at lIegge synderlig Vwgt paa denne mulige Mangel, er der dog ikke; thi Omtalen af de ovrige Polyedre viser, at man allerede var opmoerksorn paa det Hovedkrav, der stilledes, at Hjornerne maa. begrwcnses af Vinkler i kongruente reguhoere Polyedre, livis Sum er rnindre end 4 rette, og da blev Medtagelsen af del af regulwre Femnkanter begrwensede Dodekaeder i hvert Fald krun et Tidssporgsmaal.. Det Sporgsmaal, i livilke Arter kongruente Polygoner man kan dele Planen, harnger noje sammen dermed og er behandlet af Pythagoreerne (POL5S. 305,3.Dro e~e Pythagoreerne ikke at have bevist den tl Grund liggende STetning om Sumimen af Siderne i et konvext Hjorne i samme Al mindelighed og paa samme Maade, som det sker hos EUKLID i XI, 21., der igen er bygget pa~a Swtning XI, 20., som ndsiger, at Summen af to Sider i et tresidet Hjorne er storre end den tredie. I Beviset for denne Sadtning benytter EUKLID SatninDger af den Del af I. Bog, om hvis Indliold vi i VIII. Kap. liar set, at det i vwsentlig Grad skyldes EUKLID'S (og MENAICHMOS') Bearbejdelse, navulig den, at i to Trekanter ABC og AB1Cl, livor Siderne b-b og c = cl, vii A A1 medfore a a. For at finde de regulwre Polvedre var det derimod nok at vide, at Snmmen af Siderne i et reguke rt Hjorne er mindre end 4 rette, og i dette specielle Tilfxlde fremigaar Swtningen let ved at betragte en retstaaende reguler Pyramide. Ved Udarbejdelsen af virkelige,,Elementer" af Stereometrien fik man derimod det nodvendige Grundlag for Lwren om regulwre Polyedre i den almindeligere og videnskabelige Form, livori det gives hos EUKLID. Samtidig gay EUKLID's Elementer, sverlig den deri indeh-oldte Behandling at Spoi-gsmaal, der afliwnger af Ligninger af anden Grad, saint X. Bogs Klassificering af i-rratio-nale Storrelser, Grundlaget for de videregaaende Undersogelser, soin vistnok THEAITET havde begyndt, og som indeholder Bestemmelsen af Kanterne i et re gulart Polyeder, naar den omskrevne Kugles Dia meter eller Radius er given. hlestemmelserne foreligger vel i Form af Konstruktionsregler; men som overalti den geometriske Algebra giver disse en lignende Anvisning ogsaa paa. praktisk Ber-egning, som vi nu liar i de algebraiske Formler. Deune Undersogelse findes i EUKLID'S X1II. og sidste Bog og kunde for saa vidt gerne opfattes som en videregaaende Anvendelse af de i de foregaaende Boger fremsatte Elementer; men paa den anden Side udgor dens Indhiold selv,,Elementer" for de endnu videregaaende Undersogelser over de samnme Polyedre af APOLLONIOS og dernwst for dem af HYPSIKLES, som man paa Grund af denne Tilslutning liar betragtet som en XIV. Bog- a'f Elementerne. - For Sfeerikens Vedkommende indeliolder EUKLID's Elementer intet udover, livad han selv bruger i Beviset for Kuglers Proportionalitet med Diametrenes Kuber; men de yder de stereom etriske Elementer, som giver ogsaa de sfwriske Undersogelser et videnskabeligt Grundlag. Forst senere sammenstiller MENELAOS i den forste Bog af sin Sfxrik virkelige Elementer for Sfoeriken, idet han om de af ham indforte sfwriske Trekanter opstiller og beviser en Riwkke Swdninger, 1) Se DiEiLs: Vorsokratiker (3. Udgave 1912) I S. 314,12. [Se dog Tilleg oni E. SACHs' nye Arbejde].

Page 324

324 XIV. Kapitel. 126 der svarer tii EUKLID'S OM plane Trekanter; men ogsaa. for disse ligger de af EuKLID i XI. Bog opstillede, Elem-enter af Stereometrien til Grnnd. Disse Elementer hiar saaledes for Stereomnetriens Vedkomimende samnie Formaal som for Plangeometrien de tidligere af EUKLID's Boger og sverlig forste Bog, men er svagere og mindre gennemiforte i den Maade, hvorpaa dette Forinaal realiseres. Herved teenker jeg ikke paa, at visse Definitioner ikke tilfredsstiller de Fordringer, sorn man flu stiller til en genetisk Definition, der hverken maa sige mere eller mindre, end der er nodvendigt for at tilvejebringe Figuren. Disse er ikke opfyldte, naar f. Ex. et Prisme siges at vwre den Rumifigur, der begrwnses af to modstaaende kongruente (liges-tore og ligedannede) plane Figurer og ellers af Parallelogrammer; Tilvejebringelsen og dermed Beviset for Existensen henviser EuKLID nemlig her som andetsteds til Swtninger eller Postulater. Andre Definitioner eller Mangler paa Definitioner giver, som vi snart skal se, Anledning til alvorligere Anker. Hvad man endvidere savner, er noget, som svarer til I. Bogs Postulater; ja, EUKLID gor i XI. Bog end ikke fnld-t ud den Brug af Postulaterne i I. Bog, som netop vilde komme Begyndelsen af Stereometrien til Gode. I I. Bog udlaler Postulaterne, sperlig 1., 2. og 5., nemlig de Egenskaber ved Planens rette Linier, hvortil den geometriske Undersogelse knyttes; men netop ved at Talen er om Linieri samme Plan, uden livilket Post. 5. endog er meningslost, bliver det ogsaa virkelige geometriske Egenskaber ved Planen, som de udtrykker, medens den ved Ordene 6'$ 'iooaqundtrykte Definition (I, 7.) som den tilsvarende Definition paa en ret Linie, kun peger hen paa, at der gives Flader, som man kan kalde plane. Naar det n~evnte og i Virkelighieden allerede i I. Bog nnderforstaaede Svnspunkt fastholdes, vii I. Post. 1. og 2. overfiodiggore XI. Seetning 1., som ndsiger, at en ret Linie, der delvis ligger i en Plan, helt maa ligge deri, og samtidig give simple Begrundelser af XI., 2. og 3., sorm ndsiger, at to rette Linier, der skwrer hinanden i et Punkt, ligger i en Plan, og at to Planers Skweringslinie er ret. EU KLID's Bevis for Swetning XI, 1. er derim-od ligefrem bygget paa XI, 2., idet der antages tegnet en Cirkeli en Plan gennem to rette Linier, somn skwerer hinanden, og denne Plans Existens bevises ved 2. Omvendt benyttes Satning 1. i Beviset for 2., saa der foreligger et virkeligt Cirkelbevis. Selv om EUKLID kunde v~ire kommen ud over disse Swetninger ved en Henvisning til Plangeometriens Postulater, er dog som bekendt endnu et PostulaL nodigL for fuldt ad at karakterisere Planer, nem'lig at to Planer ikke kan have et Punkt fwlles uden at have flere (der ifolge de plangeometriske Postulater da maa ligge paa en ret Linie); men dette medtager EUKLLD ikke. I 0vrigt benyttes som. i Plangeometrien Konstruktioner til Beviser for Existensen af de beskrevne Figurer. Ved Hjwlp af den i XI, 1.-3. beviste Bestemmelse af en Plan ved at skulle gaa gennem to hinanden skwrende rette Linier bygges disse Konstrnktioner paa de i Plangeomnetrien opstillede Postulater. Den Omistcndighed, at de -ikke skal ndfores praktisk, men blot deres Mulighed godtgores, stemnmer ganske mied Opfaltelsen af EU KLID'S geometriske Konstrnktioner som Existensbeviser. Tilstrwkkefigheden af de forud i 20. og 21. opstillede nodvendige Betingelser for

Page 325

127 Stereometrien. 325 Siderne i et tresidet Hjorne, at Sunmmen af hvilkesomhelst to at disse er storre end den tredie, og at de tilsammen er mindre endl lire rette, godigores saaledes i 23. ved Konstruktionen at et Hjorne med Sider, der tilfredsstiller disse Betingelser. Lwcren om Besteinmelsen af tresidede Hjorner ved givne Sider og Vinkler udvikles dog ikke med den samme Fuldstxndighed som, den tilsvarende Lwre om plane Trekanter i I. Bog. Denne Mangel liar MENE LAOS forst senere udfyldt ved den nys omtLalte tilsvarende Lawre om, sfeeriske Trekanter. Det er i0Vrigt ikke mindst vred Behandlingen af tresidede Hjorner, at et Savn ved LUKLID'S OpStilling af stereomnetriske Definitioner bliyer foleligt; det er ogsaa. her, at man inaa soge at forkiare det. EUKLID skelner ikke mellem kongruen-Le og symmetriske Rumifigurer. At Grookerne overliovedet ikke skulde have haft 0je for denne Forskel, er ganske utw nkeligt, naar man ser hen til den grwske Kunust. Soerlig deres Bygningskunst virker jo bestandig, ligesom allerede den wegyptiske, dels ved en Gentagelse af de samme Figurer, dels ved Sammenstilling af indbyrdes symmetriske Figurer til saadanne, son liar indre Symmetri. Den Bygmester, somn gjorde Brug af disse Virkemidler, maatte vwre ganske fortrolig med Forskellen paa de Sten, som skulde vawre blotte Gentagelser, og saadanne, der skulde anvendes i forskellige, men indbyrdes symme-triske Dele af Bygningen, f. Ex. paa de modsatte Sider at en Gavi. 'Selv i Billedhugger-kunsten gray man jo i den wldste Tid ogsaa de menneskelige Figurer det, SOM JUL. LANGE liar kaldt en frontal Stilling, som lod det menneskelige Legemes Symmetri treede umiddelbart frenm, og en Billedhugger vilde ligesaa godt vide, om. et 0re, der var faldet at enl Billedstotte, var det hojre eller det venstre, som en Bygmester vilde kunne se, on] et Brudstykke at en Gavi horte til dens hojre eller venstre Side. Mathematikerne, livis Runusans maatte vwere 0vet ved virkelig forekommende Genstande, kunde ikke, naar de- rationelt skulde gore Rede for Rumformer, til hvis Egenskaber Praktikerne alt havde et intuitivt Kendskab, overse den her nwvnte Forske]. De kunde snarere betragte den som saa iojnefaldende, at det ikke var nodvendigt at omlale den nwrmere. Til dette kunde de dog kun torledes af Bestrwbelser efter under det ideelle SLudium at den fra. Virkeligheden abstraherende Geometri at gaa. saa vidt i deres Abstrak-tioner, at denne Forskel maatte betragtes som u-vwsen-tlig. Ganske uden Hensyn til, om man vil billige et saadant Standpuinkt, maa Historikeren bestraebe sig for at to rs ta a. det og de Grunde, son liar bragt EUKLID og hans samtidige til at indtage det. En god Vejiedning hertil taar man vedl EuKLID's Behandling af de tils-varende, plangeometriske Sporgsmiaal. Her har vi set VIII. Kap., at EUKLID bestrzeber sig for saa meget som muligt at undgaa. at b evise Ligestorhed ved en ved Flytning tilvejebragt Sammenfalden, paa. samme Tid som han ikke kunde undgaa. i Alm. Begr. 7. at anfore en o pn aa et Dxkning sorn Kendetegn paa Ligestorhed. Naar han i I, 4. vilde benytte dette IKendetegn, kunde det dog, trods hans ojensynlige Bestrwbelser, kun ske paa en Maade, der mindede noget om den mekanisk auskuelige Flytning, hvad, som vi saa, hans egne samtidige misbilligede. Svagheden i hans Betragtning beroede paa, at Satningen forst

Page 326

326 XIV. Kapitel. 128 vilde kunne anvendes, naar Flyltninigen kan om'byttes meed en. Konstruktion af den paag,-eldende Figur paa. et nyt Sled. Den paastaaede Ligestorhed af alle den nye Figurs Dele mned den oprindeliges komnmer da fl at bero paa, aL Figuren paa. dens Beliggenhed noer bliver fnu1dk o mm en b estemn -I ved de Stykker, der opgives at va!,-re ligestore. Det er denne Entydighed, som bevises ved,,Alm. Begreber". Del er overensstemmiende hermed, at EUKLID overhovedet ikke indforer Begrebet k-ong ruent i dets' nuvwrende Betydning, nemnlig soml Betegnelse for Figurer, der ved Flytning kan bringes tii D.ekning. Det stemmer ogsaa hermed, at han heller ikke i Planen skelner mellem saadanne Figurer, som. allerede ved Forskydning i Planen kan bringes tl D.Tkning, og saadanne, hvor endnn en Omlegni ng er nodvendig, en. Forskel, der, naar man som EuKLID vii hehiandle Plangeometrien ganske selvstawndlig nden at gaa udenfor Planen, er figesaa. betydningsfuld som den mellem Kongruens ogs Symmetri i Rummiet. Han bruger kun, at del med Hensyn til den sogte Ligestorhed af Figurers enkelte Dele er ligegyldigt, om en Figur skal konstrueres tl den ene eller anden Side af en opgiven fast Linie, p ~~og at dette derfor-end ikke hehover at siges. Hvorledes EU KLID ved samme Betragtning kan paavise Ligeslorhed mellem. Storrelser i Rummnet paa en Maade, der ganske L steammer med den, hvorpaa han gor del i Planen, kan. bedsL ses af hans Behandling at Iresidede Hjorner. Hans Soctning XI, 23. indeholder, som allerede bemrerke[ hans Bestemmelse af' X ~~et saadant ved Ire Sider, som tilfredsstiller de i 20. og 21. Dwvnte ~'nodvendige B elingelser. KonstruLdionen udfores ved, at der paa de tre Vinkler, som skal vT-re Hjornets Sider, afs' ttes indbyrdes ligestore Ben, hvis Storrelse vi vii kalde a. Af GrundliniFig. 14. erne i de derved bestemlte ligebenede Trekanler kan da. (Fig., 14) konstrneres en, ifolge I, 8., paa. Beliggenheden nwr fuldkonmmen bestemit Trekant LMA. I Centret af dennes omskrevne Cirkel X oprejses dernwst en Linie vinkeiret paa. dens Plan. Idet de Hjornets Sider paalagte Belingelser m-edforer, at Radius r i denne Cirkel er mindre end a, kan man paa. den nvevnte vinkelrelle afswtte XP =-V'al -- r-, og Hjornel P vii da netop have de opgivne Sider. Ser man hort fra den fuldkomimen vilkaarlige Beliggenhed af Trekaniten og fra, om Pnnkete -P tages paa. den ene eller anden Side af Planen ALM, giver denne Konslruktion en entydigf Bestemnmelse af Hjornet. Paa denne Entydighed maa. der kvegges stor VoegL, skont EUKLID ikke fremih~ver den, thi den giver del enesle Grundlag for Rigtigheden af hans Anvendelse af S~tningen. 1 26. konstruerer han saaledes et tresidet Hjorne mied givet Toppunkt, en given Kant (og en crennein denne gaaende Sideflade), som er,,ligt" ( rn) ed et givet Iresidet Hjorne, og [il at b)eg run de denne J,,ighed" af det konstruerede Hjorne mied del givne, findes dei' hos ham inlet andel end netop den i 23. ndforte Konstruktion og den Oniskendighed, at denne under de givne Forudswtninger om del fri VaIg af Beliggenheden, derunder frit VaIg mellem symnmetriske Beliggenheder af F, er entydig. Det er ogsaa.

Page 327

129 129 ~~~~~~~~~Stereomrnetrien.32 327 kun ad denne Vej, at man faar kiar Besked onii, hvad EUKLID mener med den her paastaaede,,Lighed". Den vii i Virkeligheden omfatte Ligestorheden af alle,Flytningsinvarianter", naar Flytning udvides paa saadan Maade, at den indbefatter Omby tning af en Figur med en dermed symimetrisk. Hjornernes Lighed vii da indbefat~e ej blot den fo~rudsatte Lighed meliem, Hjornets Sider, men ogsaa Ligheden meillen. dets Toplansvinkler. Saadanne Vinkier defineres i XI. Def. 6; men EUKLID nawvner dem ikke swcrlig i 26. Forstaaet saaledes er den omlalte,,Lighed" virkelig bevist ved Entydfigheden af IKonstruktiouien 23., idet man nok tor antage, at EUKLID, der i I. Bog stiltiende har antaget Mu ligheden af en Flytning i Planen (se S. 72 (270)), ogsaa stiltiende anlager den i Rumnmet samlidig med, at Begrebet Flytning udvides ved deri at indbefatte en Ombytning med den symmetriske Figur. Begge Sleder er det ved en LKonstruktion, at den blot som. mulig forudsatte Flytning virkeliggores. Den her nwvnte Udvidelse steminer i Virkeligheden ganske med de rationelle Principer, som EUKLID bestandig folger. Der gives jo nemlig intet Middel, hvorved man paa Forhaand kan karakterisere den ene af to symmetriske geometriske Figurer, som. ikke ogsaa. vilde passe paa den anden; forst naar man har valgt den ene, kan mnan karakterisere Forskellen mellem en dermed kongrnent og en dermed symmetrisk Figur. Forst naar man i det foreliggende Tilfw1de liar valgt den ene Side af Planen ALM, kan man derved skelne mellem,den samme" og,,den modsatte" Side. Paa Forhaand gives der altsaa inlet Middel, hivorved man kan sige om, det Hjorne, man i 23. vii konstruere, skal vere del ene eller del andet af de to indbyrdes symnmetriske Hijorner, der kan bestemmes, og EUKLID, der netop vii have det r a t i on elIe frem, det, der kan udtrykkes i Ord 1), foler sig bundet tl ikke at kegge mere V~egt paa denne Forskel end paa den, der kan hidrore fra de forskellige mulige Beliggenheder af Trekant LMA, der, naar ikke mere er givet, heller ikke kan beskrives iOrd. Bag efter kunde han dog have tilfojet,. at man faar to forskellige Hjorner, der ikke kan bringes ill Dxkning ved mekanisk Flytning. En Forkiaring heraf bdeogsaa findes i en i moderne Forstand elenienltxr Fremstilling; men derLil finder EUKLID ingen Anledning, netop fordi han ikke vii tale omn mekanisk Flytning. Det er de absolute Bestemnielser, EUKLID vii have fremn, og det er ikke absolut, men kun relativi i Forhold tl hinanden, at man kan skeine meliem. Beskrivelsen af to symmetriske Figurers Egenskaber, ligesom. ogsaa. Stedbestemmelser i Rummet er relative. Derfor nwvner han i Rummet ligesaa lidt kongruente som symmetriske Figurer, ja synes endog at swtte en iEre i at kunne undgaa del og at kunne behandle saadanne Figurer under et..Del er altsaa ad den samme Vej som i Plangeometrien, at EUKLID har kurn.net paavise Ligestorhed i Stereometrien. Denne Vej er endog bleven vwsentlig forkortet ved Anvendelse af det, som, allerede var opnaaet i Pianigeometrien. I denne maatte han benyite,,Almnindelige Begreber" 7. og 8. tli i Swtning 1, 4. at bevise 1) At Jet er denne Omnstoendighed, der i EUKLID'S FremStillfing hiar fjernet Forskellen mellem korngruente og symmnetriske Figurer, liar ogsaa Prof. JUEL freush~mvet i en Samatale heroin. D. K. 0. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidcnsk. og mathenm. Mdt., 8, Re~kke, I. 5. 43

Page 328

328 328 ~~~~~~~~~XIV. Kapitel.13 130 Entydigheden af en Konstruktion, som. han' forst senere var i Stand tli at udfore. I Stereomietrien derimiod fremgaar Entydigheden af den Konstruktion, som her naa~rmest svarer til K onstruktionen af en flyttet Vinkel, nemlig den af et Hjorne med givne Sider, af det i Plangeometri~en beviste, saerlig af 1, 4., livor de,,Ahmindelige Begreber" allerede er anvendte, og han fritages saaledes nu for at vise tilbage tl disse. Den Omstendighed, at Behandlingen derved bliver mindre udforlig, forbunden med nogen Mangel paa Udiryk for den mere almindelige Synsmnaade, som. paa en Gang skal omifatte kongruente og sym-metriske Figurer, har imidlerLid givet Plads for nogen Uvished omi Roekkevidden af hans Paastande, saaledes om, Om~fanget af del udefinerede Begreb:,,Lighed" af Hjorner. Dette trooder saaledes frem- i en Bemwerkning af R. SIMSON, som. HEIBERG tiltrawder i sin Udgave af EUKLID (II. Bd., S. 81, Note 2), nemlig at EUKLID inletsteds bar bevist den i XI, 26. benyttede Paastand, at tresidede Hjorner mied samme Sider er,,ige". Dette Sa-vn maa vistnok gaa. ud paa, at det ikke ved at lvegge det ene Hjorne over paa det andet er bevist, at Hjornerne er kongruente. I det Tilf~elde, livor Hjornerne ikke bliyer symnmetriske, vii Be-visel herfor kunne opnaas ved de samme Betragtninger som. den af os paastaaede Entydighed; men til et saadant Paalegningsbevis kunde EUKLID ikke indskrwenke sig, dels fordi han vii undgaa mekanisk Flytning, dels fordi der saa intel Hensyn toges tl den anden Muliglied, nlemlig at Hjornerne kan vawre symmetriske. Det er Bestrwbelserne efter at tage begge disse Hensyn, som, noget har dwekket over den Bevisforelse, soni 23. i Virkeligheden rumimer. Jeg fastholder saaledes, at EUKLID ikke har overset den fra Kongruens forskellige Symmetri. For Iresidede Hjorners Vedkommende eller for den dermied ensgaildende Behandling af sfreriske Trekanter [r~eder dette endnu tydeligere frem. i MENELAOs' alt nwvnte mere indgaaende Undersogelser af dette Em-lne. Udlaleiserne passer ligegodt paa kongruente og symmetriske Trekanter, idet der som. i EUKLID I, 4. blot siges, at Trekanter, der liar visse Slykker ligestore, ogsaa maa have de 0vrige Stykker ligeslore. Og i Beviserne undgaas alle Operationer, der ikke ligesaa vel kan passe paa symmetriske som. paa kongruente Trekanler. Herpaa gor -BJ0RNBO opmwrksom i sit anforte Skrift (se swrlig S. 32). Naar man liar fundet ud at; hivad EUKLID mener med den,,Lighed", som. skal finde Sted mellem. to I residede Hjorner, der liar samme Sider, og som. altsaa er enten kongruenle eller symmetriske, og livorledes han kan mlene at have bevist den -ved Konstrnktionen i 23., vilde man ikke finde del urimeligt, om, han var vedblevet at anvende den samme Behandlingsmaade paa Storrelse og Form. af Legemer. Efter at have konstruerel tresidede Hjorner vilde han med Lethed have kunnet konstruere en tresidet Pyramide f. Ex. med tre givne Sideflader, og denne Konstrnklions Entydighed, fraset Forskelle i Beliggenhed og Symnmetriforskel, vilde her vwere ligesaa indlysende som. i 23. for Hjornernes Vedkommende. Dernawst kunde alle Polyedre sammensattes af tresidede Pyramnider. En saadan Fremstilling vilde vawre elemenLawr i samme Forstand som, I. Bog og frasel Manglen paa en formel Definition have den Soliditet, som. de gamile krawede af,,Elementer".

Page 329

131 131 ~~~~~~~~~Stereometrien.32 329 EUKLID har derimod faaet Skrupler ved ogsaa at skuile behandle Legemer, der jo i Modsaetning tii Hjorner virkelig har en "Storreise, uden at give dette Begreb en udtrykkeiig Definition. Af Hensyn til, at han ikke alene -vii gaa ud fra, at kongruente Legemer er ligestore ogr ligedan nede, men ogsaa fra, at symmetriske Legemer skal vere det i den Betydning, hvori han lager disse Begreber, maa han nemiig have anset en Henvisning tl I. Alm. Begr. '7. for utilstraekkelig. Han har imidiertid paa flere Maader vaeret uheidig med den Definition, som han har opstiliet, nemlig XI., Def. 10.: Ligestore og ligedannede Polyedre er saadanne, som. indesluttes af ligemange, ligestore og ligedannede Sideflader. Dermed sigter jeg dog ikke til, at der tages flere Betingeiser med end nodvendigt. Som, ogsaa ARISTOTELES frem~haver, skal Defi~nitionen jo kun, sige, hvad det definerede er; men det skal bevises (eller postuieres), at det er. Der risikeres aitsaa ikke noget ved at give for mange Kendetegn; thi forst i Existensbeviset skal del sikres, at de Legemer, der har det tilstrwkkelige Antal Kendetegn, ogsaa har de ovrige, som opstilies. Heiler ikke skai jeg dvaile ved, at der ikke ndtrykkelig siges, at den indbyrdes Ordn'ing af disse Sideflader skal vaere den samme, saavidt den kan ndtrykikes i Ord (hvad der ikke udeiukker, at den kan vwere symnmetrisk tiisvarende). Varre er del, at EUKLID benytter den formelle Frihed, som. Brugen af en Definition giver ham, til at skaffe sig Lettelser, som inaa efteriade et Savn hos Laeseren. LEGENDRE har bemmerket'), at her ikke foreligger en Definition, men en Swtning, som. krwever et Bevis. Hertil kan siges, at en Svetning ikke kan opstilies, naar der ikke for Poiyedre foreligger en bestemit og ntvetydig Forkiaring paa, hvad ligestore og ligedannede Poiyedre er, som. ogsaa omfatter symmetriske Polyedre. Disse har EUKLID ment at maatte tage med i Definitionen, da han vistnok ikke har set, hvad der nn er bekendt, at Ligestorheden af symmetriske Legemer kan bevises, naar Ligestorheden af kongruente Legemer er indroimmet. Naar han nu har folt sig forpligtet tl at opstille en sverlig Definition for Polyedres Ligestorhed, har han anset sig for ligesaa fri, som. da han i Plangeometrien opstillede swrlige Definitioner paa. Ligedannethed af retlinede og krumlinede Fignrer (se S. 91 (289)). De intuitive Forestillinger, som heist sknide tiifredsstilies ved Opstiiiingen af saadanne Definitioner, som. giver Begreber anvendte paa forskeiiige Figurer sanime Navn, gor han ikke Rede for - del gor man i del heie ikke i den rationeile Behandiing - og da mener han i sin Definition at kunne binge saadanne Kendetegn, som. han seiv anser for tilstraekkelige, og som. tillige er lette at legge tl Grund ved forekommende Anvendelser. Han vilde have haft iette're ved at faa Laeserne tli at godkende hans Definition, livis han forst havde bevist, at Hjornerne i et Poiyeder med ligestore og iigedannede Sideflader er, hvad han i 26. har kaidt,,iige", og at Topianvinkierne saaledes er iigestore; naar mindst et Hjorne paa hver Kant er tresidet, vii dette kunne bevises ved Sawtning 23. Vawst er del dog, at denne Savtning, der maatte ') Angaaende de Bemverkniinger, somn i Tiderns Lob er gjort til den foreliggende Definition, kan henvises til HEATH III S. 265 f. 43*

Page 330

330 XIV. Kapitel. 132 vvere en nodvendig Betinigeise for at kalde Polyedrene ligedaclnnede, ikke aitid er rigligr, og at Poiyedrene da heiler ikke kan kaides ligestore. Som Exompel herpaa n~vner R. SIMSON Poiyedre, der er dannede sorn Sum oiler Differens af to Pyramider paa. sammo Grundflade (Differens i det Tilfxide, at de hegge ligger paa sammie Side af denne). For at nwvne et Poiyeder, som ogsaa. EUKLID senere behandler, kunde man af et regu1lert Ikosaeder d anne et andet med samime Sideflader ved at lade den Pyramide, der tl Sideflader har do 5, som ligger om samme Hjorne, gaa indad. Disse Exempior viser, at helier ikke Formen af en Definition tilsteder hivilkesomheist Fi'iheder. En Definition maa. ikke komme i Strid mied andre af de opstiliede Forudswt~ninger, men vilde her komme i Strid moed I, Aim. Begreb 8., at en Del er mindre end dot hele. Man har villet undskylde EUKLID med, at han her kun skulde tale oni konvexe Poiyedre, og CAUCHY liar fort et Bevis for,,Definitionens" Brugbarhed i dette Tiifteide; men deis nvevner EUKIDm ikke denne Indskroenkning, dels tyder intet paa, at EUKLID liar kunnet fore et saadant Bevis for, aL Hjornerne i det Tilftelde bliyer lige" oiler Toplansvinklerne ligeslore. Dette kan han vel, og endog megot let, i alie de Tilfrolde, som han virkelig bohandlor; mnien dot or en let kolit og, som. dot har -vist sig, unegte Pynt, naar EUKLID liar udstrakt sin Definition til at skuile g~elde alle Polyedre uden at prove, om, do nodvendige Betingelser herfor or jilstedo, med samme Omhun, som han -vildo have anvendt, hvis Talon havde voeret om. en Setning, som. skulde b evises. At dette, saavidt man ved, liar kunnet gaa. upaatalt hen i Oldtiden, da. saa. mango store Mathematikero byggede paa EUKLLD, ma~a hero paa, at man i Virkelighoden kun liar behandiet donno Definition som on Pynt, som ikke hrugtes udover saadanne Tilftelde som dem, tivor EUKLID selv anvender don, og hivor den paastaaede Ligestorliod ikke efteriader nogen Tvivi. I Foleisen af don Tryghed, hivormod manl med fuideste Rot i Aimindolighod kunde hygge paa EUKLID, gay man sig ikke tli aL prove, omn han havde Ret i at udstrwkke on saadan enkelt Paastand ud over dot Omraade, hvor man gjorde virkelig Brug deraf. I saadanne Undtagelsestilfaelde som. dem, vi liar nxvnt, vilde man ikke taenke paa at anvende hans Definition paa dot ukonvoxe Legenme, men betragte dette som on Differens mellem to konvexe. Og solv den, dor hemawrkede Mangien paa Overensstemmeise med hans Definitions Ordlyd, vilde saa mono, at denne kun skulde goelde konvexe Legemer, og for disses Vedkomimende stole paa. LUKLID uden nojere at prove hans Paasiand. Hvad her or sagt om ligestore og ligedannede Polyedre, gvelder ogsaa om. Definition 9. pa~a ligedannedo Polyodre. Swerlig skal ~i hiot fr'emhweve, at ogsaa L igodannethed hos EUJKLID maa omfatte haade, hvad vi nu kalder Ligodannethed, og hvad vi kalder symmetrisk Ligedannethed. A n mve r k ning omi B r ug a f F or tegn. Endun skal jog tilfoje, at der or nogen Overensstemmelse med don her om~talte Mangel paa Skelnon imellom Kongruens og Symmotri og Manglon af Fortogn ho's do gamrle. Som] nys bemwrket vilde der vwro ligesaa megen Grund. som, i Rummot til ogsaa i Planon at mnedtage don noevnte

Page 331

133 Stereometrien. 331 Skelneii, naar man dog ikke vii bruge Flytninger og miindst saadanne, livor en Figur m-aatte tages nd, af sin Plan. Ved den geomietriske, Fremistilling af algebraiske Forhold er det tilsvarende ved Operationer med en Dim-ension en Skelnen mellem de to Retninger paa en ret Linie ved et Fortegn - eller noget, som svarer hertil. Ogsaa denne Skelnen er imidlertid nnderkastet den samme Relativitet sorn den miiellemi Kongruens og Symmetri; hivilken Retning der skal vwr e positiv eller negativ, beror fra forst 'af paa et Vaig, og ikke blot saadanne Valgf undlader EUKLID, men ogsaa det af Enhed, som nndgaas ved overalt at operere med Forhold, og det af' et fast Begyndelsespunkt for Liniestykker (Abscisser), hivorfor et Liniestykke betegnes ved begge sine. Endepnnkter. EUKLID liar sikkert endog sat Pris paa den derved opstaaedle formelle Almnindelighed, saaledes at Sinetninger og Beviser under et omfatter Fignrer, som vi vilde kalde kongruente og symmetriske. Iovrigt maa bemwerkes, at det at trweffe de nwvnte VaIg heller ikke paa langiL tiwr vilde vwere af den Betydning for den Algebra, der bruger geometriske Symboler, som for den, der brugler litterale Betegnelser for S[0rrelser og Operationer. Kan der end saaledes vwere andre gode Grnnde til at prise den nuvwerende Symboliks, overordentlige Fordele, maa man ikke dertil foje Brugen af en bestemt Enhed, at' et fast Begryndelsespunkt og af Fortegn eller af Begrebet Symimetri, som yderligere Fortrin, men som Fordele, der er blevne swrlig betydningsfnlde for den, der bruger den litterale Symbolik. I de enkelte Tilfbelde kan det for den, der bruger den geonietriske Symbolik, endog bringe Fordele ikke at have truffet disse VaIg. Vi liar saaledes S. 56 (254) set, at Gnomonfiguren ikke alene udtrykker det sanmme som vor Formel for (a +b)2, baade naar a og b liar samme, og naiar de liar miodsat Fortegn, men tillige det, som. vi udtrykker ved Formlen a' -- b (a +b) (a -- b). Pan den anden Side mian det indrommes, at noget, der' svarer til at regne Storrelser med Fortegn, pan flere Steder vilde have sparet dle gamle for en Udstykning i forskellige Swtninger;.det vilde f. Ex. have tilladt dem at beha~ndle det elliptiske og det hyperboiske Fladeanlwg under et. Kap. XV. EUKLID og hans Elementer. Den Tid ligger ikke langt tilbage, da man kaldte EUKLID Geometriens Fader og deinmed forbandt den Forestilling, at paa nogle Undtagelser nwr, soin allerede PYTHAGORAS havde opdaget, baade den geometriske Viden og den rationelle Begrundelse deraf, som. vi finder i EUKLID's Eleinenter, i det vwsentlige skulde skyldes ham. Dette var en uhyre Undervurdering af deL Tankearbejde, som liar vineret nod

Page 332

332 332 ~~~~~~~~~XV. Kapitel.13 134 vendigt for at vinde, udtrykke og begrunde den store Sum af Viden, sorn Elementerne rummer. Efterat den en Gang er samlet, kan den vel tilegnes i Lobet af nogle Lwreaar, saaledes som det sker i yvore Skoler; men at dette er blevet muligt, skyldes Forarbejder og en videre Bearbejdelse, som ikke kunde vvere en enkelt-Tidsalders, endsige en enkelt Mands V~rk. Den nvevnte Opfattelse af EUKLID'S Udforelse af dette Storvwrk er da. ogsaa bleven. grundig vendret ved det sidste halve Aarhundredes historiske Forskning, swrlig efter at BRETTSCHNEIDER i:,,Die Geometrie un1d die Geometer vor Euklides" (1870) havde henledet Opmoerksomheden paa de Oplysninger om den foreuklidiske Geometri, som findes i EUDEMOS', ved PROKLOS bevarede, Mathematikerfortegnelse. I Tilslutning til denne har man fra mange Sider, ikke mindst gennem det opbevarede Fragment af HIPPOKRATES fra Chios, kunnet paavise baade en awldre geometrisk Viden og en Evne til at binge denne, som, om end paa et mere begr~enset Omraade, ikke staar meget tilbage for den, man forst vilde vente hos dem, der bar studeret EUKLID. Paa samme Tid kunde man van. skelig losrive sig fra. den Tanke, at man under Erlivervelsen af denne Viden i det vw~sentlige maatte vvere gaaet samme Veje, somn vi lwrer at kende hos EUKLID, og som vi ogsaa. den Dag i Dag er tilbojelige tli at betragte som de eneste naturlige eller dog de eneste nogenlunde paalidelige. Naar saaledes G. J. ALLMANN i sin Bog:,,Greek Geometry from Thales to Enklid" (1889) med stor Omlin sammenstiller 'de Oplysninger, som ad forskelligle Veje haves om hver enkelt Mathemnatikers Bidrag eller Viden i det paagaddende Tidsrum, og han vii forklare sig Besiddelsen af denne Viden, viser han paa. ethvert Punkt hen tli saadanne Betragtninger, som vi nu i Tilsiutning til EUKLID 'vilde anstille. Saadanne Betragtninger er man i det hele bleven tilbojelig til. at tillegge de awldre Mathematikere sammen med den positive Viden, som Beretningerne omi dem gaar ud paa. Man bar endog i EUKLID's For-. deling af Stoffet i de forskellige Boger ment at 'se en mere eller nmindre tilfreldig Sammenlstilling af det Stof, som er overleveret ham fra forskellige Tider. EUKLID faar da, fraset enkeite Udvidelser af Stoffet, som man ikke vii. frakende ham, vwsentlig kun XEren for at have givet Enkeithederne de efterbaanden udvikiede Former, der lader Slutnlingernes indre Sammenboeng troede tydelig frem ogsaa i del ydre. I Udviklingen af disse Former, der dels er gaaet forud for den aristoteliske Logik, dels er fremkomne under Paa~virkning af denne, og i deres Tilpasning til Fremstilling af mathei-matiske Swtninger og disses Begrundelse, bar EUKLID tilmed haft Forgeengere i de adldre Elementforfattere. I Henhold til saadanne Betragtninger er Historikere i Nutiden komne til. en Opfattelse af EUKLID's egen Andel. i hans Elemnenter, stik modsat den ovenfor noevnte. Den vendrede Opfattelse giver endog PAUL TANNERY, der dog er den gr'undigste Kender af den oeldre grwske Mathematik, og somn har givet de bedste Oplysninger om de Hjwlpen-idler, som i den kom tii Anvendelse, Udtryk, naar han i sin Artikel om EUKLID i,,La Grande Encyclope'die" 1 siger, at,,Elementerne", og hvad der ellers er bevaret fra EUKLID's egen. Haand, ') MWmoires scientifiques, t. III. S. 365.

Page 333

135 135 ~~~~~~EUKLID og hans Elernenter.33 333,,ne suffirait pas pour attester son originalit6 Pomm g -inkre", men derimod grunder sin Formening om hans freinragende Betydning som saadan paa de Beretninger, som foreligger om hans ovrige Arbejder. Ogsaa jeg finder vel, at Beretningerne om disse andre Arbejder vidner om EuKLID'Ys store Fortjenester, men Jeg mnener, at del i langt hojere Grad er det Vverk, livortil EUKLID's Navn liar vveret knyttet i over 2000 Aar, som liar gjort ham veerdig tli den Haeder endnu at mindes ogsaa udenfor Malliematikernes og Historikernes Kreds, og det er for denne Mening jeg tror at have givet gode Grunde i nxrvaerende Skrift. Ganske vist liar jeg deni fremhwevet det Omfang, som den matliemaliske Viden havde naaet allerede for PLATON; men jeg liar lillige vist, livorledes denne Viden kunde naas, uden at man da foregreb saadanne Betragtningsmaader som. dern, der swrlig karakteriserer EUKLID. Man brngte da en Intuition af en hell anden Art og et andet Omfang end den, hvis Resultater sammentrxnges i de af EUKLID udtrykkelig opstillede Foruds~etninger. Man drog ogsaa sikre og gode Slutninger; men isolerede, som de var i deres Anvendelser paa de Sporgsmaal, som man netop liavde for Oje, savnede de den v idenskabelige Sammenhiwng, uden livilken man Vet baade selv kan vinde og bibringe andre personlig Tillid tl de vundne Resultater, men ikke fore et fuldst~endigl malhematisk Bevis. Dertil var del ikke nok at udbedre de logiske Former, livorunder man udtrykte de enkelte Swtninger og deres Begrundelser. Der maatte opfores en sainmenliwngende Lxrebygning, hvori livert Led kunde stotte sig paa det allerede beviste, og deltte kunde, som vi liar set, kun naas ved en fuldstiendig Omformining af tidligere Opstillinger. EUKLID's Elementer er det enldelige Resultal af denne Omformning; i dem er PLATON'S Idealer realiserede paa en Maade, der ogsaa stemmer mned de af ARISTOTELES opstillede logiske Regler. Menneskeheden er med Hensyn tli det ved EUKLLD naaede Standpunkl gaaet samine Vej, som efter mange Vidnesbyrd mathemaliske Opdagere og Opfindere i Reglen gaar i deres personlige Arbejder. Forst kommer de tl deres Resultaler gennem Analogier, Intuition saint Slulninger af ret isoleret Beskaffdnlied. For Udgivelsen, og vel ogsaa for selv at modstaa Fristelsen tl at give deres Resultaler en for stor Rwkkevidde,2 maa de derimod gennemnfore et fuldstwndigt Bevis. Del er ikke mnindst i denne sidste Henseende, at man i yore Dage liar skwrpet Fordringerne og lagt et stort Arbejde ind paa at opfylde dein og swtte andre i Stand tl at opfylde dern. Naar man nu netop i vor Tid lhegger saa stor V~egt paa dette Arbejde, bor man se swrlig hen tl EUKLID, der er gaaet i Spidsen. Del kan ikke undre, at de, der nun bestraeber sig for, ogsaa paa videre Omraader, at naa den samme absolute Exakthed, sowi EUKLID tilsiglede, bedre end andre kan se, livad der mangler hami i virkelig at naa dette Maal; men de fristes ogsaa tl at forse sig saaledes paa dle Veje, ad livilke de selv mener at gaa trygt, at de ikke nojere prover, om man ikke ogsaa kan komme frem ad denm, somn EUKLID liar fulgt, og om del ikke ofte ved en grundigere Provelse af imeget hos ham, sonm man i lange Tider ikke liavde paaagtet, skulde vise sig, at EUKLID blot under andre Fortner har set og overvundet de samime Vanskeliglieder, som Nutiden liar faaet 0je paa. I alle rTilfeelde bor de

Page 334

334 334 ~~~~~~~~~XV. Kapitel.13 136 sa-[te EUKLID hojt sorn den, der oprindelig har brudi de Baner, som man atter DU slaar ind paa. I disse Linier liar jeg vel for Nem~heds Skyld omIalt det Vaxrk, som. EUKLID bragte tli Afslutning, som. EUKLID'S Vverk, medens jeg her i init Skrift har vist baade dets Overensstemmelse med PLATON'7s Tilskyndelser og del udmawrkede Arbejde, som. PLATON'S Sanmtidige og nwerrere Efterfolgere har sat ind paa at fremnme det, og den Andel, de liar i dets endelige Skikkelse. Jeg tror dog, at Skildringen lieraf fremfor alt vii have vist, hvor storL og onmfattende dette Arbejde liar vawet, og at der saaledes blev nok tilbage for EUKLID selv. Bestrebelserne for at gennemnfore den tilsigtede Reform og Forliandlingerne derom. mellem. enD Mwngde dygfige Mend strakite sig da ogsaa saavidt, at Beretningen derom. kun kan befwste Beundringen for den Mand, der gjorde Ende paa disse Forliandlinger og gay det hele VTrk en endelig Form, somn vandt fuld Anerkendelse, forelobig som. det videnskabelige Grundlag for Alexandrinernes frugtbare matliematiske Arbejde. Den, der liar gjort dette, maa have voeret en stor Mathematiker, vel forst og fremmest i Besiddelse af en skarp, kiar og sikker matliematisk Tzenkning, men ogsaa i Besiddelse af en levende mathematisk Opfindsomhed for at lave de nye Beviser, som alene Omflytningen af Swtningerne gjorde nodvendige, og udtwnke de nye Hjwlpemidler, son. skulde swettes i Stedet for de gamle mere intuitive. Det er som. et rent videnskabeligt Vwerk, at EUKID~r's Elementer liar deres Betydning. De indeholder ikke alene den Viden, som maatte give UdgangSpunkter for videregaaen1de Undersogelser, men indeholder den i en saadan Skikkelse, at de kunde danne et sikkert videnskabeligt Grundlag ogsaa for disse. At ilifredsstille de rent videnskabelige Krav, deriblandt ogsaa det aristoteliske om.Swetningernes Almindelighed, er EUKLID's Hovedformaal, ja, vel det eneste, som, EUKLID liar sat sig. Tingenes Natur medforer dog, at de ensartede og bestem~te Former, s'om skal sikre Bevisernes Tilforladelighed, tillige b idrager fl deres Overskueliglied, og denne Oversknelighed fremmes viaesentlig ved Tegningen af de Fignrer, hvis almindelige logiske Beskrivelse og Anvendelse allerede udtrykkes i Teksten, medens de legnede Figurer liar en mnere ufuldko~nmen og ganske speciel Beskaffenhed (se X1II. Kap.); de optrwder som. de Symboler (se II. Rap.), ved livilke de i Teksten udtalte Tanker fastholdes'. Udover dette giver EUKLID ikke nogen yderligere Vejledning gennem Overblik over, livad han liar gjort eller; vii gore, og livorfor, eller ved Sammenligninger mellem. Behandlingen af beslaogtede Genstande o. desI. Endog den ydre Sammenstilling af saadanne Genstande er, saaledes som. vi sawrlig liar set det af Ordningen i hans forste Bog, et Hensyn, som han ikke altid naar at tage ved Siden af det bygningsstatiske, at liver Sten skal livile paa de tidligere nedlagte, liver Sawtning staa paa en Plads, livor den selv bwres af de foregaaende og bidrager tl at bwre de efterfolgende. Intel Talexempel og ingen simpel Anvendelse tilfoj'es som Hjalpemiddel til at faa fat paa, livad der menes med de opstlllede almindelige Swtninger og Beviser. Bogen giver derfor heller ingen Anvisning paa, livortil. og livorledes den efter

Page 335

137 137 ~~~~~~~EUTCLID og hans Elernenter'.33 335 haanden vundne Viden skal bruges, undlagen forsaavidt man ser, hvorledes EUKLID selv efterhaanden anvendte den til at begrunde en ny Viden, og man saaledes kan folge hans Exemnpel for at naa endnu 'videre. I XII. Kap. har vi jo saaledes nwvnt, at han ikke fremnhwver den Formi, hvori Fladeanlwg bekvemmest kan anvendes, men at hans fortsatte Undersogelser i X. Bog giver tairige Exempler paa, hvorledes EUKLID selv brugte dem. Om Anvisning paa praktisk Anvendelse udenfor den rene Videnskab er der slet ikke Tale. Der siges intet om, livorledes man med storst Nojagtighed skal foretage de Maalinger, som skal give de Talvwrdier, hvormed man skal operere, og ligesaalidt, hvorledes man saa skal foretage de Udregninger, som det i Praksis sawrlig vii komine an paa. En antik Oplysning heroin finder vi forst iHERON's nylig genfnndne Metrica. Deraf ser man blandt andet, hvorledes den ge ometriske Tilbageforen til Anvendelse af den pythagoreiske Saetning eller en Mellemproportional gay samme Anvisning paa at lose en Opgave ved Kvadratrodsnddragning, som man nn faar ved en algebraisk Tilbageforen til et Udtryk, der indeholder et Kvadratrodstegn; dette havde man vel kunnet slutte af EUKLID'S X. Bog, men unmiddelbart ndtaler han det ikke. Selv paa den praktiske Udforelse af en geome-. trisk Konstrnktion giver EUKLID ingen Anvisning. Han noevner ikke de dertil tjenende Redskaber, og for mere sammensatle Konstrnktioner forer han kun Opgaven tilbage til tidligere behandlede Konstrnktioner. Dette er fuldkommen filstroekkeligt, naar Konstruktionerne skal afgive Bevis for Existensen ar de Fignrer, sorn derved bestemmes; den praktiske Udforelse faas forst ved en Forbindelse af de i en Rookke forskellige tidligere Soetninger angivne Konstruktioner, og de givne Anvisninger paa disse yder ikike noget samlet Overblik over den saaledes sammensatte nye Konstrnktion, et Overblik, som paa mange Maader vilde kunne simplificere deres sarntidige Anvendelse. Man kan toerke sig disse Mangler tidfyldte under den mnndtlige Undervisning ved de dertil knyttede Demonstrationer og Ovelser, og man har sikkert ikke paa EUKLID's Tid forsom[ at binge disse Hjwelpemidler til at give den rette Anvisning baade tl at forstaa og til at anvende hans Bog. Naar EUKLID i denne har knnnet nndlade enhver Vejledninga hertil, forstaas dette dog bedst deraf, at han ene tilstr~eber at give en sammenhzengende og strengt videnskabelig F remstilling af et Slog, hvoraf han, som de i det sidste halve Aarhnndrede fremdragne Oplysninger har vist, kunde antage en Del bekendt. Selve Hovedindholdet maatte han dog fremstille i sin fnlde Sammenhamg; dette var netop hans Opgave; men Anvendelserne deraf, til hvilke de oeldre Tiders Opdagelse sikkert soerlig havde knyttet sig, knnde han for denne Dels Vedkommende forudsweLte bekendt for sine Loesere. Derved vilde disse ogsaa finde tilstrawkkelig A nvisning til paa lignende Maade at binge del nye Indhold, som kom tl under hans Behandling. At han nnder disse Vilkaar ikke blot kunde finde forstaaende Loesere blandt dem, der allerede dyrkede Mathematiken, men ogsaa i den opvoksende Slwgt, maa bero paa, at denne allerede gennem Skoleundervisningen i Logistik, Metretik og Geodwsi var bleven bekendt med praktisk Anvendelse af de simpleste af de mathematiske Resultater, men uden endnn at have D. K. D. Vidensli. Selsk. Skr., naturvidensk. og matbem. Afd., 8. R-elike. I. 5. 44

Page 336

336 336 ~~~~~~~~~XVI. IKapitel.13 138 hert disses rent videnskabe lige Begrundelse at kende. Dette gjorde forst de, der som,,Studenter" vedblev at dyrke Mathemaliken; for disse var EUKLID's Elem enter bestemlt, og for dem var det overflodigt at vise tilbage tl Anvendelser, som de kendte forud eller om fornodent samitidig fik indovet. Det var ogsaa forst dem, der besad de rette Betingelser for at faa del fulde Udbytte af EUKLID's Elementer, hvad vi i nawste Kapilel vii faa hekraftet ved at betragte dem, der i senere Tider liar villet haere Matliematik af EUKLID uden at besidde lige saa gode Forudsaetninger. Den her antagne Fordeling af Undervisningen stemmer ogsaa ganske med den, der iVII. Bog af PLATON'S Stat skildres som onskelig'). EUIKLID'S,,Elementer" liar da netop vweret bestemt for deni, der skulde have den videregaaende Undervisning, som PLATON tiltwnkte de vordende,,Statsmwnd". Al EUKLID's Elemenler liavde det her skildrede rent videnskabelige Formaal, stemmer med den Belydning, vi i IV. Kap. liar tillagt Ordet,,Elementer". De gor ikke blot den Del af den davwrende Matheinatik, som. skulde danne Grundlaget for viderega'aende videnskabelige Undersogrelser, tl den af PLATON 0nskede rent ralionelle Videnskab; men de giver ogsaa nu Anvisning paa. de Veje, ad livilke det samme kan opnaas og er opnaaet for den med helt andre Symboler arbejdende nyere Malliematik. De har tillige vaeret et Forbillede for den Omdannelse, som sikkert ogsaa horte tl PLATON'S Idealer, af andre Videnskaber med reall Indhold til rationelle eller exakte Videnskaber. Maaske liar man af og tl, f. Ex. overfor Fysiken for noje fulgt dette Forbillede og med Forsomrnelse af den viglige induk — live Side fastholdt. den for Mathematiken passende deduktive Vej; men livor de rette Hensyn er lagne til de enkelte Videnskabers Ejendommeligheder, liar. baade Forbilledel og de mange direkte Laan fra Mathematiken bidragel til ogsaa at give demn en rationel Karakter. ARISTOTELEs har vist de Veje, Tanken da maal folge; EUKLID's Elenienter viser, at man ved Behandlingen af et positivt Slof kan -naa. Maalte ad disse Vej.1e. Kap. XVI. EUKLID's Elementers Skeebne.,,Pro captu lectoris habent sna [ala libelli" skriver TERENTIANUS MAURUS i Sit Carmen heroicum i del 2. Aarh. efter Clir., og den Skwbne maatte vwre ret vekslende, som. maalle lilfalde et Voerk med den her skildrede Karakter, der i mere end 2000 Aar liar vveret brugt tl Indforelse i Mathematiken. Den ma~alte veksle, eftersom. dels. Lwsere var henviste alene tl delle videnskabelige Vwerk uden paa ') Se ogsaa E. SACHS' indgaaende Omitale af PLATON'S,Love", S. 160 ff. i det i mit Tilkveg anforte Skrift.

Page 337

" "M 139J EuKIAID's Elementers Skvebne. 337 anden Maade at orienteres og indoves i dets rette Brug, eller der ved Undervisningen deri gaves en Orientering og Ovelse af kyndige Lawrere, der selv besad dem ved Overlevering, mundtiig eller gennem. Skrifter, beregnede paa en'lettere Tilegnelse af Formaal og Anvendelser. IDen maatte veksle, eftersom. denne.Vejiedning stemie med. den, der gaves paa. EUKLID's egen Tid, eller den, sorn i den nyere Tid har knyttet sig tli senere opstaaede LT-rdomme, der gjorde meget af, hvad. EUKLID medlager og hvegger Voegt paa, overflodigt. Det er dog kun en i Forhold. til Emnets Vigtighed. ret flygtig Omtale, vi her kan give af denne Skawbne. Hver enkelt af deC efterfolgende Tiders Mathematik bhenger saa noje sammen med. det, man i dem liar hoert. af EUKLID, del, man liar faaet ud. af Lzesning en af hans El em'enter, og med den Maade, hvorpaa man liar Ivest dem, at en Redegorelse for,,Elementernes" Skeebne i mange Henseender vilde vwere en Redegorelse for hele Mathematikens Historie. Omv\,endt bliyer et grundigt Kendskab til Elementerne, til. hele disses Indliold og til Maaden hvorpaa, og de Synspunkter, ud fra livilke dette behandles af EUKLID selv, og derved tl deres Forstaaelighed for de folgende 'Tider, en Betingelse for den rette Forstaaeise af hele Mathematikens senere historiske Udvikling. Allerede dette Hensyn vii forkiare den Betydning, som jeg lilkegger saadanne Undersogelser som. dem, jeg liar anstillet i nawrvawrende Skrift, hvor stor eller ringe Vawrdi man nu vii tillwgge det Udbytte deraf, for hivilket jeg her liar gjort Rede. Del i del folgende givne Over-blik beror iovrigt ikke paa nye Studier af den senere Mathematik. Jeg vii kun soge at paavise den Indflydelse, som de her skildrede Egenskaber ved EUKLID's Elementer liar haft og maatte faa paa. de forskellige Tiders Mathematik, efter livad man allerede ved om. disse og om deres Brng af EUKLID. Jeg medtager mere elier miindre, eftersomi jeg i den Henseende. miener at have noget at foje fii, livad der alt maatte vwre udtait derom. Kun exempeivis kan jeg medtage Oplysninger om en i Tiderne veksie-nde Opfattelse af EUKLID'S enkeite Swetninger, men henviser i saa Henseende tl HEATH'S omhyggeiige Noter til hans alt ofte citerede,,Euklid's Elements". I nojeste Overensstemiimelse mied Forfatterens Hensigt blev Elementerne sikkert benyLtede af den Ungdom, som. i Alexandria vistnok havde EUKLID selv hil sin forste Lwerer i Mathematik. Den liar nydt godt af hans egen og hans. nwrmeste Efterfolgeres Vejiedning. Den vii vwre gjort opm~wrksom. paa, hvad der opnaaedes ved de strengt videnskabelige Synsmaader, og paa Betydningen af de Former, livori man havde ladet disse fremntrwde; Farerne ved Forsommeise i disse Henseender liar EUKLID udtrykkeiig eftervist i sine desvwrre tabte yhewidpea (Fejisintninger). Forud for Stndiet af de strengt videnskabelige Eleimenter, elier i det mindste ved Siden deraf, vii de samme Elever have faaet Lejlighed tili Indovelse af de Operationer, ikke blot praktisk Regning, men ogsaa geometrisk Behandling af aigebraiske Sporgsrnaal, som. er nodvendige foir at anvende de strengt beviste Switninger, ej blot praktisk, men ogsaa under den Behandling af videregaaende videnskabelige En-1 ncr, for livilken,,Elementerne," danner det rationelle Grundlag. Er det end ofte Almnindeliggorelser af disse Operationer, som. bevises i Swetningerne, liar Opera44*

Page 338

338 XVI. Kapitel. 140 Ltionerne selv maattet irndoves i de Skikkelser-, hvorunder de iletest og bedst anv\endtes paa EUKLID's egen Tid og af ham selv, saaledes som f. Ex. de, Fladeankeg, han bruger i X. Bog. Ad saadan Vej for~staas det Pr~g, som EUKLID's Elementer satte paa den alexandrinske Skole, og de n Andel, som de liar i de Fremskridt, der skyldes de Meend, som udgik af denne eller sluttede sig til den eller dog voesentfig var paavirkede af den. Her maa skelnes mellem Undersogelser, der allerede' var begyndte, da Elementerne blev til, og livis Fremme man allerede havde for Oje ved deres Udarbejdelse, og saadanne som gjaldt hell nye Sporgsmaal, tl livilke Skolens, Principer forst maatte tilpasses for at komme til fuld -Anvendelse. Til de forste horer de, der behandler Keglesnitslwren. I noje Tilsiutning tii Behandlingen af Ligninger af anden Grad ved Fladeanlwg stod Bestra~belserne for paa lignende Maade at lose Opgaver, der afhwenger af Ligninger af tredie Grad. De forst fremtr~edende Hovedexempler lierpaa er Terningens Multiplikation og Vinklens Tredeling, altsaa de samme to Opgaver, hivortil man i det XVI. Aarhnndrede viste, at alle Trediegradsligninger kan fnres tilbage. Den forste knnde man sikkert tidlig lose tilncTrmelsesvis ved en mere eller mindre godt gennemifort Knbikrodsnddragning, naar Opgaven forelaa numerisk; men deL gialdt om at faa en Losning, der, ligesom K-vadratrodsuddragningens Omdannelse fl Konstrnktion af en Mellemproportional eller tl Anvendelse af den pythagoreiske Setning, ved sin geometrisk vel. definerede Skikkelse kunde betragtes som fuldt almindelig og skikket til at give exakie Existens beviser. Det var v\el ikke svawrt at faa en tl den plane Fremstilling af Algebraen af 2. Grad s-varende stereometrisk Fremstilling af en Algebra af 3. Grad, nemlig -ved Parallelepipeder og Kuber; paa denne er Fremstillingen af den rent kubiske Ligning som Terningens Multiplikation det forste, men ingenlunde eneste Exempel (se f. Ex. HEIBERG's 2. Udgave af ARCHIMEDES III S. 136 if.). Stort videre end til Ligningernes Fremstilling kom man dog ikke ad denne Vej. ARCHYTAS' stereomnetriske Losning var nemlig ikke egnet til videre Anvendelse, og Ved Brug af Keglesnit spiller den stereometriske Fremstilling af disse Kurver som Snit i Kegher kun en Rolle som Bevis for deres Existens, men baade deres videre Undersogelse og deres Anvendelse soin saakahdte,r'umlige"l Steder til Losning af,rumligfe" 0Opgaver er knyttet til plangeometriske Undersogelser, altsaa til et Omraade, livormed man forud var langt mere fortrolig end med Stereometrien. Den plangeometriske Behandling af Opgaven om Terningens Fordobling bvenger sammen med dens Omidannelse til den at bestemme to Mellemproportionaler. Den knyttes derved (se 5. 40 (238)) til. Skwering mellem de to Kurver, der i retvinklede Koordinater fremstilles ved Ligningerne xy ab, y2 =bx. Et Bevis for disse Kurvers Existens faas ved deres Fremstilling som plane Suit i retteceirkulwre Kegler, og paa denne Maade stilledes ogsaa andre Keglesnit til Raadighed for Losning af andre Opgaver, der afha~nger af Ligninger af 3. eller endog af 4. Grad. Netop paa Grund af denne tjenende Stilling, SOm. Keghesnittene skulde indtage overfor et 0jemed, sorn vi nwrmest kan kalde algebraisk, bekymrede man sig forelobig ikke om den stereometriske Bestemmelse af alle mulige plane Suit i alle cirkulkere

Page 339

141 141 ~~~~~~~EUKLID's Elementers Skvebne.39 339 Kegler, men holdt sig forelobig til Fremstilling af de paagaildenlde Kurver som. Sulit ire-tte cirkulere Kegler ved Planer vinkeirette paa en Frenmbringer, og dette ligger tii Grund for de Navne; Suit i en spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet Kegle, som man anvendte for Ellipse, Parabel og Hyperbel, indtil APOLLONIOS indforte disse sidste Navne. At del ikke var fra stereomeiriske Vanskeligheder, at denne Begrw~nsning hi~drorte, ser man hos ARCHIMEDES, der, naar han liar Brug for det, behandler ogsaa andre Snit i andre cirkulwre Kegler, og tilnied gor dette i Henhold Lii Betragtninger, som. ingeniunde betegnes som. nye. Det ligger nanr at antage, at man -ogsaa for ham kan have undersogt Snit i del mindste i andre rette cirku1were Kegler og netop paa. Grund af, at man derved ikke kom. fl andre Kurver, liar nojedes med (len Frernstilling af Keglesnit, som man ansaa for den simpleste. (Se sawrlig Kap. XXI i,,Keglesnitlshren i Oldtiden"). Del var imidlertid den plangeometriske Fremstilling af Kurverne, der fortrinsvis inter'esserede Gr~ekerne, som. vi ser hos APOLLoN1os, der i sin Behandling af Keglesnittene's Elemeriter holder sig tli den, saasnart bran ad stereometrisk Vej har sikret Kurvernes Existens. Sorn vi ser hos ARCHIMEDES, var denne plangeoinetriske Frenmstiiling ogsaa for APOLLONIos den, som man ofte' i Nutiden belegner som. APOLLONIOS' Swtning, der for Elliips e og H yp erb el1 gaar nd paa, at ForholdeL er konslant, naar y er Ordinaten tli et Punkt af Knrven henfort tli Axen som Abscisseaxe, x og x, denne Ordinals, Fodpunkts Afslande fra Kurvens, Toppunkler. Hertil knyttedes allsaa de fortsatte Undersogelser. Allerede ARCHIMEDES kendle den samme Fremstillings, Gyldighed, naar Axen var en viikaarlig Diameter, der skoerer Kurven, y Halvdelen af en af denne halveret Korde. Paa denne Maade almindeiiggjorde man ogsaa de Opgaver, som man kunde lose ved Kurverne, Almindeliggorelser, hvorpaa allerede EUKLID maa have lagt Vwegt, da allerede han har beskceftiget sig med del saakaldte S-Led tl Ire eller fire Linier. En sarniet Behandling af Keglesnitlenes Elementer er os, dog kun bevaret hos. APOLLONIOS i de 4 forste Boger af hans Keglesnit1). Disse er affattede efter de samme Principer som EUKLID's Elemenler og paa delle videregaaende Omraade med samme Formaal. Der es slrengt videuskabelige Karakter sikres ved, at Beviserne hell igennem. stottes, paa, hvad der er bevist eller ndtrykkelig forndsat i EuKLID 's Elementer. Som EUKLID i Elernenterne ikke giver nawrmere Anvisning, f. Ex. paa den praktiske Brug af Fladeanlwg, lwgger APOLLONIOS i de nawvnte Boger ikke an paa at give Meddelelse omn de Anvendelser, man kran gore af Lveren om Keglesnit, navnlig fl Losning af rumnlige Opgaver. Del er selve denne Lwre, som skal frenmstilles i sin fulde theoreliske Sanmmenhoong for derefter at kunne danne et paalideligt Grundlag for saadanne Anvendelser. Detle trwder swrlig tydelig fremn i, hvad APOLLONIOS i sine Fortaler siger om. tredie Bog, nemlig ikke, at den inde1) V~ed hvad jeg her siger om dette Vverk, kan jeg henvise til den udforlige Skildring og Forkiaring af hele dets Indhold og dettes Enkeltheder, som findes i min: Keglesnitslweren i Oldtiden.

Page 340

340 340 ~~~~~~~~~~XVI. Kapitel.14 142 holder Bestemnielsen af,rumlige"' Steder og Losningen af ~rumfige" Qpgaver, men derimod, at den indeholder Beviser for de Sawtninger (Elementer), livoraf saadanne paa paalidelig Maade kan,sammnensc~ettes6'. Han noevner endog udtrykkelig et Exempel. paa geom-etriske Steder, nemlig,,Stederne til Ire eller fire Linier" (se S. 30 (228) Anm.), hvis,,Synthese" man tidligere havde bygget paa ntilstreekkelige Elernenter, men som han nu gay et tilstreekkeligt og paalideligt Grundlag. Selve denne Synthese af disse eller de andre rumlige" Sleder og Opgaver, h-vortil Bogen kan og skal anvendes, finder han derimod ikke her Anledning til at give. En saadan liar hor[ andetsieds hen, saaledes tii Vwrker som ARISTAIOS: Rumlige Steder. Andre Behandlinger af saadanne Opgaver, for livilke de fire forste Boger danner det videnskabelige Grund~lag, giver APOIL~ONIOS selv i sine folgende Boger, sverlig i V. Bog og ifolge Fortalen til VII. Bog i den tabte VIII. Bog. For at gore (dlte Grundlag saa fulds-tundigt som mnligt giver ogsaa APOLLONIOS sine'Elementer, som.EUKLID Sine, en almindelig Form, uden at dvwle ved de mere specielle Former, med hyilke det kan vvere hensigtsmvessigt at nojes ved de Anvendeiser, for livilke der er mest Brng. Og her er det, at han gaar helt tilbage til det stereometriske. Udgangspnnkt, og ikk~e nojes med de wldre Fremstillinger som saadanne plane Snit i Kegier, der kan vwre tilstrwkkelige til at frembringe aile de paagweldende plane Kurver, men ogs-aa giver den almindeiigste Fremstiiling af disse K urver som vilkaarlige Snit i cirkulwre Kegler. For ret at forstaa AP'OLLQNlos' Keglesnit er det imidlertid ikke nok at kunne se, at han paa det overordentlig store Omraade, som han behandler, virkelig har naaet dle Formnaal, som han swtter sig. Hvis en Nutidsloeser vii troonge ind i hanls Vverk ved en Gennenmhwsning Swetning for Soctning uden paa noget Punkt at ty til de Gen-veje, som Algebra og analytisk Geometri kan yde ham selv, vii han staa overfor et Arbejde, som sikkert har afskrwkket mange, og livis han dog gennemforer Lwesningeln, vii han let savne de Overblik, uden h-vilke man ikke foler nogen rigtig Tiifredsstillelse ved Laisningen. Hans Beundring for APOLLONIOS, som. har kunnet finde og bevise saa mange forskelligartede SwAninger, vii maaske vokse, men i Virkeligheden vii han forbiive ganske kold og uforstaaende, saa lwnge han ikke.kommer paa Spor efter'de Hjwlpemidler, som. ogsaa et Geni som APOLLONIOs behover for at naa saa langt og vinde de Overblik, uden livilke de vundne Resnitater vilde komme til at bwre et Proog af Tilfwldighed. Fortrolighed med saadanne. 'Hjalpemidler maa ogsaa forudswttes hos APOLLONIOS' oprindelige Lwsere. Ved min La~sning af APoLLoNIos liar jeg ment at finde disse Hjwlpemidier i den geomet r is ke Al1ge b ra, h-vis HovedswAninger be-vises af EUKLID, men med livilken de alexandrinske Mathernatikere maa have vundet en langt storre Fortrolighed, end Nutidsl1~sere af EUKLID, der ndeinkkende ser paa disse i almindeliggjort Form fremisatte Sawtninger, ofte e'r tilbojelige tii at tilimegge dem. Det er Tegn paa denne Fortrolighed, jeg i nvervaerende Skrift liar sogt at eftervise ailerede i seive EUKLID'S Elementer, f. Ex. i X. Bog. Den tor imidiertid vawe yderligere udviklet i den alexandrinske Skole, ikke. mindst under sin Anvendeise paa. Udviklingen af Liegle

Page 341

143 143 ~~~~~~~EUKLID's Elementers- Skoebne.34 341 snitskeren, og i APOLLoNIos' egen Haand under Udarbejdelsen af hans Vterk, der efterhaanden forelagdes hans Disciple i noget forskellige Udgaver. Den Nogle, som jegf saaledes mente at have tli en virkelig Forstaaelse af APOLLONIOS, laa. det ikke fjernt at prove, og det viste sig, at den lukker op overall. De Bestemmelser af Keglesniltene, som man gik ud fra, er som noevnt de selv samme, som ndtrykkes ved de Ligninger, hvorved man nu henforer Kurverne tli ret- eller skwevvinklede Koordinater. Denne Fremstilling lagdes forovrigt nawr ved den geometriske Algebras Brug af Reklangler eller i de almindeliggjorte Former af Parallelogrammer'); denne gay f. Ex. umiddelbart Ligningen xyz= ab for en af de Kurver, der bruges tli Bestemmelsen af to Mellemproporlionaler. Derved fores man tl i de geometriske Omidannelser, hvorved APOLLONIOS i sit 'Vark kommer tli nye Fremslillinger af Keglesnitlene eller udleder SwAlninger af saadanne Fremslillinger, at genkende de samme Operationer, som vi nu ndtrykker i vort -algebraiske Tegnsprog. Forskellen i Fremslillingsmidler,5 og ikke mindst Tilknylningen af de geometrisk-algebraiske Hjawlpefigurer til selve den geometriske Figur, som er Undersogelsens% nwrmeste G enstand, kan vel hidfore Afvigelser mellem de Veje, som, den gamle geometriske Algebra folger, og dem, der falder Nutidskceseren nalurligst; men Overenssteminelsen er dog bestandig saa stor, at for Nnlidsleseren en Omskrivning tl del algebraiske Tegnsprog, med hvis- Brug *han paa. sin Side er fortrolig, vii vere det bedste Middel til at folge de Tankeforbindelser, som. har kunnet lede APOLLONIOS og vweret forslaaelige for Lawsere, der har haft en lilsvarende Fortrolighed med de af ham benyltede geoinelrisk-algebraiske Hjalpemidler. Som det ses af Forlalen tl HEIBERG'S Udgave af APOLLoN1os, har man endog benytlet Kvadraler, Rektangler og andre Figurer, losrevne fra. den Figur, som udgor den foreliggende Undersogelses Gensland, og ordnede pa~a en Maade, der skal udlrykke deres Proporlionalitel, tl i en Slags Tegnsprog at give de Beviser, som i APOLLONIoS' egentlige Teksl udtrykkes. i Ord, en overskueligere og korlere Fremstilling, som noje dwkker Tekslens Fremstilling. El saadant Hjwlpemiddel har paa en Gang ligget nawr og gjort god Nylle som Ledsager af en niundtlig Fremstilling. APOLLONIos' Tilknytning tl EUKLID's Elemenler viser sig altsaa ikke alene deni, at han overall soger den logiske Stotte i disse og folger de samme Principer, men ogsaa deni, at hans Ke glesnilselementer vidner om en fortsat Brug og videre Udvikling af de Fwrdigheder, sorn man allerede maa have haft nodig for at faa det fulde Udbylte af EumiLI Is Vaerk. Del er gennem mit Studium af APOLLONIOS, at jeg for mit Vedkommende forst har lwrt at vurdere disse Hjwlpemidler' og de gamles store Herredomme over deres rette og hensigtsmwssige Anvendelse. 1)I,Note Sur lusage des coordonn~es dans F'antiquit6, et sur linvention de cet instrument" Vid. Selsk. Oversigt 1888 har jeg tillige vist, hivorledes FERMAT's IKoordinatgeometri frernkaldtes af de meget almindelige Bestemmelser af en ret Linie og af en Cirkel, soni er bevarede af APOLLONIOS',Plane Steder" Denne Tilsiutning tyder paa, at der ogsaa paa dette Punkt — paa den greeske Anvendelse af geometrisk-algebraisk Fremstilling nver - har vweret Overensstemmelse mellern APOLLONIJOS' Hjelpemidler og den analytiske Geometri.

Page 342

342 XVI. Kapitel. 144 Naar den euklidiske Geoinetri kunde danne et saa godt og et saa urniddelbart Udgangspunkt for den videre Behandling af Keglesnitslreren, beror dette paa, at de af EUKLID strengt beviste Sxtninger ogsaa omfatter deni, der ligger fl Grund for den geometriske Algebras Operalioner. Disse kunde man derfor indove og videre anvende ined fuld rrillid tl Exaktheden af de derved vundne Resultater. Det samme gjaldt Anvendelser af Proportioner, idet de Sadninger, hivorpaa. disse Anvendelser beror, i EUKLID V. var beviste i deres fulde Almin-delighed. Her var altsaa Paalideligheden af selve Operationsmaterialet bevist. Saaledes forholdt det sig derimod ikke me d de infinitesimale SwAninger, hvis Rigliglied bevises i EUKLID X11. Her fares kun exakte Beviser for Resultater, der -forud var fundne ved intuitive Grwenseovergange. Beviserne var tilmned saadanne, som nok kunde give Anvisning paa, livorledes nye Resultater af samnme Art skulde bevises, naar man forst havde fundel denm, men anviste ikke Veje til at finde saadanne. Hermed stemmer del, at man, som. et Sled hos ARCHIMEDES (HEIBERG II. Bd. S. 264) synes at vise, overhovedet ikke for hans Tid var naaet tl andre Resultater af denne Art end nelop, dem, som. EUKLID beviser. Naar ARCHIMEDES selv naar langtL videre paa. dette Omraade, er del, som. vi nu kan se af hans nyfundne Ephodos, forst opnaaet ved Betragtninger af mere eller mindre intuitiv Art -eller dog saadanne, hvis Gyldighed ikke var bygget paa de euklidiske Principer - nemlig for en slor Del ved Laan fra staliske SwAninger, som. endnlu ikke var dragne ind under Omraadet af den som, exakt anerkendte geometriske Bevisforelse. Efter at have fundel Swtlningerne har ARCHIMEDES imidlertid selv givet Bevis for de af ham fundne infinilesimale Szetninger, son. hell igen-nem. er byggede paa den euklidiske Geornetri og fuldt ud stemmer med de alexandrinske Fordringer. Dertil har nye Postulater vwret nodvendige, som, definerer de Begreber, hvortil de nye Bestemmielser knytter sig. Af disse er de, der tjener tl Bestemmelse af Begrebet: en plan krum. Linies Laingde, Udvidelser tl krumme Linier af, hvad EUKLID har bevist i Swtningerne I, 20. og 21. om brudte Linier (se S. 76 (274)), ogr de lilsvarende Bestem.melser af Begrebet: en krunm Flades Areal, er Udvidelser heraf. ARCHIMEDES beviser ogsaa almindelige Hjw1peswtninger, som. kan anvendes og af ARCHIMEDES er anvendte ved indbyrdes ganske forskellige Infinitesimnalbestemnmelser, nemlig saadanne, som, i deres Anvendelser er ensgaeldende med dem., vi udtrykker ved 1 x ___ 1 ~xdx -x2 og ~x-dx - 3-x3. Ogsaa selve de statiske Saetninger, som. ARCHIMEDES efter sin Meddelelsei Ephodos i saa rigt Maal har anvendt til at finde de infinitesimale geometriske &Setninger, har han i sine staliske Skrifler underkaslet en Behandling efter de Principer, der ligger til Grund for den euklidiske og dertil knyttede alexandriuske Mathematik. Al detle er sket, e ft er at han havde gjort de her nwvnte geometriske Anvendelser, og vel endogsaa efter at han har skrevet Ephodos, kan man hi. a. slutte af, at han i Fortalen til dette Skrift lager Afstand fra at betragte Anvendelsen af statiske Swtninger som, (exakt-geometriske) Beviser.' Desuden er (let Omraade, som

Page 343

145 145 ~~~~~~~EUKLID'S Elementers Sk,-ebne.34 343 han naar at behandle i de bevarede Boger om plane Figurers Ligevwgt, langi fra at straickke sig tl alle de statiske Sretninger, som han efter Ephodos har: benyttet; saaledes kender vi intet Bevis af ARCHIMEDES for Bestemmelsen af TyngdepunktLet i en Pyramide, hvoraf han dog gor vigtige Anvendelser. Han kan iniidlertid let have fundet den i Tilsiutning tl sine ovrige statiske Knndskaber. De Forudswtninger, som ARCHIMEDES i 1. Bog om. plane Figurers Ligevegt leegger til Grunld for sin strengt synthetiske Behandling af dette Emine, bwrer iovrigt, ganske som Foruds.-etningerne for den enklidiske Geometri, Proeget af at voere uddragne ved Analyse af Swetninger, der omvendt i selve Skriftets synthetiske Behandling rationelt udledes deraf. Disse er nemlig for en Del saadanne, livortil nian fra. forst af maa vw~re kommen ved praktiske Erfaringer, forbundne med mere skonsmwcssige Rwsonnementer, ogy som ARCHIMEDES nok tor antages at have provet ved Forsog. Saadanne Soetninger fandes i I. Bog,.og den rationelle Behandling har dernwst fort tli de i 2. Bog og i det hydrostatiske Skrift fundne Resultater. I de store Frernskridt, som skyldes ARCHIMEDES, finder vi saaledes en Bekraeftelse af den soedvanlig gweldende Lov, at saadanne forst findes ad mere eller mindre in-tuitiv Vej, medens den rationelle Behandling og szerlig dens Optagelse som Udvidelse af et forud bygget rationelt System forst folger senere. At ARCHIMEDES ad denne Vej er fort tl sine allerbetydeligs-te Opdagelser, fremgaar somn nys bemawrket af hans Ephodos; men dette Skrift giver os tillige Oplysninger om de Be-tragtninger, han har fngt for dern~st at koinme til de som exakte anerkendte, geometriske Beviser, som findes i hans andre Skrifter. I Benyttelsen af disse Oplysninger var der dog nogen Usikkerhed i den Kommentar, som jeg i Bibliotheca Mathematica 63 fojede til J. L. HEIBERG'5 Overseettelse af det n.Tvnte Skrift. Den rette Forstaaelse af flere Punkter beror nemlig paa. det Tidspunkt, paa hvilket Ephodos er skrevet og sendt til Alexandria. Tidligere var jeg tilbojelig til med HEIBERG at antage, at dette var gaaet forud for Sendingen af ARCHIMEDES' exakt-geonietriske Behandlinger af de samme Emner; kun til allersidst berorer jeg, at nogle historiske Vanskeligheder vil falde bort, hvis det modsatte har vawret Tilfawldet. Nu har senere KIERBOE og F. ARENDT (Bibliotheca Mathematica 141) vawsentlig ved Benyttelse af de sukcessive zXndringer i ARCHIMEDES' Terminologi paavist, at Ephodos mnaa. vare yngre end Skrifterne om. Iarablens Kvadratur, omn Kuglen ogv Cylindren og om Konoider og Sfwroider, og denne Antagelse lader sig bringe i god Overensstemmelse med, hvad man finder i ARCHIMEDES' Fortaler og i Ephodos. I dette Skrift meddeler han d el1s, hvorledes den deni benyttede mekaniske Fremgangsmaade forst havde ledet ham til Kendskabet til de allerede i de nwvn-Le Skrifter fremforte Hovedresuitater, som han dernoest i dem har bevist paa en med de enklidiske Krav stemmende Maade, delIs viser han, hvorledes den samme Fremgangsmaade har fort ham til de to nye Resultater, og for disses Vedkommende tilfojer han den exakte Begrundelse; derigennem lader ban se, h-vorledes han ogsaa kan vwre kommen til de exakte Begrundelser af de foregaaende Resultater, som findes i hans tidligere Skrifter. Af den *forste Del erfarer man tillige, at Bestemmielsenl af Kuglens OverID. K. D.Vjclensk. Selsk. Skr., natuvvidensk. og mathem. Ahl., 8. Rvelkke, I. 5. 45

Page 344

344 344 ~~~~~~~~~XVI. Kapitel.14 146 flade oprindelig er fun~den som et Ti11awg til Bestemmelsen af dens Rumfiang, medens han i Skriftet om Kuglen og Cylinderen omvendt begynder med Kuglens Overfiade. Hvad flu angaar Fremkomsten af de exakie geometriske Beviser, ses det af Fortalerne, at det for Swetningen om Parabelsegmenter forst er sendt til Alexandria, nemlig efter ARCHIMEDES' Ven KONON's Dod tl DOSITHEOS. Her meddeler ARCHIMEDES undtagelsesvis forst den i Ephodos omlialte mekaniske Udledelse, men giver ogsaa denne en exakt Form, fraset Benyttelsen af mekaniske Forudswetninger, som vistnok da endnu ikke havde faaet en fuldt anerkendt videuskabelig Begrundelse. I det geometrisk-e Bevis benyttes under en exakt Form, der stemmer med EUDoxos' Forudsawtning, Summation af nendelige Kvotientra~kker. Om de 0vrige Emner havde ARCHIMEDES allerede sendt KONON en kort forelobig Meddelelse, hvilken han senere om-taler i Indledningen til Skriftet om Spiralerne (II, S. 2-4). Hvad Kuglen angyaar, stilles i denne Meddelelse de fleste af de Opgaver, som b~ehandles i 2. Bog om Kuglen og Cylinderen, efterfulgt af to urigtige Sawtninger, som han i samme Bog meddeler i den rigtigse Form. Han siger, at han selv, da han sendte KONON disse S,-etninger, endnu ikke havde tilendebragt Undersogelsen deraf, men vilde prove om de, der paastaar at finde alt, men intet beviser, vilde forsoge at tilegne Sig de urigtige Setninger. Da den forste af de KONON meddelte Opgaver er den at konstruere et plant Areal ligt Overfiaden af en given Kugle, er han maaske allerede den Gang ifawrd med at stille Bestemmelsen af Overfiaden forud for Bestemnmelsen af Rumfang. Af Ephodos ved vi, at ARCHIMEDES da selv var i Besiddelse af de Sawtninger, som skulde bruges ved Losningen af de i Brevet til KONON stillede Opgaver; men, som, han i Indledningen til 2. Bog om Kuglen og Cylinderen (I, S. 168) siger som Svar pa~a DOSITnEos' Sporgsmaal om disse Opgaver, krawver deres Besvarelse Kendskabet til de Sawtninger om Kuglen, hivis Beviser han, som han siger i Indledningen til 1. Bog, der indeholder disse, forst havde udarbejdet efter Brevet til KoNON og Skriftet om Parabelsegmentet (I., S. 2,6: 5yrswepo) 1 1a U~wosq6rwi9.1'r0 dewp1 -jU rw V ciw k61) 'ou ep a" sdaa weapi rg 'ro~s1i$c a'rio-). At han ved Slutningen af den samme Fortale saa levende beklager, at KONON, paa hvis Dom han satte saa stor Pris, netop ikke fik set dette Skrift (I, 4,14-17), viser dels (ligesom den bekenidte Figur paa hans Gravmonument), hivor tilfreds han selv var med den fnldendt skonne Behandling, som det nunvar lykkedes ham at give. af den Viden, som han ifolge Ephodos forsL havde erlivervet ad helt andre. Veje, dels kunde det tyde paa, at han selv paa et tidligere Stadium af sine Undersocgelser har droftet dette Emne med KONON. De Forhandlinger med KONON, hvorigennem ARCHIMEDES har kvert at swtte Samarbejdet med ham saa. hojt, kan maaske have fundet Sted paa Sicilien, hvor KONON har observeret. Det- ligger da nver at antage, at han netop gennem KONON er bleven opmwrksom paa de Krav, som man i Alexandria stillede til den formelt korrekte Behandling af Infinitesimalsporgsmaal, og somi ARCHIMEDES derefler liar opfyldt i en elegantere Form end nogen anden. Om ARCHIMEDES for Brevet til KONON iovrigt har haft Lejlighed til at meddele andre Alexandrinere noget af de senere i 1. Bog beviste Resultater og saaledes dog givet dem en Nogle

Page 345

147 147 ~~~~~~EUKLID's Elementers Skaxbne.34 I 345 til Losning af de i dette Brev stillede Opgaver, -ved -vi ik ke; de Sniarer, han lcgger ved. de to tilsendte urigtige Swtninger (om Emner, som han dog selv ikke da fuldstpendig havde undersogt) kunde tyde paa, at tidligere Meddelelser fra hans Side kan have givet ham Anledning til bitre Erfaring~er. Naar ARCH IMEDEs atter i Indledningen tli Skriftet om S p i r a 1 e r n. e -vender tlbage til sit Savn af KONON, hvem de stillede Opgaver og Meddelelsen af ubeviste Saetninger sikkert vilde have givet saa mange gode liupulser, hvis han havde levet kenge nok, behoves herved ikke swrlig at twnkes paa de tl KONON meddelte Swtfinger om Spiraler, for hvis Beviser han forst nu gor Rede. Savnet udtales jo I Forbindelse med alle de i Brevet omtalte Emner, som han netop rekapitniereri Indledningen til dette Skrift. Han kan saaledes toenke paa Kuglen ligesom i Indledningen tl Skriftet. om. Kuglen og Cylinderen eller paa Konoider. Meddelelsen tli KONON indeholder dog tillige Hovedsawtningerne om Spiralerne, og da ikke ogsaa. disse kan vwre fundne ved hans. mekaniske Methode, har han vistnok allerede den Gang brngt de fornwvnte integrallignende Bestemmelser, selv oin han forst i Skriflet om Spiralerne har givet dem en exakt Formulering og Begrundelse. De samme Operationer har han. haft Brug for i de geometriske Beviser for de tidligere ved den inekaniske Methode fnndne S~etninger om Konoider og Sfeeroider. For Svetningen om Omdrejningsparaboloidens Volumen har han vistnok allerede besiddet et rent geometrisk Bevis, da han. i sin Tid meddelte den tl KONON. Derimod ser man af Begyndelsen af Fortalen til Skriftet orn Konoider og Sfreroider, der sendtes tli Alexandria senere end det om Spiralerne, at han havde holdt det tilbage, fordi han vilde have mere med, nemlig de ham ligeledes ad mekanisk Vej bekendte, Svetninger om Hyperboloider og Ellipsoider. Disse, hvad der her maa sige: deres exakte geometriske Beviser, har nemlig voldt ham en Del Vauskeligheder (I 246,7). Naar vi bemoerker, at Bestemmelsen af Runifang af deres Segmenter beror paa Integrationer af Formen (px + qX2) dx, og ARCHIMEDES allerede i Skriftet om Spiraler havde vidst at udfore saadanne, som afhicnger af xdx og XAdx, kan dette voekke nogen Forundring; men af selve Skriftet om Konoider og Sfwroider ser vi, h-vorledes de Former, hvorunder Bestemmelserne frembyder sig trods den iojnefaldende Overensstemmelse med Integration, dog ikke umiddelbart giver de Forbindelser, som Freinstillingen ved. Integraler nn giver os Anvisning paa '). Hvad her er sagt, giver en Forestilling om, hvor stort. et Arbejde der var fornodent for at naa fra den ad inekanisk Vej erhvervede Viden om de vigtigste Sawtninger om Parabelsegment, Kuglen og Konoider og Sfteroider til den elegante Gennemforelse af de exakte geometriske Be-viser, med hvilke ARCHIMEDES forelkegger dem i en Fremstilling, der slutter sig noje til den euklidiske Ge'ometri. Denne Udarbeidelse har da ogsaa kroevet Tid; thi i Fortalen til. Skriftet om. Spiralerne ') Heroin gives nvermnere OPly'sninger i INeglesnitslanren i Oldtiden. XX. Afsnit. 45*

Page 346

346 XVI. Rapitel. 148 (11,2,13) siger han, at der ved dette Skrifts Fremkornst var gaaet miange Aar siden KONON 's Dod, el Tidsrum, som kun udgor en Del af del, som den naevn-Le Udarbejdelse liar krawvet. Denne Udarbejdelse har da. ogsaa om-faltet to Ting, nemlig d e15 en Udstykning a-f den. Storrelse (Areal eller Rumfang), som det gjaldt oni at lbestemlne, i Dele, der' danner en kon-vergent nendelig Kvotientraxkke eller en summahel Sum af uendelig smaa Storrelser (Integral), d el1s en exakt Begrundelse af disse Sum mationer uden direkte Brug af u endelig Deling, men -vel en Deling i tilstrwkkelig mange Dele, tl at Sactningen kan bevises ved en reductio ad absurdurn. Del forste liar maaitet foretages paa forskellig Maade for de forskelligre Sporgsmaa-l, oga samlidig maatte ARCHIMEDES finde de tl de foreliggende.Opgaver tjeulige Sum-.mationer (Integrationer). Hei liar den egentlige Vanskelighed ligget; men at AR CHIMEDEs bar holdt den fra, kan man se af den den af de i dette Skrift x a Fig. 15. endelige Udarbejdelse i den krawvede exa~kle Form ud herMaade, livorpaa lian i Ephodos gor dette i del mindsle -ved behandlede nye Opgaver, on livilken tilstraxkkelig[ er bevaret i del af HEIBERIG fundne Manuskript. Foruden at Lfore tl de interessante nye Satninger er Skriftets Formnaal jo nemlig at vise den mekaniske Fremngangsm-aade, ved livilken han. ogsaa liar fundet sine aidre Saetninger; ved. da. tillige at vise, livorledes lian naar tl en exakt geometrisk Begrundelse af de nye Soetninger, oplyser han ogsaa, livorledes lian for de widre Swtningers Vedkommende bar kunnet gaa over fra den mekaniske Be grundelse tl den exaki geometriske. Nu ser -vi ham i Ephodos forst i 12. og 13. (II, S. 484 if.) anvende sin mekaniske Methode tl at finde Rum [angel af en Cylinderliov, begrwnset af en Halvcirkel en paa. denne staaende ret Cyliuderfiade og en Plan gennem den Halvcirkien 'begrwnsende Diameter: naar Halvcirklens Radius er a, og Planen paa. den Frembringer i CylindereD, som ligger 1engst fra Diainelerei.-, afskwrer Stykkel b, bliyer delte Rumfang Trediedelen 2a 2b af Prismet med Hojden b og med del Halvcirkien omskre-vne Rektangel 2a. a tl Grundflade. Del bedste Overblik o-ver, livorledes ARCHIMEDES dernaest i 14. forbereder og i 15. gennemforer del exakte geometriske Bevis, faas ved en Sammenligning med den moderne Bestemimelse af Rumnfanget v -ved Iutegralet V:_-b i:a - ) dx. Her er (Fig. 15) den givne Diameter 2a tagen tl Abscisseaxe i et retvinklet Koordinatsystem. Del -ved Abscissen x bestemte Suiti Clinderhi e er da lb (2a x2) Denne algebraiske Beslemm-else liar ARCHIMEDES udtrykt under geornelrisk Form ved at tegne Parablen y - a - a' som liar Diameteren tl Korde og samme Top

Page 347

149 149 ~~~~~~~EUKLID'S Elementers Skoebne.34 347 punkt som Halvcirklen. Suittet i Cylinderhoven bliver da '-by, eller som. ARCHIMEDES siger: denne Trekant forhbolder sig til den Trekant l ab, som paa samme Plan afskwres ved et tresidet Prismne'alb med Grundfla den I- ab og Hojden 2 a, som Parabelordinaten y til a. Da i denne Proportions Forhold Efterleddene er konstante, kan ARCHIMEDES derpaa. anvende Swtning 1. i Skriftet om Konoider og Sfawroider, som han tillige paany anforer som forudkendt Hj,-elpeswtning i Ephodos (II S.- 434), og deraf slutte, at Sunmmen af alle Snittene i Cylinderhoven, det er denl Storrelse, vi kalder -bydx, eller selve Cylinderhoven forholder sig til Summen af alle Snittene i Prismet, der er dette selv eller a 2b, som alle Parabelordinaterne (__ydx), altsaa Parabelsegmentet, forholder Sig til alle Ordinaterne a eller Rektanglet 2a-. Da nn ARCHIMEDES tidligere liar fuindet, at Parabelsegmentet er to Trediedele af dette Rekltangel, kan han derved bestemmne Cylinderhovens Runmfang. Den Maade, hvorpaa han anvender sin paa. to Steder anforte Hjwelpeswetning, falder ganske sammen med en Anvendelse af CAVALLIERI'S Swtning, livilken denne. betragter som intnitivt indlysende uden noget Bevis, og enduu LEIBNIZ begynder med at binge den samme uklare Betegnels'e afret Areal eller Integral som. Sum af alle Ordinater eller 5y. ARCHIMEDES ser imidlertid i denne Udvidelse til nendelig miange Led ikke et Bevis, men et intuitivt Hjwelpemiddel til at finde det Resultat, livis Bevis han dernwst bringer i fuld Overensstemmelse med den eudoxiske Bevisforelse, som krwvedes i Tilslutning til EUKLID's Anvendelser af denne. Derved bruger han vel den samme Hjwlpesa~tning, men anvender den nu kun paa de endelige Antal. af Figurer, indskrevne i og onmskrevne om de Skiver og Strimler, hvori parallele Snit deler Cylinderhoven og Parabelsegmentet. Paa denne Maade kunde mnan have bevist CAVALLIERI'S lalmindelige Svetning og dernawst umiddelbart anvendt denne; men som sine Forgawngere nojes ARCHIMEDEs ined i livert enkelt Tilfwlde at fore det nojagtige Bevis for den netop foreliggende Swtning. Det er et saadant Bevis, som han i Ephodos 15. liar fort for Sretningen om Cylinderhoven. Dette trawder klart frem trods store LakUner i det foreliggende Mannskript. Hvad der er bevaret, stemmer neinlig saa. noje med den sawdvanlige Form for en saadan Bevisforelse, at Lakunerne i Hovedsagen kunde lade sig ndfylde nawsten ordret. Det er saaledes ikke blot den oprindelige mekaniske Udledelse af en stor Del af de vigtigste Resultater, der fremsadtes i ARCHIMEDES' forskellige tidligere Skrifter, som vi lherer at kende gennem Ephodos; men Fremstillingen i dette Skrifts nye Undersogelse af Cylinderho-ven er tillige P a radignma. paa'den Udviklingsrwkke, som. ogsaa. andre Eminer maa have vwret underkastede, inden han liar fremstillet dem som, fuldt beviste i sine ovrige Skrifter. Efterat han ad mekanisk Vej liar fundet dem, vil. han ogsaa have opsogt en saadan infinitesimal Udledelse, som var egnet til at omndannes til. den exakte Bevisforelse, som han i disse Skrifter alene forelveg

Page 348

348 XVI. Kapitel. 150 ger sine Lvesere. I Skriftet om. Konoider og Sfxroider, hvori han benytter samme Hjoelpesvetning som i Ephodos, liar han kunnet anvende den ganske som. her, nemlig f0orst under mere intuitiv Form tii infinitesimale Beviser, somn liar tjent ham selv tl Vejiedning og dernoest under den paafolgende Udarbejdelse af de exakte Beviser, som. Skriftet selv indeholder.. Under lidt andre Former vii Beviserne i de andre Boger v-Tre forberedi ved en forelobig infinitesimal Betragtning. Dette ligger iovrigt i Tingens Natur; men Ephodos bekrzefter, livad man kunde slutte af denne. Ved saa ndforlig at dvele -ved ARCHIMEDES Og bans Forhold tii den enklidiske Bevisforelse har jegf paa den ene Side tilfredsstillet en Trang til her at benytte de Oplysninger, som. Ephodos har givet os, paa en fuldstlendigere Maade, end dette var muligt, da jeg endnu ikke kendte Ephodos' kronologiske Plads blandt de af AnCHIMIEDES -.ndgivne Skrifter. Paa den anden Side oplyser den fra en ny Side den Overgang fra 'intuitiv Tilegnelse til rationel Begrundelse, som udgor Hovedemnnet for nervawrende Arbejde. Paa det nu betragtede Omraade ser vi dog liele denne Vej tilbagelagt af en enkelt Mand, ARCHIMEDES. Ogsaa paa et andet Omraade har den euklidisk-alexandrinske Geomnetri vist Sig egnet til at optage andre Emner end dem., for hvilke den oprindelig var besteint, nemlig ved Dannelsen af T r i g 0 n 0 m. e t r i e n som Hjwlpevidenskab til Astronomien. Denne var, som. vi liar set, som. Sfwrik gaaet forud for den egentlige Geometrii Behandlingen af vigtige stereometriske Sporgsmaal, men det er en Selvfolge, at Geometriens Udviklilg og Tilfojelsen. af en med tilsvarende Omlin behandlet Stereometri, saavel som, den perspekti-viske Anvendelse af Kegler til Fremstilling af de for Plangeomnetrien og dens algebraiske Anvendelser saa vigtige Keglesnit ogsaa. maatte komme Sfwriken og Dannelsen af Hypotheser o m Himmellegemers Bevwgelse til Gode. Det er da ogsaa store Geometre som. EUDOXOS og APOLLONIOs, der i disse Henseender spiller Hovedrollen. Men ved Siden heraf tilfortes der efter den alexandrinske Tids Begyndelse den astronomiske Bestemmelseskunst et helt nyt Omraade, da man med den tidligere indirekte Bestemmelse af Vinkler ved Forhold mellem. Linier, fremstillede ved Projekitioner og andre geometriske Konstruktioner, forbandt direkte Vinkelmaalinger. Disses Fremstilling i Grader, Minuter og Sekunder viser deres osterlandske Oprindelse. Nu gjaldt deL om. at beregne Tal, som. udtrykker disses Forbindelse med de Forhold, man tidligere anvendte, forst og fremmest Kordetavler. Her maatte Geometrien yde sin Bistand. At denne ifolge den Udvikling, som. EuKLID ha-vde givet den, kun indeholder de aldeles prwcise Swetniinger, medens Kordeberegningen kun kan ske med Tilnvermelse, kunde ikke, vwre nogen Hindring herfor, da man ved Siden heraf i Logistiken og Metretiken lerte at anvende de geometriske Swetninger ogsaa. paa Sporgsmaal, der kun kunde besvares tilnwrmelsesvis. At man ogsaa kunde give. denne Anvendelse en aldeles exaki Form, havde ARCHIMEDES vist ved sine Deviser for, at Lwngden af en Cirkelperiferi ligger mellem, prwcist opstillede Grwnser, og hans Exempel ser vi PTOLEMAIOS folge i sin Kordeberegning. Nu stilledes der imidlertid Krav til en langt storre Frihed i den numeriske Beregning, og at Grvekernes egen Regnekunst ikke

Page 349

151 151 ~~~~~~~EUKLID's Elemen ters Skoebne,.34 349 var tilstraekkelig udvikiet dertil, men at de ogsaa i den flenseende maatte tage Lawre af Babylonierne, viser Brugen af 60-Delingen ikke blot til Vinkelm-nalhing, men ogsaa ved Udregningen af Korder i Sexagesimalbroker og overhovedet til Udforelse af storre Regninger. Hvad angaar Tabellernes Anvendelse paa astronomiske Sporgsmnaal, har man, som det fremgaar af PTOLEMALOs' Analem ma 1), fra forst af knyttet deres Brug til de samme Forhold mellem Linier, som benyttedes ved de we1dre geometrisk-mekaniske Bes~temmelser; men MENELAGS gay den sfawriske Geometri en saadan Udvikling, som. egnede sig til en mere direkte Anvendelse af Kordetavierne til Storcirkelbuers Bestemmelse ved hve~randre. Vi liar allerede peget hen pan den Tilsiutning, som Sadtningerne om. sfteriske Trekanter i hans forste Bog liar til Swetningerne om plane Trekanter i EUKLID'S I. Bog, og de Swetninger, som han opstiller i III. Bog, og soin i Middelalderen og ind i den nyere Tid i en efterhaanden mere udvikiet Skikkelse er l-agt til Grund for slferisk-trigonometriske Beregninger, er fremkomne ved Udvidelse af plangeometriske Saininger, som efter PAPPOs liar vawet at finde i EUKIDm'S Porismer. Jeg liar i Keglesnitslawren i Oldtiden (XXII. Kap.) omtalt Grundene til den grweske Geometris Forfald og skal her kun berore en af disse, som knytter sig noje til, livad vi liar sagt om den enklidiske Geometri. Efterat man i Keglesnitslwren og nogle andre naturlige Udvidelser havde anvendt den paa Undersocgelser, for livilke den fin forst af var bestemt, og da den ikke mere fik helt nye Impulser som i sin Tid fra et Geni som. ARCHIMEDES, og man tilmed forsomle at folge dennes Impulser, og da ikke nye Opgaver blev paalagt den som de, der hidrorte fra Fremskridtene i Astronomi, behandledes Geometrien somn det fterdige og afsluttede videnskabelige System, livis Grundlag EUKLID en Gang for alle liavde opfort. Af nye Anvendelser gjorde man vwsentlig kun saadanne, som. passede ind i Systemet, ikke saadanne, som, paa nogen vwsentlig Maade kunde udvide det. Man blev saa optaget af at kommentere de af EUKLID og bans store Efterfolgere anvendte Former og viedisses videnskabelige Vwrdi, at man ganske forsomte at brucre dem til at faa noget nyt frem. Selve Kommentarerne, som vi finder dem hos PAPPOS, PROKLOS, EUTOKIOS o. fi., indeholder heller ikke nye theoretiske Betragtninger af synder110 Interesse; at de dog liar saa stor historisk Vverdi, hidrorer fra de Oply-sninger, som de indeholder om de store Forgoongeres Arbejder. De paalideligste af disse ydes gennem de direkte Uddrag af veldre Forfattere, som. altsaa ikke alene bygges paa en mere tilfwldig Overlevering, forplantet gennem. Aarhnndreder, i livilke den m-aanIte betydelig afsvwekkes. Dog vidner den blotte Fremkomst af saadanne Kommentarer om en fortsat, om. end aftagende Forstaaelse navnlig af EUKLID's Elementer, livis Swtninger man stedse tog til Udgangspnnkter. For virkelig at kunne lioldes i Live maatte denne Forstaaelse ikke indskrawnke sig 111. en abstrakt logisk 1) Se min Af handling: SUIr la tfigonom~trie de l'antiquiti, Bibliotheca mathemnatica 11, 1900.

Page 350

350 XVI. Kapitel. 152 Tilegnelse af de videnskabelig ordnede Scetninger, men m-aatte vedblivende vawre forbunden med Fortroliglhed med deres mere praktiske Anvendelser ogsaa. dem, som. vNi liar kaldt algebraiske. Denne har vwre[ holdt vedlige ved 0v~elser i Metretik og Logistilk, og den voksende Regneftcrdighed, som vi nys omlalte i Forbindelse med Astronom-ien, er kommen den tilgode. Den kegger sig for Dageni HERON's Arbejder', swrlig i hans genfundne Metrica, og hos DioPHANT troeffer vi en storre Fortrolighed med rent algebraiske Operationer og tilhorende Dumleriske Udregninger, end de bevarede Skrifter liar tilladt os direkte at paavise hos de gamle Alexandrinere, omn end, som vi liar vist, meget tyder paa, at de ikke var dem fremmede, ja at den videnskabelige Begrundelse af deres Udgangspunkter liorte med til Formaalet for (len grweske Geometri. Der vedblev saaledes ogsaa at vwre Betingeiser for senere Opblusninger af denne; en.' saadan synes f. Ex. at have knyttet sig tii de Anvendelser, som. Opforelsen af Sophiakirken i Konstantinopel krwvede. En Fortswttelse liar omn end i aftagende Grad fundet Sted i det 0stromerske Rige, livorfra man 'derfor i Renzessancen. kunde hente de vigtigste af de Skrifter ar de gamle store Forfattere, som. vi nn kender. Hell. anderledes gik det Romerne. Deres Landmaalere anvendte fra, forst af etruskiske Regler, som. fik Lovkraft uden nojere matliematisk Provelse. De tilsattes vistnok mned. grawske Regler baade de gamle fra den foreuklidiske Tid eller ~Egypterne og vistnok ogsaa. saadanne, som. er paav~irkede af den euklidiske Geometri. Det tor antages, at grawske Haandvaerkere og Ingeniorer med nogen niathematisk Dannelse liar haft en stor Andel i de udmarnkrede Ingeniorforetagender, som. udfortes under Romerwel~det. Af dem, har vel ogysaa Romere 1wrt de Rogier, som. man anvendte; men naar disse nden nogen saadan mere intuitiv Baggrund, som Grwekerne -besad for EUKLIIS henvistes til hans videnskabelige Vawrk for deni at finde Kilden til og Sammienhamgen i disse mekanisk hrte Regler, savnede de Betingelseine for med Frngt at gaa denne Vej. De kunde ingen Sans have for den videnskabelige, Finhed, livormed han besejrer eller om~gaar logiske Vanskeligheder, saahwnge dle ikke havde vNundet tilstrwukkelig Fortrolighed med Tingene selv til at kunne forstaa, livori de Yanskeligheder bestod, liormed man gjorde sig saa, stort Besvc-Pr. Og til at here det ene og det andet at kende gennem. selve EUKLID'S videnskabelige Behandling, dertil savnede man ganske den Taalmodighed, som. kun kan findes hos den, der som. EUKLID og hans platoniske Forgoengere liar vundet Interesse for Mathematiken for dennes egen Skyld. Grelt troeder denne Mangel paa Evne til en rigtig Forstaaelse frem, naar man brugte Udgaver med EUKLID'S S Wtninger, men uden Beviserne. I den saaledes fremkomn-mende Rwkke Soetninger findes vel saadanne, som egner sig til de praktiske Anvendelser, somi ene kunde interessere Romerne; men et Flertal af STetningerne i det euklidiske System. er vawsentlig bestemt til i dette selv at danne. det videnskabelige Grundlag for de andre, og vi har set, i hvor hoj Grad Ordningen af Swtningerne. er beregnet herpaa; uden det forstaas den ikke.

Page 351

153 153 ~~~~~~EUKLID's Elementers Skaobne.35 351 Den Paavirkning, som den yngre indiske Mathematik liar faaet af den grweske, indskroenker sig tl Optagelse af Resultater, soin man liar fojet tl, livad man selv fornd vidste, og dernawst behandlet paa samme Maade som dette. Om nogen Indflydelse fra EU KLID's rationelle Behandling bliyer der altsaa ikke Tale. Det helt omivendte gwlder om Araberne eller om de Folkeslag under arabisk Herredomme, hvis Mathematik man under et betegner som den arabiske. Nogle af disse, navnlig Syrerne, var forud i Besiddelse af grwsk Dannelse, som ogsaa- maa have omfattet nogen. Mathemalik. Orn end vwsentlig paavirkede af astrologisk Overtro fik deres arabiske Herskere tidlig en Interesse for Astronomien, der i Aarhnndreder paa forskellige Steder og under forskellige Dynastier gay Anledning tl en rundhaandet Understottelse. Astronomiens mathematiske Behandling hos Grrekerne medforte, at Overleveringen og videre Udvikling af den grveske Mathematik fik en vxesentlig Andel i denne Stotte. EUKLID oversattes allerede nnder Abbassiderne samtidig ined PTOLEMAIOS, og saavel Formaalet med, Overs~ettelsen som de Dele af den nndertvnngne Befolkning, hvorfra den udgfik, maatte sikre imod, at Tilegnelsen af EUKLID indskrwnkede sig tl den abstrakit logiske, som paa sin Side ikke forsomtes. Sammen med Tilegnelsen af EUKLID'S strenge Theori laerte man at bruge de deni indeholdte algebraiske Operationer. Disse lraadte ndtrykkelig frem i den tidlig oversatte Di op h a n; men baade han og table grwske Forfattere kan forud have vxeret kendi i sin groeske Form af dem, der i Litteratnren tra~der os i Mode som. Arabere. Ad denne Vej er i Nutiden paa flere Pnnkter vort Kendskab tli den grzeske Maihematik vokset nd over det' Maal, sorn var naaet ved at ose direk-te af grweske Kilder. I hvor god Besiddelse man tidlig kom af de grwske geometrisk algebraiske Operationer, ses af det Skrift af AL-CHWARIZMI, som liar givel Algebraen sit Navn. Der er vel en af de Former for Losning af Ligningen af 2. Grad,, som han anvender, der ikke forekommer hos EUKLID; men ogsaa denne liar sammne geometriske Nalur som EUKLID'SD. Paa denne Maade kom Araberne baade i Besiddelse af de strengt videnskabelige Principer, sorn giver sig Udtryk i EUKLID's Elementer, og tli Forstaaelse af, hvorledes de i delte Vawk beviste SwAtninger kan anvendes baade praktisk og tli videregaaeunde videnskabelige Undersogelser. Tilsiulningen tli de grawske vid~enskabelige Principer trweder seerlig st~erkt frem hos OMAR AL CHAIJ-AM-, der kun vii anerkende Regninger mned. irrationale, Storrelser i den af Grwkerne anvendle Ornskrivfling tli geometriske Operationer eller tl Proportioner. Frugtbarere bliyer den langt friere Behandling af saadanne' Storrelser, som AL-KARCHI lillader sig, skont ligeledes han bojer sig for de groeske Lwremestre. Hvor g odt Araberne havde tilegnet sig den -hele euklidiske Geometri, del viser den Forslaaelse af den derpaa byggede 1)Efterat P. TANNERY har vist, at allerede DioPHANT anforer de Begler, hvis arabiske Benwevnelse bar givet AL-CHW-ARlzmi's Bog og derefter Algebraen sit Navn, ved jeg ikke, hvorpaa P. BoUTROUX ViI stotte den - iovrigt garale - Antagelse, at der med denne Forfatter begynder en ny, fra den gr.Tske vvesentlig forskellig, arabisk Algebra (P. BoUTROUX: Les Principes de l'Analyse Mathuimatique, expos6 historique et critique, I, Paris 1914). D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. R.-ekke, 1. 5. 46

Page 352

352 XVI. Kapitel. 154 Keglesnitslaxre, h~vorom. deres Udgivelse af APOLLoNios' Keglesnit vidner; dette Vwerks Y. —VII. Bog er kun kommen tl os gennem. dem. Med den groeske Anvendelse af Keglesnit tl Losning af Opgaver, der afhawnger af Ligninger af tredie Grad, viser de sig ogsaa 'fortrolige, om de end i Realiteten i de Skrifter, vi kender, ikke er kommen ud. over, hvad Gra-ekerne havde naaet. Et betydeligt Fremskridt har ALHAITAm derimod gjort i Infinitesimalundersogelser, idet ban, under en lignende Form som. den, hvorunder ARCHIMEDEs behandler Integralerne \xdx og ~X2dx, benytter en mener x~dX == X5 ensgwldende Sxtning, saerlig til Kubatur af det Legerne, som seeeFERMAT kaidte sin egen Konoide, efter at han havde bestemt dens Rumfang paa. samme Maade som AL-HAITAM '). At iovrigt Arabernes, Fremskridt vxsentlig gjordes i Trigonometrien, var en naturlig Folge af den Forbindelse, livori deres Mathemalik stod med Astronomien. Ved Middelalderens Begyndelse modlog de vesteuropoeiske Folk kun den mangelfulde Mathematik, som. Romerne besad. Brudstykker af EUKLID som, en Forfatter, for livem. man havde en vis, 1Erefrygt, fnlgte med, men alle. Betingelser for at faa videre ud af Loesningen savNnede's forelobig. Forst efterhaanden kom. saadanne vaxsentlig fra Araberne og tilegnedes da ogsaa lidt efter lidt meed Flid. af de nye og friske Folkeslag, og de koni i en dobbelt Skikkelse. Dels Lroengte de ma.thematiske Faerdigheder, som. er saa vigtige for en frng t ba r Tilegnelse af Mathematiken ind, forst den indisk-arabiske Regnekunst og senere tillige (len algebraiske Kunst, som. Araberne, som. sagt uden vwsentlige reelle Fremskridt fra. Grxkerne, havde givet en storre Selvstoendighed blandt andet i Tilsiutning til DIOFANT ved visse faste Betegnelser for de forskellige Potenser af den ubekendte og ved Tillob til et Tegnsprog. Dels var der fra. Araberne kommen en rent videnskabelig Interesse, som.i gay sig Udslag allerede paa. en Tid, da. baade den aritlimetiske og navnlig den algebraiske Fxrdighed endnn kun var meget lidet ndviklet idet mindstei de her paagaeldende gejstlige Universitetskredse. Vi txenker swrlig paa S kola.stiken i det XJII.-XIV. Aarhnndrede, oin hvis mekaniske og mathematiske Arbejder DUHEM i -sine udforlige Skrifter, swerlig i de Ire Bind om.,,Leonard de Vinci, ceux qn'ii a ins et ceux qni l'oni in", der fremfor alt drejer sig om,,cenx qu'ii a ins", giver saa udforlige og grundige Oplysninger, hvis fulde Paalidelighed g~odtgores ved. Uddrag af de skolatiske Forfattere selv. Disses Interesse optoges vel vvesentligst af den aristoteliske Filosofi og dens videre Behandling ved senere grawske og arabiske Forfattere. Selv medbragte de tillige Forudsaetninger, vnndne gennem den kristne Kultur, der jo ogsaa paa sin Side ved AuGUS TIN og andre Kirkeftedre havde opt'aget ') Dette finder jeg saa meget mere Anledning til at bemaTrke her, som jeg i min Artikel i Kultur der Gegenwart III, 1. Bd., der udkom kort for H. SUTER'S Udgivelse af AL-HAITAM's Arbejde (i Bibliotheca mathematica 12.,') siger S. 61, at,,ARCHIMEDES' Infinitesimalundersogelser slet ikke blev fortsati Middelalderen". For Arabernes Vedkommende har dette altsaa vist sig at vocre urigtigt.

Page 353

155 155 ~~~~~~EUKLID's Elementers Skawbne.35 353 meget af den gamle grawske Kultur. De fandt derfor ogsaa rigelige Tilknytningspunkler ej blot for Tilegnelse, men ogsaa fdr en frugibar Kritik af de' aristoteliske Lwerdomme og kunde under denne stotte sig tii hans egne logiske Regler. Det var nelop Tankens egne Love, de greb og udviklede og forstod. at benytte paa en sikker, ofte subtil Maade; men de besad langt mindre Kendskab fl alt, hvad der vedrorte selve Naturen og hele den ydre Verden, hvorpaa disse Love skulde anvendes. Efter alt, hvad vi i, dette Skrift liar sagrt paa den ene Side orn EULIAD's Elementers og den derpaa byggede groeske Mathematiks rent rationelle Karakter, paa den anden Side om de geometriske og algebraiske Fgerdigheder, som imaa indoves af den, der vii have (let ftulde Udbytte af Studiet af EUKLID, er det af stor Interesse at se, livad Skolastikerne, der i saa lioj Grad besad. Interessen for rationelle Synsmaader, men var saa overordentlig lidt udrustede med de nwvnte praktiske Fwrdighieder - livori de samtidige italienske Handelskredse var naaet videre - kunde -faa ud af Studiet af EUKLID. Ja, noget stort Omfang naaede deres Knndskaber ikke, og at den blotte TilP egnelse af EUKLID's Lawrdomme maa have forekommet ret vauskelig, kan man se at, at man, skont CAMPANUS' latinske Udgave af liele EUKLID'S Elementer forelaa fra Mid~ten at det XIII. Aarliundrede, ved Universiteterne kun kerte faa at dens Swtninger med deres Beviser; men disse, soim vel iswer var tagne af hans I. Bog, der jo ganske swerlig er opfort, efter rationelle'Principer, knnde nok give Indblik i, livad et exakt-Bevis er, o g derved. indove den formelle Sikkerhed. i Slutningerne, som. ikke inindst overtor Sporgsmaal, der har en mathematisk Side, karakteriseiyer de awldre Skolatikere, om livem vi her taler, selv om de kommer meget lidt nd. paa mathematiske Enkeitheder. For dem, der vilde det, var der Lejlighed til at gaa.videre i Studiet at EUKLID, og dette har da bidraget til den Kiarhed og Nojagtiglied, livorined. mathematiske Begreber at en vis almindelig Natur optattes og udvikies at de betydeligere Fortattere; paa flere PUnkter naar disse Fortattere endog til Opfattelser og Resultater, som man ellers torst tilkegger Renwssancens Fortattere, der bedre torstod. at sawtte dem i Forbindelse med. den haandgribelige Virkelighed. Den abstrakt logiske Interesse trwder allerede frem, naar CAMPANus bemawrker, at EUKLID X, 1. (se S. 102 (300)) hindrer i at sammenligne den Vinkel, som- en Kurve danner med sin Tangent, med. retlinede Vinkler. Bemwrkningen kan maaske skyldes en arabisk eller grwsk Forgwenger; men at netop den drages trem, rober den theoretiske Interesse. Det samme kan siges, naar ROGER BACON, om end i Tilsiutning til arabiske Kilder, beviser Umuligheden at at -sammensoette de kontinuerte Storrelser at lige store Atomer ved. at vise lien til Inkomi-mensurabiliteten at Side og Diagonal i et Kvadrat. Kan end BACON saavel som JORDANUs NEMORARIUS og BRADWARDIN have Udgangspunkter for deres Bemwrkninger om. Forskellen paa kontinnerte og diskrete Storrelser tra ARISTOTELES og bans filosofiske Etterfolgere, rober dog deres Bemwrkninger heroin euklidisk Skoling, og en S'aadan maa i livert Fald ligge bagved Skolastikernes sikre Kritik at det ari-stoteliske Uendeligliedsbegreb. Denne Kritik stemmer fuldstwndig med Principerne for den eudoxiske Grwnseover46*

Page 354

354 XVI. Kapitel. 156 ga ng, om end denne, saaledes som vi kender den hos EUKLID, tjener tli at omgaa del af veldre gr~ske Mathemnatikere misbrugt'e Ord,,uendelig", medens. Skolastikerne bruger den til at forkiare den saakaldte potentielle Uendelighed paa en fuldt ud tilfredsstillende Maade. Paa den anden Side trwader det ringe-Oinfang af deres praktiske Kendskab tl Mathemaliken fremn ved, at de idelig vender tilbage tl del ene Exempel 1 + 4-4-4 +., det er: man kan gore Leddenes Antal saa stort, at Summens Afvigelse fra 1 bliyer mindre end enhver opgiven Gramse. De behandler disse Sporgsmaal med en saadan Kiarhed, at GREGORIU s af RIMINI fra. dem endog bwever sig tl del Begreb, som, i yore Dage kaldes,tlransfinlite" Storrelser. Om en skolet malhematisk Tawnkning vidner dlet ogsaa, naar BURIDAN - OM end i Tilsiulning tl JOHANNES PHILOPON fra' den senere Oldtid - sa~tter Inerliens Lov i Stedet for ARISTOTELEs' Forkiaring af Bevxgelse. Efter denne skulde ikke Forandringer i Hastighed, men selve den 'ojeblikkelige Hastighed i hivert Ojeblik frembringes ved en Kraft. BURIDAN derimod tilkvegger et Legeme i Bevawgelse en vis,,Impetus", som. paa den ene Side -er ligefrem proportional med dels Masse, et Begreb, hvilkel han forkiarer omitrent som NEWTON, paa den anden Side afhwenger af Hasligheden.- Det er ved denne Impetus, som forandres ved en virkende, nedadgaaende Kraft, at han forkiarer en opadgaaende Hasligheds Aftagen og en nedadgaaende Hastigheds Voksen. Hertil fojede ORESME den samme kivantitative Bestemmelse af den ved en jevnt voksende Hastighed gennemlobne Vej, som. GALILEI senere har genfundet og ved Forsog vist Anvendelsen af paa Faldet. Som GALILE1 lager ORESME Tiden tl Abscisse, Hasligheden tl Ordinat, hvorved den gennemlobne Vej bliver Arealet af en Trekant. Det er deane Bestemmelse, som i ORESME's egel af DUHEm freindragne Manuskript: Traclalus de figuratione potentiaruin et inenSuraruin diff-orm~itatum udgor Hovedanvendelsen af de deni beskrevne Koordinater. Den vwiser tillige, livorledes disse knyttede sig tl den hos EUKLID forekommende geometriske Algebra, ligesom MENAICHMOS' og APOLLONIos' Anvendelser af Koordinater, som. O1RESME ikke kendle noget tl. - ORESME var fortrolig med Bevoegelsens Relativitet og antog i Henhold dertil Jordens Rotation om dens Axe. Hans Fremstilling andeLsteds af en Potens med bruden Exponent slutter sig tydelig tl EUKLID's Fremstilling af Potenser ved Sammenseetning af ligestore Forhold og har et Analogon i en lignende Brag, som ARCHIMEDES gor af Betegnelsen: et Forhold' laget halvanden Gang. Sammen meed denne kiare JIndtroongen i de gamles Begreber liar ORESME somn sine samlidige i den 1wrde Stand kna et lidet omnfatteude Kendskab tl Mathenialikens praktiske og numeriske Anvendelser. Dette udvider han dog selv ved beskedne Dannelser af uendelige Rwkker, som han stiller ved Siden af den nys omntalte. Den paa. denne Tid i Europa fremadskridende Vwkst af en fra Geometrien mere og mere losreven Algebra og en ligeledes mere frigjort Trigonometri skulde dog sniarl aabne andre Veje lil. at komme ind i og trwnge videre frem, i Mathemaliken end EUKLID's Geometri, somn man imidlertid samlidig kerte bedre og bedre at kende. Tilliden til de nye Midler, man fik at raade over, kunde vel ogsaa i

Page 355

157 157 ~~~~~~~EUKLID'S Elementers Skzebne.35 355 Renaessancen briage enkelte som PETRUs RAMUS til meed Oppositionen mod ARISTOTELES' Eneherredomme at forbinde en lignende mod EUKLID. En fejiagtig Oversattelse hos CAMPANUs af Def. 5. i EUKLID'S V. Bog gay Anledning tl at bebrejde denne en al-vorlig logisk Feji. Del ses dog f. Ex. af PELETARIUS' S. 72 (270) anforte Euklidudgave af 1557, at Fejien var retlel, og at en rigtig Forstaaelse af Definilionen og dens Anvendelse var indtraadt. Forstaaelsen af EUKLID'S Ve-rk, som vedblev at vwre Udgangspnnktet for ethvNert alvorligl ~eometrisk Stadium, maatte ogsaa styrkes ved del voksende Studium og den voksende Forstaaelse og Anvendelse af de andre gr.Tske Oldtidsskrifter. Gik man end selv frem ad mange andre Veje, rnaatte Sammenligningen med EUKLID og de Undersogelser, som de gamle byggede paa hans Elementer, vise, at de Dye Undersogelser endnn ikke var naaet tl samme logiske Sikkerhed. Man forstod og fremhawvede, at Arithmetiken behandlede de diskrete, Geometrien de kontinnerte Storrelser, og anerkendte saaledes, at den paa Aritliwrnetiken grundlagle Algebra endnn ikke havde 'fuld logisk Sikkerhed, naar de behandlede Storrelser var' inkoimmensurable. Om denne Tids Veerdsawttelse -af den fra Oldtiden nedarvede Geomnetri som. den retle Indehaver af malhematisk Exaktlied, naar Talen er om den almindelige Behandling af Storrelser, liar jeg tall andelsleds 1). Her skal jeg derfor kun minde om, at det er den, der bringer VIETA tli at foje saakaldte geometriske Beviser tli dem, han forst forer ved Anvendelser af hans egne algebraiske Tegn. De Operationer, som disse udtrykker, er nemilig Regneoperationer og derved kun tlienkt anvendle paa de Storrelser, med livilke man kan regne, altsaa paa rationale Storrelser. Beviserne for de opnaaede Resultaters Almindelighed irnaa derfor stottes paa Geometrien, del vil sige paa den i EUKLID V. indeholdte almindelige Proportionslwre. DESCARTES kommer herud over ved en Gang for alle at stotte Brugen af Tegnsproget paa aye alm~iadeliggjorte Definitioner af de ved dette udtrykte Regneoperationer. Produkiet a. b er Fjerdeproportionalen tl 1, a og b o. s. v. Del logiske Grundlag for Paalidelighieden af disse Operationer bliyer saaledes bestandig den endoxiske Proportionshere. Som for bemverket maatte Fortroligheden med EUKLID i Reaaiessancen vokse ved Studiet af ARCHIMEDES og APOLLONIOS, som aidrig salle rigere Frugt end Begyndelsen af den nyere Tid. For en Del kunde del ske gennem deres Resultater, sorn man nu socgte selvstwendig at begrunde og udvide. Det skete som hos KEPLER og CAVALIERI gennem Infinitesimalbetragtninger af en vis inlnitiv Karakier; men netop saadanne var. skikkede tl at fore en selv og andre rask frem. Man saa deni, og er l1whge vedbleven dermed, helt nye Fremgangsmaader uden at bemaerke, at de gamnle maatte voere gaaet gennem lignende Betragtninger, forend de naaede tli at kunne opslille fterdige Resultaler og synthetiske Begrundelser af disse; ARCHIMEDES' Ephodos liar leveret Bevisel for, at han netop er gaaet denne Vej, og at. 1)Se i Videnskabernes Sei skabs Oversigt 1893 S. 330 ff. min Note III sur ihistoire des math~matiques: Stir la signification traditionnelle du mot g~om~trique. Jeg kan ogsaa henvise til: Om den historiske Udvikling at Mathematiken som exakt Videnskab indtil Udgangen af det l8de Aarhundrede. Universitetets Festskrift til 1{ongens Fadselsdag. 1896.

Page 356

356 356 ~~~~~~~~~XVI. Kapitel.18 101-8 swrlig,,CAVALLIERI 5s Stetning" allerede for ham var et Gennemgangsled tl en Begrundelse, der tilfredsstillede ham som. mere exaki. De Krav, som han saaledes stillede, og som tolkedes af Mawnd som MAUROLYCUS, blev fuldstarndig forstaaet af FERMAT, der bevarede den geometriske Form af Kvadraturer, ikke som. et blot Hjvelpemiddel lit Anskuelighed, men som Vej tli exakt Begrundelse. Lejlighedsvis gennemforte han den ved en exakt Grwnseovergang, og i den Henseende fUigle PASCAL 0. fi. hans Exemipel. Naar endvidere Mwnd som HUYGENS og NEWTON ViSte en saa. stor Forkwrlighed for geometriske Begrundelser efter gammel groesk Monster var del ingenlunde et formelt Liebhaveri, men en Viden om nelop deni at linde det sikrest opforte Grundlag for en fuldt paalidelig Opforelse af deres egne nye Bygninger. Endnu LEIBNITz henviste til, at de ved Brug af hans nye Algorithmer fundne Resultater kunde bevises exakt ved den antike Form for Grwnseovergang (Exhaustionishevis). Ved Laan fra den enklidiske Geometri og Anvisning paa. den grceske Bevisforelse havde man saaledes dels sikret sig Almengyldigheden af de fra forst af til Regning med rationale Tal knyttede moderne algebraiske Operationer, dels erkendt et Middel tl at prove Resultalerne af de nydannede infinitesimale Operationer. Saasnart man folte sig tryg paa delte Pnnkt, lod man sig imidlertid i det XVIII.Aarhundrede rive hen af disse Methoders egen store Frngtbarhed nden at swtte dem i Forbindelse- med dette nedarvede Kontrolmiddel, og forelobig uden at swette noget andet i Stedet. Samtidig vedblev man dog i EUKLID's Geometri at se del bedste Grundlag for et Studium idet mindste af Geometrien i snoevrere Forstand; men det n-aatte svwkke Overblikket over det hele Vawrks Sammenhoeng, at der var Dele af deL i dette tilsigtede, som man nu lilegnede sig ad hell andre Veje end dem, som EUKLID Vii give et sikkert Grundlag. Tilbage blev Benndringen af de sikre Former for de enkelle Beviser, som f. Ex. lagde sig for Dagen i WOLFF'S Anvendelse af disse i sin Filosofi. Derved oprethoidles de Fordringer, som man siden PLATON, ARmSTOTELES og EUKLID slillede til en virkelig rationel Begrnndelse, og den Tid maatte komnm, da. man ikke kunde nojes med en Henvisning - som. man dog ikke fulgte - li fra. et andet Omraade at soge Sikkerhed for Almengyldigheden af de algebraiske Operalioner, eller med en forkengst glemt Henvisning til, at man knnde anvende de gamiles Principer til enkeltvis at sikre de ved Infinitesimalmethoderne fundne Resultaler. Forelobig fandt man snarere Sikkerheden for disse i den indre Sammenhwng mellem. den rige Fylde af de ved Methoderne vundne Resnitater (,,Ikes videre - el la foi vons viendra"!). I det XIX. Aarhundrede har man derimod indenfor Algebraen selv sogt og fnndet Sikkerheden for dens Almengyldighed og skaffel sig del samme sikre Grundlag for Differential- og Integralregning og uendelige Reekker. Efter Tingenes egen Natur maatle de anvendle Principer vawre de samine, som de gainle anvendle i deres Proportionslaere og i de enkelte af dem foretagne Gramseovergange; derfor har vi ogsaa. i yore Forklaringer heraf i XI. Kap. kunnet henvise til lignende Betragtninger i Nuliden. Disse er vel megel langt fra at voere bevidste Efterligninger af deni, man

Page 357

159 159 ~~~~~~~EUKLID's Elementers Skoebne.35 357 kunde -fide hos de gamle Forfattere; men de er blevne tl i Hamnderne paa Marnd, der havde tilegnet sig det Begreb orn Kravet til mathemalisk Exaklthed, som forst er gjort, gveldende af de gamle GraTkere og forplantet fli os ved EUKLID og deni, der er gaaet videre ad de af ham anviste Veje. Overenssleminelsen med antike Betragtningsmaader blev dog ikke straks bemwerket af de Mlzend, der paa denne Maade konstruerede en sikker Underbygning for de fra. del XVIII. Aarhnndrede overleverede algebraiske og infinilesimiale Methoder. Man bar vistnok ofte anset de endun tidligere& Forgwngere for delagtige i disses Svagheder og fra Anvendelsen af geometriske Anskueliggorelser af- Differential- og Integralregning sluttet, at den anlike Geometri helier ikke bragle mere end en saadan. Dette kan have vweret Tilfbeldet ogsaa. rmed flere af dem, som nu sogte et solidere Grundlag for selve Geometrien, og som ikke altid bemwrkede, i hvilken Grad deres interessante Undersogelser var Skridt videre paa Baner, som EUKLID med fuld Bevidsthed havde betraadt. Jeg har flere Steder berort, at de, som det var at venle, paa. mange Punkter er kommen videre og har fremdraget Forudswetninger, som EUKLID har anvNendt uden ndtrykkelig at opstille dem som saadanne. Her skal jeg sawlig frembawve, at man har fort den Analyse, livorved PLATON's Elever sogte at naa de mest oprindelige Forudsatninger, endnu koengere tilbage end EUKLID. Del er en hel Rwkke Forndswtninger-, som han er naaet tilbage til og har opstillel i sine Poslnlater og tildels i sine Definitioner som Udgangspunkter for sin Lrere; men for at den derpaa byggede Geometri virkelig skal vwre mulig, er del nodvendigrt, at disse lade sig forlige indbyrdes. Sikkerheden berfor har EUKLID egentlig kun deni, at det er ved Analyse af den empiriske Geometri, der som emnpirisk maa vwere mulig, at han er kommen fl dem. Deres Mulighed laden sig imidlertid godtgore, naar man gaar nd fra. et endnu lhengere tilbageliggende Udgangspnnkt. El saadant har man i det moderne almindelige Talbegreb (der da ikke som i EUKLID's V. Bog maa udledes geometrisk). Ved Kombination af to saadanne Tal som Koordinaler og Anvendelse af den analytiske Geornetris Bestemmelse af rette Linier og Cirkler danner man del, soim HJELMSLEV i en Antikel i Nyl Tidsskrift for Mathematik 1917, A, S. 1, kalder den,arithmetiske" Plan. For denne gvelder de. euklidiske Postulater, som altsaa lader sig forene indbyndes. Den saalledes bestemle,,arithmetiske" Plangeometni, og paa lignende Maade en arithmetisk Sleneometri, falder altsaa logisk sammen med den enklidiske og kan opbygges af de enklidiske Postulaler (med nogle Supplementen). 'HJELMSLEV's egen,,Geometri"l er derimod empirisk, men strengt empirisk, idel man holder sig tl de Erfaringer, som kan kontrolleres. Del, som vi nys og i Kap. VIII kaldte den empiriske Geometri, og h-voraf den euklidiske er dannet ved den Analyse, for hvilken vi i detle Skrift har gjort Rede, van derimod bygget paa nkonlnollerede Erfaringer, hvis Grnenser man havde overskredel ved intuitive Interpolationer og Extrapolationer. Den,,arithmetiske"l Geometri er en ralionel Udfonelse af disse Udvidelser af del empiriske Omraade. Indtl for 100 Aar siden var EUKLID's Elemenler nwsten overall den brugelige Lawrebog i,,elementawr" Geometri og er endnn enkelte Sledier vedhieven at vwere

Page 358

358 XVI. Kapitel. 160 del. Med den strengi videnskabelige Karakter, som vi her saa stoorlt har fremhbevet, har den dog ikke kunnet forene de pwedagogiske Hensyn, som blev nodvendige, naar den skulde bruges tli I en forholdsvis nng Alder at give alle, der gor Fordring paa nogen Dannelse, de nodvendige Forestillinger ow- Geomletrien og denls Anvendelse. Man satte vel mied Rette Pris paa den Indforelse i kiar logisk Toenkning og Udtryksmaade, som. traadte frem i de enkelle Satninger og Beviser, men for at faa de nnge Elever med maatte man slaa af paa den Sammenhweng i Tankegangen, som. vi i dette Skrift bar strwbt at fremhcev'e. Denne Sammenhwng forstyrredes ogsaa ved, at man ikke mere havde nogen Interesse af at fremdrage del, som EUKLID behandler af Hensyn tli en Algebra, somn nu liar faael en hell anden Skikkelse og~ derfor maa 12eres efler andre Boger. I Stedel for at se hen tl de Veje, ad livilke EUKLID i I. Bog strweber at nndgaa. Paavisning af Kongruens, ved Figurilylning, kunde man ikke nndgaa i denne Anskueliggorelse at se den simpleste Vej tl de i denne Bog fundne Resullaler. Detle liar sikkerl vaeret del bedsle poodagogiske Middel tli at faa. Flertallel af unge Elever med; mien livorlil Ijente da EUKLID's i Kap. VIII omlalle omhyggelige Ordning, der havde andre Maal for Oje? Den blev nforslaaelig og kunde kun hindre Overblikket over saadanne SaAtninger, der som de forskellige Swtninger om Trekanlers, Kongruens er spredi omikring paa de Steder, livor EUKLID ad sin Vej naar at bevise dem. Der kunde heller ikke vwre noget tilfredsstillende ved at hsere den vidtloftige anlike Proportionslxre at kende, naar man ad langt lettere Vej ved algebraisk 1Regning kunde opnaa det samme. Al de algebraiske Regningers Almengyldighed af DESCARTEs er paavist ved Hen-visning tl den i EUKLID's V. Bog paa almengyldig Maade bevisle ProporlionslIere, glemlte man snarl, og da man fandt direkte Beviser for Almengyldigheden ar de algebraiske Operalioner, blev denne Henvisning jo virkelig overflodig. Ilvad der ikke bruges, glemmes imidlertid, og derfor var del vistnok lemmelig nyt for de flesle Mathemalikere, da ITANKEL i sin Gesehichie der M1athematik (1874) pegede paa den noje Overensstemimelse mellem EUKLID'S V. Bog og den exakte Bestemmelse af det moderne Talbegreb. Man liar ogsaa jevnlig fundet del paafaldende, at EUKLID e fIt e r den almindelige Lw.re om Proporlioner i V. Bog i de aritlimeliske Boger finder del fornodent sawrlig at behandle Proportioner mellem- hele Tal. Man liar derved ikke bemwerket, livor nodvendigt delle var, naar Proportionsformen skulde lawgges tli Grund for Swtningerne om. hele Tals Delelighed; disse Swtninger var det allerede en slor Fortjeneste, at EUKLID ikke betragter som umiddelba'rt indlysende, men at han beviser dem og forst derefter leegger dein tli Gru-nd for Proven af Rodstorrelsers Ralionalilel. Af disse Exempler ser man, at Brugen af EUKLID somi Lawrebog kunde fjerne Opmverksoimheden for megel af del, son. laa EUKLID selY mest paa Sinde. Hvad man fik ud af hans Bog var da ofte kun Isaadant, som, Groekerne vidste for ham, og livorlil hans ndforlige Beviser saa ud som Omveje. Bedre slillede Sagerne sig dog ikke straks, da man begyndle at swtte andire Lwreboger i Stedet. I disse log man vel andre -Udgangspunkter og Wndrede flere Enkeitheder; men som Maalet maatte vwere at hsere del samme, livorlil man hidlil

Page 359

161 161 ~~~~~~EU KLID's Elementers Shoebne.35 13159 havde anvendt EUKLID, laa det nver at forsoge at forbinde del nye med meget, somn uforandret gik over fra EUKLID, og del gamle og nye kunde ikke altid passe sammen. Saaledes var den forste som for Alvor arbejdede paa at aflose EUKLID's Elementer med en fly Lwrebog, nemlig LEGENDRE, noeppe heldig med del nye Udgangspunkt, han tog ved at definere den rette Linie som, den korteste Vej mellem. to af sine Punkter. Denne Definition knnde vaere god nok paa den Tid, da. Maalesnoren var del vigtigste geometriske Redskab, og er det ogsaa flu overfor dem, der befinder sig paa et ligesaa. barnligt Standpnnkt. Derimod er den for del forste kun et daarligt Middel tl ved Ansknuelsen at afgore, om en Linie kan betragles som ret, eller ej;- thi tl en Afvigelse fra den rette Linie, som er lile af forste Orden svarer en Lvengdeforskel, sorn er lile af anden Orden (smlgn. S. 94 (292), Note 2). Naar endvidere LEGENDRE's Definition ikke danner noget Udgangspunkt for de simpleste geometriske Undersogelser, goolder ganske -vist, som, vi liar set, del samme om. EuKLID' s 1. Def. 4, og i Virkeligheden bruger LEGENDRE foruden intuitive Betragtninger omtrent de samme Udgangspunkter sonm dern, EUKLID udtrykkelig nwvner og bruger. Disse kan imidlertid som hos EUKLID binges tl at b ev i se, at en Sidei en Trekant er mindre end Sunmmen af de to andre, livad der hos LEGENDRE er den vw~sentligste Anvendelse, han kan gore af sin Definition, og saaledes burde vtere en Swtning i Stedet for et i Definitionen indsmuglet Postulat. Hos EUKLID er tilmed, som. vi liar set (S. 76 (274) og 144 (342)), denne Saetning I, 20 saint I, 21 Begyndelsen tl den Forklaring, som ARCHIMEDES giver paa, hvad man skal forstaa ved en krum Linies Lwngde'). Del er omvendt dette vanskeligere Begreb, som. LEGENDRE Vii binge tl at forkiare, livad en ret Linie er. Denne Ombytning kan heller ikke i Nutiden beiragles som heldig, da dog saavel den elementwre Bestemmelse af Cirkelperiferien som. Integralregningens af andre Kurveloengder knytter sig tl Sammenligning med rette Linier som. del mere bekendle. Soin et Exempel paa den Forvirring, der ogsaa, livor 'man ikke bruger EuKLID '5 Elementer som, Lawrebog, i Undervisningen kan opstaa ved Blanding inellem Laan fra EUKLID og imoderne Betragtningsmaader, kan jeg nawvne den Maade, hivorpaa man i min Skoletid leerte Proportioner og deres Anvendelse i Geometrien. El Forhold defineredes som. en K-votient, og der forlod intet oni, hivad en saadan betod, naar Dividend og Divisor var inkommensurable. Del nyttede da ikke meget, at man i Geometrien sikrede sig Proportionalitet ved Beviser, hvori der toges udtrykkeligt Hensyn tl Muligheden af, at de geometriske Storrelser kunde vtere inkomm ensurable. Ved disse Bemnwrknlinger er det ikke min Mening at give Anvisning paa, hivorledes den geometriske Undervisning skal an1w,'ges i yore Dage. Ved dels at pege 1) At PROKLOS (S. 110,io) till1egger ARCHIMEDEs den,Definition" paa. den rette Linie, at den er den korteste rnellern sine Endepunlkter, ma~a hero pa~a en aabenbar Misforstaaelse af den helt omvendte Brug, som ARCHIMEDES gor af denne Paastand i Indledningen til. sit Skrift om Kuglen og Cylinderen. (Sinlgn. min Artikel: Ueber einige archirnedische Postulate i Archiv fMr die Geschiclite der Naturwissenschaften I (1909). D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 5. Rvekke, 1. 5. 4 47

Page 360

360 XVI. IKapitel. 162 hen paa, livad der ad inere intuitiv Vej var naaet for den her i dette Skrift omtalte platonisk-euklidiske Reform, dels at fremhwve de Maal, somn tilsigtedes ved denne Reform, og de Veje, som EUKLID folger for at naa. dem paa. en fyldestgorende Maade, tror jeg derimod at give enh-ver Loerebogsforfatter og Lwrer de Oplysninger iHwende, som han liar Brug for, naar han selv skal vvelge de Laan fra EUKLID Og de Efterligninger af EUKLID's Behandlingsmaade, som kan tjene tl virkelig al fremme de Maal, som. han swtter sig. Den kiare Opfattelse af disse Maal er ogsaa nodvendig for den, som vil have de rette Forudswetninger for at vurdere det omhyggelige Ar~bejde, som EUKLID bar udfort for at naa dem, altsaa. for fra. et rent videnskabeligt Synspunkt at fwlde en rigtig Dom over EUKLID'S udodelige Vwrk.

Page 361

TILLAEG. Det her foreliggende Arbejde var, nw-sten trykt foordig, da jeg mod-tog EVA SACils: Die fifinf platonischen K6rper; zur Geschichle der Mathematik und der liementenlebre Platons und des Pythagoras (Philologische Unlersuchungen XXIV), et Arhejde, der vel Ilenge bar veret bebudet, men paa Grund af Krigen forSt Dun er udkommet. Ganske vist kunde jeg have onsket at kende dette under mine egne Undersogelser. Jeg kunde derved have undgaaet at henvise til Resultater af Weldre historisk-fllologiske Undersogelser, som nu drages i TvivI, og jeg vilde have faaet nyt Materiale tli, i nogen Tilsiutning tli E. SACHS' Oplysninger Gin THEAITETS' og EUnoxos' Arbejder, at paavise den Bearbejdelse, som EUKLID har maattet underkaste ogsaa de i X. og XIII. Bog behandlede Eminer for at tilpasse ogsaa dem tli den Plan, hvorefter Elemnenterne er affattede. Del er inaaske dog ikke uheldigi, at E. SACHs' energisk gennemforte filologiske Provelse af historisk Overlevering og en Mathematikers Undersogelser, der forst og fremmest rnaa. bygge paa Overle-veringernes Overenssltemmelse dels med del psykologisk mulige, dels og iswr mled dle Betragtningsrnaader, som efterhaanden udvikiede sig og trweder os iniode i de store Mathernatikeres bevarede Skrifter, er fremkomne hver for Sig. Foruden de Suppleringer, sorn Behandlingen af hinanden noerliggende Sporgsmaal kan yde, faar man da dels en yderligere Bekrwftelse af fbelles Resuitater, dels Lejlighed til at arbejde det ikke lidet, sorn endnu peger i forskellige Retninger, sammen, dels endelig Frihed tli at vailge mellem saadanne absolut afvigende Resultater, h-vortil de to Forfattere kommer. Som den, der i min Alder noeppe tor haabe oftere at kunne tage Ordet i denne Sag, vii jeg dog gerne allerede her gore et Par Bemwrkninger, og jeg skal begynde mied nogle Ytringer af me~re almindelig Art. Under Anvendelsen eller Provelsen af Beretninger om. weldre mathematisk Viden kan let nogen. Ukiarhed opstaa. af Forestillingen om, at den maa-tte vawre forbunden med Kendskab til de Midler, hvorrned vi nun eller dog EUKLID begrunder dem (smlgn. S. 134 (332)). Tidligere, da man tirned var mere lettroende overfor Meddelelser om paastaaede faktiske Frernskridt, bragle denne Forestilling let til at fore de euklidiske Betragtninger og Begrundelser for langt tilbage i Tiden. Naar der saaledes berettes om Pythagoreernes 47*

Page 362

362 Tilheg. 164 LKendskab tl regulere Polyedre, har man baade i Oldtid ogy i Nutid ment at maalte toenke paa saadanne Konstruktioner som denm, livormed EURLID begrunder deres Existens. Selv har jeg vwret tilbojelig ti] at fore Brug af Konstruktioner ved Lineal og Passer somn Bevis- og Erkendelsesmiddel for langt tilbage (livad jeg flu har opgivet; se mine Benmverkninger om. OINOPIDES S. 65 (263)). De samine formodede Forbindelser tages nu med ligesaa liden Berettigelse i den historiske Kritiks Tjeneste, saaledes naar B. SACHS fleire Steder, i Tilsiutning tl H. VOGT, finder Selvmodsigelser i at' antage Tilstedevaerelsen af en matbematisk Viden paa en Tid, som man ikke vilde tillwgge Kendskab til de Midler, der senere benyttedes fl nwrmere at begrunde den. Der advares endog 5. 34 mod at tilihgge U~dviklingen af Geometrien saadanne,,Zicksacksprfinge". Jeg tror, at omvendt Udviklingen, navnlig fra. forst af, da man ikke besad Midler til at foretage en planmoessig Forskning, er gaaet. ad ret bugtede og tilfwldige Veje. Da bar det i hojere Grad, end det endnn bestandig er Tilfzeldet, vreret ad saadanne Veje, at man forst er trwngt ind i og er bleven hjemme paa de nye Otnraader, for man deni kunde anhvegge Veje, som minere sikkert og direkte forer tl bestemle Maal, og som - jeg bemrerker det af Hensyn til nogle Slulninger af B. SACHS, som jeg senere skal omtale -ikke forer om ad al11e de Punkter af det Omrraade, som Forfatterne miaa have kendt for at finde de Veje, der svarer bedst til deres, Hensigter. Eudvidere tror jeg, at Undersogelser af den Art, som jeg her liar forelagt, vii yde en god Erstatning for den rokkede Tiltro li de historiske Meddelelser om w1dre Tider, livorpaa man tidligere byggede. Ganske vist gor Kritiken af disse det vanskeligere at lienloegge bestemnte matbematiske Fremskridt til bestemnie Tider, Steder', Kredse og Personer; men paa den anden Side rober de Principer, som paa, PLATON 's Tid gor sig gwldende, og sorn ligger tl Grund for EUKLID'S gennemforte Behandling, livor bojt den mathematiske Kultur allerede maatte v~ere naaet ved Begyndelsen af denne Tid. Naar saaledes THEAITET finder det nodvendigt at bevise og finder Midler til at bevise, at et Primtal ikke kan gaa op i et Produkl nden at gaa op i en af Faktorerne, saa rober allerede Tvivien om, at man i paakommnende Tilfwlde nden Bevis kan bygge paa Umuligheden beraf, en betydelig Udvikling af mathematisk Toenkning.' Og naar EUDOXOS finder det nodvendigt at give Begrundelser af S~tninger omi Proportioner saint infinitesimiale Greenseovergange en almindelig og exakt Formulering, saa kan kun en foregaaende Brug af disse Hjvelpemidler, forbunden med Droftelsen af Kontinniletsbegrebet, have vakt Opniwrksomlied for Berettigelsen af de strenlge Krav, som han fyldestgor. Heroin kan vi dominle i Nutiden, som forst efter langvarig Brng af del konlinnert voksende Tal, fremstillet.ved et Bogstav, og af praktiske Infinitesimalmethoder har huert at stille og fyldestgore ligesaa, strenge Krav, ja som 10Onge bar brugt EuKID~'S V.Trk uden ret at bemwurke, hvor vidt ban paa sin Side er kommen i den Henseende. Naar nu baade THEAITET og EUnoxos liver paa. sin Maade lager Brug af Proportioner til Udgangspunkt, THEAITET, idet ban giver dem en fl sit, som PLATON indrommer (se 5. 16 (214)), kunstmeessige rralbegreb tillempet Definition, EUDoxos, idet han definerer deres

Page 363

1-65 Tillveg. 363 Anvendelser paa geometriske, d]eL er: kontinuert vaitierende Storrelser, saa tyder dette paa, at begge knytter deres exakte Bestemmelser tl et gammelkendt Operationsmiiddel. Mangden af delvis ensfornmede Swaninger, som EUKLID i VII. —IX. og V.-VI. knytter tl disse Bestemmelser, rober ogsaa en gammel Vane til at operere med Proportioner, for man endnu knnde tage saa e-xakte Udgangspunkter. At det under en eller anden Form har fundet Sted, forekommer mig at fremgaa af alle Beretninger om den awldre grawske, ja, om den cegyptiske Matliematik; de Midler dertil, som virkelig liar foreligget, liar jeg freinstillet i mit IX. Kapitel. De historiske Meddelelser om geometriske Proportioner og Sammenstillinger med aritlimetiske og harmoniske Proportioner, som E. SACHS henviser [il (S. 129-132), kan kun vedrore formelle Opstillinger. Det er vel ogsaa paa saadanne E. SACHS kegger Vaegt, medens jeg sporger om de Hjalpemidler, som. man i Realiteten havde tli Raadiglied for en saadan Opstilling. Omlalen af en saadan interesserer mig forst da, naqar jeg som for THEAITET'S og EUnoxos' Vedkommende kender dens Form. At ogsaa PYTHAGORAS saavelsom THALEs liar brugt geometriske Proportioner, slntter jeg naermest deraf, at de ikke godt liar kunnet undvwre dem. Naar i dette Tilfa-ede diversi respectus maaske liwver Uoverensstemmelsen mellem E. SACHS' Henstillinger og mine Paastande, kan man forsoge at brunge et lignende Forlig tilveje mellem E. SACHS' Udtalelser i Noten S. 95-96 og mine 5. 61 (259)-63 (261) om den Rolle, som EUKLID'S II. Bog spiller i bcans System. Efter mini Opfattelse indskyder EUKLID lier i 1. —1O. den geometriske Algebra, fordi ban netop bar Brug for den, medens B. SACHS synes at lade den faa sin Plads lier som forste Anvendelse af den pytbiagoreiske Swutning, der dog kun anvendes i 9.-1O., tilmed knn i det simple Tilfoelde, livor den retvinklede Trekant er ligebenet. Naar imidlertid E. SACHS tilsidst frernliwver, at,,die Reihenfolge, die in der Anordnung der Elernente vorliegt, niclit die liislorisclie ist", saa er deL ganske det samme, somi jeg liar gjort gwiedende lier og allerede i,Mathematikens Historie", og ogsaa jegf liar da netop fremliwvet (ligesom nn), at denne Omordning krawvede det. nye Bevis I, 47 for den pytliagoreiske S.etning. De anforte Ord viser turned, at lielier ikke E. SACHS vii lade den geom etriske Algebra vvere en Nyskabning af EUKIDr. Dens tidligere Brug gay7 rent faktisk ingen Anledning til Skrupler ved Anvendelsen paa unkom~mensurable eller overliovedet paa kontinunerl varierende Storrelser. Hvor tidlig man blev sig denne Fordel overfor en mere aritlimetisk Beliandlinlg bevidst, derpaa giver den anforte Note in-Let Svar, altsaa lieller ikke et, som strider mod mine tidligere Udtalelser derom. Hvorledes baade Metlioden og dens Anvendelse yderligere maatte beliandles for at kunne byggpes paa e n k 1 i d i s k e Principer, ja, del udgor jo en Del af Indlioldet af nvervoerende Skrift. Bemnvrkningerne om den i II. Bog forekoinmiende Beliandling af deL gyidne Suit skal jeg senere besvare. De Henstillinger i E. SACHS' Skrift, som jeg liar berort, er dog knn frernkomne sorn Exemnpler paa den Forsigstighed, som man i det liele maa udvise overfor liistoriske Overleveringer efter liendes grnndige Provelse af Kilderne til den, der vedrorer den fysiske ElementlIere og Lveren om de fern regnlawe Polyedre. Som Ikke

Page 364

364 Tillveg. 166 Filolog er jeg henvist tli denne og maa altsaa regne med hendes Resultat, der afviger fra de aeldre Anlagelser om Omfanget af Pythagoreernes Kjendskab til de regukere Polyedre, som jeg anforer 5. 124 (322). Som. allerede antydet paa dette Sted kan Indskrarnkningen i dette Omfang dog ikke udove nogen vaesentlig Indflydelse paa min Betragtning af den Behandlingsmaade, som. den platoniske Tid. kunde faa overleveret fra den pythagoreiske, og paa denne ligger Hovedvoegten i nawvterende Arbejde. Jeg gaar altsaa flu ud fra, at P yt hag o ree r ne kendte Tetraedret, Terningen og Dodekaedret, men forst THEAITET tillige Oktaedret ogr Ikosaedret. Jeg anlager ogsaa, at Kendskabet tli visse Krystaller han have ledet Opm,-erksomheden ikk~e alene bos Pythagoreerne, men ogsaa tidligere andetsteds i Italien hen paa Dodekaedret. Saa megen videnskahelig Interes'se bavde Pythagoreerne dog i h vert Fald, at det tor anlages at ligge i Beretningen om deres Kendskab til. de tre Polyedre, at de har vist de fundne Dodehaedres Egenskaber og disses Overensstemimelse med Tetraedrets' og Terningens Egenskaber nogen Opmwrksomhed. Ja, man bar jo endog for Pythag.oreernes Tid lavet Modeller af Dodekaedre, og bar disse ikke vawret belt raa Efterligninger af Krystallen, maa man dertil. have henyttet Konstrnktionsmidler aif en eller anden Art. Disse han. ikke fra forst af have v.Tret. af samme Art som de af EUKLID i XIII. Bog angivne; thi de Relationer, som derved benyttes, opdages jo forst paa det frerdige Polyeder -- saaledes som E. SACHS med saa sikker Rumsans 5. 103 aflieser de tilsvarende paa en Teguing af det frerdige Ikosaeder. Der kan ikke godt have voeret nogen anden Vej til. den forste Tilvejebringelse af Dodekaedret end den samme, som EUKLID anvender i Bogens Slutning for at bevise, at de 5 regulhere Polyedre er de eneste mulige. Maaske foranlediget ved Kendskah tli et krvstallisk Dodekaeder vil. Pyihagoreerne, i deres Forsog paa at danne. et saadant. og andre regulwre Polyedre, paa Siderne i en regnlher Polygon have tegnet nye regulwre Polygoner med samme Sidetal og bojet dem. om, indtl to paa hinanden fol.gende fik en Side fbelles. Gik man ud fra en ligesidetTrekant, fik man paa denne Maade et regulwrt Tetraeder; gik man ud fra et Kvadrat, det meste af Overfiaden af en Terniug; gik man nd fra en reguker Femkant, den halve Overfiade af et Dodekaeder. Pytbagoreerne, der hesad og anvendte Vinkelhegirehet, kunde ikke undgaa at hemawrke, at den nodvendige Betingelse for, at den heskrevne Lukning skulde finde Sled, var, at Summen af de Ire Vinkler, som skulde danne et Hjorne, er mindre end fire Relle. Gaar man ud fra en regulver Sexkant, forhliver alle Sexkanleri samme Plan; Pythagoreerne vidste da. ogsaa, at Planen kan deles i reguhere Sexkanter. Delingen af Planen i regulaere Trekanler og Kvadrater kendte de ogsaa; men paa den lilsvarende Udvidelse af regulxre Polyedre tli saadanne, hvis Hjorner er 4 -eller 5-sidede, Itenklte de efler E. SACHS' Oplysninger ikke; del gjorde forst THEAITET 1). 1) Disse Bemrneekninger i Forbindelse med, hvad jegr siger S. 125 (323), vii maaske forkiare, at jeg i Kultur d. Gegenwart tillager Pytliagoreerne noget IKendskab til S&etningen omn Sumnmen af Siderne i et konvext Hjorne (smign. S. 77 Note i E. SACHS' Skrift). Jeg siger ikke, at den er gaaet forud for Opdagelsen af de regukvere Polyedre; men den blev, som. det i Reglen sker, knyttet til denne somn et, sow. det forekommer mig, uundvver

Page 365

167 Tillveg. 365 Man kan bemoerke, at lResultaterne paa. den Maade vii blive iagttagne, men ikke beviste. Men Fastholden af saadanne lagttagelser er nu engang den forste Kilde til miathema Lisk Viden. Vinkelbegrebet. satte tilined Pythagoreerne island fli at udtale dem i Ord. Paa den Maade er deres Opdagelse af de 3 af Polyedrene en vwerdifuld Begyndelse pa~a Undersogelsen af regulwre Polyedre. At Kugler kan omskrives omn Polyedrene, vii man straks have benmcrket; men forst THE'AITET liar' sogt at begrunde dette ved at soge Saminenhoengen inellemi Polyedrenes Kanter og den omskrevne Kugles Radius. Hvorvidt hlan er kommen i den Henseende, derom soger E. SACHS Oplysning ved et grnndigt Studium af EUKLID's Behandling af de samme Sporgsmaal. Dette fortjener saa meget mere Paaskonnelse, som ogsaa Mathematikere, der dyrker deres Fags Historie, ofte forsommer de store mathematiske Forfattere fra Oldtiden overfor de spredte Oplysninger, som kan findes andetsteds. Naar jeg dog ikke kan fatte Tilld til. de Resultater, livortil Forf. kommer med Hensyn tl THEAITET'S Viden og de Fremskridt, der pa~a dette Omraade maatte skyldes EUDOXOS, ja, HERMOTIMOS, om livem vi ved meget lidt, saa beror del paa, at hun efter mit Skon for lidet behandler EUKLID som den selvstwendige Mathetnatiker, han er, der ikke blot refererer veldre Undersogelser, men ogsa~a paa Omraader hvor han ikke liar nye Resultater at meddele, benytter det vundne Herredomme over det samlede Materiale til at meddele sit Stof i den Skikkelse, som, efter hans Skon passer bedst med de Formaal, han soger at gennemfore i sit Vawrk. Man tor ikke tro EUKLID selv uvidende om et Resultat, som vii staa tl Ra adighed for den, der studerer hans Voerk grundig og derigennem skaffer sig Overblik over del hele Omraade, livorigennem EUKLID's Kwde af sainmenhoengende Soetninger strwkker sig. Dette gadder saaledes om den Saetning, at der er samme Forhold mellemn Tikantsiden og den omskrevne- Cirkels Radius som mellem Femikaulsiden og Femkantens Diagonal. Deraf, at det er det sidste af disse Forhold, som EUKLID benytter, kan man i alt Fald ikke slutte sig tl en Mangel paa Kendskab tl det forste, og forend man knytter historiske Slutninger til. denne formentlige Mangel, maa. man i alt Fald prove, om EUKLID's nvermeste Formaal ikke fremmes ligesaa godt eller nok saa godt ved at binge del forste. I IV. Bog vii han vise, at man paa Grundlag af hans Postulater kan konstruere regulvere Polyedre med. 2n, 2n.3, 2n.5, 211.3.5 Sider. Da Halveringen af en Vinkel eller Cirkelbue allerede er bekendt, kunde han nojes med at konstruere en Polygon af hver Kategori; men rig, som han er paa Hjoelpemidler, kan han gaa frem i den naturlige Talorden, fra Trekanter, livor han medlager alle Trekanter med. givne Vinkler, til regulvere Firkanter, Fernkanter, Sexkanter og Femtenkanter. Fra hans rent theoretiske Standpunkt, hivor det kun kommer an paa at konstatere Muligheden af de sukecessive Konstruktioner, uden at EUKLID nogensinde sporger, om de saaledes opstaaende Kombi~nationer giver ligt Hjwlpemiddel. Heller ikke E. SAcas synes at have kunnet undvxre den, naar hun, med god Grund, begynder sin i andre Henseender saa dristige Restitution af THEAITET'S Skrift med det euklidiske B~evis for, at de 5 regul1ere Polyedre er de eneste. Det maa nemlig vvere ad denne Vej, at man hiar kunnet opdage, at saadanne som Dodekaedret og Ikosaedret overhovedet er til.

Page 366

366 Tillveg. 168 de Konstruktioner, som er simplest at udfore, ligger der ingen V~gt paa, at han kunde komme lettere til Tidelingen af en allerede tegnet Cirkel end -ved at gaa. om. ad Femkanten. I XIII. Bog benytter han de i IV. Bog fundne Resultater, som, de engang foreligger, og f. Ex. i det elegante Bevis XIII, 10 kan det ikke spille nogen Rolle, om de deri benyttede Figurer er konstruerede paa den ene eller anden Ma'ade. Hvad der i XIII. Bog fremfor alt maa tilhore EUKLID, er den synthetiske Opforelse af Polyedrene af deres Stykker. Da denne ikke gaar ud fra nogen forudgaaende Forestilling om. deres Existens, mrnaa den i Formen vwre ganske forskellig fra den Analyse, livorved THEAITET forst liar fundet de derved benyttede Egenskaber, og der er ingen Grund til at tro, at EUKLID liar indskrawnket sig til at vende denne Analyse om. Da THEAITET ikke endnu kendte de senere paa en saadan Omvending beregnede Former for Analysen, er det heller ikke sagi, at den i dette Tilftelde unmiddelbart lod sig foretage. EUKLID liar da benyttet saadanne Hjwlpemidler, som. han fandt hensigtsmoessige. Phedagogisk hensigtsmaessig eller elementwr i moderne Forstand kan man vel ikke her kalde den synthetiske Opbygning af Polyedre, hvorom man forst faar nogen Forestilling, naar Bygningen er fwrdig; men den stemnte med de,videnskabelige Principer, hivorefter hans,,Elementer" er opbyggede. Som. alt bemwrket frenmkalder E. SACHS" Arbejde ogsaa Onsker hos mnig angaaende mit eget her foreliggende Skrift. Jeg liar i dette fremhwvet de mned PLATON'7s Ideer stemmende Bestroebelser for at give Fremstillingen af den alt vundne mathematiske Viden en fuldtud rationel Skikkelse. Jeg liar ogsaa nwvnt de samtidige Mathematikere, THEAITET'S og EuDoxos', Bidrag baade til at fremnkalde og til at fremme disse Bestrawbelser; men jeg har ikke tilstroekkelig paavist, livorledes ikke alene deres egen Folelse af Logikens Krav, men ogsaa Hensynet til, hvad der kunde fremme deres egue mere positive Undersogelser, maatte virke tilskyndende paa deres Bidrag ogsaa til den mere formielle Omdannelse og udove nogen Indflydelse paa den endelige Skikkelse, som denne liar antaget hos EUKLID. Jeg twnker herved navnlig paa deres Beskweftigelse med de regul.Tre Polyedre, et Emne, der jo endog optrooder som. et Formaal for EUKLID'S,,Elementer", og ikke blot, som f. Ex. den da ligeledes begyndte Keglesnitslwre, som et af de Undersogelsesfelter, for livilke,,lementerne" skal danne Grundlaget. Naar THEAITET, som. vi antager, liar begyndt sin Opdagelse af Ikosaedret med at stille 5 ligesidede Trekanter sammen, saa de danner et femsidet lHjorne og dermed en femsidet Pyramide, og at gore Vinkelspidserne i dennes Grundflade til lignende Hjorner, vil han have set, at den saaledes dannede Figur tilsidst lukkede sig tii et Polyeder med 20 Sideflader. Blikket herfor, sow. maaske liar vwret stottet ved Dannelse af en Model, liar dog vweret i den Grad intuitivt, at man forstaar, at THEAITET paa. dette Punkt liar folt Trang til en ganske anden Begrundelse, der tillige indeholdt Beviset for Polyedrets Indskrivelighed i en Kugle. Dette kunde han opnaa ved at finde Relationen mellem en Kant og den omskrevne Kugles Radius og benytte dJenne til en lielt ny Dannelse, livis Resultat lettere hod sig strengt bevise. Jeg liar naevnt Ikosaedret som. det Legeme, livor Trangen til en saadan

Page 367

169.Till.Tg. 367 Bevisforelse ved geometrisk Konstruktion gjorde sig, stawrkt gaeldende; men Frem.gangsmaaden lod sig ogsaa anvende paa- de andre regulkere Polyedre. Den skulde, som vi har set, hos MENAICHMOS og EUKLID blive et Hovedmiddel til paa rationel Maade at tilvejebringe ogsaa saadanne Figurer, hvis Existens man hidtil ikke ha vde betwnkt sig paa. uden videre at antage. Det geometrisk algebraiske Hjaelpemiddel, som stod til Raadighed for THEAITET,ved Bestemmelsen af Sammenhawngen mellem Polyedrenes Kant og storste Radius, var den under Form af Fladeanlwg overleverede Losning af Ligninger af 2. Grad. Sikkert liar allerede Pythagoreerne brugt den ved Konstruktion af den regulvere Femkant, som de ogsaa havde Brug for ved den her beskrevne Tilvejebringelse af Dodekaedret; Beskazeftigelsen med regulkere Polygoner maatte gaa forud for Studiet af de regulawre Polyedre. Den til Konstruktionen nodvendige Hojdeling fremtrawder i EUKLID II, 11 som, en umiddelbar Anvendelse af det af Pythagoreerne kendte hyperboiske Fladeankeg og lader sig udfore ved de af ~dem, anvend-te Redskaber, altsaa uden Brug af Tegnepasser (se S. 65 (263)). THEAITET'S Undersogelser krawvede dog en mere kombineret Brug af de samme algebraiske Hjw1pernidler. Han k~unde vel lose sin Opgave ved hver Gang at fremstille den fundne Rod i en Ligning ved et nyt Liniestykke og dernaest betragte det som. bekendt; men derved fik man ikke noget samlet Overblik; det vilde gaa som. ved Brugen af en litteral Algebra, livor man vel fremstillede Storrelserne ved Bogstaver, men savnede Operationstegn, sawrlig IKvadratrodstegn. Paa Mangelen heraf raadedes Bod dels ved en nojere Prwcisering af de udforte Konstruktioner, lvortil vistnok nu sawrlig brugtes Lineal og Passer, dels ved en Kiassifikation af de ved disse Midler efterhaanden konstruerede Storrelser. Det er denne Kiassifikation, som, er paabegyndt af THEA1 -TET og yderligere gennemfort i EUK~ID X, De moderne Operationstegn binges imidlertid -ikke alene til at danne Udtryk for de efterhaanden fundne Storrelser; ved Regler for Regninger med saaledes fremstillede Storrelser sadltes man i Stand til at und~erkaste dem nye Operationer. De gamle maatte faa Brug for noget, som. kunde trawde i Stedet herfor, og som. de i det mindste kunde anvende paa de enkelte forefaldende Undersogelser. Ved Beregninger vedrorende Dodekaeder og Ikosaeder var der Brug for Svetninger vedrorende Rodderne i Ligningen x2 + ax - a' - 0 eller om. de Stykker, som fremkommer ved at hojdele en ret Linie. Det er en Rvekke saadanne Sawtninger, som. EUKLID liar indskudt somn 1-5. i sin XIII. Bog. De fremtraeder ligesom. II, 1-10 som. Laanesaetninger, der ikke er bestemte til selv at udgore et Led i hans systematiske Fremstilling af Geometrien, men for livilke han netop nu liar Brug. Den Omstamdiglied, at der begge Steder er fremsat flere Soetninger end de, som, han derefter virkelig bruger, og at de iovrigt ikke er indarbejdede i den 0vrige euklidiske Sammenhoeng, tyder paa, at de er tagne ud fra. en anden Sammenhoeng. For dem. i II. Bog liar vi henvist til den alt existerende, i moderne Forstand mere elementawre, geometriske Algebra. Omn dem i XIII. Bog kan jeg i Henhold til de af E. SACHS givine Oplysninger nu godt gaa ind paa, at de er tagne ud af et Skrift af EUDOXOS D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Reekke, I. 5. 48

Page 368

368 Tillveg. 170 7rept z~g rou-g, h-vor da ~ roun' skulde betyde det saakaldte,,gy'ldne Snit", Hojdeling. Med E. SACHS (S. 97-98) antager jeg, at naar det siges, at,,UDOX'OS form erede Satningerne om. del gyIdne Snit, som -var begyndt af PLATON", skyldes denne Henforelse tl PLATON PROKLOS; men jeg kan ingenlunde vvere enig med hende i, at dermed U d foreis en af Hojdelingen tidsfaestes. Der er jo ikke en Gang Tale Om Udforelsen, men kun om Saetninger om. ~ z~ojn% At dette Navn skriver Sig fra den Tid, er iovrigt rimeligt nok; det kan da hidrore fra, at man nu benyttede Linien's Skawring med en tegnet Cirkel, livor man tidligere brugte en Maalepasser. Derimod mener jeg, at der maa h2egges en'storre Yawgt, end jeg selv har gjort S. 36 (234), paa, at der siges, at EUDoxos anvendte den analytiske Methode ved denne og de andre naevnte. algebraiske Undersogelser. Derved kan ikke tamnkes blot paa en saadan, om end fuldt bevidst, saa dog nawmest praktisk Anvendelse af denne Methode soin den, livorved man liar oplost den addre geometriske Viden i de,,Elementer", livoraf Geometrien dernaest lod sig syntlietisk opfore; men den udtrykkelig'e Oimlale viser, at Analysen i EUDoxos' Skrifter om disse Emner maa vwere traadt frem, i bestemle Former. Derefter maa allerede EUDoxos have haft en vaesentlig Andel i Udviklingen af disse Former, og de, som. EUDoxos liar anvendt, vii endogsaa derefter vawre betragtede som. Paradigmer. Uden saadanne vilde Formerne for Fremstilling af Analyse og Synthese ikke kunne have faaet den uforanderlige Fasthed, som. de fik i den gramske Mathematik. Disse Paradigmer, der vedrorer Behandlingen af Opgaver, som, afhazenger af Ligninger af 2. Grad, er da bleven fuldstaindiggjorte med de alt naevnte Anvendelser af Analysen paa mere specielle Opgaver, som skyldes EUDoxos' Disciple MENAICHMIOS og DEINOSTRATOS (se S. 40 (238) og 37 (235)). Under disse Omstandigheder er del forklarligt, omn EUKLID i XLIIY 1-5 uforandret liar optaget EUDOXOS' Sawtninger og Beviser, eller idet mindSte disses Synthese; men ogsaa i dette Tilfadlde er del rimeligt, at den bevarede tilsvarende Analyse ligeledes skyldes EUDOXOS 1). 'Foruden sine Undersogelser over Rodstorrelsers Irrationalitet, livis Betydning for den i nuervwrende Skrift behandlede Reform er fremlisevet i vort III. Kap., og i Forbindelse med sin Kiassifikation af Storrelser, hvis Udtryk i moderne Frem.stilling vilde indeholde Kva'dratrodstegn, beska~ftigede THEAITET saavel som, EUKLID i X. Bog sig ogsaa med disse sidste Storrelsers Irrationalitet; men i sig selv er deres Fremstilling og Behandling ved geometrisk Algebra ganske uafhaengig af dette theoretiske Sporgsmaal: Fremstillingen af yV- ved Diagonalen i et Kvadrat kan bruges uafhtengig af, om, man ved, at denne Storrelse ikke kan udtrykkes nojagtig som. For1) Den Omnstarndighed, som S. 95, Note 1 har forekommet E. SACHSS paafaldende, og hvoraf hun vii drage Vidtrwekkende historiske Slutninger, bliyer da ganske forkiarlig. Sin Analyse har EUDOXOS nemlig ikke kunnet knytte til den fxerdige Konstruktion, men har, som det er sket, maauttet gaa til-.bage til. Brugen af den geometriske Algebras Rektangler og Kvadrater. lovrigt er det mig ikke klart, paa hvilke vaxsentlige Punkter E. SACHs kan mene, at den Konstruktion som. EUDOXOs enten maatte have kendt eller dog maatte have faaet ud af sine Sxetninger, kan have afveget fra den', som findesi EUKLID 1I, 11.

Page 369

171 Tillveg. 369 holdet mellem to hele Tal'1). Jeg kan derfor ikke forstaa den Samrnenhaeng, som E. SACHS gor gadldende S. 37 og 105, og i Henhold til livilken,Mathematikerfortegnelsens" Beretning om PYTHAGORAS' Opdagelse af irrationale Storrelser maatte falde sammen med dens Beretning om de 5 regulaere Polyedre. Muligt er del rig-. tignok, at PROKLOs liar gjort sig skyldig i den samme Sammenbianding, og det kan i hvert Fald siges, at naar det er urigtigt, at i denne Fortegnelse Kendskabet til all e regulawre Polyedre tillawgges Pythagoras, maa Meddelelsen omi Opdagelsen af irrationale Storrelser ogsaa modtages med nogen Forsigtighed. Dette liar jeg iovrigt gjort i mit Arbejde om Irrationalitetslaerens Oprindelse (Oversigt 1915) - om end da nvermest foranlediget ved en Fortolkning af -PROKLOS' Ord af VOGT, som E. SACHs bestrider. Femmoller paa Mols, August 1917. H. G. ZEUTHEN. 1)Hermed stemnmer en Bemxerkning af H. VOGT, som E. SACHs anforer S. 81. 481:

Page 370

Sur la re'forme qu'a subie la mathe'matique de PLATON 'a EUCLIDE, et graice 'a laquelle elle est devenue Science raisonne'e. R~sum6 par H. G. ZEUTHEN. Chap. I. Sur 1'etude comparative de I'histoire des mathe'matiques. La r~forme qui va nous occuper demande une compa raison du savoir ge'ome'trique ant~rieur, relevant en grande partie de l'intuition, avec la nouvelle geometrie raisonne'e. Comme c'est le cas pour toutes les coniparaisons servant At illustrer les progr~s scientifiques, celle qui nous, occupe ne devra pas se borner At faire paraitre les avantages des nouveaux points de vue et 1lextension du savoir qu'ils permettent, mais s'occuper aussi de 1e'tendue du savoir acquis ante'rieurement et qui allait faire l'objet des nouvelles, considerations, ainsi que de la nature et de la valeur des moyens qui avaient d~jft penmis de l'acque'rir. Chap. II. La mathe'matique science raisonne'e. Des conclusions logiques partant de suppositions plus ou. momns fortuites ne suffisent pas pour valoir At une science la qualification de raisonn&e IUne science raisonn~e doit former un entier logique oft l'on rend compte tant des points de d6part que des conclusions qui conduisent ft toutes les v~rite's particuli~res. Tel est l'id~al qu'EUCLIDFE a voulu re'aliser dans, ses El6ments de la GUomtrie. Les ddfinitions disent ce que sont les notions; les postulats affirment qu'il en existe qui ont certaines relations avec les autres notions de'finies. A cot6 des notions communes aux diff~rentes sciences, et dont EUCLIDE 6num~re celles qui servent At d~finir la grandeur des quantitds et en particulier celle des quantit~s g~om6 -triques, les dites hypotheses font les, points de depart des conclusions servant At constituer la theorie. Ce n'est que grftce ft ces liypoth~ses et aux. conclusions qu'on en tire successivement, qu'existent les figures g~omntriques; les dessins qui les repre'sentent ne servent quft retenir les figures idales. Celles-ci sont donc des symboles qui ne poss~dent que les propri~t~s qu'on leur a attributes expresse'ment, et les v6rit6s d~moatr6es deviennent applicables ft tout domaine oft lon a retrouve' les mifmes propri~t6s fondamentales. C'est ainsi que, dans la geom~trie d'EUCLIDE, on a symbolis6 une the'orie ge'n~rale des quantit6s, une alg~bre g6ome'trique. Malgr-6 la difference, des symboles, la g6om6trie d'EuCLIDE est ft cet 6gard le mod~e des math~matiques modernes et d'autres sciences exactes. Le but qu'il avait en vue pendant la composition de ses 1le'ments, EU'CLIDE, ne l'explique pas; il faut le reconnaitre par ses efforts pour le rdaliser. Mais le m~me but ideal avait e'e propose' par PLATON, dont les 61~ves miatlhematiciens se mirent en devoir de Fatteindre. Les ftl6ments d'EUCLIDE contiennent le r~sultat final de ces efforts.

Page 371

173 371' Chap. III. Los domandes adresse'es par PLATON A la mathe~matique en sa qualite' do science raisonne'e. La tendance the'orique de ln mathe'matique grecque avait dej'A debuts par ia de'couverte de quantit~s irrationnelles et s'ktait ensuite manifeste'e par les recherches qui s'y rattachaient: e'preuve de la commensurability de TniF'ODORE et son application, due Ai TH1iiTE'TE, pour d~cider sur in rationalite' des radicaux, la representation g~ome'trique des quantite's qu'on ne peut exprimer par des nombres. Dans son >)Theh6t~te< et dans ))es Lois(( PLATON exprime son inte'r~t pour ces recherches d'une nature purement th~orique. Ii leur doit sans doute la conviction de la possibilite' d'une constitution raisonne'e de in mathe'matique enti~re telle qu.' il in pre'conise dans son ))Etat(<. Dans le livre VI de ce dialogue ii rappelle la ne'cessite' dhypoth~ses formeiles et l'immate'rialit6 des figures g6om6triques. II y revient dans le livre VII, oft il s'occupe de e'~ducation des jeunes gens destin~s au service de Fl'ftat. Ii leur recommande une etude des mathe'matiques qui n'ait pas en vue les applications pratiques, mais 1'appropriation intellectuelle (6'cdvoea). En commen~ant par l'arithm~tique, il donne des notions de l'unite' et du nombre des explications qui le ur attribuent un sens s'appliquant uniquement Ai des nombres qu'il )>faut peaser<<. Si ion ve-ut partager Funnit, dit-il, les mathematiciens la multiplient. Cette remarqne nous rappelle que, dans ses livres arithme'tiques, EuCLIDE substitue Ai in simple formation de fractions des operations, bien expliqu~es, avec des nombres entiers. Les notions en question sont les m~mes qu'EUCLIDE d~finit et applique dans son livre VII, qui. contient, une partie essentielle de la demonstration du the'or~ne de THEUJTikTE indiquant le crit~re de la rationality des radicaux. 11 semble donc que cette demonstration ait servi Ai PLATON de mod~le des exigences qu'il allait adresser Ai d'autres demonstrations g~ome'triques. Ses remarqnes sur la g6om~trie plane n'ont rien de tr~s particulier, et il semble assez satisfait des progr~s dejAi faits, peut-&tre sous linflu ence de ses propres suggestions ant& rieures; mais ii est tr~s m~content de e'~tat de la st~r~omeftrie, que, selon lui, on devrait cultiver avant de s'occuper, dans l'astronomie, des mouvements dans i'espace. Or, A~ cette e'poque les -connaissances st~r~omktriques progressaient assez rapidement; ii doit-donc faire allusion an de'faut d'un expos6 raisonn6. Chap. IV. ))a me'thodo, analytiqueq; w1e~ments((. Du temps de PLATON on e'tait de'JA en-possession d'une tr~s grande partie du savoir positif auquel. conduisent les fth6ments d'EUCLIDE; mais ces connaissance e'taient dues Ai un me'lange plus ou momns fortuit d'intuitions et de conclusions. Quels moyens posse'dait-on pour en faire un'e totalit6 logique, r~pondant aux exigences de PLATON? On a attribu6 LA PLATON l'invention de la m~thode analytique, quoique ses 6crits ne d~c~ilent aucune connaissance des' termes techniques propres Li cette m~thode; mais ii est hors de doute que les formes servant Ai faire ressortir l'exactitude d'une analyse, et de in synth~se qui en resulte par une inversion, oat k6 en tout cas, 61abore'es pendant l'espace de temps qui se'pare PLATON d'EucLIDE, lequel, dans ses Elements, se sert des formes convenues ~pour la synth~se et du langage stereotype et precis qui y appartient, tandis que ses Data sont determine's 'a faciliter l'emploi de l'analyse. Suivant le procWd ordinaire -de lanalyse, on commence par admettre comme de'j'a trouv6 ou d6montre' ce qu'en r~alit on se propose de trouver on de de'montrer, et on en tire ensuite les consequences jusqu'Li ce qu'on arrive Ai quelque chose qn'on posse'dait dej'a'; dans in synth~se suivante on revient sur ses pas jusqn'Li ce qu'on atteigne le but propose' originairement. Tel est l'usage que nous faisons aujourd'hui de in me'thode et celui dont se servait PAPPUS, qui en a fait in description; mais l'emploi de ce proc~de' suppose qu'on poss~de dejAi un savoir bien c'onstate. Pour trouver, an temps de PLATON, une base logique du savoir asez tendu, masmm osldqu'on posse'dait, il fallait employer l'analyse pour revenir des v~rite's composees que- fournit lintuition Ai des ve'rite's de plus en plus simples jusqu'ai celles qu'iI etait impossible de d~composer ulte'rieurement. Avec elles on faisait les hypo

Page 372

372. 174 theses sus ceptibles de former, par composition, un systrme synthe'tique contenant ii la fois les ve'rite's connues qu on avait commence par analyser et des v~rite's nouvelles. Cest Ai un tel proc~de' que se rattache l'usage du mot >>eelements(( (aroeZ,-Za). ARISTOTE, et MWNECHmFE expliquent qu'une proposition (avec, sa demonstration) est 616ment, d'une autre (et de sa demonstration) si la premiere sert ~A dd'montrer la seconde. Par l'analyse on r~sout donc successivement les th~or~mes ou probEmes dans leurs 616ments jusqu'aux derniers, selon MPlNECHME jusqu'aux postulats. On trouve ainsi des elements dont on pent compose'r par l'op~ration inverse l'expose' synth~tique de toute la theorie, ce qu'a fait EUCLIDE. D'autre part ses 13 livres s'appellent aussi >)Rl~ments,( 'a savoir ceux des theories ulte'rieures qu'on va en composer. De m~me APOLLONIus appelle les quatre premiers livres de ses )>Coniques<( les 616 -ments de la the'orie de ces courbes. Ayant un but scientifique, de tels >>Elements(( doivent satisfaire les plus grandes exigences logiques: plus ils sont exacts et g~ne'raux plus les the'ories ult~rieures qu'on en forme poss~deront les m~mes qualit6s. Chap. V. Sur les mathematiciens qui out re'alise' la reforme platonicienne. Dans son enumeration des plus anciens math~maticiens grecs, EUDE'ME cite un assez grand nombre d'e'l&ves de PLATON, et la collaboration qu'il leur attribue doit avoir en pour objet la re'forme dont nous parlons, ainsi que les formes, regarde'es par la poste'rite' comme obligatoires, de l'analyse et de la synthese. Quant au premier de ce nombre, EUDOXE, la question se pose de savoir si les, grands progr~s mathe'matiques qu'on lui doit n'ont pas servi, aussi bien que ceux de THIMTkTE, 'a inspirer PLATON, autant que de son cote' il a Re influence' par les communications du grand philosophe. Quoi qu'il en soit, son fameux postulat (EUCLIDE V, Def. 4) - qu'h tort on 'a attribu6 'a ARCHIMJkDE - est un excellent exemple de l'analyse dont nous avons parle'; nous y reviendrons dans le Chap. XI. PROCLUs a conserv6 plusieurs contributions de ME'NECHME at la constitution d'>>le'ments(< satisfaisant les ide'es de PLATON. Nous, avons rappelM sa mention des postulats, et une discussion qu'il a eue avec le philosophe SPEusippE porte At croire qu'iI faut lui attribuer l'id6e de se servir, comme le fait EuCLIDE, de ces hypotheses d'existence pour de'montrer par les constructions dans, les )>probkm~es(< l'existence des figures composees, - avant dWen de'montrer les proprie't~s dans les Ah~ore'mes((; il a me'me commenc6 la re'alisation d'un tel projet par les me'mes deux problitmes qui servent At EUCLIDE d'introduction At son systitme (I, 1 et 2). On retrouve une ide'e semblable, dans la c6hMbre de'couverte de MJNECHME, que les courbes, y2 = bx et xy = ab, qui servent 'a la construction des deux moyennes geiom6triques entre a et b, sont des sections coniques. Cette constatation. sert, en effet, at 6tablir l'existence des deux courbes, celle du cercle e'tant de'j'a postul~e. ME'NECHME parvient du reste aux dits re'sultats par une analyse suivie d'une synth~se qui a plus tard servi de mode'le des formes utiles, de ces deux operations. De me'me, une demonstration de son frfre DINO.STRATE a pu servir de modite de I'application de la reduction At l'absurde pour de'montrer la justesse d'une valeur limite. On doit At THEUDIus des Etlements auxquels sans doute l'influence de PLATON, et d'EUDOXE, a commence' de se faire valoir. De nombreuses citations d'ARiSTOTE permettent une comparaison de ces ftI6ments avec ceux d'ETICLIDE, et nous mettent 'a m~me de juger des progre's qu'avaient prepares MANECIHME et d'autres savants, et qu'EUCLIDE a r~alis~s. A cotW des math~maticiens, ARISTOTE a beaucoup contribu6' i donner aux Eh6ments leur juste forme. D'un c6te', ses lois logiques sont en grande partie obtenues par une analyse et une ge'n~ralisation des conclusions des mathematiciens, ce que montrent ses exemples; d'autre part, les, 6nonce's formels de ces, lois auront d'td d'utiles, guides aux mathematiciens occupe's de transformer la mathe'matique en science raisonne'e. On explique le mieux, le chap. 10 du livre I des Analytiques poste'rieures en le mettant en rapport -avec. lusage que, depuis MEINECHME, contemporain d'ARISTOTE, On faisait des postulats et des probl~mes. - Les nle~mes deuxsavnts e snt rncotr's dans e'6tude de l'inversion des propositions.

Page 373

175 373 Chap. Vi. Images intuitives et primitives; apereeption par la vue. Pour trouver les sources, tant psychologiques que logiques, de's conn~aissances gi'ome'triques qu'on possd'dait avant la r~forme platonicienne, il faut commencer par se demander quelles sont les images geiom6triques qui se pre'sentent le plus imm6diatemenlt comme re'sultats d'une combinaison inconsciente de la perception d'impressions sensibles, du souvenir de sensations ante'rieures et de conclusions involontaires. A ce sujet il faut consulter d'un c6te' les experiences psychologiques modernes, de l'autre les rapports sur les plus anfciennes observations geomd'triques ou sur celles qui sont dues 'a des peuples se trouvant encore 'a un Rtat de ddveloppemeat primitif. On en peut tirer les r~gles suivantes. Les images intuitives et primitives repre'sentent, des figures toutes faites et complexes; ce n'est que par l'analyse qu'on en se'pare les parties simples. On saisit les images avant de savoir les d~crire. On s'est par exemple occupd' de figures planes sans eprouver le besoin de dire ce que c'est qu'un plan. On con~oit une figure plane comme une totalite' avant d'accorder une attention particuli~re 'a son contour; cela ne devient ne'essaire qu'a' mesure qu'il s'agit de decrire la figure d'une manie're plus precise. On concoit d'assez bonne heure e'6galit6 de deux. figures totales ou de parties d'une me'me figure et la possibilite' de donner 'a une figure une nouvelle place sans l'alt~rer; la conception de ce que nous appelons Ai present congruence est donc, assez primitive. D~is qu'on commence 'a s'occuper du contour, la conception d'une droite se pre'sente imme'diatement A l'esprit, et on s'oecupera biento~t de cercles et de distances; le cordon sert LA produire des droites et des cercles et Ai mesurer ou Ai porter les distances. On reconnalit imme'diatement le rectangle comme un quadrilatL~re dont les quatre coins sont uniformes; et cette connaissance conduit Li lusage de perpendiculaires et de paralle'les pour decomposer un camp en rectangles et en carre's, et ensuite aux mesurages de surfaces rectangles. On ne doutera pas de l'~galiti6 des triangles resultant de la d~composition d'un rectangle an moyen d'une diagonale. On de'couvre Ai vue d'xeil l'galit de deux figures sym~itriques, ce qui conduit Ai la construction de perpendiculaires au moyen du cordon. Pareillement la similitude de deux, figures, ou leur edgalite' A l'eichelle pros, determine une image primitive qui comporte une conscience de la proportionnalite' de leurs longueurs et ensuite de celle de leurs aires. Chap. VII. De~placements de figures avant la re'forme platonicienne; instruments ge'omeftriques. Les Qulbas~tras indiennes, contenant des reigles ge'ome'triques pour la construction ritualiste de sanctuaires, nous offrent l'exemple d'une ge'om6trie tr~is ancienne. Aussi ces r~gles peuvent-elles ktre obtenues par les moyens intuitifs dont nous venons de parler. Les operations se font en grande partie sur un plan d~compos6 en carr~s. On y trouve une seule demonstration: elle itablit 1'6galit6i d'un trapeize isosc~le LA un rectangle qu'on forme par le d~placement d'un triangle (voir fig. 1, p. 55 (253)). On connaissait le the'or~me de PYTHAGORE, mais 1'6con~,ait pour les cot~s d'un rectangle et sa diagonale; le triangle rectangle ne se presente qu'au moment oui on en fait usage dans une construction. On employait la figure que les Grecs out appele' gnomon: difference de deux. carris Li un angle commun, et on a.m~me su en faire usage pour construire (comme EUCLIDE II, 14) un carre' egal Li un rectangle donn6'. La connaissance du gnomon explique celle de plusieurs triangles rectangles LA co'tis exprimables par des nombres entiers; on en a pu trouver en remarquant des gnomons contenant des nombres quadratiques repre'sentant les carre's dont e'tait composeie la base des operations. On nWY trouve aucune demonstration du the'or~ime de PYTHAGORE; mais une ancienne table chinoise (fig. 2, p. 58 (256)) nous montre d'une mani~ire fort intuitionniste comment on a pu y parvenir par des de'placements de figures; apres deux -mille ans on reconnailt encore la m~ime demonstration, appliquie Ai un triangle au lieu d'un rectangle, dans celle de BH~sKARA (fig. 3, p. 59 (257)). Les Pythagoriciens out fait du Athior~me de Pythagoree et du gnomon des applications

Page 374

374 176 semblables Ai celles des anciens Indiens, et ils ont fait Ides de'placements des rectangles et des carres une veritable alg~bre g'om'trique comprenant m~me ia resolution d'6quations mixtes du second degr6. Dans les 10 premi&res propositions, de son livre II EUCLIDE substitue des constructions g~ome'triques aux de'placements intuitifs avant den faire, dans les 4 dernie'res propositions, les -applications dont ii a imm~diatement besoin. Pour re'aliser mat~riellement les de'placements on s'est servi d'instruments g~onmftriques, et tout d'abord du cordon. Les 1~gyptiens se sont servis aussi de r~gles et de gnomons solides; le dernier instrument servait soit 'a construire des perpendiculaires, soit: Ai donner, sans intervention de la notion de l'angle, Ai une droite une inclinaison donne'e par rapport Ai une droite donn~e (voir fig. 5 p. 64 (262)). Les Pythagoriciens oat eu A~ leur disposition, pour construire les figures illustrant leaur alg~bre g~ornitrique, in r&gle, le gnomon et le compas ai mesurer. Les premi~res applications du compas A dessiner ne sont attribuees qu'A &ENOPIDE; c'est grace Ai lui qa'on a obtenu 1'exactitude que demandnient les dessins astronomiques. Chap. VIII. L~es de'placements d'EUCT~IDE. Depuis ME'NECHME on- substituait, dans in g~ome'trie raisonn~e, i'usage de postalats 'a celni d'instruments, et les probkmes, ou constructions dependant de postalats, aux constructions mat~rielles. En me'me temps les ))notions comnmunes(( 7 et 8 devnient s ervir A~ in cornparaison des grandeurs ge'orntriques. On suppose alors que l'une des figures soit )>appliquee(( sur l'autre; mais cette application ne doit plus -se faire par un d~placement materiel ou intuitif de in figure totale: ii faut leffectuer par une construction. La coincidence, crit~re de 1'6galit6, r~salte alors d e 1'univocite6, Ai la place pr~s, de in construction de la figure d6plac~e. EUCLIDE realise effectivement dans 1,2 un tel de'placement constractif d'une droite limit~e; mais in demonstration de 1'6galite' de deax triangles nyant e'gaux an angle et les deux co't~s adjacents (1, 4.), ne peut plus s'effectuer de la mani~re qu'on voulait rendre obligatoire. C'est pour cette raison que HILBERT a fait de cette 6galite' un axiome. EUCLIDE se tire d'affaire d'une natre miani~re: dans in demonstration de ce the'or~me et du the'or~me I, 8 ii suppose l'application sans dire, ici, un mot sur in mani~re dont ii faut leffectuer; ii montre seulement quaune telle application suffirait pour ktablir in coincidence, totale en I, 4., partielle en 1, 8. Ce n'est qu.en faisant usage de ces th~or~nmes et apr~s plusieurs detours apparents qu'EuCLIDE parvient dans le problem& 23 au d6placement constructif d'un angle dont ii a besoin pour -re'aiser lapplication suppos~e de in seule mani~re qa'il reconnaisse. D~j.4 les contempornins d'EUCLIDE lui ont reproch6 de donner ainsi un the'or~me avant le problI~me ktnbiissant l'existence de in figure en question. Et, en r~alit, EUCLIDE n'evite pas un cercie vicieux; mais le fait que le cercie des conclusions se ferme de lui-me'me assure du momns in possibiiie' de in supposition quBEucLIDE a faite dans ses demonstrations de 4 et 8. Ensuite les nutres de'placements se font par des probl~mes. De'j'a du temps d'ARISTOTE on avait: rem arque les difficulte's que pr~sente in'the'ori~e raisonne'e des parailles: elles n'ont Wt surmont~es que plus tard par le c~l~bre postuint 5 d'EUCLIDE; mais comment expliquer le besoin de son postalat 4 touchant e'6galit6 d'angles droits? Historiquement ii a pa &tre substitue', comme les 3 premiers, Ai lasage d'un instrument, At savoir At celui du gnomon. Cependant EUCLIDE ne fait pas de veritable emploi du postulat, mais se borne nax constructions' qa'instrumentalement on poarrait accomplir par in ri~gle et le compas, tandis que peat-ktre M1ANECHME se ser vait encore du postulat pour in constructio dacar6,mentionn~e, elle nassi, a propos de sa discussion avecSeuP.Iisrt poartant possible de trouver an motif qui efit pu determiner.EUCLIDE At garder ce postulat, aparemment superfla. En effet, ii ne fait pas non plus d'empioi g~om~trique de in d~finition 4, celle d'une'droite, qui. a pour seul but de renvoyer At in mani&re donit on forme des droites dans -les arts.; au lieu de cela ii se sert des postalats qui demiandent l'existence de droites douses de certaines propri~t~s ge'omitriques: in definition 4 6nonce lidentit de ces droites avec les droites empiriques id6alis~es. De. m~me on a eu. vraiment beso-in d'une de~claration

Page 375

177 375 semblable disant que les longueurs, d~finies par les >>notions communes(( et employees dans in difinition 15 du cercie, sont identiques aux longueurs empiriques. En effet, si i'on excepte le postulat 4, in geometrie raisonne'e fonde'e sur les autres suppositions d'EUCLIDE serait applicable At une geometrie dont les cercies sont en re'alit6 des ellipses semblables et semblablement posses. Je ne dis pas qu'EUCLIDE ait observe' une telle possibility; mais, soils une forme ou uIne autre, ii a pu avoir eu un sentiment du danger anquel ii s'exposerait en omettant le dit postulat, de me'me qu'un juste sentiment l'a port6 'a e'viter, par son postulat 5, les g~om.6 -tries que nous appelons At present noneuclidiennes. Chap. IX. La similitude des figures. Le sentiment intuitif de in similitude a amene' de bonne heure des essais de determiner le rapport d'un cercie au carr6 circonscrit, ou celui de in circonf~rence au diam~tre. On en trouve chez les anciens Indiens et chez les Egyptiens d'une e'poque oft l'on ne savait leur donner qu'une exactitude nssez mince. Ils sont continue's par les Grecs, ce que montrent les tentatives dans ce genre d'ANTIPHON et de BRYSON. Et me'me pour s'expliquer qu'HiPPOCRATE de Chios nit Pu prendre pour points de depart de ses recherches l'identite' pour tous les cercies du premier des dits rapports ainsi que in similitude de deux segments qui font les memes parts des cercies respectifs, on n'a nullement besoin de penser 'a des demonstrations de ces suppositions qui satisferaient at un 6ii6ve d'EUCLIDE. La determination des inclinaisons par le gnomon, et celle des distances 'a des points inaccessibies montrent que les Egyptiens et, apr~s eux, les Grecs ont fait usage de in proportionnalite' des droites de figures semblabies. Sans doute, les Pythagoriciens ount 6tudi6, aussi num~riquement, des proportions, du momns dans leur musique; mais reen n'indique qu'iis en aient fait usage pour en de'duire des crit~res de in similitude. Au contraire, de rn~me que le d6pincement de figures pour e'~galit6, les similitudes intuitivement 6videntes leur auront servi de demonstration de proportionnaiit~s de grandeurs represent~es g~om~etriquement, et us nron crupos~dernini un mihode applicable aussi aux quantit's incommensurables. Alors in re'forme platonicienne aura entraine' non seulement in demonstration directe et g~n6 -rale des proportions qu'on trouve dans EuCLIDE, V., mais aussi I'inversion qui en fait in base de in theiorie de in similitude. Toutefois le sentiment imme'dia~t de in similitude continue At jouer un certain role me'me dans les IRl6ments d'EUCLIDE. On y trouve, en effet, des de'flnitions ind~pendantes entre elles de in similitude, l'une pour les segments de cercie, l'autre pour les polygones. Qu'EUCLIDE choisisse in m~me denomination dans ces deux cas diff~rents, et que les lecteurs l'approuvent, voil.A ce qui doit re'sulter d'un sentiment intuitif et commun. C'est le m~me sentiment qui a conduit EUCLIDE, nux crit~res des similitudes des diff~rentes sortes de coniques qu'ARCHIMEiDE nous a fait connaitre. Seulement APOLLONius de'finit in similitude des diff~rentes coniques par in proportionnalite' des deux coordonne'es des points des figures, definition applicable 'a toute sorte de figures. Chap. X. L'origine de la notion de 1'angle. Di~s le dibut de in g~om~trie on a connu in perpendicularite' de deux droites, mais nuilement in comparaison de deux angles regarde's comme grandeurs. Seuls les astronomes babyloniens en ont eu besoin, tandis que nous avons vu que les astronomes 6gyptiens et apr~s eux les Grecs y oat substitue' iusage du rapport de deux droites. C'est 1l6tude des figures semblables qui a porte' les g~omktres grecs it parier dWangles e'gaux, qu'ils appelnient angles >)semblables<(. Selon EUDE'ME, dMji THALE's aurait fait ainsi; quoi qu'il en soit, in formation de in' notion ne s'est pas fait attendre iongtemps, et elle a 6.e suivie par in comparaison de deux angles, leur addition, etc. La mnnfi~re dont in notion d'un angle droit e'tait li~e it celle d'un rectangle a montr6 que in somme des angles aigus d'un triangle rectangle D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Rwekke, I. 5. 49

Page 376

376 178 est e'gale At un angle droit; ensuite on a 6tabli, par la decomposition d'un -triangle en deux triangles rectangles (voir fig. 12, p. 100 (298)), le th~or&me sur In somme des angles d'un triangle quelconque. La demonstration qu'EUDItMEm attribue aux PYTHAGORICIENS s'obtient par ia m&me figure si ion y efface les trois perpendiculaires et fait usage des propri~t~s intuitives des parallitles. Un contemporain'~d'AIRISTOTE (probablement THEUDIus) a fait usage dans une demonstration dWangles curvilignes, et encore EuCLIDE tient compte de ces angles dans ses definitions; mais la definition V, 4. (postulat d'EUDOXE) les exclut formellement de la the'orie g6ne'rale des grandeurs que contient le dit livre. Chap. XI. GO'neralisation des demonstrations; reeherehes infinite'simales. EUCLIDE a soin de s'assurer que les demonstrations embrassent tous les cas auxquels s'appliquent les e'nonce's des thedor~mes. Il ne lui suffit donc pas de de'montrer les proportions dans les cas oft les termes sont commensurables, ni d'appliquer imme'diatement aux limites ce qu'on avait prouv6 pour des cas qui s'y approchent ind6finiment. A ces e'gards on se'~tait contents autrefois d'une transition intuitive it linflni, et la representation geome'trique a augmente' la conflance qu'on croyait pouvoir accorder it une telle intuition (voir chap. IX). Toutefois de'jit les paradoxes de ZElNON devnient contribuer it e'6branler, et du temps de PLATON on ne pouvait plus s'en contenter. Cest EUDOXE qui a trouv6l une formule permettant d'assurer la validite' des re'sultats de telles transitions par une reduction it labsurde. Son postulat e'nonce' dans EUCLIDE V, Def. 4, demande l'existence d'un multiple d'une quantit6 donn'e qui en surpasse une autre. EUCLIDE en d~duit, X, 1, une autre formulation exprimant qu en r~pe'tant la soustraction de la moiti d'une quantit6, ou de plus de la moitie', on finira par trouver un reste plus petit qu'une autre quantite' donn~e. V, DM. 4 est le dernier )>le& ment(( d'une analyse de la transition it l'infini, et X, 1 est lavant-dernier. V, Def. 4 fait ainsi le plus simple point de depart d'un expose synth~tique, et ARCHIME'DE s' en sert dans les demonstrations des r~sultats de ses recherches infinit~lsimales, tandis qu'EUCLIDE et probablement EUDOXE se contentent de prendre X. 1 pour point de delpart des leurs. Pour in ge'n~ralisation des proportions, au contraire, EUCLIDE dans son livre V, oil il suit la voie fraye'e par EUDOXIE, se sert de V, Def. 4: en y joignant l'usage des definitions 5 et 7 ii parvient it des critrres de le'galit6 ou. line'galit6 de deux rapports qui ressemblent it ceux de DEDEKIND. Cependant une remarque dAIRISTOTE nous montre que cette determination a Wl~ pr'c~d~e par une autre oft l'on se servait seulement de X, 1, de m~me que la d~termination de DEDEKIND a e'e pr~c6d~e de celle de WEIuERSTASS. AR'ISTOTE rappelle, en effet, une de'finition qui fait d~pendre I'6galite' de deux rapports de l'identit des ')antanaireses(( des deux termes de chaque rapport, c'est-it-dire des nombres provenant des proce'd~s, en g6ne'ral infinis, qui devaient servir it en determiner le plus grand facteur commun, s'il y en avait, ou bien de celle des fractions continues servant it les determiner. EUCLIDE fait du reste, au commencement du livre X, usage du m~me proce'dd pour e'prouver la rationalit6 d'un rapport. Chap. XII. Ge'neralisation des 6nonce's; equations du second degre'. Conforni~ment aux demandes d'ARISTOTE, EUCLIDE s'efforce de donner it ses 6nonc~s in forme ln plus g~n&~ale possible; il e'tend ainsi le domaine auquel uls s'appliquent immediatement. Cependant, dans les cas oft les proportions contiennent les ddmonstrations d'opd~rations qui deviennent plus simples et faciles, sans devenir momns effectives, par iFusage de figures plus particuli~res, in representation dans les El1lments d'EUCLIDE n'a pas Rt' de nature it propager plus tard iFemploi de ces operations lit oftii il tait momns connu qu'il n'kait aux contemporains d'EUCLIDE. Je pense en particulier it la solution d'equations du second degre' sous forme d'applications d'aires. Les simples transformations qui y servent sont en re'alite' d~rmontre'es en II, 5 et 6; mais EUCLIDE reserve les d'nonc~s formels des problimes et de leurs solutions constructives jusquit ce que dans le livre VI ii puisse leur donner une forme ge'ome'trique

Page 377

179 377 plus generale, dont il ne fait pourtant aucun usage. Au contraire, dans les- demonstrations du livre X, auxquelles il faut renvoyer pour fievrlevitbepotquEcIEsat tirer de ces proce'd~s, il ne. les emploie que dans les simpies formes qui seraient suffisamment d~montre'es par II. 5 et 6. Aussi dans les Data 84 et 85, oft EUCLIDE re'duit des problimes alge'briques 'a des applications d'aires, il les g~ne'ralise par i'emploi de paralle'logrammes ai un angle donne' au lieu de rectangles, g~n~ralisation g~om6trique qui a'a aucune valeur alge'brique. Malgre' la me'me ge'neralisation, il faut voir, dans les Data 86, une representation ge'ome'trique de la solution alg6brique des equations xy,' a, y2 - mx2= b; les equations aux p. 115 (313) sq. en expriment une traduction presque imm ediate. en langage math~matique moderne. On voit donc qu'il s'agit ici de la solution alg~brique d'un proble'me dktermiin6 du me'me genre que ceux dont DIOPHANTE nous a conserv6 des solutions nume'riques. Chap. XIII. L'ide'alite des figures ge~ome'triques. L'id~aite' que PLATON attribue aux. figures g6ome'triques n'6tait pas chose nouvelle; ce qui fut nouveau c'e'tait de 1'6noncer formellement. L'abstraction caracte'risait, en effet, les premi~res recherches, mais elle 6tait alors une consequence du de'faut de la faculte' de diff&rencier. Les premieres connaissances g~one'triques dont s'emparait lintuition n'6taient justes que pour des figures idales. L'analyse que les 6l~ves de PLATON y appliqunient devait donc conduire aussi Li des 616ments ide'aux: points sans extension, lignes Ai une seule extension etc., droites au seas exact, ne p ouvant avoir, sans coi ncider, qu'nn seul point en commun, etc. Les de'flnitions d'EUCLIDE oat tout lFair d'6tre les r~suitats d'une telle analyse, ordonne's dans in suite selon les r~gles de in synthese. Ainsi on n'a pas besoin de rechercher des raisons historiques de ce qu'on a pris pour deux series diff~rentes des definitions des premieres notions g~om~triques, Ai savoir d'un co'te I, 1, 2, 5 et XI, 1, de I'autre I, 3, 6 et XI, 2. La derni~re serie, prise en ordre inverse, indique lanalyse qui conduit de la notion de lespace, on du corps, ai celle de in surface comme limite d'un corps etc. jusqu'au point comme limite d'une ligne; mais com'me ii failait c'omme ncer in synth~se par ces derniers elements on devait pousser lanalyse assez loin pour en avoir des crit~ires imm~diats. On na trouv6 que les nombres de leurs dimensions indique's dans la premi~re se'rie. C'est elle qui contient les ve'ritables d~finitions des dits 616ments, -tandis que les autres deviennent, par Finversion que demande la transition de lanalyse Ai in syntli~se, les definitions des diff~rentes limites, ia definition 2 par exemple celle de la limite d'une ligne, et par consequent d'une ligne limite'e. Chap. XIV. La ste'reomeftrie. On a reproch' Ai EUCLIDE de ne pas distinguer dans Fespace entre congruence et -sym&trie, et on a m~me cmu que les savants grecs 6'taient resti~s ignorants d'une difference qui joue un r'le si important dans larchitecture grecque. Une telle supposition nest pas admissible. Si EUCLIDE na pas 6t amen6 Ai faire in dite distinction, c'est qu'ici, comme dans in g'omktrie plane, ii vent 6viter tout ce qni depen d de de'placements me'caniques et intuitifs; en mt~me -temps ii pre'f~re les 6nonces generaux embrassant Ai in fois le plus possible. Du reste, la me'me distinction aurnit dfi &tre faite aussi dans in g6om~trie plane, dont les operations se font tonjours dans le m~me plan. Comme dans ia ge'omitrie plane, EUCLIDE regarde comme e'gales les figures dont in.construction est, univoque, abstraction faite de tout ce qui appartient an choix de in place, y compris ceini des deux co^te's d'un plan tant qu'on an pas dej'A fait ce dernier choix pour un point de in figure Li construire. Une telle 6galite' n'est pas moins caracte'ristique de deux figures syme'triques que de deux figures congruentes. La construction XI, 23 d'un coin triiat~re,A cot~s donne's (voir fig. 14, p. 128 (326)) et le renvoi en XI, 26 Li cette construction comme preuve -de 1e'galite' de deux coins trilat~res Li c6te's donn~s, montrent que tel a e'te pour EuCLIDE le 49*

Page 378

378 180 veritable crit~re d'e6galitL. C'est, en effet, des applications de ce genre qu'il faut tirer les. principes ge'neraux qu'il suit en r~alit, car les d~finitions ne se r~ffrent qu'ft 1'application des m~nies principes aux figures particuii~res. Du reste, dans la ste'reome'trie, leurs e'nonc6s ne sont pas toujours irre'procliables, tandis que le principe que nous avons tire' au clair est suivi d'une m anie're cons6quente. Chap. XV. EUCLIDE et sos i1~6ments. La de'couverte faite pendant le dernier demi-si~ce, qu'avant Euc.IADE on avait deja' posse'de une partie, essentielle des connaissances d~pos~es dans ses R16ments a parfois port6 prejudice ft ladmiration qu'on accordait At ce savant, mais At tort. On supposait que ces connaissances avaient eA originairement acquises par des voies peu diff~reates de celles qu'oa retrouve dans les demonstrations d'EUCLIDE, et qu'il ne lui restait que la t~iche de les r~unir et completer sur quelques points et d'en acconimoder in representation aux formes dont on e'tait successivemeat convenu. Or je ne nie pas qu'en beaucoup de cas EUCLIDE r~pkte des raisonnements faits avant lui; mais ces raisonnements ne prennent leur veritable valeur logique qu'au moment oft uls deviennent partie d'un syst~me logique total qui eclaire, jusqu'at la derni~re supposition, le fondement de chaque ve'rite' particuli~re. C'est l'ach~vement du premier syst~me de cette nature, c'est At dire d'une ceuvre purement scientifique, que nous devons At EUCLIDE. 1i ne faut pas voir dans l'ordre de ses livres un effet de contingences historiques. Ayant en vue le but de in geometrie, qui est de traiter des quantitrs continues, il devait rendre compte aussi du fait qu'il en existe qui ne sont pas commensurables. Voilft ce qui explique linsertion des trois livres arithm~tiques qul traitent de la condition de ln commensurabilite' des radicaux et pre'parent ainsi in connaissance de celle de leur incommensurabilite'. Non seulement sur ce point, mais aussi pour surmonter les autres difficult~s que j'ai signal~es, EUCLIDE a eu d'6minents devanciers; ce que j'en ni dit aura servi avant tout At faire paraitre la r~alite et la grandeur des obstacles At surmonter. Et qu'apr~s tant de debats EUCLIDE nit dit le dernier mot et que ses 1Rlements nient Rt6 reconnus dans ln suite comme le fondemfent inalthrable de la g~om6trie, c'est bien Ift le meilleur te'moignage du jugement de ses contemporains et successeurs. Chap. XVI. Le sort des h~6ments d'EUCLIDE. La lecture des ftl~ments d'EUCLIDE demande au lecteur un ceil ouvert aux vues scientifiques de lauteur. En nieme temps, ii doit etre, soit pre'par6 par une instruction pr~alable, soit guid6 par un professeur posse'dnnt lui m~me in tradition indispensable pour s'approprier ft c6te' des demonstrations rigoureuses, de ln pratique des m~thodes n6cessaires pour utiliser les ve'rit6s d~montr~es; nous pensons par exemple ft ln solution des equations du second degr&' L'ine'gale mesure dans laquelle ces deux conditions oat Retd remplies et aussi, plus tard, le renvoi d'uae partie de cc qu'ils contiennent ft une alg~bre inde'pendante, a prepare' aux IRle'ments d'EUCLIDE an sort tr~s variable pendant lespace de plus de deux mulle ans oil uls soat en usage. Les premiers savants alexandrins possedaient complitement ces deux conditions. Ils oat donc pu d~velopper in the'orie des coniques, qui reatre dans le genre d'e'tudes Ique lauteur avait en vue en composant ses ft16ments, et les coniques d'APOLLONIus nous fournissent in meilleure illustration de in f~coadit6 des me'thodes de lalge'bre ge'om6trique. Cest nu coatraire pour des recherches enti~rement nouvelles qu'ARCHIME'DE, a trouve' an fondemeat absolument conforme aux principes de la geometrie euclidienne. Pour cein, ii lui fallait ajouter aux postulats d'EUCLIDE de nouvenux qui sont relatifs ft ses nouvelles doctrines soit infinite'simales, soit statiques. Pour composer ane statique raisonn6e ii doit avoir imite' les 6l6ves de PLATON et soumis les connaissances plus pratiques qu'il posse'dait de'j'a a une analyse pour en tirer les ~e6le'ments(( qui font les points de depart de son expose synthe'tique. Selon son )>Ephodos(( ses connaissances statiques lont conduit aux de'couvertes infinite'si

Page 379

181 379 males dont plus tard. il a e'labore' des demonstrations conformes aux exigences de la geometrie euclidienne. Dans 1'Ephodos, qu'Ai present je crois r~dige'e apres ces demonstrations brillantes, il ne se borne pas Ai mentionn~er l'origine statique des d~couvertes; mnais en y ajoutant, deux nouvelles il s'en. sert, pour montrer les procedes qui servent, A en construire de nouvelles demonstrations exactes, proce'des dont il a dfi se servir aussi pour construire ses de'monstrations ante'rieures. -- La trigonometrie grecque montre comment il etait, possible de tirer des principes rigoureux d'EUCLIDE les approximations que demande l'application de la ge'om6 -trie aux, calculs astronomiques. Ce que contient encore mon chapitre XVI est trop, fragmentaire pour en donner un resum6 ulte'rieurement abr~g6. Je me bornerai h remarquer ici que les scholastiques me servent d'exemple de ceux dont l'appropriation. d'EUCLIDE a eA soutenue par un vif int're't scientifique et plus particuli~rement logique, tandis qu'ils 6'taient presque totalement de'pourvus des habilete's pratiques que demandent, les applications du savoir conten~u dans ses IEl6ments.

Page 381 - Table of Contents

INDHOLD Side Kap. I. Om sammenlignende Studier af Mathematikens Historie.............................. 3 Kap II. Mathematiken som rationel Videnskab.............................................. 8 Kap. III. PLATON'S Krav til Mathematiken som rationel Videnskab............................ 11 Kap. IV. Den,analytiske Methode";,Elementer......................................... 23 Kap. V. De mathematiske Ivaerksaettere af den platoniske Reform........................... 34 Kap. VI. Om oprindelige intuitive Billeder; Synsoplevelser....................... 46 Kap. VII. Brug af Figurflytning i de aeldste Tider; geometriske Redskaber....................... 54 Kap. VIII. Figurflytning hos EUKLID..................................................... 66 Kap. IX. Ligedannede Figurer og Proportioner..................... 86 Kap. X. Vinkelbegrebets Opstaaen.......................................................... 92 Kap. XI. Bevisers Almindeliggorelse; infinitesimale Opgaver................................... 104 Kap. XII. Almindeliggorelse af Ssetninger; Brug af Ligninger af 2. Grad....................... 112 Kap. XIII. Idealiteten af de geometriske Figurer............................................ 118 K ap. X IV. Stereom etrien..................................................................... 123 Kap. XV. EUKLID og hans Elementer......................................................... 133 Kap. XVI. EUKLID'S Elementers Skeebne..................................... 138 T il eg............63.................................................................... 163 Resum e en francais............................................................ 172

Do you have questions about this content? Need to report a problem? Please contact us.